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• EdFreddy PGarcía

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica

Fundamentos de Transferencia de Calor y de Masa/ Incropera/ 6º edición Problema 4.35: Un dispositivo electrónico, en la forma de un disco de 20 mm de de diámetro, disipa 100 W cuando se monta a ras en un bloque de aleación de aluminio (2024) de gran tamaño cuya temperatura se mantiene a 27°C. La disposición de montaje es tal que una resistencia de contacto de R”t.c=5x10-5m2.K/W existe en la interfaz entre el dispositivo y el bloque. Aire

,h

Dispositivo electrónico, Td, P

Bloque de Aluminio, Tb

Epoxy, Rtc

a) Calcule la temperatura que el dispositivo alcanzará, asumiendo que toda la energía generada por el dispositivo debe ser transferido por conducción al bloque.

Aletas Pin (30), D=1.5mm L=15mm

Aire

,h

Cobre, espesor 5mm Dispositivo electrónico

Bloque de Aluminio, Tb

Epoxy, Rtc

b) Para hacer funcionar el dispositivo a un nivel de potencia más alto, un diseñador de circuitos propone adjuntar un disipador de calor con aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas de patillas y material de base se fabrican de cobre (K=400W/m.K) y están expuestos a una corriente de aire a 27°C para el cual el

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coeficiente de convección es 1000 W/m2.K. Para la temperatura del dispositivo obtenida en de la parte (a), ¿cuál es la potencia de funcionamiento admisible?  Datos: - Diámetro de disco: D = 20mm - Calor disipado: ̇ -

Aleación de Aluminio (2024) de tabla Temperatura de la superficie de aluminio: Resistencia de contacto: De las aletas: Temperatura del aire que lo rodea: Coeficiente de convección:

 Incógnitas: a) La temperatura en la superficie del dispositivo electrónico b) Calcular la potencia que se puede disipar en el sistema  Esquema para solución a)

Analógicamente a los circuitos eléctricos, tenemos: Donde: T1 es la temperatura en la superficie del dispositivo. R1 es la resistencia de contacto. R2 es la resistencia a la conducción entre el disco y la superficie de aluminio. T2 es la temperatura en la superficie de aluminio. Suponiendo que la temperatura en la superficie es mayor que la temperatura del aluminio, existe un flujo de calor desde esta

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superficie, al bloque de aluminio, como se muestra en el esquema. Y despreciando la convección, todo el calor entregado 100W se transfiere al bloque. b)

̇

̇

̇

̇

De la superficie 1 fluye calor al ambiente a través la superficie de cobre con paletas. Entonces tenemos transferencia de calor por conducción desde la superficie 1 hacia la superficie 2, y luego una parte del calor es transferida por convección directa al ambiente, mientras la otra parte es trasferida a través de las aletas.

 Hipótesis: -

Material homogéneo isotrópico y opaco Régimen estable Propiedades físicas constantes Flujo bidimensional La temperatura en el dispositivo es uniforme Geometría conocida En a) todo el calor generado es transferido por conducción al aluminio (despreciamos la convección)

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 Ecuaciones y formulismo: De la conducción tenemos: ̇ Resistencia térmica a la conducción: ̇ ̇ Asociación de resistencias térmicas: ̇

∑

Factor de forma ̇

Transferencia de calor por convección: ̇ Resistencia térmica a la convección: ̇  Remplazo de datos y respuesta: a) Para la convección y poder aplicar la ecuación de Euler, notamos que es necesario conocer el espesor del disco. ̇ El cual desconocemos, entonces tendríamos 2 incógnitas y una sola ecuación, lo cual no nos lleva a nada. Pero, al ser flujo bidimensional y con geometría conocida, podemos utilizar lo conocido con factor de forma (shape factor S), que nos da el flujo de calor y también la resistencia a la conducción en dos dimensiones, ya dado en tablas.

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Para el ejemplo que tenemos, coincide con el Caso 10, de donde tenemos que el factor de forma es S=2D. Entonces podemos calcular la resistencia, a través del factor de forma:

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Ahora, la resistencia de contacto de dato, está dada en términos de metros cuadrados, entonces dividiendo entre el área en contacto tenemos:

Ahora en la formula de la asociación de resistencias térmicas, ̇

∑

b) Necesitamos calcular cuánto calor por unidad de tiempo es disipado por el sistema de aletas que se agrego. Entonces utilizando el análisis de circuito eléctrico, necesito las resistencias térmicas. Sabemos por conservación de energía que el calor que ingresa a la superficie de temperatura es igual a la que sale de esta superficie. ̇

̇

̇

̇

Siendo la convección 1, al calor que se pierde por la superficie sin aletas, la convección, el calor disipado a través de las superficies de las aleta. ̇ Despejando: ̇ ̇

̇

Despejando: ̇

̇

Donde:

N: numero de aletas : el área para la conducción

: es el área libre de aletas

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: es el área superficial de las aletas

: es la eficiencia para esta aleta, la cual la determinamos por el método grafico, del siguiente grafico: Con

,

,

,

, tenemos:

√

Entonces la eficiencia de la aleta es aproximadamente:

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Ahora, sumando (1) y (2) tenemos: ̇

( ̇

̇(

̇

)

)

Despejando tenemos: ̇ (

)

̇ (

) ̇

Entonces, sumando las potencias, tenemos la potencia final total: ̇

̇

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 Grafica de variables:

Temperatura en la superficie del dispositivo vs Diámetro del disco

Donde claramente apreciamos que si el diámetro del disco aumenta, la temperatura en su superficie va disminuyendo. En esta grafica, el diámetro (eje x) está dado en metros. Para nuestro caso le corresponde x= 0.02m, pero al fotografiar la grafica en ese rango, no se aprecia mucho el comportamiento de la curva, porque en ese tramo, para 57.04ºC; es practicamente vertical.

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̇ vs N En este caso, estamos haciendo variar el numero de aletas, manteniendo todo lo demás constante en la ecuación (3). Vemos como se relaciona la potencia disipada por conveccion a traves de las aletas al ambiente. Claramente vemos que conforme aumenta numero de aletas con la geometria dada geometria, la transferencia de calor tambien aumenta.

Potencia transferida (W) Vs. Eficiencia de las aletas (%) En este caso, estamos haciendo variar la eficiencia, manteniendo todo lo demás constante en la ecuación (3), y podemos ver como aumenta la potencia, conforme aumenta la eficiencia.

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 Comentario de la solución e implicancias físicas:  Para calcular la temperatura en la superficie del dispositivo, no se pudo utilizar la ecuación de Euler para la conducción del calor, ya que no contamos con un espesor del disco, pero por tratarse de flujo bidimensional de calor, pudimos utilizar el factor de forma que se acomodaba a nuestro caso, y así facilitar la solución.  También hay que tener en cuenta que para determinar la temperatura, despreciamos el fenómeno de convección entre el disco y en ambiente.  Para la grafica, tomamos un intervalo grande de diámetro, para poder apreciar el comportamiento de la función.  Para la segunda parte, tenemos conducción y convección, para lo cual utilizamos el método análogo a circuitos eléctricos. Calculamos las resistencias térmicas correspondientes.  En el caso de la aleta, utilizamos la grafica que le correspondía para determinar el valor aproximado de su eficiencia, y así aligerar el cálculo en el problema.  Finalmente, obtenidas todas las resistencias terminas necesarias, utilizando la ecuación adecuada, logramos determinar la potencia disipada por el equipo de cobre adicionado al disco.  Para las graficas, hice depender la potencia disipada de la eficiencia de la aleta en un caso, y en el otro caso del número de aletas que hay en el equipo añadido.

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