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Gerencia de Operaciones I

Ing. Oscar Mendoza Macías

Aplicaciones de la programación Lineal Hasta estos momentos el estudio se ha orientado a la comprensión de la programación lineal en términos del método gráfico de solución, del análisis de sensibilidad y de la interpretación de las soluciones computadorizadas para problemas de programación lineal. Estos antecedentes son esenciales para saber cuándo la programación lineal es una herramienta apropiada para resolver problemas y, también,

para

interpretar

los

resultados

que

la

solución

de

programación lineal da para un problema.

En la práctica, la programación lineal ha probado ser uno de los enfoques cuantitativos más exitosos para la toma de decisiones en la administración. Se han reportado numerosas aplicaciones en las industrias química, del aerotransporte, del acero, del papel, del petróleo y en otras. Los problemas específicos que han sido estudiados son diversos e incluyen programación de la producción, selección de medios publicitarios, planeación financiera, presupuestos de capital, transporte, ubicación de plantas, mezcla de productos, asignación de personal, mezclados y muchas otras.

Tal como sugiere la variedad de las aplicaciones que se menciona, la programación lineal es una herramienta flexible para resolver problemas, con aplicaciones en muchas disciplinas. En este capitulo, se exponen aplicaciones en las áreas de mercadotecnia, finanzas y administración de la producción. En la sección final se presenta una aplicación en el campo relativamente nuevo del análisis global de datos. En muchos de los ejemplos se presentan soluciones por computadora que se obtienen utilizando el paquete de programas denominado The Management Scientist.

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4.1

ALGUNOS

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LINEAMIENTOS

PARA

LA

FORMULACION DE LOS MODELOS En las aplicaciones que siguen se vera la forma en la que se pueden plantear diversos problemas como programas lineales. Aunque el proceso de formulación o planteamiento de modelos de programación lineal es un arte que se aprende con la práctica y la experiencia, los siguientes lineamientos o casos generales pueden ser útiles al comenzar a formular los propios modelos de programación lineal. 1. Entender por completo el problema 2. Plantear el problema en forma tan concisa como sea posible, formulando enunciados verbales de lo siguiente: •

Objetivo. El propósito del problema, tal como maximizar utilidades, minimizar tiempo, etc.

•

Variables de decisión. Los aspectos del problema que se pueden controlar o determinar y que ayudan a alcanzar el objetivo que se plantea.

•

Restricciones. Las limitaciones o condiciones que se deben satisfacer para que la solución sea factible.

3. Utilizando las variables de decisión como incógnitas (por ejemplo x1, x2, etc.), formular expresiones matemáticas que describan el objetivo y cada una de las restricciones. Se debe recordar que como el método es de programación lineal, las expresiones que se utilizan para el objetivo y para las restricciones deben ser relaciones lineales. 4. Añadir los requisitos de no negatividad (Xi ≥ 0) para cada una de las variables de decisión.

2

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En este punto debe tenerse un modelo de programación lineal que represente el problema o aplicación que se estudia. La solución del modelo proporcionará los valores óptimos de las variables de decisión, así como también información acerca del análisis de sensibilidad. La interpretación adecuada puede ofrecer información valiosa sobre la toma de decisiones para los administradores.

4.2

APLICACIONES EN MERCADOTECNIA

Selección de medios de publicidad

Las aplicaciones de programación lineal para la selección de medios publicitarios están diseñadas para ayudar a los gerentes de fijos de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen periódicos, revistas, radio, televisión y correo directo. En la mayor parte el objetivo es maximizar Ia exposición a la audiencia. Las restricciones sobre las asignaciones permisibles usualmente se producen

por

consideraciones

como

politicas

de

la

compañía,

requisitos contractuales y disponibilidad de los medios. En Ia aplicación que se presenta enseguida, se ilustra la forma en que podría plantearse un problema de selección de medios, y su solución utilizando un modelo de programación lineal.

Considérese

el

caso

de

la

empresa

Relax-and-Enjoy

Lake

Development Corporation. La Relax-and-Enjoy está realizando el proceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicará en las riberas de un lago de propiedad privada, y el negocio consiste en la

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venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro.

El

principal mercado para esto lotes en las orillas del lago incluye a todas las familias de ingresos medios y altos dentro de un radio de aproximadamente 100 millas desde tal centro. La Relax – and - Enjoy ha utilizado los servicios de la firma de publicidad Boone Phillips and Jackson para el proyecto de la campaña promocional. Después de considerar los posibles medios publicitarios y el mercado que se debe cubrir, la Boone ha hecho la recomendación preliminar de restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final del mes, la empresa reevaluara su estrategia, con base en los resultados. La Boone ha recopilado datos acerca del número de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el número máximo de veces que esta disponible cada medio, y la disposición esperada para cada uno de los cinco medios publicitarios. La exposición esperada se mide en términos de una unidad de exposición, que es una del valor relativo de un anuncio en cada uno de los medios. Tales medidas, con base en la experiencia que la compañía tiene en el negocio de la publicidad, toman en consideración factores tales como perfil de la audiencia (edad, ingresos y grado de educación), imagen que se presenta y calidad del anuncio. En la tabla 4.1 se presenta la información recopilada. La

firma

Relax-and-Enjoy

ha

proporcionado

a

la

Boone

un

presupuesto de publicidad de $30.000 (dólares) para la campaña del primer mes. Además, ha impuesto las siguientes restricciones sobre la forma en que la Boone puede asignar esos fondos: se deben utilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisión, y se debe llegar cuando menos a 50000 compradores potenciales durante el mes. Además, no pueden invertirse mas de $ 18000 en anuncios por televisión. ¿Que plan de selección de medios debe recomendar la empresa publicitaria?

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TABLA 4.1 Alternativas de medios de publicidad para la Relax – and – Enjoy Lake Development Corporation

Medios de publicidad TV diurna (1 min) estacion WKLA

# familias Costo compradoras por anuncio 1000 $ 1.500

TV nocturna (30 2000 seg), estacion WKLA Periodico diario The 1500 Morning Journal

# ocasiones disponibles

Unidades esperadas

15

65

$ 3.000

10

90

$ 400

25

40

Suplemento de periodico dominical

2500

$ 1.000

4

60

Radio: noticias 8:00 A.M. o 5:00 P.M.

300

$ 100

30

20

•

El numero máximo de las ocasiones que esta disponible el medio es el numero máximo de ocasiones en que se presenta el medio de publicidad (por ejemplo, 4 domingos para el medio numero 4) o el numero máximo de ocasiones en que Boone permitirá que se utilice el medio.

Se comienza definiendo las variables de decisión de la siguiente manera: X1 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV diurna X2 = numero de ocasiones en que se utiliza la TV nocturna X3 = numero de ocasiones en que se emplea el periódico diario X4 =

numero de ocasiones en que se emplea el periódico

dominical X5 = numero de ocasiones en que se utiliza la radio.

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Con el objetivo de maximizar la exposición esperada, la función objetivo se convierte en:

max 65 X1 + 90 X2+ 40 X3 + 60

X4+ 20 X5. Ahora pueden plantearse las restricciones para el modelo a partir de la información dada: X1

≤15 X2

≤ 10 X3

≤ 25 X4

≤4 X5

≤ 30

1500 X1 + 3000 X2 + 400 X3 + 1000 X4 + 100 X5 ≤ 30000 Prepuesto X1 +

X2

≥

10

1500 X1 + 3000 X2 1000 X1

+

≤ 18000

2000 X2

+

1500X3

+

2500 X4

+

300 X5

≥

50000 Audiencia X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 En la Tabla 4.2 se presenta la solución para este modelo de programación lineal con nueve restricciones y cinco variables. TABLA 4.2 Plan de publicidad para la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation

Medios publicitario TV diurna Periodico diario Periodico dominical

Presupuesto $ Frecuencia 10 15000 25 10000 2 2000 6

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Ing. Oscar Mendoza Macías 30

3000 30000

Total de audiencia alcanzada = 61500 Exposicion esperada = 2370

Un posible defecto de este modelo es que, aun cuando la medida de la exposicion esperada no estuviera sujeta a error, no existe garantía de que maximizar la exposicion esperada total conducirá a la maximización de las Utilidades o las ventas (un sustituto común para las utilidades). Sin embargo este no es un defecto de la programación lineal; más bien es una desventaja de utilizar la exposicion como criterio. Ciertamente, si fuera posible medir en forma directa el efecto que la publicidad tiene sobre las utilidades, se utilizaran las utilidades totales como el objetivo a minimizar. Además, se debe estar consciente de que el modelo de selección de medios, tal como se planteo en esta sección, no incluye consideraciones como las siguientes: 1. El valor de la exposición se reduce con la repetición en el uso de los medios. 2 Descuentos en costos por utilización repetida de los medios. 3. Traslape de la audiencia en los distintos medios. 4. Recomendaciones de tiempo para los anuncios. Con frecuencia es posible utilizar un planteamiento más complejo (más variables y restricciones) para vencer estas limitaciones, pero no siempre será posible superarlas todas con un modelo de programación lineal. Sin embargo, aun en estos casos, con frecuencia 7

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puede utilizarse un modelo de programación lineal para llegar a una aproximación de la mejor decisión. La evaluación de los administradores, combinada con la solución de la programación lineal, debe hacer posible entonces la elección de una estrategia global efectiva para la publicidad.

Notas y Comentarios 1. En general, se utilizan x1, x2, etc., para denotar las variables de decisión en un modelo de programación lineal. Al comenzar el planteamiento del modelo, se expone en forma cuidadosa la notación utilizada y la definición de cada variable de decisión. Al mismo tiempo que se puede utilizar la notación x1, x2, etc., en cualquier modelo de programación lineal, algunos científicos de la administración prefieren hacer uso de un esquema de notación más descriptivo para cada variable de decisión. Por ejemplo, el modelo de selección de medios podría haber sido formulado como DTV para denotar “televisión durante el día”; por NTV, para “televisión durante la noche”; por P, para periódicos; por PD, para publicaciones domésticas; por R, para revistas. En este caso, la función objetivo quedarla expresada de la siguiente manera: Max

65DTV

+

9OIVTV

+

40P

+

6OPD

+

20R

Las restricciones se plantearían en términos de la notación ideada: DTV, NTV, P, PD, R. En cualquier caso, es importante observar que el modelo se puede formular con cualquier notación o combinación de notaciones para las variables de decisión. Sin importar cuál sea la decisión, siempre es conveniente definir con cuidado las variables de decisión y la notación que se utiliza desde el principio del planteamiento del modelo. 2. Debe observarse que el modelo de selección de medios, quizá más 8

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que la mayoría de los demás modelos de programación lineal, requiere de evaluaciones subjetivas críticas para las calificaciones sobre la exposiciOn de los diversos medios alternos. Aun cuando los gerentes de mercadotecnia pueden contar con considerables datos acerca de la exposición a la publicidad, los coeficientes finales que se utilizan en la función objetivo incluyen consideraciones que se basan primordialmente en el criterio de los administradores. Sin embargo, la introducción de juicios es una forma aceptable de obtener datos para un modelo de programación lineal.

Investigación de Mercadotecnia Diversas organizaciones Llevan a cabo investigaciones mercadotécnicas para determinar características de los consumidores, actitudes y preferencias con respecto a productos o servicios que las organizaciones ofrecen. Con frecuencia, las investigaciones reales las lleva a cabo una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en ofrecer a sus clientes la información que desean sobre el mercado. Los servicios que las empresas de investigación mercadotécnica ofrecen por lo común incluyen el diseño del estudio, la realización de las encuestas de mercado, el análisis de los datos recopilados y reportes resumidos y recomendaciones para el cliente. En la fase de diseño de la investigación, es posible que se establezcan objetivos o cuotas para el número y tipos de entrevistados que la investigación debe alcanzar. Cuando se establecen lineamientos sobre cuotas, el objetivo de la empresa investigadora es Llevar a cabo la encuesta de manera que se satisfagan las necesidades de los clientes a un costo mínimo. La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en evaluar la reacción de los consumidores ante productos, servicios y campañas de publicidad nuevos. Una empresa cliente ha solicitado que le ayude a determinar la reacción de consumidores ante un producto recientemente comercializado para uso domestico. En el curso de algunas reuniones con el diente, se acordó que se utilizarían entrevistas personales de puerta en puerta para obtener información tanto de hogares con niños los como de hogares sin ellos. Además, se acordó que seria necesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, con objeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogares Específicamente, el contrato de este cliente exigía a la SMI realizar 1000 entrevistas con los siguientes lineamientos sobre cuotas:

1. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares con niños. 2. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares sin niños. 9

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3. El numeró total de hogares entrevistados durante la noche seria cuando menos igual al número de hogares entrevistados durante el día. 4. Cuándo menos el 40% de las entrevistas para hogares con niños se realizarían durante la noche. 5. Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños se realizarían durante la noche.

Como las entrevistas en hogares con niños requieren de tiempo adicional del entrevistador, y como a los entrevistadores nocturnos se les paga más que a los que trabajan de día, el costo de las entrevistas varía según su tipo. Con base en estudios previos, las estimaciones sobre los costos de las entrevistas son:

Hogar Niños No niños

Costo de la entrevista Diurna Nocturna $ 20 $ 25 $ 18 $ 20

¿Cual es el plan de entrevistas, por hogar y por parte del día, que satisface los requerimientos contractuales a un costo mínimo total para las entrevistas? El planteamiento de un modelo de programación lineal para el problema de la Market Survey es buena oportunidad para introducir el uso de variables de decisión con doble subíndice. Utilizando x para representar las variables decisorias, se utilizan dos subíndices para x, en donde el primer subíndice señala si la entrevista implica a niños o no, y el segundo indica si la entrevista se realiza durante el día o durante la noche. Utilizando 1 para niños y 2 para no niños, y 1 para día y 2 para noche, se pueden utilizar subíndices dobles para identificar las siguientes variables de decisión: X11 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante el día X12 = número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante la noche

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X21 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante el día X22 = número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante la noche Se comienza el planteamiento del modelo de programación lineal utilizando los datos de costos por entrevista para elaborar la siguiente función objetivo: min. 20 X11 + 25 X12 + 18 X21 + 20 X22 La restricción que exige un total de 1000 entrevistas se expresa como X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Las cinco especificaciones que se refieren a los tipos de entrevistas son las siguientes: 1. Hogares con niños X11 + X12 ≥ 400 2. Hogares sin niños: X21 + X22 ≥ 400 3. Cuando menos tantas entrevistas nocturnas como diurnas: X12 + X22 ≥ X11 + X21 El formato normal para el planteamiento del modelo de programación lineal y para la introducción de datos en la computadora hace que se coloquen todas las variables de decisión en el lado izquierdo de la desigualdad, y una constante (posiblemente cero) en el lado derecho. Por ello, se reescribirla esta restricción como —X11 + X12 — X2I + X22 ≥ 0

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4. Cuando menos 40% de las entrevistas en hogares con niños durante la noche: X12 ≥ .4(X11 + X12) O - .4 X11 + .6X12 ≥ 0 Añadiendo los requisitos de no negatividad, el modelo de programación lineal de cuatro variables y seis restricciones se convierte en Min

20X11 + 25X12 + 18X21 + 20X22

Sujeto a X11 + X12 + X21 + X22 = 1000 Total de entrevistas X11 + X12

≥ 400 Hogares con niños X21 + X22 ≥ 400 Hogares sin niños

—X11 + X12 — X21 + X22 ≥ 0 mas entrevistas nocturnas — .4X11 + .6X12

≥ 0 Hogares con niños,

noche — .6X21 + .4X22 ≥ 0 Hogares sin niños, noche X11, X12, X21, X22 ≥ 0

En la Fig. 4.1 se muestra la solución por computadora del programa lineal anterior. Utilizando los resultados de la solución por computadora, se observa que el costo mínimo de $20,320 se presenta con el siguiente programa de entrevistas:

Hogar Niños

Numero de entrevistas diurnas nocturnas 240 160

totales 400

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Gerencia de Operaciones I No niños Totales

Ing. Oscar Mendoza Macías 240 480

360 520

600 1000

Como se puede observar, se programan 480 entrevistas durante el dia y 520 durante la noche. Los hogares con niños se cubren mediante 400 entrevistas, y los hogares sin niños, mediante 600 entrevistas. Una información seleccionada sobre el análisis de sensibilidad de la Fig. 4.1 muestra un precio dual de —19.2 para la restricción 1. Esto indica que la función objetivo empeoraría

Variable X11 X12 X21 X22

Restriccion 1 2 3 4 5 6

Costos Valor reducidos 240,000015 0,000001 159,999985 0,000001 240 0,000002 360 0 Holgura / Excedente 0 0 200 40 0 0

Precios duales -19,200001 -2,799999 0 0 -4,999998 -1,999998

FIGURA 4.1 Solución por computadora del problema de investigación de mercados utilizando The Management Scientist. (el costo aumentaría) en $19.20 si se aumenta el numero de entrevistas de 1000 a 1001. Por ello, $19.20 es el incremento en los costos al obtener entrevistas adicionales. También representa los ahorros que se podrían lograr al reducir el número de entrevistas de 1000 a 999. El precio dual para el requisito de 400 hogares con niños (restricción 2) indica que solicitar entrevistas adicionales en hogares con niños no mejora la función objetivo. De hecho, las entrevistas adicionales en hogares con niños aumentarían el costo total a razón de aproximadamente $2.80 por entrevista.

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La variable de excedente que tiene un valor de 200 para la restricción 3, muestra que se van a entrevistar 200 más hogares con niños que los que se requieren. De manera similar, la variable de excedente que tiene un valor de 40 para la restricción 4 muestra que el número de entrevistas nocturnas excede al número de entrevistas diurnas en 40. Los valores nulos para las variables de excedente de las restricciones 5 y 6 indican que se mantienen en un mínimo las entrevistas nocturnas, que son las más costosas. 4.3 APLICACIONES FINANCIERAS Selección de cartera Los problemas de selección de cartera implican situaciones en las que los gerentes financieros deben elegir inversiones especificas (por ejemplo, acciones, bonos) a partir de diversas alternativas de inversión. Los administradores de fondos mutualistas, de uniones de crédito, de compañías de seguros y de bancos, encuentran frecuentemente este tipo de problemas. La función objetivo para los problemas de selección de cartera es por lo común la maximización del rendimiento esperado o la minimización de los riesgos. Las restricciones asumen, por lo general, la forma de restricciones sobre el tiempo de inversiones permisibles, leyes estatales, politicas de la compañía, máximo riesgo permisible, etcétera. Se han planteado y resuelto problemas de este tipo utilizando diversas técnicas de programación matemática. Sin embargo, si es posible plantear una función objetivo lineal y restricciones lineales en un problema específico de selección de cartera, entonces puede utilizarse la programación lineal para resolverlo. En esta sección se muestra la forma en la que puede plantearse un problema de selección de cartera y el modo en que se puede resolver como programa lineal. Considérese el caso de la firma Welte Mutual Funds, Inc., ubicada en la ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora está en busca de otras oportunidades de inversión para esos fondos. Considerando las inversiones de la Welte en esos momentos, el principal analista financiero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevas inversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos gubernamentales. Específicamente, el analista ha identificado cinco oportunidades de inversión y proyectado sus tasas anuales de 14

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rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las que se muestran en la Tabla 4.3. La dirección de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientos sobre la inversión: 1. Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de 50% de la inversión nueva total.

2. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica. 3. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversión con altos rendimientos pero también altos riesgos, no puede ser más de 60% del total de las inversiones en la industria petrolera. ¿Qué recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar los rendimientos proyectados, sujeto a las restricciones presupuestales y administrativas que se han impuesto, puede contestarse esta pregunta planteando un modelo de programación lineal para el problema. La solución para este modelo de programación lineal ofrecerá, entonces, recomendaciones sobre inversión para los administradores de la Welte Mutual Funds.

Sean, X1 = dólares invertidos en Atlantic Oil X2 = dólares invertidos en Pacific Oil X3 = dólares invertidos en Midwest Steel X4 = dólares invertidos en Huber Steel X5 = dólares invertidos en bonos gubernamentales Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas que se muestran en

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la Tabla 4.3, la función objetivo para maximizar el rendimiento total sobre la cartera puede escribirse como Max O.073X1 + 0.103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5

TABLA 4.3 Oportunidades de inversión para Welte Mutual Funds

Tasa de rendimienlo proyectada

Inversion

(%)

Atlantic Oil

7.3

Pacific Oil

10.3

Midwest Steel

6.4

Huber Steel

7.5

Bonos gubernamentales

4.5

La restricción que especifica la inversión de los $100000 se expresa como X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100000 Los requisitos de que ni la industria del petróleo ni la industria del acero reciban más de 50% de la inversión de $100,000, se escribe de la siguiente manera: X1 + X2 ≤ 50,000 Industria petrolera x3 + x4 ≤ 50,000 Industria siderurgia

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El requisito de que los bonos de gobierno sean de cuando menos 25% de la inversión en la industria siderurgia se expresa de la siguiente manera: X5 ≥ 0.25 (X3 + X4) o bien —0.25X3 — 0.25X4 + X5 ≥ 0

Finalmente, la restricción de que la inversión en Pacific Oil no puede ser más de 60% de la inversión total en la industria petrolera se convierte en: X2 ≤ 0.60 (X1 + X2) o bien —0.60X1 + 0.40X2 ≤ 0 Sumando las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programación lineal para el problema de inversión de la Welte Mutual Funds es el siguiente: Max 0.073X1 + 0. 103X2 + 0.064X3 + 0.075X4 + 0.045X5 Sujeta a X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100,000 Fondos disponibles

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X1 + X2 petrolera

≤ 50,000 Máximo de la industria X3 + X4

≤ 50,000 Máximo de la industria

del acero -0.25X3 — 0.25X4 + X5 ≥ 0 Mínimo de bonos gubernamentales —0.6X1 + 0.4 X2

≤ 0 Restricción de la Pacific Oil x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

Valor de la función objetivo= 8000.000000 Variable X1 X2 X3 X4 X5

Restriccion 1 2 3 4 5

Valor Costos reducidos 19999.998000 0.000000 3000.002000 0.000000 0.000000 0.011000 40000.000000 0.000000 10000.000000 0.000000 Holgura / Excedente 0 0 10000 0 0

Precios duales 0.069000 0.022000 0.000000 -0.024000 0.030000

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FIGURA 4.2 Solución por computadora del problema de Welte Mutual Funds utilizando The Management Scientist. Se resuelve este problema utilizando The Management Scientist y el listado se muestra en la Fig. 4.2. En la Tabla 4.4 se muestra la forma en la que se dividen los fondos entre los valores. Obsérvese que la solución optima señala que la cartera se debe diversificar entre todas las oportunidades de inversión, exceptuando a Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado para esta cartera es $8,000, lo cual significa una tasa global de rendimiento del 8%. Utilizando el listado de la computadora para el problema de inversión de la Welte que se muestra en la Fig. 4.2, se observa que es cero el precio dual para la restricción 3. Esto es así porque el máximo de la industria del acero no es una restricción limitante; aumentos en el límite de la industria siderúrgica de $50,000 no mejorarían el valor de la función objetivo. De hecho, la variable de holgura para esta restricción muestra que la inversión actual en la industria del acero está $10,000 por debajo de su límite de $50,000. Los precios duales de las demás restricciones son diferentes de cero, lo cual señala que son restricciones limitantes en la solución óptima. TABLA 4.4 Selección Optima de cartera para Welte Mutual Funds

Inversión Atlantic Oil Pacific Oil Huber Steel Bonos gubernamentales

Rendimiento anual Monto esperado 20,000 $ 1.460 30,000 3090 40,000 3000

10,000 100,000 Rendimiento anual esperado de $8000 = 8%

450 8000

El precio dual de 0069 para la restricción 1 muestra que es posible aumentar la función objetivo en 0.069 si se puede tener a disposición un dólar más para inversión en la cartera. Si es posible obtener fondos a un costo inferior a 6.9%,los administradores deberían considerar obtenerlos. Por otro lado, si puede adquirirse un rendimiento superior a 6.9% invirtiendo los 19

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fondos en alguna, otra parte (que no sean estos cinco títulos-valor) los administradores deben considerar cuán conveniente será invertir la totalidad de los $100,000 en esta cartera. Se pueden dar interpretaciones similares para los otros precios duales. Sin embargo, nótese que es negativo el precio dual para la restricción 4; su valor es —O 024. Esto indica que aumentar en una unidad el valor en el lado derecho de una restricción puede ocasionar, posiblemente, un cambio en la función objetivo de —0.024. En términos de la cartera Optima, esto significa que si la Welte invierte un dólar más en bonos del gobierno, su rendimiento total disminuirá en 2.4 centavos. Para ver por qué sucede esto, obsérvese de nueva cuenta en el precio dual de la restricción 1 que el rendimiento marginal de los fondos invertidos en la cartera es 6.9% (el rendimiento promedio es 85). La tasa de rendimiento de los bonos gubernamentales es 4.5%. Par ella, el costo de invertir un dólar más en bonos de gobierno es la diferencia entre el rendimiento marginal de la cartera y el rendimiento marginal de los bonos gubernamentales: 6.9% — 4.5% = 2.4%. Obsérvese que la solución Optima con x = 0 muestra que la Midwest Steel no debe incluirse en la cartera. El costo reducido correspondiente a x3, 0.011, indica que el coeficiente de la función objetivo-para la Midwest Steel tendría que aumentar en 0.011 antes de que fuera deseable considerar a esta empresa coma alternativa de inversión. Con este aumento, el rendimiento de la Midwest Steel sería 0.064 + 0.011 = 0.75, hacienda que esta inversión fuera justamente tan deseable como la alternativa de inversión que actualmente se utiliza, la de Huber Steel. Finalmente, una modificación sencilla sobre el modelo de programación lineal de la Welte permite determinar la fracción de los fondos disponibles que se invierten en cada alternativa. Es decir, se dividen entre 100,000 los valores del lado derecho. Entonces, los valores óptimos para las variables proporcionan la fracción de los fondos que deben invertirse en cada título, para una cartera de cualquier tamaño.

NOTAS Y COMENTARIOS La solución óptima para el problema de la Welte Mutual Funds indicaba que se debían invertir $20,000 en acciones de la Atlantic Oil. Si la Atlantic Oil se vende en $75 por acción, se tendrían que comprar exactamente 266 2/3 acciones para invertir exactamente $20,000. Por lo general, la dificultad para adquirir acciones fraccionarias se maneja adquiriendo el mayor número entero posible de acciones con los fondos asignados (por ejemplo, 266 acciones para la Atlantic Oil). Este método garantiza que no se infringe la restricción presupuestal. 20

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Por supuesto, lo anterior introduce la posibilidad de que la solución ya no sea la óptima, pero el peligro es reducido si se trata de un número grande de acciones. En los casos en que el analista considere que es crucial que las variables de decisión tengan valores enteros, el problema debe plantearse coma modelo de programación lineal según enteros. Esta programación lineal es la materia del Cáp. 8.

Estrategia de Combinación Financiera Las estrategias de mezcla o combinación financiera implican la selección de medios para financiar proyectos de la compañía, inventarios operaciones de producción y otras actividades. En esta sección se ilustra la forma en que puede utilizarse la programación lineal para resolver problemas de este tipo, planteando y resolviendo un problema que implique el financiamiento de operaciones de producción. En esta aplicación específica, se debe tomar una decisión financiera respecto a cuanta producción se debe financiar mediante fondos generados internamente, y qué tanta producción se debe financiar mediante fondos externos. La Jefferson Adding Machine Company va a comenzar la fabricación de dos nuevos modelos de calculadoras electrónicas en los tres meses próximos. Como la fabricación de estos modelos exige ampliar la operación de producción que se tiene en esos momentos, la compañía necesitará fondos de operación para cubrir los costos de materiales, mano de obra y otros gastos, durante el periodo inicial de producción. Los ingresos provenientes de este periodo inicial de producción no estarán disponibles sino hasta después del final del periodo. Así, la compañía debe obtener financiamiento para estos gastos de operación, antes de que pueda empezar a fabricar. La Jefferson ha apartido $3,000 de fondos internos para cubrir los gastos de la operación. Si se requieren fondos adicionales, tendrán que ser generados en el exterior. Un banco local ha ofrecido una línea de crédito a corto piazo para una cantidad que no exceda de $10,000. La tasa de interés para la vigencia del préstamo será de 12% anual sobre la cantidad que se tenga a crédito. Una estipulación fijada por el banco exige que la parte restante del efectivo que la compañía aparto para esa operación, más las cuentas por cobrar provenientes de esta línea de productos, sean de cuando menos el doble del crédito pendiente de pagar, más los intereses al final del periodo inicial de producción. Además de las restricciones financieras sobre la operación, la capacidad de la mano de obra es también un factor que la Jefferson

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debe tomar en consideración. Solo se tienen disponibles 2500 horas de tiempo de ensamble y 150 horas de tiempo de empaque y envío para la nueva línea de productos, durante el periodo inicial de producción de tres meses. En la Tabla 4.5 se muestran los datos relevantes sobre costos, precios y requisitos de tiempos de producción para los dos niveles, a los que se denomina Y y Z. Los administradores de la compañía han impuesto restricciones adicionales con objeto de garantizar que es posible probar la reacción del mercado ante ambos productos; es decir, deben fabricarse cuando menos 50 unidades del modelo Y y cuando menos 25 unidades del modelo Z en ese primer periodo de producción.

TABLA 4.5 Datos de costos, precios y mano de obra para Jefferson Adding Machine Company

Modelo Y Z

Costo unitario (materiales y otros gastos variables) $ 50 $ 100

Precio de venta $ 58 $ 120

Margen de utilidad $8 $ 20

Horas de mano de

obra que se requieren

Ensamblado 12 25

Empaque y envío 1 2

Como el costo de las unidades que se fabrican utilizando fondos crediticios sufrirá, en efecto, un cargo por interés, se reducen las contribuciones a las utilidades para los modelos Y y Z que se fabrican con fondos obtenidos a crédito. Por ello, se adopta la siguiente notación para las variables de decisión del problema: X1 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos de la compañía X2 = unidades del modelo Y fabricadas con fondos obtenidos a crédito X3 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos de la compañía

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X4 = unidades del modelo Z fabricadas con fondos obtenidos a crédito ¿Qué tanto se reduce la contribución a las utilidades de las unidades que se fabrican con fondos obtenidos a crédito? Para resolver esta pregunta, debe saberse durante cuánto tiempo estará vigente el préstamo. Se supone que todas las unidades de cada modelo se venden, conforme se fabrican, a distribuidores independientes, y que la tasa promedio de rotación de las cuentas por cobrar es de tres meses. Como los administradores de la compañía han especificado que el crédito debe pagarse con los fondos generados por las unidades que se fabrican mediante fondos crediticios, los fondos que se obtienen a crédito para fabricar una unidad del modelo Y o una unidad del modelo Z se pagarán aproximadamente tres meses de después Por ello, la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Y que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $8 a $8 —($50 x 0.12 x ¼ yr) = $6.50, y la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Z que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $20-a $20—($l00 x 0.12 x ¼ yr) = $17. Con esta información se puede ahora plantear la función objetivo para la mezcla financiera de la Jefferson: Max 8x1 + 6.5x2 + 20x3 + 17x4 Pueden también especificarse las siguientes restricciones para el modelo: 12x1 + 12x2 + 25x3 + 25x4