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• Jorge Perez

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5.15 𝑣 = √2𝑔𝐻 ∗ tanh⁡( 𝑚

𝑔 = 9,81 𝑠2

𝑙 = 4⁡𝑚

√2𝑔𝐻 2𝑙

𝑡)

𝑣=5

𝑚 𝑠

𝑡 = 2,5⁡𝑠

𝐻 =?

Solución por el método de bisección

Formulas a utilizar por el método 𝑥𝑟 = ⁡

𝑥𝑙 + 𝑥𝑢 2

𝑠𝑖⁡⁡𝑓(𝑥𝑙 ) ∗ 𝑓(𝑥𝑟 ) > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥𝑙 = 𝑥𝑟⁡ 𝑠𝑖⁡⁡𝑓(𝑥𝑢 ) ∗ 𝑓(𝑥𝑟 ) < 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥𝑢 = 𝑥𝑟 Utilizando la ecuación dada por el problema y acomodando los términos tenemos la siguiente ecuación: 𝑓(𝐻) = √2𝑔𝐻 ∗ tanh (

√2𝑔𝐻 𝑡) − 𝑣 2𝑙

Remplazando los valores iniciales nos queda:

√2 ∗ 9,81 ∗ 𝐻 𝑓(𝐻) = √2 ∗ 9,81 ∗ 𝐻 ∗ tanh ( ∗ 2,5) − 5 2∗4

El intervalo que se va a utilizar estan dados por el problema, en este caso corresponde a los valores de Hl = 0 y Hu = 2; lo siguiente que hacemos es evaluar la función en Hl y Hu:

√2 ∗ 9,81 ∗ 0 𝑓(𝐻𝑙) = √2 ∗ 9,81 ∗ 0 ∗ tanh ( ∗ 2,5) − 5 2∗4 𝑓(𝐻𝑙) = −5

𝑓(𝐻𝑢) = √2 ∗ 9,81 ∗ 2 ∗ tanh (

√2 ∗ 9,81 ∗ 2 ∗ 2,5) − 5 2∗4

𝑓(𝐻𝑢) = 1,019

El siguiente paso corresponde a determinar el valor de Hr: 𝐻𝑟 = ⁡

𝐻𝑙 + 𝐻𝑢 2

𝐻𝑟 = ⁡

0+2 2

𝐻𝑟 = ⁡1

Evaluamos la función en Hr: 𝑓(𝐻𝑟) = √2 ∗ 9,81 ∗ 1 ∗ tanh (

√2 ∗ 9,81 ∗ 1 ∗ 2,5) − 5 2∗4

𝑓(𝐻𝑟) = −1,094

Determinamos el valor del producto f(Hl)*f(Hr) 𝑓(𝐻𝑙 ) ∗ 𝑓(𝐻𝑟 ) = ⁡ −5 ∗ −1,094 𝑓(𝐻𝑙 ) ∗ 𝑓(𝐻𝑟 ) = ⁡5,469

Teniendo estos datos aplicamos la regla para establecer los nuevos valores de ml y mu: 𝑠𝑖⁡⁡𝑓(𝐻𝑙 ) ∗ 𝑓(𝐻𝑟 ) > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐𝑙 = 𝑐𝑟⁡ 𝑠𝑖⁡⁡𝑓(𝐻𝑙 ) ∗ 𝑓(𝐻𝑟 ) < 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐𝑢 = 𝑐𝑟

Así los nuevos valores son: Hl = 1, Hu = 2 y procedemos a realizar la siguiente iteración. Estos pasos se repiten hasta que el error aproximado cumpla con el error deseado que es del 1%; el error aproximado se calcula a partir de la segunda iteración con la siguiente ecuación: 𝐻𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝐻𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = | | ∗ 100 𝐻𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙

Los datos obtenidos se organizaron en la siguiente tabla.

iteración

Hl

Hu

f(Hl)

f(Hu)

Hr

f(Hr)

f(Hu)*f(Hr)

Ea%

1

0,000

2,000

-5,000

1,019

1,000

-1,094

5,469

2

1,000

2,000

-1,094

1,019

1,500

0,071

-0,078

33,333

3

1,000

1,500

-1,094

0,071

1,250

-0,477

0,521

20,000

4

1,250

1,500

-0,477

0,071

1,375

-0,195

0,093

9,091

5

1,375

1,500

-0,195

0,071

1,438

-0,060

0,012

4,348

6

1,438

1,500

-0,060

0,071

1,469

0,006

0,000

2,128

7

1,438

1,469

-0,060

0,006

1,453

-0,027

0,002

1,075

8

1,453

1,469

-0,027

0,006

1,461

-0,010

0,000

0,535

Nota: el error se comienza a calcular desde la segunda iteración ya que en la primera no tenemos un valor anterior para Hr

En la tabla anterior observamos que hasta la iteración 8 se cumplió con el criterio de detención inferior al 1% obteniendo el valor de la carga hidrostática inicial en el tanque siendo H = 1, 461 m

Solución por el método Newton-Raphson Formulas a utilizar 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −

𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′(𝑥𝑖 )

Para la aplicación de esta fórmula necesitamos la derivada de la función f(H) √2 ∗ 9,81 ∗ 𝐻 𝑓(𝐻) = √2 ∗ 9,81 ∗ 𝐻 ∗ tanh ( ∗ 2,5) − 5 2∗4 𝑓′(𝐻) =

2,5 ∗ √19,62 ∗ √𝐻 √19,62 ∗ tanh ( ) + √19,62 ∗ 8 2√𝐻

(2,5 ∗ √19,62)/8 𝑒 2∗(

2,5√𝐻 8

+ 𝑒− 2

2,5√𝐻 8

)2

Para la primera iteración témenos Hi=2, este valor fue escogido de el intervalo que se utilizo en el método anterior, luego evaluamos la función en Hi: √2 ∗ 9,81 ∗ 2 𝑓(𝐻) = √2 ∗ 9,81 ∗ 2 ∗ tanh ( ∗ 2,5) − 5 2∗4 𝑓(𝐻) = 1,019

Posteriormente evaluamos la derivada en Hi: 𝑓′(𝐻1) =

2,5 ∗ √19,62 ∗ √2 √19,62 ∗ tanh ( ) + √19,62 ∗ 8 2√2

(2,5 ∗ √19,62)/8 𝑒 2∗(

2,5√2 8

+ 𝑒− 2

2,5√2 8

)2

𝑓′(𝐻1) = 3,127⁡⁡

El paso siguiente es calcular la división

𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓(𝐻 )

= 𝑓′(𝐻𝑖 ): 𝑓′(𝑥 ) 𝑖

𝑖

𝑓(𝐻1 ) 1,019 = = 0,326 𝑓′(𝐻1 ) 3,127 Teniendo todos los datos procedemos a calcular el siguiente valor de Hi para la segunda iteración: 𝐻𝑖+1 = 𝐻𝑖 −

𝑓(𝐻𝑖 ) 𝑓′(𝐻𝑖 )

𝐻2 = 2 − 0,326 𝐻2 = 1,674 Estos pasos se siguen realizando hasta que se cumpla con el error aproximado inferior al 1%, En este caso se realizaron 5 iteraciones hasta cumplir con la condición. En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos en cada una de las iteraciones: iteración

Hi

f(Hi)

f´(Hi)

f(Hi)/f´(Hi) Ea%

1

2,000

1,019

3,127

0,326

2

1,674

0,421

2,872

0,147

19,470

3

1,528

0,128

2,752

0,047

9,592

4

1,481

0,032

2,713

0,012

3,146

5

1,469

0,007

2,703

0,003

0,793

Como lo muestra la tabla, en la iteración 5 se obtuvo un valor para la carga hidrostática inicial del tanque siendo H= 1,469 m Para este ejercicio se realizaron mas iteraciones con el método de la bisección.