Editorial
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- Miguel Tapia
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Editorial
Unidad 1
Planteo de ecuaciones
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 13)
5 Sea:
n.° de patos: p n.° de gallinas: g Del enunciado: p + g = N
1 Sea el número: x
Del enunciado: x2 - 119 = 10(x - 8) x2 - 119 = 10x - 80
Además: p 3 p = & =3 p+g 7 N 7
x2 - 10x - 39 = 0 x - 13 x + 3 De donde: x - 13 = 0 & x = 13 x + 3 = 0 & x = -3 ` x = 13
p 3 p = 3k / g = 4k = g 40 Del enunciado: p = 60 g - p = 20 4k - 3k = 20 & g = 80 k = 20 Piden: 60 = 60 = 60 = 2 g - 50 80 - 50 30 1
Clave A 2 Sea: x el número
& 3+x = 5 5-x 3 `
3(3 + x) = 5(5 - x) 9 + 3x = 25 - 5x 5x + 3x = 25 - 9 8x = 16 & x = 2 x=2
` La relación es de 2 a 1. Clave D 6 Clave D
a
3 Sea:
n.° de correas: n & cada correa costó = 240 n Del enunciado: n.° de correas: n + 3 & cada correa costó = 240 n+3 240 240 3 & = 4 & 240 f =4 n n+3 n _n + 3 i p
& 12 . 15 = n(n + 3) & n = 12 ` Cada correa costó = 240 = S/.20 12
Clave B
4 Sea:
3 x + 10 Yo: 3 x + 10 2 2 Tú: x 2x Del enunciado: 2x - b 3 x + 10 l = 5 & 2x - 3 x - 10 = 5 2 2 x = 30 & Tengo & Q = 1 (55 - Q) 55 4 Gasto Queda ` Q = 11 Q 55 - Q Queda: 55 - 11 = 44 Clave C 2
Intelectum Evolución 5.°
A
a
La cantidad de cerco:
b
"2a + b"
A = 200 m2 & a . b = 200 . 1 . 200 2 . 100 4 . 50 8 . 25 10 . 20 & La menor cantidad de cerco se utilizará cuando: a = 10 m y b = 20 m Clave B 7 Del enunciado roja: R; Naranja: N; Verde: V
V + R = 430 + V + N = 370 R + N = 360 2(V + R + N) = 1160 & V + R + N = 580
... (1) ... (2) ... (3) ... (4)
Reemplazando (2) en (4): 370 + R = 580 ` R = 210 g Clave A
8 Sea:
11 Sea:
n.° de cajones = a n.° de latas por cajón = 3a costo por lata = 2a & costo total = a(3a) . 2a 16 464 = 6a3 ` a = 14
1 ladrillo pesa: 2 ladrillos pesan: 3 ladrillos pesan:
Clave D
& a + b = 49 . . o o 5 6 5k + 6n = 49 o
12 Sea:
P: precio de un ticket R: precio de la radio & PV = PC + G 90P = R + 28 ... (1)
... (1) o
5 + (5 + 1)n = 5 - 1 o
o
...(2)
Clave C
Expresando la ecuación en múltiplos de 5: o
...(1)
Reemplazando (2) en (1): 2m = 2(2m) - 1 1 = 2m ` 4m = 2 kg
9 Sean los números: a y b
m 2m = 2y - 1 3m = m + y 2m = y
o
5 + 5 + n = 5 - 1
o
n = 5 - 1
Además: PV = PC - P 75P = R - 17
... (2)
De la ecuación (1), tenemos: 6n < 49 n < 8,17 ... (3)
... (2)
& Resolviendo (1) y (2): P = S/.3 / R = S/.242 Clave A
De (2) y (3): n = 5 - 1 = 4 & b = 24 ` a = 25
13 Efectúa 18 tiros acierta
Clave B
x
falla
18 - x
10 Sea:
Bailan 2a 2a
H M H = 3a Luego: H M
Bailan 15 + 2a 15 + 2a
De S/.5 cada uno De S/.2 cada uno
No bailan a 15
Del enunciado: recibe S/.55 5x - 2(18 - x) = 55 7x = 91 ` x = 13
M = 2a + 15
Clave A
No bailan 3
14 C: cantidad de dinero inicial de Claudia.
Del enunciado tenemos: 1.er encuentro: 2C - 1 2.° encuentro: 2(2C - 1) - 1
& 15 + 2a + 3 = 3a a = 18 Piden: n.° de personas = 4(3 # 18) + 3(15 + 2 # 18) = 369 ` Habrían 369 personas. Clave E
Por dato 2(2C - 1) - 1 = 25 ` C=7 Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 1
3
PRACTIQUEMOS
4
NIVEL 1 (Página 15)
A + B = 1154 A - B = 506 Resolviendo: (A + B) + (A - B) = 1154 + 506 2A = 1660 A = 830 / B = 324 I. B + 253 = 577 ! 830 (Falso) II. B = 324 (Verdadero) III. A - 330 = 500 > 498 (Verdadero) Clave C 2 Del enunciado:
A + B = 7(A - B) ...(1) A+B+1 =A-B+1 ...(2) 5 De (1): A + B = 7A - 7B 8B = 6A B = 3 & A = 4k / B = 3k A 4 De (2): A + B + 1 = 5A - 5B + 5 6B = 4A + 4 6(3k) = 4(4k) + 4 2k = 4 k=2 &A=8 / B=6 ` A # B = 48
9 A = 2B
22 - x
7:00 horas x
1 Del enunciado:
x - 7 = 22 - x 2 3 3x - 21 = 44 - 2x 5x = 65
3A = 36 2
A + A = 36 2
x = 13 & Son las 13:00 horas = 1 p. m. 5 Hoy gané: x
6x = 5x + 100 ` x = S/.100 Clave B 6 Sea n el número impar:
n+n-1+n-3+n-5+ 4(n + 2) = 199 4n - 9 + 4n + 8 = 199 8n = 199 + 1 n = 25 ` n.° menor = 25 - 5 = 20
Sumando las tres ecuaciones: 2x + 2y + 2z = 16 x+y+z=8
8 96 = A + B + C
C + 4C = 50 6 6C + 4C = 300 C = 30 ` 8C = 8 # 30 = S/.240 Clave C
Intelectum Evolución 5.°
-8
b
x
-2
a
y
2a -b
Dato: x - 2 + a = y - 2 + b ` x-y=b-a Clave B NIVEL 2 (Página 16)
11 Inicialmente
se tienen 20 canarios. Se escapan: x canarios Quedan: 20 - x 20 - x + 2 Traen: 2 Entonces: 20 = (20 - x) + 20 - x + 2 2 3 (20 - x) 18 = 2 ` x=8 Clave A
12 A: n.° kilogramos de arroz en el
1.er granero.
Clave C
Reemplazando:
Clave A 10
Ayer gané: x + 20 x = 5 (x + 20) 6
Pero: x + z = 5 & y + 5 = 8 ` y = 3
De (2): S = 4C 6
` A = 24 años
Clave B
x + z = 5 y: gallinas y + z = 7 z: patos x + y = 4
6S = 4C ...(2)
...(2)
Reemplazando (1) en (2):
7 x: pavos
3 C + S = 50 ...(1)
...(1)
A + B = 36
22:00 horas
Clave A
Clave D
4
x-7
...(1)
A = 3B ...(2) C=A+B ...(3) Reemplazando (3) en (1): 96 = C + C ` C = 48
Clave D
B: n.° kilogramos de arroz en el 2.° granero. Por dato: A + B = 745 4 A - 4 B = 20 7 5
...(1) ...(2)
Multiplicando (2) por 5/4: A - 5 B = 25 ...(3) 7
Restando (3) de (1): 12 B = 720 7 B = 420 kg A = 325 kg ` En el primer granero hay 325 kg. Clave C 13 Un año bisiesto tiene 366 días.
x: días transcurridos Por dato: x = (366 - x) - 6 7 5 5x = 7(336 - x) 12x = 2352 x = 196 Entonces: E F M A M J J 31 29 31 30 31 30 31 . 182 días + 14 días
196 días Por lo tanto, la fecha es 14 de julio. Clave E 14 L: longitud del alambre
Lado del cuadrado: L & Área = L2 5 25 Lado del triángulo equilátero: L 1 L b l = 5 3 15 L2 = L 25 15 L = 25 15 `L= 5 3
87 = x + y + z y: traje z = 5 + x z: sombrero z = y - 20 Resolviendo: 87 = (y - 25) + y + y - 20 87 = 3y - 45 ` y = S/.44
16 x: libro
Clave C
Clave A 17 L = 800
L - 8 A = 744 9
...(1) ...(2)
Reemplazando (1) en (2): 800 - 744 = 8 A 9 ` A = 56 # 9 = 63 cm 8
Clave A
18 Sean:
a: número de billetes de 100 b: número de billetes de 50 c: número de billetes de 20 d: número de billetes de 10 Nos piden emplear todas las denominaciones: 100a + 50b + 20c + 10d = 740 Simplificando: 10a + 5b + 2c + d = 74 Para emplear el menor número de billetes, el valor de “a” debe ser el mayor posible. Entonces 10a + 5b + 2c + d = 74 . . . . 6 2 1 2 ` Entregará: 6 + 2 + 1 + 2 = 11 billetes Clave C
15 A: gorriones
B: gaviotas
2A = B B + 2B = 90 2A + 2B = 90 B = 30 & A = 15 Piden: 30 + 15 - 24 = 21
Clave B
19 Según las condiciones se tiene:
Bus Camina 5 cuadras Gasta: S/.1,20 S/.0,80 n.° de días: 30 - a a Luego se plantea: 1,20(30 - a) + 0,80 . a = 28 a = 20
` El n.° de cuadras que caminó en días es: 20 . 5 = 100 Clave A
NIVEL 3 (Página 17)
20 Caja: C = 150 g
B = 2 + R; A = 4 + R; B = 4 A 5 Piden: x = C + 12A + 15B + 10R Tenemos: B = 4 & B = 4k A 5 A = 5k A = 4 + R (-) B=2+R A-B=2 k=2 & A = 10; B = 8; R = 6 Reemplazando: x = 150 + 12 # 10 + 15 # 8 + 10 # 6 ` x = 450 g Clave A 21 H: n.° de hombres
M: n.° de mujeres & H + M = 65 ...(1) Además del enunciado tenemos: H M 1 "1=
1 (1 + 1) 2
2 (2 + 1) 2 3 (3 + 1) 3 "6= 2 h h H (H + 1) ... (2) H "M= 2 Reemplazando (2) en (1): H (H + 1) H + = 65 2 & H = 10 / M = 55 I. Verdadero II. Falso III. El sexto amigo bailó con: 6 x(6 + 1) = 21 chicas. 2 (Verdadero) 2 "3=
Clave C SOLUCIONARIO - Unidad 1
5
P + M = 126
...(1)
M: mamá P + H = 106 H: hijo mayor M + h = 83 h: hijo menor H-h=9 Sumando (2) y (3):
...(2) ...(3) ...(4)
22 P: papá
26 Tomemos como modelo un hexágono regular en el
cual el segmento que une dos vértices opuestos es el diámetro de la circunferencia circunscrita. 2
1
P + M + H + h = 189 126 + H + h = 189 H + h = 63 ...(5) De (5) y (4): H = 63 + 9 = 36 2
` H = 36 kg Clave E
23 x: número de alumnos
n: número de carpetas Del enunciado: x = 6(n - 2) = 6n - 12 x = 4n + 12
O
4
4-1=3 6 5 5-2=3 6-3=3 & n.° lados = n.° vértices = 2(3) = 6 De modo similar en el problema, el estudiante 20 es diametralmente opuesto al estudiante 53, entonces: n.° total estudiantes = 2(53 - 20) = 66 Por lo tanto, al estudiante 45 se le encuentra diametralmente opuesto el estudiante número: 45 - 33 = 12 Clave B
Entonces: 4n + 12 = 6n - 12 24 = 2n n = 12 ` x = 4(12) + 12 = 60
27 A = B = C = k
Clave B 24 Del enunciado deducimos:
n.° de patos n.° de gallinas n.° de conejos
3
Antes
Vende
Después
n
5
n-5
2n
10
2n - 10
3n
3n
Luego de la condición final: 3n = 2[(n - 5) + (2n - 10)] operando: n = 10 ` n.° de conejos es 3 . 10 = 30
6 7 11 & A = 6k B = 7k C = 11k Además: 11k - 12 = 6k + a = 7k + b ; a + b = 12 Expresamos a y b en función de k: & a = 5k - 12 (+) b = 4k - 12 12 = 9k - 24 k = 4 Piden: A + B + C = 24k = 24(4) = 96 ` Hay 96 clavos en total. Clave E
Clave C 28 8000 + T + E
25 Del enunciado tenemos:
x y & x = 2y + 9 9 2 _x + y i x - y & x + y = (x - y) . 2 + 9 9 2 x = 3y - 9 Luego, igualando (1) y (2) tenemos: 2y + 9 = 3y - 9 y = 18 & x = 45 ` x = 45
... (1) ... (2)
Finalmente: 6000 + T + 2200 = 10(1000) T = S/.1800 Clave A
6
Intelectum Evolución 5.°
" 12 meses 6000 + T + E " 10 meses 5800 + E " 8 meses Se deduce de las 2 primeras proposiciones que está ganando S/.1000 mensuales, entonces: 5800 + E = 8(1000) E = 2200
Clave C
Unidad 1
Edades
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 23)
4 Edad de Carlos: ab; nació en 19ab
& 1980 - 19ab = ab 80 = 2ab ab = 40
1 (a + b) años
Nació en: 19ba
Edad del abuelo: cd; nació en 18cd & 1980 - 18cd = cd 180 = 2cd cd = 90 & La diferencia siempre es la misma: 90 - 40 = 50 años
1980
& Sabemos: 19ba + a + b = 1980 a + b = 1980 - 19ba a + b = 80 - ba a + b = 80 - 10b - a 11b + 2a = 80 . . 6 7 & Nació en 1967.
Clave C 5 Sean las edades:
Hermano 1: A Hermano 2: B Hermano 3: C Además: A + 2 = 5m ... (4)
` Cumplirá (2a + b) = 20 años en: 1967 + 20 = 1987 Clave A 2 Sea y la edad de Elvis.
Sea 3x la edad de Jhon.
B + 2 = 6m ... (5)
Pasado
Presente
Futuro
Jhon
y/2
3x
2(y - 12)
Elvis
x
y
3x
Del cuadro tenemos y + y/2 = 3x + x & 8x = 3y
...(1)
Además: 3x + 3x = 2(y - 12) + y & 6x = 3y - 24
...(2)
Resolviendo (1) y (2) tenemos: x = 12 / y = 32 ` Jhon tiene: 3 . 12 = 36 + . Elvis tiene: 32 68 años Clave E
87 = 3ab
ab = 29
(4) ÷ (5) / (1) ÷ (2) & A + 2 = 5 A - 2 = 3 B+2 6 B-2 4
` El menor tiene 8 años. Clave B 6 Hace 5 años
Presente
Dentro de 6 años
x-5
x
x+6
Del enunciado tenemos: x - 5 + x + 6 = 11 x - 5 = 11 - x + 6 Elevando al cuadrado ambos miembros: x - 5 = 112 - 2 . 11 . x + 6 + x + 6 2 . 11 x + 6 = 121 + 11 2 . x + 6 = 11 + 1 ( x + 6 )2 = (6)2 x + 6 = 36 ` La persona tiene: x = 30 años
1987 - 19ab = 2ab 87 - ab = 2ab
...(1) ...(2) ...(3)
Operando obtenemos: A=8 B = 10 & De (4) y (1): m=2 / k=2 & C = 12
Persona
3 Del enunciado tenemos:
C + 2 = 7m ... (6)
Del enunciado: A - 2 = 3k B - 2 = 4k C - 2 = 5k
&
& Emilio nació en 1929. ` La suma de cifras es: 1 + 9 + 2 + 9 = 21 Clave E
Clave D SOLUCIONARIO - Unidad 1
7
& En 1999 Rosa tendrá: y
7 Luis nació en: 19ab
Del enunciado tenemos:
19ba - 19ab = a + 3b
ba - ab = a + 3b
2 . (14) + 7 = y
(10b + a) - (10a + b) = a + 3b
9b - 9a = a + 3b
2x + 7 = y 35 = y
` Tendrá 35 años. Clave E
6b = 10a
10
3b = 5a . . 5 3 El año en que nació: 1935 Cuando cumpla (5a + 3b) = 30 años
Hace 7 años
Presente
Mayor
2x - 7
2x
Menor
x-7
x
El año será 1935 + 30 = año actual
Sea x la edad del menor
` El año es: 1965
Del enunciado tenemos: Clave A
8 Hace “b” años
Presente
Niño
b
2b
Padre
m . 2b - b
m . 2b
(2x - 7) + (x - 7) = 2x + x - 1 2 2 3x - 14 = 2x + x - 1 2
6x - 28 = 3x - 1
` El menor tiene: x = 9 años
Sea x el número de veces.
Clave B
Del enunciado:
11 Sea x + 5 la edad actual de José.
x . b = m . 2b - b
Hace 5 años
Presente
Dentro de 10 años
Anita
5x
5x + 5
5x + 5 + 10
José
x
x+5
x + 5 + 10
x . b = b(2m - 1); factorizamos ` x = (2m - 1) veces Clave C 9
14 años 7 años
Rosa
1978
1992
1999
x
2x
y
Sea x la edad de Rosa en 1978. Del cuadro tenemos: x + 14 = 2x 8
3x = 27
x = 14 Intelectum Evolución 5.°
Del enunciado tenemos: 5x + 5 + 10 = 2(x + 5 + 10) 5x + 15 = 2(x + 15) 5x + 15 = 2x + 30 3x = 15 x = 5 Edad José: x + 5 = 10 años; nació 1992. & Año actual 2002 Edad Anita: 5x + 5 = 30 años Año nacimiento Anita + Edad actual = Año actual Año Nac. Anita + 30 = 2002 ` Año nac. Anita = 1972 Clave A
& y = 6 / x = 33
12 Sea el año de nacimiento: 19xy
` Nuestras edades suman: 33 + 6 = 39 años
Del enunciado: 19xy + a = a
2
Clave E PRACTIQUEMOS
19xy = a(a - 1) . . 45 44 & a = 45
NIVEL 1 (página 25)
1 Del enunciado tenemos:
19xy = 45 # 44 = 1980 ` En 1995 la edad de la persona es: 1995 - 1980 = 15 años Clave C 13 Sea x la edad de b hace “(m - a)” años. Hace “m - a” Dentro “m + a” Presente años años A mx mx + m - a mx + m - a + m + a B
x
x+m-a
x+m-a+m+a
Del enunciado tenemos: mx + m - a + m +a = a(x + m - a + m + a) mx + 2m = a(x + 2m) mx + 2m = ax + 2ma mx - ax = 2ma - 2m x(m - a) = 2m(a - 1) ` La edad que tenía B es: 2m .
_a - 1 i _m - a i
` El esposo tiene: 4 + 3 + 2 + 30 + 4 = 43 años Clave B 2 1978 " a/2 14 años
1992 " a 2002 " x
10 años
Entonces: a - a = 14 2 a = 28 En el 2002 tendrá:
Clave D
14 Sean las edades:
x = 28 + 10 ` x = 38 años Clave C
Mi edad: x Tu edad: y Del enunciado tenemos: x = 3y + 15 x = (y + 1)2 - 16
Hijo 1: x Hijo 2: x+3 Hijo 3: x + 3 + 2 (+) Andrea: x + 3 + 2 + 30 Esposo: x + 3 + 2 + 30 + 4 5x + 3 . 4 + 2 . 3 + 2 . 30 + 4 = 102 5x + 82 = 102 x = 4
3 x: mi edad
y: tu edad ... (1) ... (2)
Igualando (1) y (2): 3y + 15 = (y + 1)2 - 16 0 = y2 + 2y + 1 - 16 0 = y2 + 2y - 3y - 15 - 16 + 1 0 = y2 - y - 30 y -6 y 5 & Tenemos: y - 6 = 0 / y + 5 = 0 y = 6 y = -5 (No existe edad negativa)
Como se llevan 10 años, luego cuando x = 35 & y = 25 De esta manera: Presente
Futuro
Yo
x
25
Tú
x - 10
x
Del cuadro: x + x = x - 10 + 25 x = 15 años Clave A SOLUCIONARIO - Unidad 1
9
7 a: Rubén
4
b: Marcos
Pasado Pasado Pasado 1.er caso 2.° caso 3.er caso Yo
a
20
x
Tú
10
a
12
Por dato: a = 4b
Del cuadro: a + a = 10 + 20 2a = 30 a = 15
2001
Rubén
4b
4b + 24
Marcos
b
b + 24
Del cuadro: 4b + 24 + b + 24 = 63 5b = 15 b = 3
Por lo tanto: x = 12 + 5 x = 17 años Clave D 5 x: mi edad
y: tu edad
En cualquier año la diferencia de edades es la misma. ` 4b - b = 3b = 3(3) = 9 años
Del enunciado:
Clave D
x+5 = 3; x = 1 4 y+8 2 y 4(x + 5) = 3y / 2x = y + 8
1977
8 Del enunciado:
y = 2x - 8
Pasado
Presente
Entonces:
Pepe
91 - 2a
2a
4(x + 5) = 3(2x - 8)
Juan
a
91 - 2a
2x = 44 ` x = 22
Clave A
6
Del cuadro: 91 - 2a + 91 - 2a = a + 2a 182 - 4a = 3a a = 26
Pasado
Presente
Futuro
Yo
b
5a - 5
5a
` Edad de Pepe: 2(26) = 52 años
Tú
a
b-5
b
Edad de Juan: 91 - 52 = 39 años
Del cuadro: b + b = a + 5a b = 3a
Clave B 9 J: edad de Jaime
L: edad de Lilian (J + 2) + (L + 2) = 40 J + L = 36
Por dato:
5a - 5 = b - 5 2 5a - 5 = 2(3a - 5)
a = 5
Además: J - L = 2 Resolviendo: L = 36 - 2 = 17 años 2
Por lo tanto: b - 5 = 3(5) - 5 = 10 años Clave A 10 Intelectum Evolución 5.°
Clave B
& La edad del mayor dentro de 30 años será: 2k + 36 = 2(3) + 36 = 42 años
10 Año Edad
A 18 Año actual: N A + 2 20
Clave D
(A + A + 2) - [(A - 18) + N] = 13
14 Del enunciado:
2A + 2 - A + 18 - N = 13 N - A = 7 Entonces, su edad actual es 25 años; pero, como aún no cumple años, tiene 24 años. NIVEL 2 (página 26)
11 Sea:
x: edad actual
Resolviendo: 9x - 9n = 2x + 2n
Juan
b-5
a
2b
...(1) ...(2)
15
7x = 11n x = 11 n 7
Clave B
1990 - 19ab = ab 2
1990 - 1900 - ab = ab 2 3 90 = (ab) 2 ab = 60
Presente
Futuro
z
b
Tú
7a 9
a
a (z + 42) - 12 b
Él
z
a+z=b+ 7a 9 z + a = 2b
...(2)
z+ 2a=b 9
...(1)
Restamos (1) y (2): 7 a=b 9
` Σcifras = 3 + 0 = 3 Clave B 13 Pasado
Pasado Yo
Del cuadro:
& Edad de José: 60 = 30 2
Presente
A
2k + 2
2k + 6
B
2k
2k + 4
C
2k - 2
2k + 2
Por dato: 6k + 12 = 30 k = 3
90 - 2b
Clave A
` 11 n + 2n = 25 n 7 7 12
Futuro
b
De (1) y (2): a = 20 años b = 22 años
x-n = 2 x+n 9
Presente
a-1
Del cuadro: 2b + b = a + 90 - 2b 5b - a = 90 a-1+a=b+b-5 b-a=2
Clave D
Pasado Carlos
En (2): z + a = 2 b 7 a l 9 z = 5 a 9 Del cuadro: z + z + 30 = a + 7 a 9 2z + 30 = 16 a 9 2 b 5a l + 30 = 16 a 9 9 2 a = 30 3 & a = 45 SOLUCIONARIO - Unidad 1
11
Piden:
Reemplazamos (4) en (1):
7 (45) (3b - z) - a = 3 b 7 a l - 5 a - a = 7 a = = 35 9 9 9 9
2d + d = 45
` Dentro de 35 años.
` c - d = 15 años
d = 15 / c = 30 Clave A
Clave C 18 Del enunciado:
16
Yo
Pasado
Presente
Futuro
5b
3a
3a + 2a = 5a
a
3a
Tú Él
Por dato:
3a
Pasado
Presente
Futuro
Yo
3a - b
a
78 - b
Tú
78 - b 2
b
78 - a
7b
5b = 5a - 15
...(1)
Del cuadro: 5b + 7b = 3a + 3a 2b = a
Del cuadro:
...(2)
Reemplazamos (2) en (1): 5b = 5(2b) - 15 b = 2b - 3 b = 3 & a = 6 Clave D 17 Pasado Pasado Pasado Presente 1.er caso 2.° caso 3.er caso Yo
c
b
a
5d
Tú
d
c
b
a
Del cuadro: b + b = c + a 2b = c + a c + a = d + 5d c + a = 6d
...(1) ...(2) ...(3)
Reemplazamos (2) en (3): 6d = 2b b = 3d 2c = d + b
2c = d + 3d
c = 2d
12 Intelectum Evolución 5.°
Por dato: a + b = 42
...(2)
a = 12 años b = 30 años Si tú hubieras nacido 2 años antes, tu edad sería: b' = 30 + 2 = 32 Si yo hubiera nacido 3 años después, mi edad sería: a' = 12 - 3 = 9 ` 32 - 9 = 23 años
Clave B
19 El año de su nacimiento: 19ab
2001 - 19ab = 1 + 9 + a + b 2001 - 1900 - 10a - b = a + b + 10
91 = 11a + 2b
Por tanteo, los únicos números que cumplen son:
Además: c + c = d + b
...(1)
Resolviendo (1) y (2):
` Piden: 3a - a = 2a = 2(6) = 12 años
Por dato: c + d = 45
3a - b + b = a + 78 - b 2 4a + b = 78
a=7 / b=7 ` Por lo tanto, nació en 1977. ...(4)
Clave D
20 Debido a que Lucy nació un domingo y cumplió
7 años también un domingo, se deduce que en ese lapso no hubo ningún año bisiesto. Los años bisiestos son múltiplos de 4, excepto los años de fin de siglo que solo son bisiestos si son múltiplos de 400. El año 1900 no fue bisiesto
b=1
23 Considerar que no votó a los 18 años.
x: mi edad y: tu edad
3 años 1900
1903 (no bisiesto)
Del enunciado: x - y 2 18 x = 2y
Año de nacimiento
Finalmente, en 1996 cumplió:
x 1 40
1996 - 1896 = 100 años Clave E NIVEL 3 (página 27)
21 Del enunciado:
...(1) ...(2)
Reemplazamos (2) en (1): x - x 2 18 2 x 2 36 Entonces: 36 1 x 1 40
1965 - 19ab = ab - (a + b) 65 - ab = ab - a - b
` x = 38 años
65 - 10a - b = ab - a - b
El orden de todas las velas se confundieron, entonces:
Clave B
Por lo tanto, esta situación se dio en 1903:
1896 (bisiesto)
Año nacimiento: 189b
` Año actual: 1981
o
1900 ! 400
4 años
Año actual: 198b
Clave E
65 = a(9 + b)
5(13) = a(9 + b)
24 a: edad del padre
&a=5 / b=4
b: edad del hijo
Nació en: 1965 - 5 # 4 = 1945
a # b = 8MCM(a; b)
...(1)
a + b = 6MCD(a; b)
...(2)
Clave E 22 Del enunciado:
Año de Año Edad = nacimiento actual actual = 19ab - 90 = 1810 + ab Ordenamos: 1810 + ab 1a9b &a+1=9 a=8
Por propiedad: MCM(a; b) # MCD(a; b) = a # b MCM(a; b) # MCD(a; b) = 8MCM(a; b) & MCD(a; b) = 8 & a = 8p / b = 8q
...(3) ...(4)
(p / q son PESI) Reemplazando (3) y (4) en (2): a + b = 48 8(p + q) = 48 p + q = 6 . . 5 1 SOLUCIONARIO - Unidad 1 13
` a - b = 8(p - q) = 8(4)
Por lo tanto: Edad de Alejandro: 20 años
= 32 años Clave C
Edad de Carlos: 25 años Clave A
25 P: suma actual de las edades de los padres. 27 Algunos años: n
H: suma actual de las edades de los hijos. n: número de hijos. Del enunciado: Hoy: P = 6H
...(1)
Hace 2 años: P - 4 = 10(H - 2n)
...(2)
Dentro de 6 años: P + 12 = 3(H + 6n)
...(3)
Yo
Hace n años
Actual
Dentro de n años
a-n
a
a+n
Del enunciado: (a + n)(a + n) - (a - n)(a - n) = 24a (a2 + 2an + n2) - (a2 - 2an + n2) = 24a
Reemplazamos (1) en (2): 6H - 4 = 10H - 20n 20n - 4 = 4H 5n - 1 = H ...(4)
4an = 24a
n = 6
Piden: a + n - (a - n) = 2n = 2(6) = 12 Clave D
Reemplazamos (1) en (3): 6H + 12 = 3H + 18n 3H = 18n - 12 H = 6n - 4 ...(5)
28 Sea x mi edad actual.
Yo
Igualamos (4) y (5): 5n - 1 = 6n - 4 ` n=3
Hace 6 años
Presente
Dentro de x/3 años
x-6
x
x + x/3
Del enunciado tenemos: x - 6 = 1 bx + x l 2 3
Clave C 26 Edad de Alejandro: ab
Edad de Carlos: cd Hoy: abcd = N 12
2x - 12 = 3x + x 3 6x - 36 = 4x x = 18
x + y = 3x
Dentro de 11 años: efgh = N 22
18 + y = 3 . 18
Sabemos:
y = 36 ` Dentro de 36 años.
efgh - abcd = 1111
Clave B
N 22 - N 12 = 1111 & (N2 - N1)(N2 + N1) = 11 # 101 Resolviendo: N2 - N1 = 11 N2 + N1 = 101
N2 = 56 N1 = 45
Entonces: N 12 = 452 = 2025 14 Intelectum Evolución 5.°
29 L: edad de Laura
M: edad de la madre P: edad del padre L + M + P = 66 M= P +2 2 °
M=3
...(1) ...(2) ...(3)
Reemplazando (2) en (1): L + P + 2 + P = 66 2 L + 3 P = 64 2
30
Edad del padre: ab Edad del hijo: ba
ambos utilizan las mismas velas
El hijo nació en 19ab.
2L + 3P = 128 ° ° (3 - 1)L + 3 = 3 - 1 ° L = 3 + 1
El padre nació en 19ba.
°
Por dato:
Reemplazando (3) en (1): L + P + M = 66 ° L + P = 66 - 3 ° L + P = 3 Entonces: 2L + 3P = 128 . . 1 42 4 40 ° 7 38 (L + P = 3 ) 10 36 13 34
ab - ba = 27
& 10a - a + b - 10b = 27
a - b = 3
...(1)
Además: 1999 - 19ab = ba 99 - 10a - b = 10b + a
a + b = 2
...(2)
De (1) y (2): a = 6 / b = 3 Edad del padre: 63 años
Por lo tanto: L = 7 años P = 38 años M = 21 años
Edad del hijo: 36 años Clave C
La edad del papá de Laura es 38 años. Clave D
SOLUCIONARIO - Unidad 1 15
Unidad 1
Móviles
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 33) 1
& e = vt L = v . 12 v= L 12
Velocidad de regreso = 19 km/h ...(2) & 19 km/h = vl - vr De (1) y (2) resolvemos: vl + vr = 45 + vl - vr = 19 2vl = 64 ` vl = 32 km/h
...(1)
Clave B 4 Según el problema: 840 = v t
...(1)
Luego:
t/2
& e = vt 400 + L = v . 20 v = 400 + L ... (2) 20 Igualando (2) y (1) tenemos: 400 + L = L 20 12 ` L = 600 m
420 km
vB = 36 km/h
A
B
A
100 m
110 m
100 m
d
v = 2t - 2
t=
d = 110 + 100 20 + 10 v A + vB
...(3)
` t = 20 horas Clave D 5 t = 0,5 h
` t = 7 segundos
B vB = 50 km/h
Clave E 3
A
vA = 40 km/h a
t = 0,5 h A b
Sabemos: d = vt Donde: Velocidad de ida = 45 km/h & 45 km/h = vl + vr ...(1) Velocidad del río = vr Velocidad de la lancha = vl 16 Intelectum Evolución 5.°
...(2)
Reemplazamos (3) en (1): 840 = (2t - 2) . t 20 . 21 = (t - 1)(t)
Transformando las velocidades de (km/h) a (m/s) ; vB = 36 km/h vA = 72 km/h 5 vA = 72 b l m/s ; vB = 36 b 5 l m/s 18 18 vA = 20 m/s ; vB = 10 m/s Sabemos
420 km
Donde: t + 1 +t = t 2 2 2 t 1 & t2 = 2 Además: 420 = (v + 2)(t2) 420 = (v + 2) b t - 1 l 2 De (1) y (2):
t vA = 72 km/h
v+2
v
Clave D 2
t2
t1 = 1/2
Para el móvil A:
a = 40 . 0,5 a = 20 km
Para el móvil B:
b = 50 . 0,5 b = 25 km
B
C
v = 25 km/h
vC
vA
A 20 km
Sabemos: tA =
7
t + 1,5
t
B
vB
25 km
d v1 - v2
Alcance al móvil A: t =
tA: tiempo de alcance 20 vC - 40
Alcance al móvil B: t + 1,5 = &t=
1h
25 km
25+a
1h
25+2a 440 km
...
25+10a
En la primera hora recorre: 25 En la segunda hora recorre: 25 + a + h “ “ “ “ En la onceava hora recorre: 25 + 10a
... (1)
25 vC - 50
25 - 3 vC - 50 2
1h
1h
... (2)
25 . 11 + a . 10 . 11 = 440 2 ` a=3 Clave A
Igualamos (1) y (2): 8
20 = 25 - 3 vC - 40 vC - 50 2
v = 40 km/h a
1. parada (m min)
` vC = 60 km/h
a km
Clave D
El tiempo que demora el tren: t = a horas 40 El tiempo debido a las paradas: m . n min = m . n horas 60 & = a + mn 40 60 ` El tiempo total es: 3a + 2mn 120
6 t t A
vA
B
A
vB
B 600 m
200 m
Sabemos: d = v . t Para el móvil A: 800 = vA . t Para el móvil B: 600 = vB . t
...(1) ...(2)
Clave C
9 t=8s
t
t=2s t
A
2.a parada n parada (m min) ... (m min)
B 80 m
C
20 s B 720 m
& Para el móvil B: 720 = vB(t + 20) 720 = vB . t + 20vB
1 800 m
A
B
t=6
A
60 m
Del gráfico observamos: La velocidad de B: vB = d = 60 m t 6s ` vB = 10 m/s
...(3)
Clave A
Reemplazamos (2) en (3): 720 = 600 + 20 vB vB = 6 m/s
10 tparda = 6 a. m. t = 10 h
De (2) tenemos: 600 = 6 . t t = 100 s
v1 1 A
Finalmente en (1) tenemos: 800 = vA . 100 ` vA = 8 m/s
tparda = 7 a. m. t = 8 h
Clave B
v2 2 A
tllegada = 4 p. m. 1 B tllegada = 3 p. m. 2 B
SOLUCIONARIO - Unidad 1 17
Sabemos que las velocidades son inversamente proporcionales a los tiempos cuando las distancias recorridas son las mismas. & v1 = 8k / v2 = 10k
13 1 d1
Hora: 7:00 a.m. tA v2 2 8k A
v1 1
1 2 tA
24 km = 24 000 m v2 d2
2
d1 = v1. t Móvil 2: d2 = v2. t d1 = 40t d2 = 30t Debido a que d1 y d2 son perpendiculares: Móvil 1:
1
2
B
24 0002 = d12 + d22
A las 7:00 a. m. el móvil 1 ha recorrido (8k) km. & d = (8k)(1 h) d = 8k
24 0002 = (40t)2 + (30t)2 24 000 = 2500t2 t = 480 s ` t = 8 min
Donde tA: tiempo de alcance tA =
v1
d 8k = = 4h v2 - v1 10k - 8k
Clave E
` Se encontrarán: 7:00 + 4 h = 11:00 a.m.
14 Clave B
La rapidez de crecimiento de la y sombra es: Vs = t
11
Donde dH es la distancia recorrida por el hombre en un tiempo t. & dH = v . t = 1,1t
Sabemos: t1 = L ; t2 = L ; t3 = L v1 v2 v3 3L vm = L + L + L = t1 + t2 + t3 L + L + L 60 30 20
Aplicando semejanza de triángulos tenemos: 2, 2 4 = dH y y 2, 2 =4 & =2 1, 1 t y t
` vm = 30 km/h
` VS = 2 m/s
La velocidad media es:
Clave B
Clave D REFUERZA PRACTICANDO
12 v/4
v A
t3 t2 t1 d
NIVEL 1 (página 35)
1 tal: tiempo de alejamiento
v/2
tal = 1500 20 + 30
B
tal = 30 s
Sea el tiempo total: t & t = t1 + t2 + t3 t= d + d + d v v v 2 4 ` t = 7d v 18 Intelectum Evolución 5.°
Clave B
2 tE: tiempo de encuentro
tE = 180 4+5 ` tE = 20 h Clave C
Clave A
18 h ` LT = 15 # 8 = 120 m
Clave C 4 5h
2h v+3
v
L
Del enunciado: 8v = 2v + (v + 3)5 8v = 7v + 15 v = 15 km/h ` L = 15 # 8 = 120 km
7 De ida, v = 80 km y un tiempo
t1.
5 Veamos la relación entre la
rapidez y el espacio recorrido de dos móviles para un mismo tiempo. d1 = v1 # t d2 = v2 # t v d & 1 = 1 v2 d2 En el primer encuentro (v1 > v2): t
A
t
&
2
x - 120
120 m
v1 x - 120 = 120 v2
B
...(1)
Para el segundo encuentro: 2 A
1
69 m
B
x - 69
v1 120 + (x - 69) = v2 (x - 120) + 69
...(2)
De (1) y (2): ` x = 291 m Clave B 6 dAB: distancia entre A y B
v: velocidad del barco vR: velocidad del río
Del enunciado: dAB = (v + vR)5 dAB = (v - vR)7
Por lo tanto: dAB = (6vR + vR)5 = 35vR Si una balsa es llevada por la corriente tendremos: dAB = vR # t 35vR = vR # t ` t = 35 h
15vT = 10vT + L L = 5vT Piden: L + 3L t= T vT t=
Clave B
Clave B
1
Al cruzar el puente: L +L 15 = T vT 15vT = LT + L
Entonces: 5(v + vR) = (v - vR)7 v = 6vR
3 vT = 54 km # 5 = 15 m/s
h
De regreso, v = 20 km h tiempo t2. Sabemos: t1 + t2 = 10 h
10v T + 3 (5v T) vT
v A 2v
t t1
...(1)
2v B
30 m
2v t2
B
Debido a que el móvil B es más rápido que el móvil A, impactará primero en la pared. Después del impacto este se cruzará con el móvil A. & t = t1 + t2; t2 = t - t1 v.t + 2v . t2 = 30 ; v.t + 2v(t - t1) = 30 2v . t1 = 30 v.t + 2v.t - 2vt1 = 30
Tanto de ida como de vuelta se recorre el mismo espacio, entonces: 80 # t1 = 20 # t2 t2 = 4t1 Reemplazamos en (1): t1 + 4t1 = 10 5t1 = 10 ` t1 = 2 h
v.t + 2v.t - 30 = 30 3v.t = 60 v.t = 20 m El móvil A recorre (d): d = v . t ` d = 20 m
Clave E 8 Usamos la velocidad relativa
del camión respecto al tren, sería como si el tren estuviera detenido y el camión avanzara a:
t = 80 + 20 = 24 s 25 Clave A 6 9 vT: velocidad del tren LT: longitud del tren L: longitud del puente Al pasar delante del poste: LT = (vT)10
pared
v A
B
La distancia a recorrer sería 80 m del tren y 20 m del camión. & El tiempo que tarda el camión en pasar al tren es:
Clave D
10 Graficando:
y un
60 - 45 = 15 km # 5 = 25 m/s 18 6 h
` t = 25 s
Clave D NIVEL 2 (página 36)
11
vtren = 50 km/h vavión = 200 km/h L1 + L2 = 720 km t1 + t2 = 6 h Además: 720 = 50t1 + 200t2 SOLUCIONARIO - Unidad 1 19
& 720 = 50t1 + 200(6 - t1) 720 = 50t1 + 1200 - 200t1 & t1 = 16 h 5 ` L1 = 50 # 16 = 160 km 5
15 Si se mueven en sentidos opuestos:
v1
v2
t=0
Clave C
12 Lt: longitud del tren
vt: velocidad del tren La primera distancia recorrida es la longitud del tren Lt vt # 7 = Lt Para el tiempo de cruce con la estación tenemos: L + 360 22 = t vt & 22vt = 7vt + 360 15vt = 360 ` vt = 24 m/s Clave D
13 t: tiempo empleado en ir de A hacia B.
Del enunciado tenemos: d = 100t d = 150(t - 2) Igualando: 100t = 150t - 300 t=6h & d = 100 # 6 = 600 km Para llegar a las 2 p. m. se necesitarán 5 horas, entonces: v # 5 = 600 ` v = 120 km/h
te te: tiempo de encuentro te = 800 = 16 v1 + v2 & v1 + v2 = 50
...(1)
Si van en el mismo sentido, usamos movimiento relativo. v1 > v2 & v1/2 = v1 - v2 v1/2: velocidad del móvil 1 respecto al móvil 2 (v1 - v2)80 = 800 ...(2) v1 - v2 = 10 De (1) y (2): v1 = 30 m/s / v2 = 20 m/s v ` 1 =3 v2 2 Clave A 16 R: punto del primer encuentro (12:00 m.)
Clave A 14 vA: velocidad de Alfredo
vR: velocidad de la corriente del río (vA + vR)5 = (vA - vR)15 vA + vR = 3vA - 3vR v vR = A 2
El ciclista en 3 h recorre d. El auto en 3 h recorre 3d. M: punto del segundo encuentro (3 h después)
Cuando vR = 0 el recorrido será: vA # t = d & vA # t = (vA + vR)5 v vA # t = (vA + A )5 2 ` t = 7,5 min Clave A 20 Intelectum Evolución 5.°
` Del segundo gráfico se observa que al ciclista le falta recorrer una distancia d, entonces llegará a Q a las 6:00 p. m.
Clave A
17 Al cabo de 2 horas:
19 L: longitud del túnel A
v1 = 52 m s m v2 = 44 s
B B
d1
80 km
d2
d1 + 80 + d2 = 320 2(vA) + 80 + 2(vB) = 320 vA + vB = 120 El tiempo de encuentro (tE) es: d tE = = 320 = 8 h v A + vB 120 3
El tiempo que demora cada uno en aparecer es: t1 = L / t2 = L 52 44
Luego del encuentro, el tiempo para que estén separados 80 km es: d = 80 = 2 h tal = v A + vB 120 3
Clave B
(vA - vB)30 = 2 # 420 vA - vB = 28 Clave B
18
C
x
L-x
...(2)
De (1) y (2): vB = 140 - 28 2 ` vB = 56 m/mín
Del enunciado: L + L - x = 123 2L = 123 + x & 123 < 2L 61,5 < L ...(1)
Clave D NIVEL 3 (página 37)
21 L: longitud total recorrida
T: tiempo empleado si el viaje fuera normal. &L=v#T
Además: ° / L - x = 7° L = 11 &L>x
En el primer caso con 3 horas de atraso. ...(2)
1h
De (1) y (2): 61,5 < L < 123 x 9 31 53 75 97 119
` x = 53 cm / L = 88 cm
1h
t
3v 5
v
Tabulando: 2L = 123 + x L 66 77 88 99 110 121
...(1)
Además: 2 (420) 6= v A + vB vA + vB = 140
B
L
L > 2L - 123 123 > L
` L = 1144 m 20 De acuerdo a las condiciones:
Piden: 8 h + 2 h - 2 h = 4 h 12 1 h 20 min 3 3 3
A
Por dato: t2 - t1 = 4 s & L - L = 4 44 52
d2
d1
L - x = 7° 57 46 35 24 13 2
&2+t=T+3 t = T + 1 & L = d1 + d2 vT = v + 3 v(T + 1) 5
Clave B
T = 1 + 3 (T + 1) 5 T=4h SOLUCIONARIO - Unidad 1 21
En el segundo caso con 1,5 horas de atraso: t2
1h v
24 De los datos:
e = 200 km v = 120 km/h & t = 200 h . 60 min 120 1h t = 100 minutos Si cada 10 min descansa 10 min. & n.° de descansos = 100 - 1 = 9 10 & t descansos = 9 . 10 = 90 minutos
t1
3v 5
v d1
1h
90 km
d3
& 1 + 90 + 1 + t1 = T + 1,5 v 90 + vt1 = 3,5v & d1 + 90 + d3 = L
` Llegará a su destino en 100 + 90 = 190 minutos
v + 90 + 3 vt1 = 4v 5 3 90 + vt1 = 3v 5
Clave A 25 Asumimos que el salchicha salió a las 8:00 a. m.
Para el salchicha tenemos:
90 + 3 (3,5v - 90) = 3v 5 v = 40 km/h ` L = 40(4) = 160 km
15 min S Clave C
22 d = v # t
Del enunciado:
10 min
d = mnpq
D
& mnpq = 340 # 4 mnpq = 1360 ` m + n + p + q = 1 + 3 + 6 + 0 = 10 Clave A 23 Después de 2 horas el auto recorrió:
8:15 a.m.
Hora salida: 8:05 a. m. Hora llegada: 8:25 a. m. Por lo tanto, el gran danés encontró al salchicha en el puesto de periódico a los 10 minutos de haber partido.
80 # 2 = 160 km
Clave E
El número de galones consumidos es:
26 Longitud de la pista circular: 240 m
vA = 8 m/s; vB = 5 m/s; vC = 3 m/s
160 km = 4 galones 40 km galón
A daría la vuelta en 30 s. B daría la vuelta en 48 s. C daría la vuelta en 80 s.
Por lo tanto, en el tanque quedan: 20 - 4 = 16 galones A partir de las 2 h pasará un tiempo t hasta que se acabe la gasolina, entonces: 16 - 80t - 1 # t = 0 40 2 16 - 2t - t = 0 2 t = 6,4 h Entonces, la distancia recorrida es: 160 + 80(6,4) = 672 km
& El tiempo que debe transcurrir para que se realice el primer encuentro es: MCM(30; 48; 80) = 240 s = 4 min Clave C 27 d: distancia entre A y B
El primer móvil tarda 10 h en ir de A hacia B, entonces: ...(1) d = (v1)10
Clave A
22 Intelectum Evolución 5.°
8:15 a.m.
Hora salida: 8:00 a. m. Hora llegada: 8:30 a. m. Para el gran danés tenemos:
El segundo móvil tarda 8 h en ir de B hacia A, entonces: d = (v2)8 ...(2)
29 vsonido = 340 m/s
Por lo tanto, de (1) y (2): v 10v1 = 8v2 & 1 = 4 v2 5 Supongamos que se encuentran a las n:00 horas, entonces tenemos: 6:00 a.m. n - 6
n:00 h
n - 7 7:00 a.m.
1 2 A
B
d2
d1
Del gráfico: d1 + d2 = d v1(n - 6) + v2(n - 7) = 10v1 5v v1(n - 6) + 1 (n - 7) = 10v1 4 n - 6 + 5 (n - 7) = 10 4 n = 11
Clave E 30 Cuando son tangentes interiores:
1m
1,2 m
a = 6t1 / b = 8t1
y
a
Clave A 1s
& 202 = (6t1)2 + (8t1)2
` Se encontraron a las 11:00 a. m. 28 De los datos 1s
El primer eco se escucha a los 3 segundos, quiere decir que el recorrido es de ida y vuelta. 2L1 = 340 # 3 L1 = 510 m El segundo eco se escucha 3,6 segundos después del primer eco: 2L2 = 340 # (3 + 3,6) L2 = 1122 m La separación entre las montañas es: L1 + L2 = 510 + 1122 = 1632 m
1s
20 m
` t1 = 2 s
x
b
Cuando son tangentes exteriores:
1,4 m
y
Aplicamos la ecuación del MRUV: d = v0 . t + 1 at2 2 Primer segundo 1 = v0 . (1) + 1 a(1)2 2 1 = v0 + a ...(1) 2 Los 2 primeros segundos 2,2 = v0(2) + 1 a . (2)2 2 2,2 = 2v0 + 2a ...(2) Resolviendo (1) y (2) tenemos: v0 = 0,9 a = 0,2 Piden el recorrido al cabo de 2 minutos d = (0,9)(120) + 1 (0,2)(120)2 2 ` d = 1548 m
60 m c
40 m d
x
c = 6t2 / d = 8t2 1002 = (6t2)2 + (8t2)2 t2 = 10 s Por lo tanto, pasaron de tangentes interiores a exteriores en: t = 10 - 2 = 8 s Clave E
Clave C
SOLUCIONARIO - Unidad 1 23
Unidad 1
Cronometría
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 45) 1 Del enunciado: c = 7 / Tt = 12 s
T 6 Sabemos: c = t + 1 Ti
7 = 12 + 1 / Ti = 2 s Ti Para 12 minutos: 12 _60 i + 1 ` c = 361 campanadas. c= 2 Clave B
T 2 Sabemos: c = t + 1
Ti Donde: Tt: tiempo total Ti: tiempo por intervalo c: número de campanadas Entonces, para 6 campanadas: 6 = 5 + 1 & Ti = 1 s Ti T Para 63 campanadas: 63 = t + 1 ` Tt = 62 s 1
Por dato: 5 = 10 + 1 & Ti = 2,5 s Ti Piden: 25 =
x - 20
a
x + 25 min = 4:00 p.m. x = 3:35 p.m. Clave B 8 Para que un reloj defectuoso, que sufre adelantos
o atrasos, vuelva a marcar la hora correcta es necesario que acumule un adelanto o un atraso total de 12 h o 720 minutos. Entonces:
5 min
1h
12 h < > 720 min
x
& x = 720 = 144 h < > 6 días 5
Clave B
9
n.° intervalos m - 2 m + 2
Tiempo (m - 2)2 x
2
_m - 2 i _m + 2 i = (m - 2)(m + 2) = m2 - 22 _m - 2 i ` Tardará: (m2 - 4)
Clave E
x min 11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
Cuando empezó a estudiar: Hora: 7 h + x min. Cuando dejó de estudiar:
(24 - x) h
xh 0h
4:00 p.m.
2a = 30 min & a = 15 min
Clave D
5
x + 10
3a
4 Aplicando regla de tres simple, pero con intervalos:
& x=
x 2a
3 La aparición del fantasma dura el tiempo que
-1 n.° campanadas m - 1 m + 3
Clave C
7 Sea x la hora actual.
Clave C
demora el reloj en indicar las 12 de la noche. Por dato: -1 n.° campanadas n.° intervalos Tiempo 6 5 6 12 11 x Aplicando regla de tres: 5 . x = 11 . 6 x = 13,2 ` La aparición del fantasma dura 13,2 s.
Tt + 1 ` Tt = 60 s 2, 5
xh
Del enunciado: x = 3 (24 - x) 5 5x = 72 - 3x x = 9 Por lo tanto, son las 9:00 a.m. 24 Intelectum Evolución 5.°
x min
24 h
11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5
Clave B
Hora: 13 h + x min.
El tiempo transcurrido será: (13 h + x min) - (7 h + x min) = 6 h
Del dato tenemos: a - q = 3,75 a = 3,75 + q a = 3,75 + 60 - x ...(3) Reemplazando (2), (3) en (1) obtenemos x: x = 18,75 Finalmente: H = 7 h M = 2x = 2 . (18,75) = 37,5 ` La hora será: 7h 37’ 30”.
Clave A
10 A la 1:18 el minutero ya pasó al horario, entonces:
q = 11 M - 30H 2 q = 11 (18) - 30(1) ` q = 69° 2
Clave B
Clave A
11 7,5°
14 Del gráfico
90°
11 12 1 2 10 4 9 q x3 2 4 8 7 6 5
11 12 1 10 x 2 9 3 8
7 6 5
4
Sabemos: H = M 12 Si: M = 90° & H = 7,5° & x = 90° - 7,5° = 82,5° = 82° 30’ Piden: CC(x) = x = 82° 30’
Hallando el ángulo entre las manecillas sabiendo que: H=4 M = 10 10 11 q = 30 H - 11 M 2 q = 30(4) - 11 b10 + 10 l 11 2 q = 60° Aplicando la ley de cosenos para hallar la distancia entre los extremos de las manecillas:
Clave C
12 11 12 1 10 2 3q 9 3 8 q4 7 6 5
x = 22 + 42 - 2 . 4 . 2 cos 60c x = 2 3 cm
Sabemos: H = M 12 Si: M = x min. & H = x min 12 3 x = 45 min Del gráfico: x + 12 & x = 36 min Por lo tanto, la hora es 4:36.
REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 47)
1
a + q + x + 120 = 12x a + q + 120 = 11x q + x = 60 x = 60 - q
15 h
16 h
xh
18 h
Del enunciado:(x - 15) = (18 - x) & x = 16,5 ` Son las 4:30 p. m. (2x)' < > (12x)°
2
...(1) ...(2)
Clave A
(12 - x) h
xh
0h
Observamos * *
(x - 15) h (18 - x) h 12 h
Clave A 13 Del gráfico: 11 12 1 10 120°2 9 x° 3 8 aq 4 7 6 5
Clave B
xh
Por dato: 2x = 4(12 - x) 2x = 48 - 4x x=8 Por lo tanto, la hora es 8:00 a. m.
12 h
Clave A
SOLUCIONARIO - Unidad 1 25
3
7 Sabemos:
(24 - x) h
xh xh
0h
Hora = Hora + Adelanto marcada real
24 h
6:20 = 6:14 + Adelanto
Del enunciado: 24 - x = x 2 x = 16 & 4:00 p. m.
Adelanto = 6 min
Hace 15 h era la 1:00 a. m., entonces transcurrió del día 1 h. Piden: 4:00 p. m. + 2 h = 6:00 p. m. Clave D
4
(24 - x) h
xh xh
0h
de la noche hay:
Clave B
12 horas & 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78 camp. 12 medias hora & 12 × 2 camp. = 24 camp. 12 cuartos de hora & 12 × 1 camp. = 12 camp. 12 tres cuartos de hora & 12 × 1 camp. = 12 camp.
9h
Por lo tanto: 78 + 24 + 12 + 12 = 126 campanadas.
& y = 36 min. Sabemos:
Clave A
Hora Hora Adelanto = + marcada real
10 Sabemos:
6:30 = Hora real + 36 min ` Hora real = 5:54 h < > 5h 54 min
Clave A
6 Sean y los minutos que se adelanta en 1 h,
entonces: y min 720 min & y = 0,25 Piden: 0,25 min 6 min ` x = 24 h
Clave C
9 Desde 1 minuto después del mediodía hasta las 12
0,25 h < > 15 min
y
Clave A 8 Del enunciado: 6 = 15 + 1 Ti
Para 30 s: c = 30 + 1 3 ` c = 11 campanadas
5 Por dato el adelanto es:
1 min
` x = 0,4 min = 24 s
& Ti = 3 s 24 h
Del enunciado: x = 5 (24 - x) 7 7x = 120 - 5x x = 10 Para la reunión faltan: 19:00 h - 10:00 h = 9 h
Calculamos el adelanto por hora: x 1h 15 h 6 min
1h 120(24 h)
-1 n.° campanadas n.° intervalos Tiempo m + 1 m2 m2 - 1 x x - 1 1 Aplicando la regla de tres simple, con el n.° de intervalos y el tiempo: x-1=
1h x
26 Intelectum Evolución 5.°
_m - 1 i_m + 1 i _m + 1 i x = m x-1=
Clave A
_m2 - 1 i_1 i _m + 1i
15 Para las 6:00 h:
` Tocará m campanadas. Clave A NIVEL 2 (página 48)
11
6=
Tt + 1 & Tt = 5Ti Ti
...(1)
En 38 s: c = 38 + 1 Ti
...(2)
Por dato: Tt = c & c = 2Tt 2
...(3)
Reemplazando (1) en (3): Luego: b 3L + L l 5 3L 5
16 h
c = 2(5Ti) & c = 10Ti
(x - 7) h
Reemplazando (4) en (2): 10Ti = 38 + 1 & Ti = 2 s Ti
Resolviendo: x = 13 Por lo tanto, la hora es 1:00 p. m. Clave B 12 El adelanto acumulado en 30 horas es:
3 min y & y = 45 min
2h 30 h
Entonces: 8 = x + 1 2 ` x = 14 s Clave B 16 Sabemos:
Sabemos: Hora = Hora + Adelanto marcada real
C = S + 1 & Ti = S Ti C-1 Piden: C2 - 1 = x + 1 Ti
11:15 = Hora real + 45 min ` Hora real = 10:30 a. m. Clave B
C2 - 1 =
13 Piden:
2 min
1h
720 min
x
...(4)
`x=
x +1 S C-1
S _C2 - 2 i C-1
Clave A
` x = 360 h < > 15 días Clave B
17 A las 7:48 (supuestamente) tenemos:
14 Cálculo del atraso:
3 min 18 min
48
5h y
& y = 30 h
12 11 1 10 2 9 q 3 8 4 7 6 5
Entonces:
El minutero pasó al horario, entonces:
lunes (8:00 p. m.) + 30 horas nos da:
& q = 11 (48) - 30(7) 2
miércoles (2:00 a. m.) Clave C
& q = 54° SOLUCIONARIO - Unidad 1 27
Sin embargo, la hora correcta es: 48
20 La hora es: H h M min a°
12 11 1 10 2 9 q 3 8 4 7 6 5
11 12 1 10 a 2 q 9 - 30° 3 8 q 30° 4 7 6 5
El minutero aún no pasó al horario:
2(q - 30)ˈ< >12(q - 30)°
& 54° = 30(9) - 11 M 2
H M (q - 30)° 2(q - 30)’ 12(q - 30)°
11 M = 216 2
& 12(q - 30)° + a° = 360° 12q° + a° = 720° Dato & 2q° - a° = 99° q = 819/14
& M = 39 3 11 ` Isabel debió decir 9 h 39 min. Clave D 18 Dato:
` La hora es: 7h 2(q - 30) min. = 7:57 NIVEL 3 (página 49) er
H = 11 M = 55
21 Para el 1. reloj:
Sabemos q = 30 H - 11 _M i 2 q = 30 . 11 - 11 . 55 2 ` q = 27° 30' Clave B 19 La hora es: H horas y M min. 11 12a 1 10 2 9 3 a 8 4 7 6 5
1h 1 min x 12 h < > 720 min & x = 720 h < > 30 días Para el 2.° reloj: 1h 2 min y 12 h < > 720 min & y = 360 h < > 15 días Coincidirán en marcar la hora correcta cuando transcurra un tiempo común que contenga exactamente a 30 y 15, que es: MCM(30; 15) = 30 Por lo tanto, los 2 relojes marcarán nuevamente la hora correcta dentro de 30 días. Clave D
a°
(2a)ˈ< >6(2a)°
H a°
22 Sabemos:
n.° campanadas = n.° intervalos + 1 Por dato, el reloj de Ana da 3 campanadas en el mismo tiempo que el de Carlos da 2. Para Ana: 3 = n.° intervalos + 1 & n.° intervalos = 2 Para Carlos: 2 = n.° intervalos + 1 & n.° intervalos = 1
M (2a)’ 6(2a)°
& 6(2a)° - a° = 180°
Clave D
a° = b 180 l 11
o
Luego: M = 2a’ = 2 b 180 l = 32 8 min 11 11 ` La hora es: 1h 32 8 min 11 28 Intelectum Evolución 5.°
& Clave C
nc intervalos (Ana) = 2k nc int ervalos (Carlos) k
A una determinada hora (x:00 h) el reloj de Ana dio x campanadas, y el de Carlos (x - 3) campanadas. & (x) = (2k) + 1
25 11 10 9
...(I)
& (x - 3) = (k) + 1
8
...(II)
12
Del enunciado: b = 3q
` El hecho ocurrió a las 7:00.
Del gráfico: q + b = 360°
4
q + (3q) = 360° & q = 90°
23 Para que dos relojes defectuosos (uno se adelanta
y el otro se atrasa) vuelvan a marcar la misma hora por primera vez, es necesario que exista una diferencia de:
El minutero pasó al horario, entonces: q = 11 (M) - 30(h) 2
12 h 720 min entre lo que marca cada uno.
90° = 11 M - 30(5) 2
Luego, al cabo de 1 h habrá una diferencia de: 3 + 6 = 9 min
& M = 43 7 11
Para que la diferencia sea de 720 minutos deberá transcurrir:
` La hora es 5:43 7 . 11
720 = 80 h 9 Para la tercera vez, entonces:
Clave A
26
3 # 80 h = 240 h
12
` Tienen que pasar 240 h.
9
24
x
C
4 760 - x
2
3
6
A las 3:00 p. m. el ángulo entre las manecillas mide 90°.
t-4
t
x
4
Clave B
A
3
q
7 6 5
Resolviendo (I) y (II): x = 7
Clave D
1
b 2
Por el teorema de Pitágoras:
B
x2 = 42 + 22 x = 16 + 4
Sabemos: d = v . t x = 340t
...(1)
(4760 - x) = 340(t - 4)
...(2)
` x = 2 5 cm Clave C 27 Si se atrasa 2 minutos cada hora, en 39 horas se
Reemplazando (1) en (2):
atrasará:
4760 - x = x - 340(4)
2 min
1 hora
` x = 3060 m
x min
39 horas
Clave B
x = 78 min 1 h 18 min (atraso en 39 horas) SOLUCIONARIO - Unidad 1 29
Ahora: 39 h = 24 h + 12 h + 3 h
De los 2 relojes igualamos los minutos correspon! dientes al arco BA : x - 20 = a 12 x b15 + l 12 x - 20 = 12
2 p. m. 2 p. m. 2 a. m. 5 a. m. Hoy 24 h mañana 12 h 3 h Sabemos:
& x = 21 57 143
HM = HR - atraso HM = 5 a. m. - 1h 18 min
Por lo tanto, la hora es 3:21 57 . 143
` HM = 3:42 a. m. Clave D 28 Inicialmente:
(a) min 11 12 1 10 2 9 3 8 4 7 6 5 A
x min x/12 B
11 12 1 10 2 6a 9 3 q° 2 a 8 4 7 6 5
Del gráfico: q = 180° - 8a
Hora: 3 h x min
Por fórmula:
Finalmente:
q = 11 M - 30 H 2 & (180 - 8a) = 11 (60 - a) - 30(7) 2 & a = 24
(15 + x/12) min = a 11 12 1 10 2 9 3 8 4 B 7 6 5 A a/12
30 Intelectum Evolución 5.°
Clave D
29
` La hora es 7:36.
Clave A
Unidad 1
Inducción-Deducción
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 54)
El número obtenido es capicúa, luego procedemos por inducción: n.° central 2 121 = 11 2
1 Analizando el número de triángulos por figura y
hallando la ley de formación o de recurrencia. n.° de triángulos 1 = 12
F1
F2
4 = 22
2
F3
3 4 h 6
9=3
12321 = 111 3 1234321 = 1111 4
12345654321 = 111 111 6 ` E = 111 111 Clave D
h 4 Procedemos utilizando la inducción:
...
...
F20
n = 202
...
& n = 202 = 400 ` Se podrán formar 400 triángulos. 2 Hallando la suma de los números por figura y
analizando la ley de formación o de recurrencia.
1
F2
3
5
h
3 7
5 9
...
F10
...
1
2 (2 + 1) 2 F 2
=
42 _43 i 42 _43 i 85 H2 6
S = 38 829 - 25 585
` S = 13 244
Clave E
13 Sean: D: diagonal de un cuadrado
L: lado de un cuadrado Por dato: D1 = 1 = L1 2 D 2 = 2 = L2 2 D 3 = 3 = L3 2 h h D20 = 20 = L20 2 Sumando las expresiones se obtiene: 20 _21 i = 2 (L1 + L2 + ... + L20) 2 20 _21 i = L1 + L2 + ... + L20 2 2 105 2 = L1 + L2 + ... + L20 20
` S = 3875 10 L = 1 + 1 +
12 S = 42 Ç 1 + 41 Ç 2 + 40 Ç 3 + ... + 2 Ç 41 + 1 Ç 42
Clave E
1 + ... + 1 9.12 30.33
S = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + 303
3L = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 30 33 3 6 6 9 9 12 3L = 1 - 1 = 10 ` L = 10 3 33 33 99
Clave A
11 P = 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + ... 4 20 100 500
S= >
2
30 _31 i H 2
` S = 216 225
Clave A
REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 165)
1 A=2
+ 5
+ 10 + 17 + ... + 2501
(12 + 1) (22 + 1) (32 + 1) (42 + 1) (502 + 1)
#1 5
& tn = n2 + 1 Entonces: A =
3 b l 4 &P=5+ = 5 + 15 16 1 -b1 l 5
80 Intelectum Evolución 5.°
Clave C
S = 12 + 2(22) + 3(32) + 4(42) + ... + 30(302)
3L = 6 - 3 + 9 - 6 + 12 - 9 + ... + 33 - 30 6.9 9.12 30.33 3.6
` P = 95 = 5,9375 16
i=1
14 Del arreglo podemos deducir:
3L = 3 + 3 + 3 + ... + 3 30.33 3.6 6.9 9.12
#1 #1 5 5
Piden: 4 f /Li p = 4 _105 2 i = 420 2 cm
&A= Clave C
50
50
50
n=1
n=1
n=1
/ _n2 + 1i = /n2 + /_1 i
50 _51 i_101 i + (1)50 6
A = 42 925 + 50
` A = 42 975 Clave E
2
4
25 / b 1i l = 1 + 12 + 13 + 14 = 12
Clave A
i=1
S = 0 + 5 + 10 + 15 + 20 + ...
3 x = 7 + 10 + 13 + ... + 304
` S = 2175
Luego: 304 = 3n + 4 & n = 100 Por serie aritmética: x = b 7 + 304 l 100 2 ` x = 15 550
11 Clave B
15 _16 i H = 360 4 / 3i = 3 > 2 i=1 8
i=3
Clave A
(i - 5)2 = (- 2)2 + (- 1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 8
/_i - 5i2 = 19
`
Clave C
i=3
6
4
/ d i2 1- 1 n = 13 + 18 + 151 = 21 40
Clave D
i=2
7 E = / b 1 l = 1 + 1 + 1 + 1 = 25 2k 2 4 6 8 24 k=1
Clave B
60 _61 i 8 / i = 1 + 2 + 3 + ... + 60 = 2 i=1 60
`
/i = 1830
15
15
n=4
n=4
n=4
n=4
A
B
Luego: A = 2>
Clave A
B = 5>
+9 +9 +9 & tn = 6 + (n - 1)9 = 9n - 3 o Para que termine en 5 debe ser 5 , entonces: o 9n - 3 = 5
15
/
15 _16 i 3 _4 i H = 570 2 2
15
/_2n3 - 5n + 10i = A - B + C
n=4
(2n3 - 5n + 10) = 28 728 - 570 + 120
/_2n3 - 5n + 10i = 28 278
n=4
R=
Clave B
9
/ 2k = 21 + 22 + 23 + ... + 29
k=1
2 _29 - 1 i = 1022 2-1
` R = 1022
o
Clave A
13 P = -(1 + 3 + 5 + ... + 169) + (2 + 4 + ... + 170)
( 5 - 1)n - ( 5 - 2) = 5 & n = 5 + 2 Tabulando: n = 2 & t2 = 15 n = 7 & t7 = 60 n = 12 & t12 = 105 n = 17 & t17 = 150 n = 22 & t22 = 195 Por lo tanto: S = 6 + 15 + 24 + 33 + ... + 195
_ b b b b ` b b bb a 22 términos
S = b 6 + 195 l 22 = 2211 2
2
15 _16 i 3 _4 i H - 2> H = 2(14 400 - 36) 2 2
C = 10(15 - 4 + 1) = 120
12 R =
o
2
C
A = 28 728
`
9 6; 15; 24; 33; ...
o
15
n=4 15
i=1
o
15
/ _2n3 - 5n + 10i = 2 /n3 - 5 /n + /10
Entonces:
4
60
Clave C
NIVEL 2 (página 166)
15
/
0 + (30 - 1) 5 n 30 2
S=d
+3 +3 Entonces: tn = t1 + (n - 1)r tn = 7 + (n - 1)3 & tn = 3n + 4
5
30 términos
10
2 P = - b 169 + 1 l + 170 ( 170 + 1) 2 2 2
P = -7225 + 7310 ` P = 85 Clave A 14 R = 1 + 1 + 1 + 1 + ... +
3
n
R= 2/< k=1
6
10
2 n _n + 1 i
1 k _k + 1 i F
Clave B SOLUCIONARIO - Unidad 3 81
18 a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + 76) = ...8
Luego: n
2 / : 1 - 1 D = 2
2
10 _11 i 10 _11 i_21 i 10 _11 i H + 4> H + 3> H 2 6 2
x = 3025 + 1540 + 165
` x = 4730
n términos n S = t1 d r - 1 n ; r-1
Clave A
17 0 ; 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; ...; 1680
+3 +5
+7
40
n=1
B=
/n
n=1
40
+ 2 /n n=1
40 _41 i_81 i 40 _41 i +2# 6 2 B = 22 140 + 1640 ` B = 23 780 82 Intelectum Evolución 5.°
S = S1 + S2 Donde: • S1 = 3 + 7 + 11 + 15 + ... + 119 n.° de términos = 119 - 3 + 1 = 30 4 & S1 = b 3 + 119 l 30 = 1830 2 • S2 = 4 + 6 + 10 + 16 + ... + 874 & 4 ; 4 ; 6 ; 10 ; 16 ; ... ; 874 +0 +2 +4 +6
B=
Clave C
Clave E
20 S = 3 + 4 + 7 + 6 + 11 + 10 + 15 + 16 + ... + 119 + 874
Piden: B = / (n2 + 2n) 2
t1: primer término n: n.° de términos r: razón
n S = a d 2 - 1 n ` S = a (2n - 1) 2-1
+9
+2 +2 +2 tn = an2 + bn + c a = 2 = 1; b = 3 - 2 = 2; c = 0 & tn = (n2 + 2n) 2 2 1680 = 402 + 2(40); entonces la serie tiene 40 términos.
40
76 _77 i = ...8 2
+2 +2 +2 tn = an2 + bn + c
Donde: t0 = 0 = d
c = 4; a = 2 = 1; b = 0 - 2 = -1 2 2 & tn = n2 - n + 4 Luego, al igualar tn con 874, se deduce que S2 tiene 30 términos, entonces: 30
t1 = 2 = a + b + c t2 = 11 = 8a + 4b + 2c
S2 = / (n - n + 4) 2
t3 = 33 = 27a + 9b + 3c
n=1
S2 =
2
30
30
30
n=1
n=1
n=1
& tn = n3 + n + n 2 2 Por dato: M tiene 20 sumandos. Piden:
/ n2 - / n + / _ 4 i
30 _31 i 61 30 _31 i S2 = + 30(4) & S2 = 9110 6 2
M=
` S = 1830 + 9110 = 10 940
M=
Clave E NIVEL 3 (página 167)
37 términos S = S 1 + S2 Donde: • S1 = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 55
n=1
S2 =
/n
n=1
n=1
n=1
2
20 _21 i 20 _21 i_41 i 1 20 _21 i H +1# + # 2 2 6 2 2 Clave E
Clave A 24 S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
2
n=1
+
/_1 i
n=1
Clave E
22 0 ; 2 ; 11 ; 33 ; 74 ; 140 ; ...
+2 +9 +22 +41 +66 +7 +13 +19 +25
3
2
18
` S = 532 + 2127 = 2659
4
9
8
27
S = S 1 + S2 Donde: • S1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 = 2 2 4 8 1- 1 2 • S2 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 = 3 2 3 9 27 1- 1 3 `S=2+3 = 7 2 2
Clave E
25 S = 4 Ç 36 + 6 Ç 34 + 8 Ç 32 + 10 Ç 30 + ... + 36 Ç 4
S = 4(36) + 6(36 - 2) + 8(36 - 4) + 10(36 - 6) + ... + 36(36 - 32)
+6 3
20
` n = 10
18 _19 i 37 + _1 i_18 i & S2 = 2127 6
+6 +6
20
/ n3 + 12 /n2 + 12 /n
4n2 = 40n
18 términos S2 = / _n2 + 1 i =
20
+ nn 2
n.° términos & (3n)n + (2 + 4 + 6 + ... + 2n) = 41n 3n2 + n(n + 1) = 41n
& S1 = 532 • S2 = 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 325
18
n=1
23 (3n + 2) + (3n + 4) + (3n + 6) + ... + (3n + 2n) = 41
19 términos
18
2
M = 44 100 + 1435 + 105 ` M = 45 640
2 _1 i + _19 - 1 i 3 H19 S1 = > 2
20
/ dn3 + n2
M=>
21 S = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 10 + 17 + ...
a = 1; b = 1 2 1 c= 2
2
Entonces: tn = an + bn + cn + d
S = 36(4 + 6 + 8 + ... + 36) - (2 Ç 6 + 4 Ç 8 + 6 Ç 10 + ... + 32 Ç 36) SOLUCIONARIO - Unidad 3 83
S = 36[18(19) - 2] - 4(1 Ç 3 + 2 Ç 4 + 3 Ç 5 + ... + 16 Ç 18) 16
S = 12 240 - 4 / n (n + 2)
/k = k(a + 1 - a + 1) = 2k
n=a
a+2
2 /k = 2k(a + 2 - a + 1) = 6k
n=1
S = 12 240 - 4 >
a+1
n=a
16 _17 i_33 i 16 _17 i H +2# 6 2
a+3
6 /k = 6k(a + 3 - a + 1) = 24k n=a
` S = 5168 Clave C 26 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 210 29 28 27 22 21 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 2 211 210 29 28 23 22 S = - 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 10 d 11 n 2 2 2 210 29 28 22
1 _210 - 1 i 11 n 2 S =+5 2 2-1
d
Entonces: 24k = 48k2 ` k = 1 2
29 A = n + 2(n - 1) + 3(n - 2) + ... + n[n - (n - 1)]
A = [n + 2n + 3n + ... + n(n)] - [1 Ç 2 + 2 Ç 3 + ... + (n - 1)n] A=
_n i_n i_n + 1 i _n - 1 i_n i_n + 1i 2 3
A = n(n +1): n - n - 1 D 2 3 `A=
S = 5 - 1023 2 2048 `S= 9+ 1 1024
Clave E
27 Sean los 20 números impares consecutivos:
(2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + ... + (2k + 39) = 1200
n _n + 1 i_n + 2 i 6
3 2 3 3n2 + 3n + 1 = _n + 3n + 3n + 1 i - n 3 3 n3 _n + 1 i _n2 + n i
=
& 2k = 40 Piden la suma de los 30 números impares consecutivos siguientes: T = (2k + 41) + (2k + 43) + (2k + 45) + ... + (2k + 99) 30 términos T = 30(2k) + b 41 + 99 l 30 2
Clave C a
n=a
84 Intelectum Evolución 5.°
3 _n + 1 i - n3 3
n3 _n + 1 i
2 1 & 3n + 3n +3 1 = 13 3 n _n2 + n i _n + 1 i
Luego tenemos: 3 / f n13 - 1 3 p n=1 _n + 1 i = d1 - 13 n + d 13 - 13 n + d 13 - 13 n + ... 2 2 3 3 4
T = 30(40) + 2100 T = 3300
/_k i = k(a - a + 1) = k
Clave A
30 En la parte interior:
20 términos 2 Entonces: 20(2k) + b 39 + 1 l = 1200 2
28 Calculando de adentro hacia afuera:
Clave C
3
`
/ f n13 -
n=1
1 =1 3p _n + 1 i Clave A
Unidad 3
Analogías y distribuciones numéricas
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 172)
38 ÷ 2 = 192
1 En el primer gráfico: 2 Ç 4 + 12 = 20
En la segunda figura: 9(5) + 1(3) = 48 48 ÷ 2 = 24
En el segundo gráfico: 5 Ç 3 + 12 = 27 Entonces: 1 Ç 7 + 12 = x ` x = 19 Clave A 2
2 En el primer triángulo: (7 - 3) = 16
En el segundo triángulo: (11 - 5)2 = 36 En el tercer triángulo: (x - 2)2 = 49 `x=9
Clave E
En la tercera figura:7 Ç 1 Ç 6 Ç 2 = ? ? = 84
`x=4 Clave D
4 En el primer triángulo: 2(2)(2) = 8
Clave A
4 3 15
& & &
12 + 8 = 5 . 4 9+9=6.3 13 + x = 2 . 15 Clave D
6
(7) (44) (7) (x)
2 6 4 8
& & & &
3.2+1=7 7 . 6 + 2 = 44 1.4+3=7 2 . 8 + 4 = 20 = x
En el segundo gráfico: 6 + 2 + 5 = 13 11 + 9 + 1 = 21 & 21 - 13 = 8 Por lo tanto: 20 + 15 + 18 = 53 24 + 22 + ? = 53 + 8 ? = 15 12 En la primera figura: 15(4) ÷ 6(2) = 5
En la segunda figura: 4(6) ÷ 2(3) = 4
3 5 4 2
(7) (4) (61) (x)
2 1 3 4
& & & &
8 5 4 3
(27) (36) (18) (x)
5 1 2 2
& & & &
Finalmente: 9(8) ÷ 3(2) = x ` x = 12
32 - 2 = 7 51 - 1 = 4 43 - 3 = 61 24 - 4 = 12 = x
Clave E 13 En la primera figura:
35 = 243 & Rcifras = 2 + 4 + 3 = 9
Clave A 8
11 En el primer gráfico: 9 + 3 + 7 = 19
Clave E
3 7 1 2
Clave C 7
Clave A
13 + 10 + 4 = 27 & 27 - 19 = 8
En el segundo triángulo: 3(4)(1) = 12 En el tercer triángulo:2(3)(7) = ? ` ? = 42
12 8 5 9 9 6 13 x 2 ` x = 17
10 En la primera figura: 3 Ç 1 Ç 2 Ç 7 = 42
En la segunda figura: 5 Ç 2 Ç 4 Ç 3 = 120
3 En la primera fila: 45 - 36 = 3
5
En la tercera figura: 7(6) + 3(4) = 54 54 ÷ 2 = x ` x = 27
Clave C
En la segunda fila: 49 - 24 = 5 En la tercera fila: 88 - 72 = x
9 En la primera figura: 4(7) + 5(2) = 38
En la segunda figura: 27 = 128 & Rcifras = 1 + 2 + 8 = 11 En la tercera figura: 45 = 1024 & Rcifras = 1 + 2 + 4 = 7
85 - 58 = 27 51 - 15 = 36 42 - 24 = 18 32 - 23 = 9 = x
` ?= 7 Clave B
Clave B
SOLUCIONARIO - Unidad 3 85
14 En el triángulo: (3 + 5 + 2)3 = 30
En el cuadrado: (3 + 4 + 2 + 9)4 = 72 En el pentágono: (0 + 1 + 3 + 4 + 2)5 = x ` x = 50
En la tercera figura: (7 + 3) + (7 - 3) = x ` x = 14
3#4#1 =3 2#2
Clave D
En la segunda figura: 3#2#8 =2 6#4
6 Mediante la suma de cifras:
101 & 1 + 0 + 1 = 2 11 & 1 + 1 = 2 22 & 2 + 2 = 4 25 & 2 + 5 = 7 26 & 2 + 6 = x
Clave B REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 174)
1 En el primer triángulo:
En el segundo triángulo: 4 Ç 7 Ç 5 = 140 ' 10 = 14
En la tercera figura: 3#4#6 =x `x=2 9#4
Clave A
`x=8
3 Ç 5 Ç 8 = 120 ' 10 = 12
Clave A
12 +9
7 1+2=3
3 + 22 = 7 7 + 23 = ? & ? = 15 15 + 24 = 31
En el tercer triángulo: 3 Ç 8 Ç 15 = 360 ' 10 = 36 ` x = 36
+3
1+5+2=8
7+2=9 7-2=5
En la segunda figura: -3 - 8 - 9 = -20
5
En la tercera figura: 5 + 9 + 10 = x ` x = 24
9 + 6 = 15 12 - 9 = 3
+7
20 +6
+5
Clave A 13 Sumandos términos alternada-
mente tenemos: 8 + 2 + 2 = 12 = 2 + 4 + 6 5 + 8 + 7 = 20 = 7 + 9 + 4 8 + 8 + 14 = 30 = 10 + 10 + 10 6 + 12 + 6 = 24 = a + b + c ` a + b + c = 24
M - 12 = 3 M = 15
Clave D
x
9
+8 27
` x = 9 + 5 = 14
En la segunda figura: N + 3 = 10 Entonces: N = 7
6=2Ç3 12 = 4 Ç 3 48 = 16 Ç 3 ` ? = 8 Ç 3 = 24
44 35
+4
8 En la primera figura:
2 En la primera figura:
2
Clave B
Clave A
3
11 En la primera figura:
` M + N = 22
Clave C
Clave D 9 Clave B
4 En la primera figura:
10 = (2 + 3)(4 - 2)
14
1 # 1 = 1; 4 2 8
1 ' 1 =3 8 24
2 # 1 = 1; 3 2 3
1'2 =1 3 3 2
5
6
4
12
3
6 . x = 48; 48 ÷ y = 6
33
34
32
?
24
+1
+1
` x = 8; y = 8
En la segunda figura: 21 = (4 + 3)(6 - 3)
NIVEL 2 (página 175)
Clave B 5 En la primera figura:
(5 + 3) + (5 - 3) = 10 En la segunda figura: (11 + 4) + (11 - 4) = 22
86 Intelectum Evolución 5.°
6 + 42 = 24 2
En la segunda fila: 3 + 27 = 15 2 En la tercera fila: 17 + 5 = z 2 ` z = 11 Clave A
-2
#3
'4
'4
Clave E 15
10 En la primera fila:
#3
` ? = 32 Ç 3 = 96
Clave A
En la tercera figura: x = (5 + 7)(5 - 1) ` x = 48
-2
6 letras
6 letras
6 letras
A
G
M
D
J
O
6 letras
6 letras
R U 6 letras
Clave E
20 En la primera figura:
En la segunda figura: [(15 + 10) - (10 + 7)] . 2 = 16
Clave C
oponen: 7 Ç 2 = 14 16 Ç 3 = 48 ? Ç 4 = 120 & ? = 30 9 Ç 5 = 45
`x=6
Clave B Clave B
(1 + 2) + (1 + 3) = 7 (1 + 3) + (1 + 5) = 10 (1 + 1) + (1 + 4) = 7 (1 + 4) + (1 + 2) = ? ` ?= 8
? 13
#4 #5
6 ?
Clave E
20 9
2 4
#2 #3
` ? = 6 Ç 5 = 30
18 22 = (18 + 13) - (2 + 7)
18 = (20 + 17) - (8 + 11) B = (12 + 8) - (A + 9) ` A + B = 11
Clave C 23 En la sucesión:
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12
Clave B
1
2
3
19 De la figura:
86 = y - x
Además: 5+2=7 7 + 3 = 10 10 + 4 = 14 14 + 5 = 19 = x & y = 86 + (19) = 105 Piden: x + y = 19 + 105
En la segunda fila: 52 + 41 = 29
` x + y = 124
(5 - 2)2 = 9 (7 - 3)2 = 16 (11 - 5)2 = 36 (25 - 17)2 = 64 & (x - y)2 = z Luego, para hallar x e y, hacemos: I. 5; 7; 11; x; 25
& x = 17 II. 2;
3;
5;
y;
17
+1 +2 +4 +8 &y=9
Clave E
43 + 32 = 73
27 Se observa:
+2 +4 +6 +8
` Rcifras = 6 + 0 = 6 24 En la primera fila:
6; 12; 18; 24 7 + 11 = 18
Clave E
4
En los círculos: 2=2Ç1 6=3Ç2 15 = 5 Ç 3 32 = 8 Ç 4 x = 12 Ç 5 & x = 60
NIVEL 3 (página 176)
2
` La alternativa correcta es: E
22 3
3 = 3 5= 5
7 12 6 1 1 18 24 17 9 5 7 11 7 6 8 7 7
Clave C 5
4 5
49
Suma de cifras: 4 + 9 = 13 Según las alternativas, el número 2371 cumple con el criterio: 2 + 3 + 7 + 1 = 13
26
21 Mediante suma de cifras:
=
17 De
67
25 Analizando los términos que se
En la segunda figura: 8#9 =x 3#4
` x = 16
Suma de cifras: 6 + 7 = 13
Clave B
En la tercera figura: 3 # 10 = 3 5#2
En la tercera figura: [(12 + 9) - (9 + 4)] . 2 = x
los gráficos podemos observar que la suma de cifras de cada número es igual al número ubicado en la parte central.
En la tercera fila: ` x = 26 80 + 52 = x
4#6 =2 2#6
[(8 + 5) - (5 + 2)] . 2 = 12
=
16 En la primera figura:
Reemplazamos: z = (x - y)2 = (17 - 9)2 = 64 & z = 64 ` E = 64 - 17 - 3(9) = 20 Clave D
Clave A SOLUCIONARIO - Unidad 3 87
Unidad 3
Desigualdades e inecuaciones
ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 181) 1 5x - 2x # 30
3x # 30 x # 10
2
6
7b2 - 7a2 > b2x - a2x
` x ! - 3; 10 A
7(b2 - a2) > (b2 - a2)x
Clave E
x-2 - x-1 1 0 x+3 x-4
` x ! -3 ;7
7 x2 + 5x + 6 + 4 $ x2 + 11x + 30 + 7
5x + 10 $ 11x + 37 -27 $ 6x -9 $x 2
_11 - 8x i 10 _x + 3 i_x - 4 i
` x ! - 3 ; - 9/2 A
_8x - 11 i 20 _x + 3 i_x - 4 i -3
-3
+
-
8
+
11/8
+3
4
x ! - 3; 11/8 , 4; + 3 Clave A 3
(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3) $0 (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) Las funciones (x2 + 1) y (x2 + 2x +3) son siempre positivas por lo que no es necesario analizarlas. + -3
-
+
-
-3 -2 -1
+ 1
2
+ 3
+3
CS = G-3; -3] , [-2; -1] , [1; 2] , [3; +3H
Clave A
4 x2 + 5x + 4 > 2x2 + 2x
x2 - 3x - 4 < 0 x -4 x +1 (x - 4)(x + 1) < 0
10x - 2 $ 7x - 7 3x $ -5 x$ -5 3 ` x ! 7- 5/3 ; + 3
Clave B
9 (x + 2)(x2 + 2x + 1) > x(x2 + 4x + 4)
x3 + 4x2 + 5x + 2 > x3 + 4x2 + 4x x>-2 ` x ! - 2; + 3
Clave A
10 (x + 1)(x2 + 4x + 4) $ (x + 3)(x2 + 2x + 1)
x3 + 5x2 + 8x + 4 $ x3 + 5x2 + 7x + 3 x$-1 ` x ! 7- 1 ; + 3
Clave E
2
11 4x + 12x + 9 > 4x - 5x + 1 -1
+ 4
` x ! - 1; 4 5
Clave C
3x + 3 + 2x - 4 $ 3x + 9 + 4x - 16 6 12
2
+ -3
7>x Clave C
x2 - 6x + 8 - _x2 + 2x - 3 i 10 _x + 3 i_x - 4 i
-
a2 x - 3a2 + 4b2 > b2 x - 3b2 + 4a2 4 4
+3
Clave B
a2 x - a2 + 2b2 $ b2 x - 3b2 + 4a2 2 2 5b2 - 5a2 $ b2x - a2x 5(b2 - a2) $ (b2 - a2)x 5$x ` x ! - 3; 5 A
88 Intelectum Evolución 5.°
17x > -8 x > -8/17 4x2 - 5x + 1 $ 0 4x -1 x -1 (4x - 1)(x - 1) $ 0 + -3
-8/17
1/4
x ! - 8 ; 1 D , [1; +3H 17 4 Clave D
+ 1
+3
` Soluciones menores que 7: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
Clave D
12
+
-3
Sumamos 2: -3 < 3x < 15 & -3 + 2 < 3x + 2 < 15 + 2 ` -1 < J < 17
• x2 - 3x + 2 > x2 - 4x + 3 x>1 • x2 - 3x + 2 $ 0 x -2 x -1 (x - 2)(x - 1) $ 0 1
+ 2
Como: -2 # x < 3
Multiplicando por (-2): -2(-2) $ (-2)x > (-2)3 & 4 $ -2x > - 6
+3
• x2 - 4x + 3 $ 0 -3 x x -1 (x - 3)(x - 1) $ 0 -3
+
-
+
1
3
Sumamos 6: 4 + 6 $ -2x + 6 > - 6 + 6 ` 0 < A # 10 Clave A 3 Esquematizamos:
1
2
3
Clave B
13 (x + 1)2(x - 2)(x + 2)(x - 3) > 0
-3
-2
2
3
+3
7 números ` 7 números la verifican.
Clave E
` Jmáx. = 7
(x + 1)(x - 4x + 4) < 0
mín. = 0 Clave C
5 El punto crítico es - 1 , no se considera como parte
2 de la solución ya que es > 0.
(x + 1)(x - 2)2 < 0 x+1