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CAPÍTULO 5

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

EJERCICIOS 5.1

Resolver los ejercicios 3, 4, 8, 9, 11a, 11b, 21, 22 y 25a

5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO 1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2p ciclos/s, ¿cuál es la constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kilogramos? 3. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento. 4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del problema 3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s. 5. Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio. a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t  p12, p8, p6, p4 y 9p32 s. b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t  3p16 s? ¿En qué dirección se dirige la masa en este instante? c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?

arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s. 9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 32 pie/s. Determine la amplitud y periodo del movimiento. 10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 14 pie. Esta masa se retira y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a 13 pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 54 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6). ¿En qué tiempos la masa logra un desplazamiento debajo de la posición de equilibrio numéricamente igual a 12 de la amplitud? 11. Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que está 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s. a) Encuentre la ecuación de movimiento. b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento? c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de 3p segundos?

6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación de movimiento.

d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez?

7. Otro resorte cuya constante es 20 N/m se suspende del mismo soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de 20 kilogramos y ambas masas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s.

g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t  3 s?

a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movimiento? b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t  p4 s? ¿En p2 s? c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma posición? ¿Dónde están las masas en estos instantes? ¿En qué direcciones se están moviendo las masas? 8. Una masa que pesa 32 libras alarga 2 pies un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie

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e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio? f) ¿Cuál es la posición de la masa en t  3 s? h) ¿Cuál es la aceleración en t  3 s? i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de equilibrio? j) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio? k) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en dirección hacia arriba? 12. Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya constante es de 9 lbpie. Inicialmente la masa se libera desde un punto que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 13 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.

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5.1

MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

13. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes k1 y k2, soportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa como k  4k1k 2 (k1  k 2 ). Una masa que pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y luego a una placa metálica. Como se muestra en la figura 5.1.16, la masa se une al centro de la placa en la configuración de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.

17.

195

x

t

FIGURA 5.1.17 Gráfica del problema 17.

18.

x

t

k2

k1

●

FIGURA 5.1.18 Gráfica del problema 18. 20 lb

FIGURA 5.1.16

Sistema de resorte doble del

19.

x

problema 13.

14. Una cierta masa alarga un resorte 13 pie y otro resorte 12 pie. Los dos resortes se unen a un soporte rígido común en la manera descrita en el problema 13 y en la figura 5.1.16. Se quita la primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la configuración de resorte doble y se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es p15 segundos, determine cuánto pesa la primera masa. 15. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4x
 e0.1tx  0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo. 16. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4x
 tx  0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo.

5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En los problemas 17 a 20, la figura representa la gráfica de una ecuación de movimiento para un sistema resorte/masa amortiguado. Use la gráfica para determinar: a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posición de equilibrio y b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección descendente o ascendente.

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t

FIGURA 5.1.19 Gráfica del problema 19.

20.

x

t

FIGURA 5.1.20 Gráfica del problema 20.

21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine la ecuación del movimiento.

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CAPÍTULO 5

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de colgarle una masa que pesa 8 libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 1 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s.

23. Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya constante es 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si: a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 12 m/s. 24. En los incisos a) y b) del problema 23, determine si la masa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante? 25. Una fuerza de 2 libras alarga 1 pie un resorte. Una masa que pesa 3.2 libras se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente se libera la masa desde el reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través de la posición de equilibrio en dirección hacia arriba. 26. Después de que una masa de 10 libras se sujeta a un resorte de 5 pies, éste llega a medir 7 pies. Se retira la masa y se sustituye con una de 8 libras. Luego se coloca al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea.

los valores de la constante de amortiguamiento b por lo que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado, b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado. 28. Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a b (b  0) veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente 3 1 2 la ecuación de de 2 pies/s, muestre que cuando movimiento es 3 2 x (t) e 2 t /3 senh 1 2 18 t. 1 2 18 3

5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO 29. Una masa que pesa 16 libras alarga 83 pie un resorte. La masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 12 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externa igual a f(t)  10 cos 3t. 30. Una masa de 1 slug está unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa se libera 1 pie abajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea. a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igual a f (t)  12 cos 2t  3 sen 2t actúa sobre la masa. b) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de estado estable en los mismos ejes de coordenadas. c) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento. 31. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en éste un alargamiento de 2 pies y luego llega al punto de reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t  0, una fuerza externa igual a f(t)  8 sen 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidad instantánea.

a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posición de equilibrio. b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (23). c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo. d) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.

33. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32 Nm, éste llega al reposo en la posición de equilibrio. Comenzando en t  0, una fuerza igual a f(t)  68e2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuación de movimiento en ausencia de amortiguamiento.

27. Una masa que pesa 10 libras produce un alargamiento de 2 pies en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a b (b  0) veces la velocidad instantánea. Determine

34. En el problema 33, escriba la ecuación de movimiento en la forma x(t)  Asen(vt  f)  Be2tsen(4t  u). ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones después de un tiempo muy largo?

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32. En el problema 31 determine la ecuación de movimiento si la fuerza externa es f(t)  et sen 4t. Analice el desplazamiento para t S .

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RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR x

c1 e c1 e

c2e c2e

x

x

Ae x , Axe x ,

x

; 17. 19. 21.

27. a) y  c 1cosh x  c 2 senh x  c 3 x cosh x  c 4 x senh x b) y p  Ax 2 cosh x  Bx 2 senh x 29. y  e x
p cos x 31. y 134 ex 54 e x x 12 sen x 33. y  x 2  4 c1 et 32 c2 e2t 52 37. x y  c 1e t  c 2 e 2t
3 39. x  c 1e t  c 2 e 5t  te t y 
c 1e t  3c 2 e 5t
te t  2e t

23.

()

25. a) x(t)

5. a) x

1 ;x 2 6

1 ; 4

(

1 cos 2t 2

11. a) x(t)

35. a) m

2 3 cos

3 sen 2t 4 10t

5 6 sen(10t

c) d) e) f) h) j) k)

113 sen(2t 4

1 2 sen

0.5880)

10t

0.927)

5 pies; 6 5 15 ciclos 0.721 s (2n 1) 0.0927, n 0, 1, 2, . . . 20 x (3) 
0.597 pies g) x(3) 
5.814 pies x(3)  59.702 pies2 i) 8 13 pies/s n n 0.1451 ; 0.3545 , n 0, 1, 2, . . . 5 5 n 0.3545 , n 0, 1, 2, . . . 5

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33. x(t)

1 2

1 4 9 4

cos 4t 2t

)

sen 3t)

4t

te

2e

1) , n 0, 1, 2, . . . 16 7. a) la masa de 20 kg b) la masa de 20 kg; la masa de 50 kg c) t  np, n  0, 1, 2, . . . ; en la posición de equilibrio; la masa de 50 kg se está moviendo hacia arriba mientras que la masa de 20 kg se está moviendo hacia arriba cuando n es par y hacia abajo cuando n es impar.

b)

1 4t 4e

(2n

c) t

9. x(t)

31. x(t)

12 4

1 9 ;x 4 2 32 b) 4 pies/s; hacia abajo x

)

sen 4t

15 2t e sen 4t 4.249 2 c) t  1.294 s 5 5 5 27. a) b) c) 2 2 2 4 147 64 147 cos t sen t 29. x(t) e t / 2 3 2 3147 2 10 (cos 3t 3

1 ;x 4 8

1 2

cos 4t

b) x(t)

4 16 t

12

(

2t

e

1.

1 4 cos

5 8t 3e

2 2t 3e

b) x(t)

EJERCICIOS 5.1 (PÁGINA 194) 12 8 3. x(t)

13 sen 813 t 12 a) arriba b) apuntando hacia arriba a) abajo b) apuntando hacia arriba 1 1 1 2 esto es, la pesa está s; s, x e ; 4 2 2 aproximadamente 0.14 pies debajo de la posición de equilibrio. 1 4 a) x(t) 3 e 2t 3 e 8t

13. 120 lb/pies; x(t)

cos 4t 1 2t 2e

sen 4t

cos 4t

sen 4t

d 2x dt 2

k(x

dx o dt

h)

d 2x dx 2 2 2 x h(t), dt 2 dt donde 2l  b
m y v 2  k
m b) x(t)

(

2t

e

32 13

37. x(t)

56 13

)

cos 2t

72 13

sen 2t

sen 2t

3 4t

sen 2t

56 13

cos t

sen t 1 8

cos 2t

5 4t

cos 2t

F0 t sen t 2 45. 4.568 C; 0.0509 s 47. q(t)  10
10 e
3t(cos 3t  sen 3t) i(t)  60e
3t sen 3t; 10.432 C 150 49. q p 100 13 sen t 13 cos t 39. b)

ip 53. q(t) 57. q(t)

100 13

150 13

cos t 1 10t 2e

sen t

(cos 10t E0C

q0

2

1

LC

1LCi0 sen i(t)

i0 cos

t 1LC

E0C 1

2

LC

3 3 2; 2

sen 10t) cos

t 1LC 1 q 1LC 0

C

t 1LC E0 C 2

1 1

LC

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 5

b) y y

RES-7

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cos t

E0 C t sen 2 LC 1LC

sen t

6/4/09 12:35:34 PM