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• BERNARDO MIGUEL CUASAPAZ QUI�A

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Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.2 Integrales de línea 33. Un alambre delgado está doblado en forma de una semicircunferencia x 2+ y 2=4 , x ≥ 0. Si la densidad lineal es la constante k, calcule la masa y el centro de masa del alambre.

x=2 cos t , y =2sin t ,−π /2 ≤t ≤ π /2 ❑

1 ∫ xp ( x , y ) ds mC ❑ 1 ´y = ∫ yp ( x , y ) ds mC ❑ 1 m= ∫ p ( x , y ) ds mC ´x =

❑

m=∫ p ( x , y ) ds C ❑

m=∫ kds C

❑

m=k ∫ ds C

❑

2 π ( 2) ∫ ¿ 2 =2 π C m=2 πk ❑

´x =

1 ∫ xp ( x , y ) ds mC ❑

k ´x = ∫ xds mC ds=

√(

dx 2 dy 2 + dt dt dt

) ( )

ds=√ 4 sin2 t + 4 cos2 t dt ds=√ 4 dt =2 dt π/2

´x =

k ∫ 2 cos t (2 dt ) m −π /2 π /2

4k ´x = ∫ cos t dt m −π 2

´x =

k π /2 [ sin t ]− π /2 m

´x =

8k 8k 4 = = m 2 πk π Centro de masa ❑

´y =

1 ∫ yp ( x , y ) ds mC

´y =

k ∫ yds mC

❑

π 2

´y =

k ∫ 2 sin t ( 2 dt ) m −π 2

´y =

´y =

4k m

π/2

∫ sin t dt −π 2

4k π /2 [−cos t ]− π /2=0 m

La masa del cablees 2 πk El centro de masa del cable es

( 4π ,0)

Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.2 Integrales de línea ❑

8.

∫ x 2 dx+ y 2 dy ,C consiste del arco de circunferencia x 2+ y 2=1 desde (2, 0) hasta (0, 2) seguido del c

segmento de recta desde (0, 2) hasta (4, 3)

2

2

dQ d ( y) dP d (x) = =0 , = =0 , 0=0 dx dx dy dy r ( t )=⟨ 2 t + 2,3t ⟩ r ' ( t )=⟨ 2,3 ⟩ t=0 , r ( t ) =⟨ 2,0 ⟩ t=0 , r ( t ) =⟨ 4,3 ⟩ Límites de intgral son t=0 y t=1

∫ x 2 dx+ y 2 dy dx

dy

∫ x 2 dt dt + y 2 dt dt 1

∫ ( 2 t+ 2 )2 ( 2 ) dt + (3 t )2 ( 3 ) dt 0

1

∫ (4 t2 +8 t+ 4)(2) dt+( 9t )2 ( 3 ) dt 0 1

∫ 8 t 2 +16 t+8+ 27 t2 dt 0

1

∫ 35 t 2+ 16 t+8 dt 0

3

35t 2 1 + 8 t +8 ¿0 3 35 24 24 83 + + −0= 3 3 3 3 Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.5 Rotacional y divergencia Demuestre la identidad, suponiendo que existen las derivadas parciales y que son continuas. Si f es un campo escalar y F, G son campos vectoriales, entonces fF , F ∙ G y F × G están definidos por 28. ¿ ( ∇ f

×∇ g )=0 a=∇ × a

( ∇ f )=∇ × ( ∇ f ) ∇ × ( ∇ f )=∇ ×(f x i + f y j+ f z k )

i ∂ ∇×∇ f = ∂x fx

|

∂ ¿i ∂ y fy

∂ ∂ ∂z − j ∂ x fz fx

j ∂ ∂y fy

k ∂ ∂z fz

|

∂ ∂ ∂ z +k ∂ x fz fx

∂ ∂y fy

| || || |

∇ × ∇ f =i [ ( f z ) y −( f y ) z ]− j [ ( f z ) x −( f x ) z ] +k [ ( f y ) x −( f x ) y ] ∇ × ∇ f =i [ 0 ] − j [ 0 ] +k [ 0 ]=0 Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.6 Superficies paramétricas y sus áreas Relacione las ecuaciones con la gráfica correspondiente I a VI y exponga las razones de su respuesta. Determine en qué familias de curvas reticulares u es constante y en cuáles v es constante. 13. r ( u , v ) =u cos v i+u sin v

j+ v k

Sustituir u=k r ( k , v )=k cos v i+k sin v j+ v k Esta es una ecuación de una hélice. Con órbitas circulares y radio constante = k Solo el diagrama IV y V contienen curvas de cuadrícula que son helicoidales. Pero solo la trama contiene curvas de cuadrícula helicoidales con un radio constante. Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.6 Superficies paramétricas y sus áreas Encuentre una representación paramétrica de la superficie. 22. La parte del elipsoide x 2+ 2 y 2 +3 z 2=1 que está a la izquierda del plano xz.

x 2+ 2 y 2 +3 z 2=1 2 y 2=1−x 2−3 z 2 2

y=

1−x 2−3 z 2 2

y=±

√

1−x 2−3 z2 2

→ y=−

√

1−x 2−3 z2 2

Elegimos la raíz cuadrada negativa (en lugar de la raíz cuadrada positiva) porque está a la IZQUIERDA del plano xz. Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.6 Superficies paramétricas y sus áreas Encuentre el área de la superficie. 47. La parte de la superficie

y=4 x + z 2 que se encuentra entre los planos x=0, x=1, z=0 y z=1.

x ∈ [ 0,1 ] y z ∈ [ 0,1 ] dy dy =2 z =4 dz dx 1 1

Area=∫ ∫ √ 1+(4 )2 +(2 z )2 dxdz 0 0

1 1

∫∫ √4 z2 +17 dxdz 0 0 1

1

∫ [ √ 4 z 2+17 x ]0 dz 0 1

∫ 4 z 2+ 17 dz 0

1

√ 17∫ 0

√

4 z2 +1 dz 17

2z 2dz 17 du =u , =du ⇒ dz= √ 2 √ 17 √ 17 1

Límites de integración cambian desde ∫ a 0

2/ √17

2/ √ 17

2 / √ 17

∫ 0

17 du 17 ¿ √ 17 ∫ √ u +1∙ √ = ∫ √u2 +1 du 2 2 2

0

0

¿

17 ¿¿ 2

¿

17 2 4 1 +1+ ln 2 2 √ 17 17 2

( √

21 4 2+ √ 21 ¿ √ + ln 2 17 √ 17

(

)

2 4 1+ 17 √ 17

( √ ))

Bernardo Miguel Cuasapaz Quiña 16.7 Integrales de superficie Evalúe la integral de superficie. ❑

17.

∫∫ (x 2 z + y 2 z ¿ )dS ¿ S

S es la semiesfera

x 2+ y 2+ z 2=4 , z ≥ 0

z=√ 4−x 2− y 2 ∂z −x = ∂ x √ 4−x 2− y 2 ∂z −x = ∂ y √ 4−x 2− y 2 ❑

√(

∂ z 2 ∂z 2 + +1 dA ¿ ∂x ∂y

2 −x + √ 4−x 2− y 2

2 −y +1 dA √ 4−x 2− y 2

❑

¿ ∫∫ f ( x . y . z ) dS=¿ ∫∫ f ( x . y . g (x , y ) ) S

D

❑

¿ ∫∫ ( x 2 + y 2) √ 4−x 2− y 2 D

❑

¿ ∫∫ ( x 2 + y 2) √ 4−x 2− y 2 D

❑

2

2

2

¿ ∫∫ ( x + y ) √ 4−x − y

2

D

❑

¿ ∫∫ ( x 2 + y 2) √ 4−x 2− y 2 D

❑

¿ 2∫∫ ( x 2+ y 2) dA D

2π 2

¿ 2 ∫ ∫ ( r 2 ) (r )drdθ 0 0

2π 2

¿ 2 ∫ ∫ r 3 drdθ 0 0 2π

¿2

2

( )( ) [ ] [ ] [ ] ∫ dθ ∫ r 3 dr 0

¿2 θ

0

2π 0

¿ 2[2 π ]

r4 4

24 4

2

0

√(

)(

)( )

√ √

x2 y2 + +1 dA 4−x 2− y 2 4−x 2− y 2

√

4 dA 4−x 2− y 2

x 2+ y 2+(4−x 2− y 2 ) dA 4−x 2− y 2

)

¿ 2 [ 2 π ][ 4 ] =16 π