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• Paula Garcia

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Ejercicio ley de ampere

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FUENTES DE CAMPO MAGNETICO  9.1 INTRODUCCION En el capitulo anterior se hizo un estudio de las fuerzas que ejercen los campos magnéticos sobre las cargas móviles y sobre los conductores que transportan corriente. En este capitulo se le va a dar énfasis especial a las corrientes eléctricas como fuentes de campo magnético. En 1819 Oesterd descubrió que, cuando colocaba una brújula cerca de un alambre conductor, la aguja se desviaba cuando pasaba una corriente eléctrica por el alambre.  De esta forma se supo que la corriente eléctrica era la fuente de un campo magnético capaz de producir un torque sobre la aguja de una brújula. Esta observación de Oesterd era la primera experiencia que indicaba una conexión entre la electricidad y el magnetismo, que antes de esta experiencia se habían considerados como eventos separados, sin ninguna relación. Inmediatamente después de que Oesterd descubriese que la corriente eléctrica es una fuente de campo magnético, los experimentos que llevaron a cabo André  Marie Ampère (1775-1836), Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) dieron lugar a lo que en la actualidad se conoce como la ley de Biot-Savart, que determina el campo magnético creado en un punto del espacio por una corriente eléctrica o por distribuciones de corrientes eléctricas. En este capitulo con el formalismo de Biot-Savart y el principio de superposición se calculan diversos campos magnéticos para diferentes geometrías. Luego, se muestra como determinar la fuerza entre dos conductores y por ultimo llegar a la ley de Ampère y aplicarla a diferentes configuraciones simétricas de corriente. 9.2 LEY DE BIOT-SAVART. A partir del estudio experimental de los campos magnéticos en la proximidad de circuitos de diversas formas, los físicos franceses Biot y Savart dedujeron, una formula que permite calcular, salvo dificultades matemáticas el campo 

 de un circuito cualquiera.

 

El campo magnético producido por un elemento de corriente de un circuito de forma arbitraria como el de la figura 9.1, se puede concebir dividido en elementos de longitud dl, uno de los cuales se ha representado en la figura.  Por el momento el resto del circuito puede ser de forma cualquiera, pues un único elemento de corriente aislado no existe en una corriente estacionaria; la carga debe entrar por un extremo y salir por el otro.  Las cargas móviles del elemento crean un campo en todos los puntos del espacio y, en un punto P dado, el campo del circuito completo es el resultante de los campos infinitesimales de todos los elementos del circuito.  La dirección y sentido del campo 

,

 

creado en los puntos P y Q por el elemento de longitud dl, se muestra en la figura,     apunta hacia afuera del papel en P que se representa como    y hacia adentro del papel en Q que se representa como .   El vector 

 se encuentra en un plano perpendicular a dl y es asimismo

 

perpendicular al plano determinado por el vector   , dirigido en la dirección de la corriente y el vector    que une a dl con el punto P o con el punto Q.  La ley de Biot-Savart para el campo producido por el elemento infinitesimal es

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La dirección está dada por el producto vectorial 

 y su sentido dado por la regla de la mano

 

derecha.  Es decir, cuando los dedos de la mano derecha se curvan desde el vector  vector unitario 

, el dedo pulgar señala la dirección de 

.   En magnitud el valor de dB es

 

donde  es el ángulo que forma el vector 

 

con el vector 

.  La constante 

 

 

la constante de permeabilidad magnética del vacío y es análoga a  a la conexión entre electricidad y magnetismo,  de 

 y 

 

hacia el

 

 se conoce como

 

 en la electrostática.  Debido

 

 están relacionados entre si.  El valor

 

 en unidades SI es

 

. 

 

La ecuación 9.1 debe ser integrada a lo largo de la línea que sigue la distribución de corriente.  Por tanto, el campo magnético en un punto P cualquiera es la superposición lineal de las contribuciones vectoriales debidas a cada uno de los elementos infinitesimales de corriente, y se da como:

9.3

Esta ecuación se aplica como ejemplo a varios arreglos geométricos importantes. Ejemplo 1.  La figura 9.2 muestra un alambre recto y delgado de longitud L que conduce una corriente constante I y que se coloca a lo largo del eje x.  Hallar el campo magnético para un punto P cualquiera.

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La figura 9.2 a) muestra un elemento típico de corriente   , y un punto P del espacio que se encuentra a una distancia R perpendicular al alambre y con un vector de posición  sigue:

.  El campo 

 se obtiene de la ecuación 9.1 como

 

 

 

Ahora bien, x,  y r no son independientes, sino que están relacionadas según el triangulo de la figura 9.2 a) por las expresiones

             

  

 

Por lo que

  Integrando esta última expresión entre 

, como se muestra en la figura 9.2b) se tiene

 

                             9.4

 

Con este resultado se puede encontrar el campo magnético de cualquier alambre recto si se conoce su geometría y por tanto los ángulos 

.

 

Los casos especiales que se pueden considerar para este ejemplo son: a) Para la figura de la derecha  tanto la ecuación 9.4 se transforma como

.  Por lo

 

 

     

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b)  Si en el caso anterior,  largo es:

c) Para la figura de la derecha 

 , o, 

, se tiene que el campo magnético para este alambre

 

 

 

.

 

 Por lo tanto la ecuación 9.4 se transforma como

Ejemplo 2.  Una espira cuadrada de lado a, lleva una corriente I como en la figura 9.3.   Encontrar el campo magnético en el centro de la espira. 

De acuerdo como esta circulando la corriente en la figura y la regla de la mano derecha,  el campo magnético   entra al plano del papel.  Dirección que es en  coordenadas de la figura.

 de acuerdo al sistema de

 

El campo producido por uno de los alambres se halla usando la ecuación encontrada en el numeral a) del ejemplo 1.  Se hace 

, por lo que el campo es

 

Ejemplo 3.  Utilizando el resultado obtenido en el caso c) del ejemplo1, calcular el campo  punto P para el circuito que se muestra en la figura 9.4.

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 en el

 

Los  campos magnéticos producidos por los elementos rectilíneos del circuito que van de 1 a 2 y de 4 a 5 son cero.   Puesto que para un elemento dl de cada uno de ellos se tiene

Para hallar el campo magnético en magnitud y dirección en el punto P de los demás elementos,  se usa el resultado obtenido en el caso c) y la regla de la mano derecha.   En el resultado obtenido en el numeral c) del ejemplo 1 simplemente se reemplaza L y R.  Por lo tanto

El campo 

 es entonces

 

 

  Ejemplo 4.  Una espira circular de radio a localizada en el plano yz que conduce una corriente estable I, como se muestra en la figura 9.5.  Hallar el campo magnético en un punto axial P a una distancia x del centro de la espira.

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Como se muestra en la figura, 

 son perpendiculares entre si y la dirección del campo 

 

 producido por este elemento particular,   campo 

 

se encuentra en el plano xy.   En el punto P el

 

es por lo tanto

 

  Donde la magnitud dB del campo debido al elemento 

es

 

La situación tiene una simetría de rotación con respecto al eje x, de modo que no puede haber componentes del campo total   perpendiculares a este eje.  Para cada elemento   existe un elemento correspondiente en el lado opuesto de la espira, con dirección opuesta.   Estos dos elementos simétricamente opuestos producen contribuciones a la componente x de   , pero las componentes perpendiculares de estos dos elementos se anulan por ser opuestos entre si. Al sumar todas las contribuciones del anillo al campo en el punto P, todas las componentes perpendiculares se cancelan y sólo quedan las componentes x.  Para obtener la componente x del campo total 

, se integra la componente dBx.   Por lo tanto

 

Todo en esta expresión es constante, con la excepción de dl, y se puede sacar de la integral, por consiguiente

                                            9.6

 

En el centro de la espira x=0, el campo magnético es

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El resultado obtenido en la ecuación 9.6 se puede expresar de una forma más sencilla en función del momento dipolar magnético  tanto la ecuación 9.6 se escribe como

de la espira.  El área de la espira es 

.   Por lo

 

 

9.8

El valor del campo magnético es máximo en el centro de la espira, para x=0, y decrece con la distancia conforme x se aleja del centro.  Para puntos lejanos, donde  puede aproximar el valor del campo a

, 

, se

 

 

Esta dependencia del campo B con el inverso del cubo de la distancia es característico de un campo dipolar. Una espira de corriente tiene doble dualidad, puede considerarse como un dipolo magnético, que experimenta un torque dado por    cuando se coloca en un campo magnético externo; genera su propio campo magnético el cual esta dado, para puntos en el eje, por las ecuaciones que se acaban de obtener en este ejemplo. Ejemplo 5. Usar la ley de Biot-Savart  para calcular el campo magnético en el punto 0 de un arco circular cualquiera de radio R, corriente I, y que subtiende un ángulo  como el de la figura 9.6.

En  este semicírculo 

 son mutuamente perpendiculares y 

 

.

 

  

9.9

Si el segmento es un circulo de radio a y lleva una corriente I como en la figura 9.5.  Hallar el campo en x=0.

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Para esta situación 

 y la dirección del campo es 

 

.  Con lo que

 

Como era de esperarse de acuerdo a la ecuación 9.7. Ejemplo 6.  Utilizando el resultado obtenido en el ejemplo 5.  Hallar el campo magnético en el punto P para el circuito mostrado en la figura 9.7.

 

El campo magnético producido en P por los  segmentos rectos de 2 a 3 y de 4 a 1 son cero, debido a que para cada segmento el elemento 

es paralelo o antiparale

 

lo a , por lo que 

Para los segmentos de 1 a 2 y 3 a 4 el campo en magnitud en el punto P es el dado por la ecuación 9.9 y la dirección la dada por la regla de la mano derecha. Haciendo  que los campos de los segmentos de arco son:

  El campo total es 

9.3 FUERZAS ENTRE CONDUCTORES PARALELOS. La figura 9.8 a) y 9.9 b)  muestran una porción de dos alambres largos conductores,rectilíneos y paralelos, separados por una distancia d, y que transportan corrientes cuyas intensidades respectivas son I1 y I2, ambas del mismo sentido.

 Puesto que cada conductor se encuentra en el campo magnético creado por el otro, experimenta una fuerza.   La figura 9.9 muestra alguna de las líneas de campo creada por la

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 se tiene

 

corriente I1 y que pasa por el alambre que transporta la corriente I2.  El valor del campo    sobre el alambre de corriente I2  como se muestra en la figura 9.9 b), y de acuerdo con la ecuación 9.7 es

  En virtud de la ecuación 8.15,  la fuerza ejercida sobre la porción de alambre de longitud L que lleva la corriente I2, es

                             

 

El resultado indica que la corriente I1 atrae a la corriente I2 con una fuerza por unidad de longitud de

                                                

 

Si se considera el caso contrario, o sea,  la fuerza    producida por el campo del alambre que lleva la corriente I2 sobre el alambre que lleva la corriente I1 da como resultado una fuerza de igual magnitud y dirección, pero de sentido opuesto y, nuevamente, representa atracción.   Por tanto, se encuentra que “conductores paralelos que conducen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí con una fuerza inversamente proporcional a su separación, como resultado de su interacción magnética, en tanto que conductores paralelos que conducen corrientes en direcciones opuestas se repelen entre sí”. La atracción o la repulsión entre dos conductores rectos y paralelos por los que circulan corrientes es la base de la definición oficial del ampere en el SI. “Un ampere es la corriente que al pasar a la vez por dos alambres largos (infinitos), rectos y paralelos, separados una distancia de 1m, produce sobre cada una fuerza por unidad de longitud de exactamente 2x10-7Nm-1. Como consecuencia de la definición de la unidad de corriente podemos dar una nueva definición de la unidad de carga: “Se define el culombio como la cantidad de carga que pasa en un segundo por un punto de un circuito en el que existe una corriente estacionaria de un amperio. Este procedimiento de medir y definir primero la unidad de corriente y a partir de allí definir la unidad de carga, se debe a que resulta experimentalmente mucho más fácil y fiable medir la fuerza magnética entre corrientes que la fuerza eléctrica entre cargas.  El instrumento completo capaz de medir corrientes con un alto grado de precisión se conoce como balanza de corriente. Ejemplo 7.  Dos largos alambres paralelos, cada uno con una masa por unidad de longitud  , se soportan en un plano horizontal por cuerdas de longitud b, como se ve en las figuras 9.10 a) y b).  Cada alambre conduce la misma corriente I, lo que ocasiona que se repelan entre sí de tal modo que el ángulo entre las cuerdas de soporte es  .   Determinar la magnitud de cada corriente. De acuerdo al enunciado del problema I 1=I2=I y apuntan en sentido contrario, por lo que la fuerza magnética    es la fuerza de repulsión que ejerce el alambre que lleva la corriente demarcada como I1 sobre el alambre que lleva la corriente I2. En la figura 9,10 b) se muestran las fuerzas que actúan sobre el alambre 2 de longitud arbitraria L para que el sistema se encuentre en equilibrio.

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  La fuerza neta sobre el alambre 2 es

En componentes cartesianas es

  La relación 

 es

 

  La separación entre los alambres es conocida y está dada por   que el sistema este en equilibrio es

.  La corriente para

 

LEY DE AMPERE. Poco después de los descubrimientos de Oesterd,  de Biot y de Savart, Ampère encontró una relación útil entre las corrientes eléctricas y los campos magnéticos.  Esta relación se puede aplicar en situaciones de una alta simetría para encontrar el campo magnético con más facilidad que haciendo los cálculos con la ley de Biot-savart.  En cualquier caso, el resultado es el mismo.  A este respecto, utilizar la ley de Ampère es algo semejante a encontrar el campo eléctrico usando la ley de Gauss mejor que la ley de Coulomb.  En casos de la falta de simetría apropiada, la ley de Ampère no es fácil de aplicar.  Siempre es válida, aun cuando la ley de Biot-Savart es necesaria algunas veces para cálculos del campo magnético. La ley de Ampère se puede deducir para el caso especial del campo creado por uno o más conductores paralelos.   La figura 9.11 muestra un plano normal a un alambre conductor largo que

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transporta una corriente de intensidad I.  El vector campo magnético   en un punto cualquiera está en el plano de la figura y es perpendicular al vector   que va desde el conductor al punto.  El valor de 

en magnitud debido al alambre conductor en ese punto y dado por la ecuación 9.5 es

 

 El vector 

 forma el ángulo  con un elemento 

 

de una trayectoria cerrada que rodea al

 

conductor, y la componente de    en la dirección de    es  pequeño “triangulo” rectángulo cuya hipotenusa es dl, se deduce que

.  Sí se considera el

 

,

 

o bien, . 

 

Por tanto,  

 

 

La integral curvilínea de 

 a lo largo de la trayectoria cerrada de la figura 9.11 es

 

 ya que el ángulo  se incrementa en 2 cuando se recorre una vez la trayectoria.

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La integral curvilínea no depende de la forma de la trayectoria ni de la posición del conductor respecto a esta.   Si la corriente en el alambre es opuesta a la que semuestra en la figura, la integral tiene el signo opuesto.  Pero si la integral no contiene al alambre, el cambio neto en  alrededor de la trayectoria es 0;   , ya que el valor de  será el mismo al comienzo y al final de cualquier recorrido completo sobre la trayectoria.  Por tanto, si hay presentes otros conductores que no atraviesan una trayectoria dada, estos pueden contribuir al valor de  cada punto, pero las integrales curvilíneas de sus campos son nulas.

 en

 

Si varios conductores rectilíneos atraviesan la superficie limitada por la trayectoria, la integral curvilínea es igual a la suma algebraica de las corrientes dada por

Al calcular esta suma se utiliza la regla de signos para las corrientes que, en nuestro caso es negativa para corrientes entrando y positiva para corrientes saliendo. La sumatoria en la ecuación 9.13 se puede sustituir por I neta, que es la suma de las corrientes contenidas en la trayectoria de integración o encerradas por ella. La suma se estima utilizando la regla de signos que se acaba de describir, por  ejemplo para la figura 9.12 es

  La sumatoria solamente incluye las corrientes encerradas.  Para el caso ilustrado en la figura 9.12, las corrientes I4 e I5 no están encerradas por la trayectoria y por lo tanto no se incluyen en la suma. El signo de cada corriente se determina mejor utilizando la regla de la mano derecha, que se puede enunciar como sigue: “Se curvan los dedos de la mano derecha de forma que sigan la dirección de integración a lo largo del camino cerrado; el pulgar extendido como se muestra en la figura a) señala el sentido de la corriente que contribuye positivamente”.

El enunciado de la ley de Ampère es entonces

                                                 

 

Aunque la ecuación 9.14 se dedujo para el caso especial del campo creado por cierto número de conductores rectilíneos paralelos, la ley de Ampère se cumple para conductores y trayectorias de

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forma cualquiera.  La deducción general no es muy diferente de la deducción anterior, pero resulta más complicado geométricamente. La ecuación 9.14 también se puede expresar en términos de la densidad de corriente  simetrías radiales  se expresa como

 y para

 

                                            

 

Como aplicación de la ley de Ampère se presentan algunos ejemplos. Ejemplo 8.  Utilizar la ley de Ampère para encontrar la magnitud y dirección del campo    en el punto P a una distancia r, producido por un alambre conductor largo y recto por el que circula una corriente I. Como se ilustra en la figura 9.13 b), se elige como trayectoria, llamada  amperiana  un circulo de radio r.   A partir de la simetría del problema, 

 depende únicamente de r.  La elección de esta

 

línea amperiana permite deducir que la magnitud de  trayectoria.

 es constante en todos los puntos de la

 

De acuerdo con la ecuación 9.14

La integral dl a lo largo de la trayectoria es simplemente   , la longitud del circulo amperiano.  El lado derecho corresponde a la corriente encerrada por la trayectoria y es positiva de acuerdo con la regla de la mano derecha.  La ley de Ampère da

o sea

  Para cualquier punto a una distancia r del alambre conductor. Para el punto P y de acuerdo al sistema de coordenadas de la figura 9.13 b) el vector campo 

 es

 

  Este resultado es idéntico a la ecuación 9.5, un resultado que se obtuvo con mucho más esfuerzo usando la ley de Biot-Savart. Ejemplo 9.  Por un conductor cilíndrico largo de radio R como el de la figura 9.14 a) circula una corriente I.  La corriente está uniformemente distribuida sobre el área transversal del

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conductor.  Hallar el campo magnético  para puntos  rR y r R.

 en función de la distancia r desde el eje del conductor

 

La figura b) muestra una línea amperiana para rR. En la figura se observa que    es tangente a la trayectoria y se pueden usar los mismos argumentos de simetría usados en la parte anterior, por lo tanto la ley de Ampere para esta trayectoria es

  El lado izquierdo de la ecuación anterior se puede escribir como

  y se obtiene

  Para determinar    se debe tener en cuenta que solo una parte de la corriente I está encerrada por la trayectoria.  Como la corriente está uniformemente distribuida en toda la sección transversal del alambre, la densidad de corriente es  de la línea amperiana tiene un área de 

.   La sección transversal que queda dentro

 

, la corriente 

 encerrada es

 

 

 

Sustituyendo este resultado en la expresión para el campo se obtiene

   o usando la notación 

 

 para rR 

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De acuerdo con la ecuación anterior el campo magnético es cero en el eje del cilindro, y aumenta linealmente con la distancia r al eje, siendo su valor máximo en la superficie del alambre 

.

 

Para r R el resultado es el mismo que el obtenido en el ejemplo 8, usando la notación  r R, el campo es

 

 para

De hecho, el campo magnético fuera de cualquier distribución de corriente con simetría cilíndrica es igual como si la corriente completa estuviera concentrada a lo largo del eje de la distribución. Debe observarse que en la superficie del conductor (r=R), la ecuación para rR, y la ecuación para r R, concuerdan como debe ser. En la figura 9.15 se muestra una gráfica de B en función de r, dentro y fuera del conductor.

Ejemplo 10.  Un alambre cilíndrico largo de radio R como el de la figura 9.14 tiene una densidad de corriente    para    y J(r)=0 para   , donde r es la distancia desde un punto de interés hasta el eje central que pasa a lo largo del alambre.  Encontrar a) el campo magnético para  rR y r R.   b)  Hallar la posición donde la intensidad del campo magnético es un máximo, y el valor del máximo campo. La corriente para cualquier r dentro del cilindro esta dada por

  a)  El campo 

 para rR se obtiene de la ley de Ampère usando  

 para rR 

 

 

y la figura 9.14 b).  Donde

 

  por lo tanto 

es

 

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El campo 

 para 

 

se obtiene de la ley de Ampère usando  

 

 para 

 

y la figura 9.14 b).  Donde

por lo tanto 

es

 

b) Se toma 

  y se halla la posición donde 

 es máximo.

 

  por lo que 

es

 

  Se observa que

 puesto que

         y         

 

9.5 

 PARA UN SOLENOIDE.

 

Una importante configuración de corriente es la de un solenoide, el cual es un enrollado helicoidal que lleva una corriente I. En la figura 9.16 se ilustra el campo alrededor de un solenoide enrollado

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flojamente y su comportamiento es similar al del dipolo magnético.  El campo magnético del solenoide es la suma vectorial de los campos debido a cada espira casi circular que comprende el solenoide. Cuando la bobina está bien comprimida, el solenoide se asemeja a una corriente que fluye en forma cilíndrica.  A medida que el solenoide se enrolla más apretadamente y su longitud se hace grande se tiene el caso de un solenoide ideal.  En este caso, el campo magnético en el interior es uniforme y paralelo a su eje, y en el exterior el campo es aproximadamente cero.

 Para hallar la magnitud del campo magnético dentro de un solenoide ideal se aplica la ley de Ampère.  En la figura 9.17 se ilustra un corte de un solenoide muy largo y una línea amperiana dada por la trayectoria rectangular abcd.

La integral a lo largo de este camino cerrado es igual a la suma de las integrales a lo largo de cada una de esos segmentos rectos:

Las integrales a lo largo de los segmentos  bc y da son cero por ser    y    vectores perpendiculares entre si.  A lo largo de la trayectoria cd, que incluye la parte del rectángulo que está fuera del solenoide, la integral es cero puesto que  exteriores de un solenoide ideal.  Por lo tanto

 vale cero para todos los puntos

 

Para un solenoide con n espiras por unidad de longitud, el número de espiras encerradas es nh.  Como cada una de estas lleva una corriente I, la corriente neta encerrada por la trayectoria rectangular es   Por lo tanto

o sea,                                                   

 

y es independiente de la posición dentro del solenoide.  Es decir, cerca del centro de un solenoide largo el campo magnético es uniforme. En ocasiones también se utiliza el solenoide toroidal, o toroide, formado por una bobina de longitud finita doblado en forma de rosca que consta de N espiras

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como en la figura 9.18.   El campo magnético que crea un toroide ideal es cero en el exterior y por simetría, las líneas de campo 

en su interior son líneas concéntricas.

 

 Para hallar el campo    en su interior se aplica la ley de Ampère a una trayectoria circular de integración de radio r como en la figura.

o sea,   De la expresión anterior se despeja

                                                  

 

En contraste con el solenoide, 

 no es constante en toda la sección transversal del toroide.

 

Si la sección transversal del toroide es lo suficientemente pequeña, se pueden despreciar las variaciones de r y considerar a   como la longitud del toroide, de donde  número de espiras por unidad de longitud.  Resulta así,

 es el

 

  semejante al campo de un solenoide ideal. El solenoide (toroide) es una manera práctica de establecer un campo magnético uniforme conocido para experimentar, así como un condensador de placas paralelas es una manera práctica de producir un campo eléctrico uniforme conocido.   9.6 LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO. El flujo magnético a través de una superficie cualquiera está dada por

                                                      

 

  La unidad SI de flujo magnético es el weber (Wb), de manera que 

 .

Experimentalmente se ha mostrado que no puede haber monopolos magnéticos en la naturaleza. La formulación magnética de este hecho se conoce como la ley de Gauss para el magnetismo, que se escribe como

                                                

 

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La ecuación 9.19 establece que el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre cero. Se nota la semejanza de esta ecuación con la ley de Gauss para la electricidad dada por

La forma de la ley de Gauss muestra que en electrostática la carga eléctrica es la fuente del campo eléctrico.  De hecho, la fuente más simple de campo eléctrico es una carga puntual. La ecuación 9.19 muestra que no hay contrapartida magnética a la carga eléctrica.  Si existiese a lo que se podría llamar una carga magnética, esta correspondería a un monopolo magnético, es decir un polo magnético aislado (por ejemplo un polo norte magnético aislado). Por ahora no se ha confirmado la existencia de tales monopolos.  Si los monopolos magnéticos no existen, las fuentes más simples de campo magnético son los dipolos magnéticos. La inexistencia de cargas magnéticas puede también ser ilustrada mediante las líneas de campo magnético.  Las líneas que representan el campo magnético    siempre se cierran sobre sí mismas, de forma que no tienen ni principio ni final.  Una barra de imán como la figura 9.19, que posee un momento dipolar magnético, tiene un polo norte en uno de sus extremos y un polo sur en el extremo opuesto.

 En la figura se representan las líneas de campo del imán, y se observa que las líneas se cierran sobre si mismas, así que el flujo magnético a través de cualquier superficie que encierre el imán será cero.

9.7 CORRIENTES DE DESPLAZAMIENTO Y LA LEY DE AMPERE. El uso de la ley de Ampère, dada por la ecuación 9.14, ha estado limitada hasta ahora a condiciones de régimen constante.  En realidad existen otros tipos de  corrientes que no presentan régimen constante y no se pueden contemplar en la forma dada por la ley de Ampère, por lo que esta debe ser modificada para darle un carácter más general.  Esta generalización fue descubierta por el físico escocés James Clerk Maxwell  (1831-1879).  Para ilustrar por qué es necesaria esta modificación se puede considerar el siguiente ejemplo. Se carga un condensador con una corriente I, como se muestra en las figuras 9.20.  Se aplica  la ley de Ampère a la trayectoria indicada por L.  En el lado derecho de la ecuación 9.14, I es la corriente que cruza el área semicircular S1 limitada por L  como se ve en a).  Por otro lado,  como se muestra en la figura b) si se construye una superficie plana S 2, entonces la corriente I=0 (ninguna corriente pasa a través de ella).  Esto es por supuesto una contradicción: el lado derecho de la ecuación de la ley de Ampère no debe depender de las superficies escogidas.

 Obviamente, esta dificultad se debe a que la corriente no es continua, esta termina bruscamente en la placa izquierda del condensador y comienza de nuevo en la placa derecha. Conforme se carga el condensador hay una acumulación de carga en la placa que esta encerrada por las

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superficies S.  Por conservación de la carga, la rapidez con que se acumula la carga en la placa del condensador es igual a la corriente que atraviesa la superficie S1, por lo que la corriente enlazada por el camino cerrado parece depender de la superficie elegida.  La modificación de Maxwell a esta inconsistencia,  consiste en considerar una corriente imaginaria equivalente que atraviesa la superficie S 2, de manera que la corriente encerrada por el camino cerrado sea igual para cualquiera de las superficies limitadas por este.   En la figura c) se muestra el campo eléctrico en la región entre las placas.  Se supone que el espacio entre ellas es vacío y no se presentan deformaciones de las líneas de campo eléctrico.  Entonces

El valor de la carga Q que está en la superficie de la placa, se expresa en términos del flujo del campo eléctrico a través de la superficie S2, como

Como el campo eléctrico existe únicamente en la región entre las placas, este flujo es  .  Por lo tanto Q es

 

  La derivada de esta expresión respecto del tiempo da la corriente I, la cual está relacionada con la derivada respecto del tiempo del flujo del campo eléctrico a través de la superficie S 2 como:

La corriente I es la corriente que atraviesa la superficie S 1 y el flujo eléctrico es a través de la superficie S2.  A esta corriente I se le conoce como corriente de desplazamiento Id definida como

                                               

 

Se debe recalcar que la corriente I atraviesa la superficie S 1 de la figura b), mientras que la de desplazamiento lo hace a través de S2, por lo que resulta que I=Id. Con este nuevo termino Id se puede expresar la forma generalizada de la ley de Ampère

                                  

 

Ecuación algunas veces llamada de Ampère-Maxwell.  El hecho central de esta ecuación es que los campos magnéticos son producidos tanto por corrientes de conducción I como por variaciones del flujo eléctrico en el tiempo 

.

 

En el capitulo anterior se supuso que no había campos eléctricos cambiantes, de tal manera que el termino 

 en la ecuación 9.21 es cero.  En la discusión que se acaba de hacer se supone

 

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que no hay corrientes de conducción entre las placas del condensador, pero si un campo eléctrico debido a las cargas en las superficie de las placas conductoras.  Así pues, el término I en la ecuación 9.21 es cero.  Por lo tanto cada situación es un caso especial.

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