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• deily araceli mejia silva

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CAPITULO 12: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA. 40.- La caja desciende por una rampa helicoidal definida por 𝑟 = 0.6 𝑚, 𝜃 = (0.4𝑡 2 )𝑟𝑎𝑑, y 𝑧 = (2 − 0.2𝑡 3 )𝑚, donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la caja en el instante 𝜃 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑.

SOLUCIÓN: DATOS: 𝑟 = 0.6 𝜃 = (0.4𝑡 2 )𝑟𝑎𝑑 𝑧 = (2 − 0.2𝑡 3 )𝑚 𝜃 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 

Encontramos la primera derivada de 𝑟, 𝜃, 𝑧:

ṙ=0 𝜃̇ =0.8 𝑡 𝑧̇ =-0.6𝑡 2 

Encontramos la segunda derivada de 𝑟, 𝜃, 𝑧:

𝑟̈ =0 𝜃̈=0.8 𝑧̈ =-1.2𝑡 

Igualamos el valor de 𝜃: 0.4𝑡 2 =2𝜋 𝑡2 =

2𝜋 0.4

𝑡 2 = 15.708 𝑡 = 3.963 𝑠



Reemplazando 𝑡 = 3.963 𝑠 en 𝜃̇ , 𝑧̇ , 𝑧̈ : 𝜃̇ = 0.8 𝑡 = 08(3.963) = 3.1704 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑧̇ = −0.6𝑡 2 = −0.6(3.9632 ) = −9.423𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑧̈ = −1.2𝑡 = −1.2(3.963) = −4.756 𝑟𝑎𝑑/𝑠



Calculamos las velocidades: 𝑣𝑟

= 𝑟̇ = 0

𝑣𝜃 = 𝑟𝜃̇=0.6(3.1704)=1.902𝑚/𝑠 𝑣𝑧 =𝑧̇ =-9.423𝑚/𝑠 

Encontramos la magnitud de la velocidad 𝑣 = √(𝑣𝑟 2 ) + (𝑣𝜃 2 ) + (𝑣𝑧 2 ) 𝑣 = √(02 ) + (1.9022 ) + (−9.4232 )

𝑣 = 9.613 𝑚/𝑠



Calculamos las aceleraciones:

𝑎𝑟 =𝑟̈ -𝑟𝜃 2̇ =0 − 0.6(3.17042 ) = −6.031 𝑚/𝑠 2 𝑎𝜃 =𝑟𝜃̈ +2𝑟̇ 𝜃̇=0.6(0.8)+2[0(3.1704)] = 0.48 𝑚/𝑠 2 𝑎𝑧 =𝑧̇ =−4.756 𝑚/𝑠 2 

Encontramos la magnitud de la aceleración: 𝑎 = √(𝑎𝑟 2 ) + (𝑎𝜃 2 ) + (𝑎𝑧 2 ) 𝑎 = √(−6.0312 ) + (0.482 ) + (−4.7562 ) 𝑎 = 7.696 𝑚/𝑠 2