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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ FACULTAD INGENIERIA INDUSTRIAL

Aplicación de ecuaciones diferenciales en la industria (ley de enfriamiento de Newton) INTEGRANTES: Sánchez Valverde Pierre Luigi

NOMBRE DEL DOCENTE: Ing. José Tranquilino Bermeo Reyes

SEMESTRE Y PARALELO: Tercer semestre “B”

PERIODO 2018 / 2019 (1)

Resumen y abstrac Las ecuaciones diferenciales son una rama de la matemática que se usan para el calculo de variables en distintos puntos, son muy exactas dependiendo al número de variables involucradas y son comúnmente utilizada para conocer puntos críticos dentro de procesos industriales, de la misma manera las ecuaciones diferenciales tienen modelos ya establecidos para diferentes tipos de trabajos, como el modelo de Newton o el modelo de Malthus, los cuales son comúnmente utilizado en la industria, además podemos destacar que la graficación de los datos obtenidos nos dan una imagen de una proyección futura por la cual podríamos tomar decisiones posteriormente, además de la aplicación integra de todo lo aprendido posteriormente nos dejan ver como todo va en un enlace fijo y que todo tiene una aplicación directa en el ámbito laboral.

Abstrac Differential equations are a branch of mathematics that are used to calculate variables at different points, are very accurate depending on the number of variables involved and are commonly used to know critical points within industrial processes, in the same way differential equations they have already established models for different types of jobs, such as the Newton model or the Malthus model, which are commonly used in the industry. We can also highlight that the graphing of the data obtained gives us an image of a future projection for the which we could make later decisions, besides the integral application of everything learned later, they let us see how everything goes in a fixed link and that everything has a direct application in the workplace.

Metodología La metodología a emplearse son las ecuaciones diferenciales con la ley de enfriamiento de newton, ya que para realizar los cálculos con éxito se necesitan de los principios fundamentales de ambas, para luego de los resultados graficar los datos obtenidos, de tal manera que definimos que: Ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. (Newton I. , 1736) La ley del enfriamiento de Newton La ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano establece que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores. Fue determinado experimentalmente por Isaac Newton analizando el proceso de enfriamiento y para él la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío, es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y la del ambiente. (Newton, 1782)

Objetivo general •

Determinar el papel de las ecuaciones diferenciales en la industria, para la obtención de predicciones de crecimiento.

Objetivos específicos • Determinar la importancia de las ecuaciones diferenciales • Demostrar mediante uso de las ecuaciones diferenciales la obtención de datos reales aproximados.

Importancia. Las leyes científicas, que, por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. De esta manera podemos dar resolución a casi todo tipo de problemas físicos transferibles a matemáticas, y dentro de la ingeniería industrial, la importancia es muy grande, dado la gran cantidad de procesos y cálculos de producción, todos los cuales son efectuados por ecuaciones diferenciales.

Discusión Si 𝑇̂ es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo sometido a la temperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo cambia en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. Por lo tanto, si queremos obtener la temperatura en cualquier instante el problema queda modelado por la ecuación diferencial: Formula a utilizar: 𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇̂) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇̂) 𝑑𝑡 𝑇

∫ 𝑡0

𝑇 𝑑𝑇 = ∫ 𝐾𝑑𝑡 (𝑇 − 𝑇̂) 𝑡0

𝑇(𝑡0 ) = 𝑇0

𝑡0 = 0 𝑑𝑇

𝑑𝑇 = 𝐾(𝑇 − 𝑇̂)𝑑𝑡 𝑇 𝑡0

𝑒

= 𝐾𝑑𝑡

𝑇

ln(𝑇 − 𝑇̂) ∫ = 𝐾𝑡 ∫

(𝑇 − 𝑇̂) ln ( ) = 𝐾𝑡 (𝑇𝑜 − 𝑇̂)

(𝑇 − 𝑇̂)

ln(𝑇 − 𝑇̂) − ln(𝑇 − 𝑇̂) = 𝐾𝑡

𝑡0

̂) (𝑇−𝑇 ̂ )) (𝑇𝑜 −𝑇

ln(

(𝑇 − 𝑇̂) = 𝑒 𝐾𝑡 (𝑇𝑜 − 𝑇̂)

= 𝑒 𝐾𝑡

(𝑇 − 𝑇̂) = (𝑇𝑜 − 𝑇̂)𝑒 𝐾𝑡

𝑇 = 𝑇̂ + (𝑇𝑜 − 𝑇̂)𝑒 𝐾𝑡

Fuente de estudio: En una empresa atunera, se necita conocer la temperatura interior, de las latas al salir del proceso de cocción, al no poder interactuar con ellas, se toman medidas a partir de los 20 minutos de haberse extraído del cocinador, al estar en contacto con la temperatura ambiente de las cámaras estacionaras de enfriamiento que tienen una temperatura fija de 5°C. en la primera muestra de temperatura tomada a los 20 minutos, se obtiene una temperatura de 45°C y después de 40 minutos es ya de 22°C. Determinar la temperatura con la cual la lata es extraída del proceso de cocción. 20 minutos

45°C

𝑇0 = 45°C

t = 20minutos

40 minutos

22°C

T = 22°C

𝑇̂ = 5°C

𝑇 = 𝑇̂ + (𝑇𝑜 − 𝑇̂)𝑒 𝐾𝑡 22 = 5 + (45 - 5) 𝑒 𝐾∗20 17 = 𝑒 20𝑘 40

𝑙𝑛 (𝑒 20𝑘 =

17 ) 40

17 = 40𝑒 20𝑘

𝑙𝑛𝑒 20𝑘 = ln (

17 ) 40

17

𝑘=

ln (40) 20

𝑘 = −0,0427

17 20𝑘 = ln ( ) 40

20 minutos

66°C

𝑇0 = 45°C

t = 20minutos

40 minutos

32°C

T = 22°C

𝑇̂ = 5°C

𝑇 = 𝑇̂ + (𝑇𝑜 − 𝑇̂)𝑒 𝐾𝑡 40 = (𝑇𝑜 − 5)

1 𝑒 0,8556

45 = 5 + (𝑇𝑜 − 5)𝑒 −0,0427∗20 40𝑒 0,8556 = (𝑇𝑜 − 5)

40 = (𝑇𝑜 − 5)𝑒 −0,8556

𝑇0 = 40𝑒 0,8556 + 5

𝑇0 =99,111°C

Resultados

Temperatura 120 100 80 60 40 20 0 0 min

20 min

40 min

Temperatura

Podemos determinar mediante el gráfico que la decadencia de la temperatura es lineal los primeros 20 minutos, y al llegar a un tipo de temperatura más similar a la del ambiente empieza a acercarse más rápido a esta, de una forma más lenta, ya que por medio de las leyes termodinámica determinamos que según el calor de un cuerpo es capaz de absorber temperaturas bajas, por ellos la decadencia de la línea en la grafica deja de ser lineal. Además de poder conocer la temperatura inicial nos podemos dar cuenta que las ecuaciones diferenciales nos ayudan con este tipo de ejercicios, y nos ayudan a realizar todo tipo de proceso.

conclusiones Una ecuación diferencial debe entenderse como un modelo de un fenómeno de la realidad. Es decir, como una expresión matemática que reproduce lo que sucede en un fenómeno, si sustituimos cantidades y parámetros adecuados. Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Mediante el grafico de los resultados podemos ver la evolución a la que tienen las ecuaciones, conociendo que no es lo mismo para todas los modelos ecuacionales, ya que todos los modelos se grafican de forma diferente, según el modelo y las demás referencias que estas tengan, además de conocer la evolución, podemos determinar una predicción de los próximos datos que podrían aparecer.

Referencias Newton, I. (1736). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series). Opuscula. Recuperado el 11 de Febrero de 2018 Newton, I. (1782). Opera quae exstant omnia (Vol. 4). (J. Nichols, Ed.) Recuperado el 11 de Febrero de 2018