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• Richard HAlvarez

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3.3.1 SISTEMAS CERRADOS: Los sistemas cerrados solo pueden intercambiar con su entorno energía en forma de calor y trabajo, sin transferencia de masa, o sea, sin trabajo de flujo. Estos intercambios de energía se traducen en una variación de la energía interna del sistema (en los sistemas cerrados no se almacena ni energía cinética ni energía potencial). Para un sistema cerrado se tiene: ΔU=Q–W Como no hay trabajo de flujo W se refiere solo a trabajo de frontera: Δ U = Q – ∫12 p*dV → Q = Δ U + ∫12 p*dV Se llama entalpía de un sistema a la cantidad H = U + p*V. La entalpía es una función de estado de gran importancia práctica. Diferenciando la expresión de entalpía y sustituyendo en la expresión de la primera ley de la termodinámica se obtiene: δ Q = dH – V*dp Aplicando el primer principio de la termodinámica a algunos procesos especiales se tiene: Proceso isobárico: W = p*ΔV y por tanto: ΔU = Q – p*ΔV. Proceso isocórico: Como no hay variación de volumen, W = 0 y entonces: ΔU = Q. Proceso isotérmico: Si se considera que U sólo depende de la temperatura, se tiene que ΔU = 0 y entonces: Q = W. Proceso adiabático: Como Q = 0 se tiene: ΔU = -W. Proceso cíclico: Como la energía interna es función de estado, ΔU = 0 y por eso Q = W. 3.3.2 SISTEMAS ABIERTOS: Estos sistemas intercambian energía no sólo en forma de calor y trabajo, sino también en forma de flujo para que entre y salga masa del sistema, y pueden almacenar energía en diversas formas. Por ello, en la formulación matemática de la primera ley de la termodinámica además de los términos empleados para sistemas cerrados, deben considerarse los siguientes: Trabajo de flujo: Wf = Δ(pV). Incremento de energía cinética: Δ EC = Δ (v2 / 2). Incremento de energía potencial: Δ EP = Δ (g*z). Entonces: Δ (U + v2 / 2 + g*z ) = Q – WS - Wf. Donde se agrupan en el miembro izquierdo los términos de almacenamiento de energía y en el miembro derecho los términos de energía en tránsito, desdoblando el trabajo total en el trabajo útil WS y el trabajo de flujo Wf (W = WS + Wf).

Considerando la expresión de trabajo de flujo se puede introducir bajo el signo incremental: Δ (U + p*V + v2 / 2 + g*z ) = Q – WS. Recordando la definición de entalpía se obtiene: Δ (H + v2 / 2 + g*z) = Q – WS Esta ecuación es la expresión de la primera ley de la termodinámica para sistemas abiertos. 3.3.1 EJERCICIO: Se comprime helio en un cilindro equipado con un pistón y una chaqueta de enfriamiento. El helio se comprime desde un volumen inicial de 1 m 3 a 1 atm y 70° C hasta uno final de 0,1 m3 y 70° C. La chaqueta elimina todo el calor resultante de la compresión del helio. Calcule el calor eliminado si la temperatura permanece constante. Sistema: cerrado. ΔU = Q – W; pero ΔU = 0 → Q = W Para un gas ideal: P = n*R*T/V → W = ∫V1V2(n*R*T/V)*dV → W = n*R*T*ln(V2/V1) Como n, R y T son iguales en los estados inicial y final, se puede calcular n*R*T así: n*R*T = 1 atm*1000L = 1000 atm*L → W = 1000 atm*L*ln (1 m3/0,1 m3) = - 2302,58 atm*L El signo negativo se debe a que el trabajo es hecho sobre el sistema. → Q = -2302,58 atm*L*0,0242 kcal/1 atm*L = -55,72 kcal. Respuesta: Q = - 55,72 kcal. 3.3.2 EJERCICIO: Se tiene nitrógeno a una temperatura de 1500° C y 7 atm y éste se expande a través de una turbina hasta una presión de 1 atm. La turbina se diseña de manera tal que los gases salen con gran velocidad. Cuando el flujo de gases es de 50 kg/h la turbina produce 3,5 kW. Las pérdidas de calor en la turbina son de 3000 kcal/h. La tubería que llega a la turbina tiene un diámetro interno de 0,622 pulgadas. La capacidad calorífica de los gases se puede considerar constante e igual a 0,24 kcal/(kg*°C). ¿Cuál es la temperatura y velocidad (en m/s) del gas saliente si la tubería de salida es igual a la de entrada? 1500°C; 7 atm; 50 kg/h 1 atm; Di = 0,622 pul. Di = 0,622 pul.

P = 3,5 kW Q = 3000 kcal/h

Sistema: abierto. Δ (H + v2 / 2 + g*z) = Q – WS pero Δg*z = 0 (Energía potencial despreciable). En la ecuación anterior debe incluirse el flujo másico 50 kg/h el cual se representa con la letra L y tiene el mismo valor a la entrada y a la salida. También debe introducirse el factor de conversión gC para obtener la homogeneidad en las unidades (gC = 1 kg*m/(s2*N)): → Δ(v2/2*gC) + ΔH = (Q – W)/L → v22/(2*gC) – v12/(2*gC) + ΔH = (Q – W)/L

Ecuación (1)

Ahora: L = A1*v1*ρ1 = A2*v2*ρ2 → v2/v1 = (A1*ρ1)/( A2*ρ2) → v2 = (ρ1/ρ2)*v1 Ahora: ρ1 = (P*M)/R*T = (7 atm*28 g*K*mol)/(mol*0.08206*L*atm*1773*K) = 1,347 g/L = 1,347 kg/m3 Y: ρ2 = (1 atm*28*g*K*mol)/(mol*0,08206*L*atm*T 2) = 341,2*g*K/(T2*L) = 341,2*kg*K/ (T2*m3) → reemplazando: v2 = 0,00395*T2*K-1*v1 A1 = π*D2/4 = π*(0,622 pul)2/4 = 0,3039 pul2*(0,0254 m)2/1 pul2 = 0,000196 m2 → v1 = 50 kg*h-1/(0,000196 m2*1,347 kg*m-3) = 189385,3 m/h = 52,6 m/s → v2 = 0,00395*T2*52,6*m*s-1*K-1 = 0,208*T2*m*s-1*K-1 ΔH = cP*ΔT = 0,24 kcal/(kg*K)*(T2 – 1773 K) = 0,24 kcal/(kg*K) – 425,52 kcal/kg Q = - 3000 kcal*h-1 → Q/L = - 3000 kcal*h-1*(1 h/50 kg) = - 60 kcal/kg W/L = 3,5 kW*(1000 W/1 kW)*(1 J*s-1/1 W)*(3600 s/50 kg)*(1 kcal/4185 J) = 60,22 kcal/kg Reemplazando los valores de v2, v1, ΔH, Q/L y W/L en la ecuación (1) se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado: 5,173*10-6*T22 kcal/(kg*K2) + 0,24*T2 kcal/kg – 305,63 kcal/kg = 0 Si T2 está dado en Kelvin, las unidades son homogéneas. Entonces puede resolverse la ecuación 5,173*10-6*T22 + 0,24*T2 – 305,63 = 0 para encontrar el valor de T2. Resolviendo se tiene: T2 = 1239,5 K Y reemplazando este valor en la ecuación de v2 se obtiene: v2 = 257,82 m/s. Respuestas: 1239,5 K y 257,82 m/s.

3.3.3 EJERCICIO: Una bomba de 5 kW eleva agua hasta una altura de 25 m sobre la superficie de un lago. La temperatura del agua se incrementa en 0,1° C. Despreciando cualquier cambio en la EC, determine la tasa de flujo másico. Sistema: Abierto. Δz*g/gC + ΔH = (Q – W)/L En esta ecuación ΔH = cP*ΔT y Q = 0 Reemplazando los valores conocidos: L*(25 m*9,81 m*s2*N/(1 kg*m*s2)) + L*(1 kcal/(kg*°C))*0,1° C = -5 kJ/s → 245,25*L J/kg + 0,1 kcal/kg*4,184 J/cal*1000 cal/kcal*L = - 5000 J/s 245,25*L J/kg + 418,4*L J/kg = - 5000 J/s → L = 7,53 kg/s Respuesta: 7,53 kg/s

1. (Ejercicio 2 de sistemas abiertos) Se tiene la instalación del esquema adjunto: Aire a P1 = 4 ata. y t1 = 800 °C se expande en una válvula reductora de presión hasta p2 = 3 ata. y luego en una turbina adiabática hasta p 6 = 1 ata. y T6 = 500 ° K. Al llegar el aire a la presión p 2, antes de ingresar a la turbina, se deriva hacia una cámara de mezcla adiabática, una masa m1, la cual ingresa junto a una masa m 2, a la misma presión p2 y t4 = 20 °C, saliendo de la misma presión p 5 = p2 y t5 =100 °C. Si m2 = 10.000 Kg / hora y la Potencia en el eje de la turbina es N tur = 2000 HP (1 HP = 632 Kcal/hora).

Calcular: Sistema

1 m

y

m

Válvula

Reductora

–

Sistema

Abierto a Régimen Permanente S.A.R.P Aplicando primer principio

p2=3at a 2

1

Aire m

p1=4ata, t1=800°C

Nt=2000 HP

Q  H  L Util H  0  H1  H 2 mxC P xT1  mxC P xT2

3 m. 1

T1  T2  1073 K

C.M.

Sistema Turbina S.A.R.P. Q  H  L Util   H  L Util

    H 6  H 2   H 2  H 6   m  1   C P   T2  T0   m

 kcal / h    1.264 .000 Kcal / h  HP 

L Util  2000 HP  632 

4 .

p4=p2, t4=20°C; m2= 10.000Kg/h

p6=1ata, 6 T6=500°K .

.

(m - m1) 5

 KCal         m  m1   0,24  1073  900    m  m1    h 

1.264 .000 

 KCal    h 

1.264 .000 

 KCal  0,24    173 K   KgK 

 Kg    h

 30.443 

Sistema Cámara de Mezcla S.A.R.P. Q  H  L  H  0 

HEntrada   HSalida  m 1  h2  m 2  h 4  m 1  h5  m 2  h5

 1   h 2  h5   m  2   h5  h 4   m 1m 2 m

 1  10.000  m

 h5  h 4   h 2  h5 

Cp  T5  T4   373  293   1142,8 kg   10000  h Cp  T2  T5  1073  373   

 m  m 1   30.443 

Kg    h

Si 2.

entonces tenemos que

 m  1  30.443,16  31.585,96Kg / h m

(Ejercicio 11 de sistema cerrado) Un recipiente rígido y adiabático, tiene en su interior un pistón móvil, sin rozamientos, también adiabático. A cada lado del pistón hay 2 Kg de Aire a p = 1ata y T= 300 °K. Mediante una resistencia eléctrica, colocada dentro del recinto izquierdo, se le suministra Calor hasta que la presión final triplica la presión inicial. Calcular: AIRE Izquierda

AIRE Derecha

 El trabajo realizado contra el gas de la derecha.  La

Piston adiabático

temperatura

final

de

la

derecha y de la izquierda.  La cantidad de Calor que recibe

el gas de la izquierda. M(iz) = m(DR) = 2 Kg PL(izq) = PL(DR) = lata

TL(iz) = TL(DR) = 300 °K Pf = 3 ata. Tomando como sistema el recinto derecho, sistema cerrado Q  U  L

, como Q = 0, tenemos que la variación de energía interna es

igual al trabajo efectuado sobre el aire contenido en el recinto derecho. El aire en el recinto cumple las siguientes condiciones: Es gas ideal El calor específico es constante La transformación es cuasi estática Por lo tanto esta transformación es una politrópica pudiéndose hallar la temperatura final de la misma con la ecuación: TFinal Derecha TInicial Derecha TF Der

 PFinal Derecha 



 PInicial Derecha   

 3  300 K    1

Q  U  L



 1 

1,411 1,41

 PFinal Derecha 

 TF Der  TI Der 



1,411 1,41

 PInicial Derecha   

 300  1,37637  412 K

por lo tanto

  Kcal  U  L   2Kg  0,17   412,9  300  K   38,386 KCal KgK  

LDERECHA  38,386 KCal

El volumen final del lado derecho con los datos que tenemos hasta ahora resulta, aplicando la ecuación de los gases ideales VFinal Derecha  

m  R  Tfinal 2  29,27  412,9   0,80570 m3 PFinal 30.000

VIncial Derecha   VIncial Izquierda  

y  VTOTAL  2

m  R  TInicial 2  29,27  300   1,752 m3 PInicial 10.000

VIncial Derecha   3,5124 m3

De donde se deduce que el volumen final a la izquierda del tabique será, la diferencia entre el volumen total y el volumen final del recinto de la derecha, es decir 2,7067 m3. También se aprecia que el trabajo efectuado por un recipiente es el mismo que recibe el otro recinto, por lo tanto L(Der) = - L

(Izq)

, por lo tanto L(Izq) = 38,386 Kcal.

Sistema Aire Del Recinto Izquierdo QIZQ  UIZQ  LIZQ

UIZQ  mIZQ  C V  (TfIZQ  Ti IZQ )  2  0,17   TfIZQ   2  0,17  300 K

Pero la temperatura final del recinto izquierdo puede hallarse con la ecuación de los gases ideales TfIZQ 

Pf  Vf 30.000  2,7067   1387,1K mIZQ  R 2  29,27

Reemplazando en la anterior ecuación la temperatura final, se llega a UIZQ  mIZQ  C V  (TfIZQ  Ti IZQ )  2  0,17   TfIZQ   2  0,17  300 K UIZQ  369,614 KCal

QIZQ  UIZQ  LIZQ

Por lo tanto si

tenemos que

Ecuación de estado del gas ideal: Primer principio de la Termodinámica

QIZQ  408 KCal

El Primer principio establece la existencia de una magnitud U(P,V,T), energía interna del sistema, función determinada por el valor de las propiedades termodinámicas del sistema, de modo que una transformación del Estado 1 (P1,V1,T1) del sistema al Estado 2 (P2,V2,T2) conduce a: ΔU=Q-W, expresión que es equivalente al principio de conservación de la energía. En el caso de un gas perfecto: U=3/2 NkT y para 1 mol de gas: N=NA con lo cual U=3/2 RT. por tanto U sólo es función de la temperatura absoluta y es una función de estado. Esta dependencia de la temperatura hace que: - en un sistema aislado: Q=W=0 , ΔU=0 - en un ciclo: ΔU=0 (por ser U función de estado) - en transformaciones isotérmicas: ΔU=0 - en transformaciones isócoras(V=cte.): - en transformaciones adiabáticas(Q=cte.):

Ejemplo GAS1 Un cilindro térmicamente aislado está cerrado en ambos extremos y tiene en su interior un pistón conductor que divide el cilindro en dos partes. Inicialmente el pistón está dispuesto de forma que en una parte hay 2 l de aire a 600 K y 2 atm, y en la otra se encuentra 1 l de aire a 600 K y 1 atm. Se deja libre el pistón, alcanzándose el equilibrio en una nueva posición. Calcular la presión final de equilibrio y los volúmenes finales de cada parte del cilindro.

Ejemplo GAS2 5 moles de un gas biatómico a 27 ºC se calientan isobáricamente con el calor que se desprende de 1 mol de otro gas ideal que se comprime isotérmicamente a 27 ºC hasta triplicar su presión. Calcular la temperatura final del primer gas.

Ejemplo GAS3 Un cilindro contiene un gas ideal a la temperatura de 310 K y está cerrado mediante un pistón móvil. El gas, que se encuentra inicialmente a una presión de 2 atm ocupando un volumen de 48 l, se expansiona isotérmicamente hasta un volumen de 106 l. Seguidamente el gas se comprime isobáricamente, volviendo a su volumen inicial de 48 l. Calcular el trabajo realizado por el gas: a) en la expansión isotérmica; b) en la compresión isobárica; y c) en todo el proceso. d) Calcular la temperatura final del gas.

Ejemplo GAS4 Determinar la expresión del trabajo termodinámico realizado en la expansión adiabática reversible de 1 mol de un gas ideal que pasa del estado (P1,V1) al estado (P2,V2). La ecuación que rige este proceso es PVγ=cte,, en donde γ es el coeficiente o índice adiabático del gas.

Ejemplo GAS5 1 l de nitrógeno a 51 ºC se calienta bajo la presión constante de 1.6 atm hasta triplicar su volumen. Calcular el incremento de su energía interna y el calor comunicado.

Ejemplo GAS6 Un gas ideal que se encuentra contenido en un dispositivo cilindro - pistón sufre un proceso de expansión en el que la relación entre la presión y el volumen viene dada por PVn = cte. La presión inicial es de 3 bar, el volumen inicial es 0.1 m3 y el volumen final es 0.2 m3. Determinar el trabajo, expresado en kJ, que se realiza en el proceso, en los siguientes casos: a) n = 1.5 ; b) n = 1.0 ; c) n = 0 (Nota 1 bar = 105 Nm-2)

Ejemplo GAS7 Calcular el trabajo realizado cuando 2 l de un gas ideal monoatómico, a la presión de 1 atm, se expansionan reversible y adiabáticamente hasta alcanzar un volumen de 8 l.