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ECUACIONES DIFERENCIALES EJE2

CARLOS MICHAEL CÁRDENAS RUBIANO CARLOS ALBERTO TRIVIÑO POVEDA EDINSON ALEXIS CANDELA EDGAR JAVIER TAPIA

FUNDACIÒN UNIVERSITARIA DEL ÀREA ANDINA. FACULTAD DE INGENIERIA. PREGRADO INGENIERÌA DE SISTEMAS MODALIDAD VIRTUAL.

INTRODUCCION

Con el presente trabajo se pretende resolver tres casos aplicando las ecuaciones diferenciales con el fin de descubrir o modelar fenómenos físicos en términos matemáticos, además de reconocer su aplicación en las diferentes áreas del conocimiento.

OBJETIVO GENERAL Analizar, interpretar y solucionar los diferentes fenómenos aplicando las ecuaciones diferenciales.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

-Proponer problemas que involucren la aplicación de las ecuaciones diferenciales con otras disciplinas. -Resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales a partir del grado y número de variables implicadas en ellas.

Problema-1 Leyes de Newton.

Introducción Partamos por decir que en que las ecuaciones diferenciales se usan en la mayoría de los modelos matemáticos que tienen su manejo en los campos de la Ingeniera, los fenómenos de la misma naturaleza utilizan unas leyes que están asociadas a estas ecuaciones diferenciales para dar solución a varios interrogantes. En el caso de los movimientos de los cuerpos que tiene que ver con la Segunda Ley de Newton, los sistemas oscilantes, la propagación de ondas, también problemas de transmisión de calor se observan ecuaciones diferenciales de segundo orden. Marco Teórico Sobre este apartado de Newton este nos dice que si tenemos un cuerpo a una temperatura T y lo sumergimos en un medio que vamos a considerar de dimensiones muy grandes y ese medio tiene una temperatura que denominaremos Tm (temperatura del medio), entonces el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo con la siguiente ecuación diferencial:

T , Tm

dt =−K (T −Tm) dt

Donde K es la constante de enfriamiento, Tm, no varía considerablemente en el tiempo, entonces se consideraría una constante.

Ejemplo: Un cuerpo se calienta a 110° C y se expone al aire libre a una temperatura de 10°C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 60°C. ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfrié a 30°C?.

Datos: t=0 T =110°

dt =−K (T −Tm) dt

Tm=10 °

Solucionamos por el método de variables separables.

dt

∫ (T −Tm) −K ∫ dt ∫

du −Kt u

C1

u=T −Tm

du=dT

ln ( T −Tm )=−Kt +C 1

constante de integración.

Ahora despejamos temperatura en función del tiempo: (−Kt + c1¿) ¿

e ln ⁡( T −Tm¿)=e

¿

T −Tm=e− Kt∗e

C1 c

T −Tm=C e− Kt Despejando temperatura del cuerpo.

T =C e− Kt + Tm Ahora Aplicando las condiciones iniciales en esta ecuación: 110=C e 0 + 10 Ahora despejamos C 100=C Ahora reemplazo esa C en la ecuación que teníamos, es decir

T =C e− Kt + Tm

T =100 e−Kt + Tm

Ahora dice que al cabo de 1 hora la temperatura es de 60° entonces:

t = 1h

T = 60 entonces reemplazamos esto en la ecuación anterior

para hallar k

60=100 e−K + 10

50=100 e−K

50 =¿ e− K 100

1 =¿ e− K 2

Ahora despejamos k, utilizamos la inversa de la exponencial que es log natural:

1 ln =ln e−K aplicando propiedades de los logaritmos: 2

ln ( 1 )−ln (2 )=−K

−ln ( 2 )=−k

k =¿ ln ⁡(2) ¿

Ahora reemplazamos este valor de k en la ecuación de la temperatura:

T =100 e−ln ⁡( 2)t + Tm

T =100 e−Kt + Tm

Ahora respondiendo a la pregunta, que nos dice cuanto tiempo pasara para que T sea igual a 30° Por consiguiente, reemplazamos este valor de 30° en la ecuación anterior:

30=100 e−ln ⁡( 2)t + Tm

2 0=100 e− ln ⁡(2 )t

20/100¿ e−ln ⁡(2)t

1/5¿ e−ln ⁡(2)t Despejamos el t, usando la función inversa del exponencial que es log natural 1 ln =ln e−ln (2 )t aplicando propiedades de los logaritmos: 5

ln ( 1 )−ln (5 )=−ln(2) t

t=

ln ⁡( 5) ln ⁡( 2)

-ln ( 5 ) =−ln(2) t quitando los signos y des T:

t ≈ 2.3h

2.3 horas aproximadamente, es lo que va a tardar en enfriarse el cuerpo a una temperatura de 30°

2.3 horas aproximadamente, es lo que va a tardar en enfriarse el cuerpo a una temperatura de 30° Conclusiones: Sólo hay transferencia de calor entre partes que están a distinta temperatura y su dirección de flujo siempre pasa de la temperatura más alta a la más baja.

Problema-2 Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento

Introducción: El análisis de crecimiento y decrecimiento en algunas poblaciones de animales pequeños es proporcional al tiempo, si se conocen las condiciones iniciales de población es posible determinar la población en determinado tiempo, mediante el cálculo diferencial es posible realizar esta estimación ya que se considera su crecimiento es muy pequeño comparado con el de la población. Marco Teórico Modelo matemático: Es la descripción matemática de un sistema o fenómenos en la vida real. (Hernández, 2014) Ecuación diferencial: Es una igualdad que contiene diferenciales de la variable dependiente y de la variable independiente. Asimismo, es una igualdad que contiene una o más derivadas. (Hernández, 2014) Ecuación diferencial ordinaria: Son ecuaciones que contienen una o más derivadas dependientes con respecto a una sola variable independiente. (Hernández, 2014).

Ejemplo: Crecimiento o decrecimiento de población. Considérese que un cultivo de bacterias, la rapidez de crecimiento es proporcional al número presente en cada instancia. Si en 8 horas hay 16 veces el número original, ¿Qué debemos hacer para determinar la cantidad al cabo de 2 horas?.

Solución 1-Establecemos las variables. Del enunciado observamos que la población de bacterias P varía con respecto al tiempo; entonces, la variable independiente es t y la variable dependiente es P. 2-Formulamos el modelo matemático. El enunciado dice que la rapidez de crecimiento de la población, dp = AP dt 3-Establecemos las condiciones iniciales.

dp = dt

es

proporcional a la población actual:

Sea P0 la población de bacterias al tiempo = 0 . En 8 horas hay 16 veces el número original de bacterias, entonces: p0= P(0)

P(8)=16 p 0

La ecuación diferencial a resolver es:

dp = AP con las condiciones iniciales. dt

dp dp = AP para alguna constante A, =0 si P=0, la dt dt función constante Pt =0 , es una solución de la ecuación diferencial. p0= P(0) P(8)=16 p 0

como

Debido a que es una solución constante es considerada una solución de equilibrio. Conclusiones Las ecuaciones diferenciales son una gran herramienta para el cálculo de una población sin embargo esta está delimitada a poblaciones pequeñas. Problema-3 Circuitos Eléctricos Introducción En el presente trabajo estaremos aplicando las ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos conectados en serie de tipo LR, aprenderemos como realizar el análisis de un circuito eléctrico de este tipo utilizando una metodología de 3 pasos, modelo de circuito eléctrico con ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales resultantes y gráficos de la corriente encontrada, para la solución de la ecuación diferencial aplicaremos la regla de los cuatro pasos para la solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Marco teórico La Ley de voltajes de Kirchhoff es la segunda de sus leyes fundamentales que podemos usar para el análisis de circuitos. La primera es la Ley de corriente de Kirchhoff. Una malla consiste en un conjunto de ramas que forman un camino cerrado y que no contienen ninguna otra línea cerrada en su interior.

La Ley de voltaje de Kirchhoff establece que la suma algebraica de todos los voltajes alrededor de una malla eléctrica en un circuito es igual a cero. Observe que el término “suma algebraica” significa tener en cuenta las polaridades y signos de las fuentes y caídas de tensión alrededor de la malla. Por lo tanto, al aplicar la Ley de mallas de Kirchhoff a un elemento de circuito específico, es importante que prestemos especial atención a los signos algebraicos, (+ y -) de las caídas de voltaje entre los elementos, de lo contrario nuestros cálculos pueden estar equivocados. Pero antes de de ver mejor qué es la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) vamos a entender primero qué es la caída de tensión a través de un solo elemento como una resistencia. (Ley de voltaje de Kirchhoff: Método de mallas, 2019). Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra:

Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura:

Adoptamos la siguiente convención: la corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (- ). Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la caída de di voltaje a través del inductor L más la caída de voltaje a través de la resistencia dt (RI), tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito:

L

di + RI =E dt

Ejemplo: Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t)i(t), si i(0)=0i(0)=0. Determine la corriente conforme t→0t→0. El circuito esta descrito en la figura:

Solución: Primero obtendremos los modelos del circuito de la figura, cabe recordar que dicho modelo matemático proviene de las leyes de kirchoff. 1. La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. LEY DE NODOS

2. Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. LEY DE MALLAS En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente i(t)i(t)), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS. Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento: En la tabla representaremos las caídas de los voltajes para cada elemento del circuito descrito en la figura del problema plateado, expresadas en función de la corriente i(t) y en función de la carga q(t).

Entonces aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la figura, para las caídas de voltajes en función de la corriente i(t), tenemos.

L

di + iR=Et dt

Donde L, R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectiva. La corriente i(t) se llama también respuesta del sistema.

di 1 + Ri + q=Et dt C Es importante tomar en cuenta una vez modelado un circuito en serie de tipo RLC, las versiones del circuito del tipo LR y RC son simplemente contracciones de la ecuación 2. L

Es importante notar que la ecuación (2) aparecen 2 variables dependientes i y q por lo que para poder resolverlas por los métodos de ecuaciones lineales ordinaria es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar,

a2( x )

d2 y dx

2

+a1 ( x )

dy dx

+a 0 ( x ) y =g(x)

La forma estándar anterior presentada una ecuación diferencial de segundo grado orden donde su única variable dependiente es yy y su variable independiente es xx. Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial línea ordinaria de 2º orden porque al adecuar la ecuación (2) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden de la ecuación (2), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes i(t)i(t) y q(t)q(t) en la ecuación (2) para convertirse en una ED de 2o Orden, es una ecuación diferencial. Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes i(t)i(t) y q(t)q(t), en su forma de derivada es:

i

dq dt

SOLUCION DE LA ECUCION DIFERENCIAL RESULTANTE Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo todos los valores del problema planteado es:

0,1

di +50 i=30 dt

Resolveremos la ecuación (3) por el método de los 4 pasos:

1. forma estándar:

dy di + P ( x ) y =g ( x )= + 500i=300 dx dt

2. factor integrante: e ∫ P(x) dx=e ∫ 500 dt =e 500 t

3. forma de la solución: y=Yc +Yp=it=itr ( t )+ ips ( t ) y c =ce −∫ p ( x ) dx=itr ( t )=c e −∫ 500 dt itr ( t )=c e −500t

y p=

1 p ( x ) dx e∫

1

∫ e∫ p ( x ) dx f ( t ) dx=ips ( t )= e 500t ∫ e 500t∗300 dt

ips ( t ) =

300 e 500t dt 500t ∫ e

ips ( t ) =

300 e500 t∗500 dt 500t ∫ 500∗e

3 ips ( t ) = ∗e−500t [ e 500t ] 5

ips ( t ) =

3 5

Por lo tanto la corriente total en el circuito buscada es:

i ( t )=itr ( t )+ips(t) c e −500 t+

3 5

Para encontrar el valor de c utilizamos los valores iniciales i(0)=0 es decir cuando el tiempo t es 0 la corriente i en el circuito es 0 también. Por lo tanto sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4) tenemos:

it=c e−500t +

3 5

0=c e −500(0)+

0=c (1)+

0=c +

3 5

3 5

3 5

Esto implica que:

c=

−3 5

De donde la corriente buscada es:

i ( t )=

−3 500 t 3 e + 5 5

3 este resultado se 5 hace más evidente cuando graficamos la corriente i(t), resulta como en la figura de −3 500t e . aquí que se llame transistor el termino 5 Es evidente observando la ecuación (5) que cuando 𝑡 → ∞, (𝑡) =

GRAFICA DE LA CORRIENTE ENCONTRADA

Conclusión: Las ecuaciones diferenciales para obtener los modelos de un circuito depende de la aplicación de la ley mallas para encontrar el valor de corriente, es importante tener claridad de la representación de los inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento; siendo estas expresadas en función de la corriente i(t)i(t) y en función de la carga q(t)q(t).

Bibliografía Puebla, P. P. [Profesor particular puebla]. (2017 septiembre 10). Problemas ecuaciones diferenciales | Ley de enfriamiento de Newton [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=OZy08sufLDI&t=565s. Hernández, A. E. (2014). Ecuaciones diferenciales. Mexico: Grupo Editorial Patria. Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingeniería. (2016). http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo %20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

Dennis G. Z. (2016) Matemática avanzada para ingeniería. https://login.ezproxy.utp.edu.co/login?qurl=http://www.ebooks7-24.com%2fstage.aspx %3fil%3d%26pg%3d%26ed%3d