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• carlo

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Ejercicio 6.17 Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, determine la anchura mínima requerida b, si se sabe que para el grado de madera utilizado, 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 12𝑀𝑃𝑎 y 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 825𝑘𝑃𝑎.

Figura : Figura para ejercicio 6.17 Para obtener la anchura mínima de (b) se debe calcular el momento flector y el cortante para el siguiente problema, para ello se calcula primero las reacciones en los apoyos:

Figura : Reacciones en los apoyos. Realizamos las sumatorias de fuerzas en el eje y de momentos en el punto A. +↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 − 2.4 − 4.8 − 7.2 = 0 𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 − 14.4 = 0 𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 = 14.4 +↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 −2.4(1) − 4.8(2) + 𝐷𝑦(3) − 7.2(3.5) = 0 −2.4 − 9.6 + 𝐷𝑦(3) − 25.2 = 0 𝐷𝑦(3) − 37.2 = 0 𝐷𝑦 = 𝑫𝒚 = 𝟏𝟐. 𝟒𝒌𝑵 [1]

37.2 1.8

El resultado que obtuvimos de la reacción 𝐷𝑦 reemplazamos en la ecuación anterior y tendremos el valor de 𝐴𝑦: 𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 = 14.4 𝐴𝑦 + 12.4 = 14.4 𝐴𝑦 = 14.4 − 12.4 𝑨𝒚 = 𝟐𝒌𝑵 [2] En los siguientes puntos se va a analizar el cortante y el momento flector para obtener su diagrama respectivo.

Figura : Punto de la viga a analizar

Para la sección A-B

Figura : Cortante y momento de la sección A-B

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴𝑦 − 𝑣 = 0 2−𝑣 =0 𝒗 = 𝟐𝒌𝑵 [3] Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↓↑ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 +

+↺ ∑ 𝑀1 = 0 𝑀 − 𝐴𝑦(𝑥) = 0

𝑴 = 𝟐𝒙 [4] Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↺↻ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 +

Para la sección A-C

Figura : Cortante y momento de la sección A-C

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴𝑦 − 2.4 + 𝑣 = 0 2 − 2.4 + 𝑣 = 0 𝒗 = 𝟎. 𝟒𝒌𝑵 [5] Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↑↓ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 − +↻ ∑ 𝑀2 = 0 𝐴𝑦(𝑥) − 2.4(𝑥 − 1) + 𝑀 = 0 2𝑥 − 2.4𝑥 + 2.4 + 𝑀 = 0 −0.4𝑥 + 2.4 + 𝑀 = 0 𝑴 = 𝟎. 𝟒𝒙 − 𝟐. 𝟒[6] Para valores entre 1< x < 2 Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↻↺ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 −

Para la sección A-D

Figura : Cortante y momento de la sección A-D

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴𝑦 − 2.4 − 4.8 + 𝑣 = 0 2 − 2.4 − 4.8 + 𝑣 = 0 𝒗 = 𝟓. 𝟐𝒌𝑵 [7] Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↑↓ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 − +↻ ∑ 𝑀3 = 0 𝐴𝑦(𝑥) − 2.4(𝑥 − 1) − 4.8(𝑥 − 2) + 𝑀 = 0 2𝑥 − 2.4𝑥 + 2.4 − 4.8𝑥 + 9.6 + 𝑀 = 0 −5.2𝑥 + 12 + 𝑀 = 0 𝑴 = 𝟓. 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 [8] Para valores entre 2< x < 3 Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↻↺ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 − Para la sección D-E

Figura : Cortante y momento de la sección D-E

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑣 − 7.2 = 0 𝒗 = 𝟕. 𝟐𝒌𝑵 [9] Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↓↑ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 + +↺ ∑ 𝑀3 = 0 −𝑀 − 7.2(3.5 − 𝑥) = 0 −𝑀 − 25.2 + 7.2𝑥 = 0 𝑴 = 𝟕. 𝟐𝒙 − 𝟐𝟓. 𝟐 [10] Para valores entre 3< x < 3.5 Como las flechas tienen el siguiente sentido: ↺↻ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 + Con ayuda de las ecuaciones sacadas anteriormente obtenemos el diagrama del momento flector y del esfuerzo cortante presente en la viga de madera Con las ecuaciones: (+)𝒗 = 𝟐𝒌𝑵 [3] (-)𝒗 = 𝟎. 𝟒𝒌𝑵 [5] (-)𝒗 = 𝟓. 𝟐𝒌𝑵 [7] (+)𝒗 = 𝟕. 𝟐𝒌𝑵 [9] Obtenemos el diagrama del cortante presente en la viga

Figura : Diagrama del esfuerzo cortante

Con las ecuaciones: (+)𝑴 = 𝟐𝒙 [4] (+)𝑴 = 𝟎. 𝟒𝒙 − 𝟐. 𝟒 [6] (-)𝑴 = 𝟓. 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 [8] (-)𝑴 = 𝟕. 𝟐𝒙 − 𝟐𝟓. 𝟐 [10] Obtenemos el diagrama del momento flector presente en la viga

Figura : Diagrama del Momento Flector

Por medio de los diagramas y las ecuaciones obtenemos el cortante máximo y del momento flector máximo. Para obtener el momento flector y cortante debemos tomar el valor absoluto del mayor número. 𝑣 = 7.2𝑘𝑁 Reemplazamos con los intervalos ya dados y obtenemos el momento flector o por medio de la gráfica también se lo puede hacer. 𝑀 = 7.2(3) − 25.2 ; para 2