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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS                                                       

   

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI 

dy + p( x) y′ = g ( x) y n una ecuación diferencial de Bernoulli, donde  n ≠ 0,1  Esto es una  dx ecuación no diferencial Lineal, que se la convierte en lineal haciendo el siguiente cambio  dv dv dy dy 1− n de variable: v = y  donde  = = (1 − n) y − n  Se multiplicara el factor  (1 − n) y − n   dx dy dx dx Sea 

a ambos lados de la ecuación de Bernoulli  

(1 − n) y − n

dy + (1 − n) y − n p( x) y = (1 − n) y − n g ( x) y n  Se obtiene lo siguiente:  dx

(1 − n) y − n

dy dv dy + (1 − n) p( x) y1− n = (1 − n) g ( x); donde = (1 − n) y − n ; v = y1− n dx dx dx

 

a1

.c om

dv + (1 − n) p ( x)v = (1 − n) g ( x) dx

ic

Esto  es  una  ecuación  diferencial    lineal  que  se  puede  resolver  por  el  método  del  factor  integrante. 

m

at

EJERCICIOS RESUELTOS 

at e

1) xy′ − y = x3 y 4  

Multiplicar por 

1 para darle la estructura de la ecuación diferencial  x

w.

1 y = x2 y 4   x

ww

de Bernoulli;  y′ −

M

Multiplicar la ecuación por el factor 

1 para transformar la ecuación de Bernoulli en ecuación lineal  y4

1 −3 y = x2   x Cambio de variable  y −3 = w ⇒ −3 y −4 y′ = w′   y −4 y ′ −

Multiplicar la ecuación por ‐3 y sustituir el cambio de variable  3 3 −3 y −4 y′ + y −3 = −3 x 2 ⇒ w′ + w = −3 x 2   x x Resolver  la  ecuación  diferencial  lineal,  identificando  P(x),  Q(x)  y  calcular  el  factor  ∂x 3 3 ⇒ Q( x ) = −3 x 2 ⇒ FI = e ∫ x = x 3   x P dx P dx Aplicar la fórmula:  we ∫ ( x ) = ∫ e ∫ ( x ) Q( x ) dx + c ⇒ wx 3 = ∫ x 3 ( −3 x 2 ) dx + c  

integrante P( x ) =

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Resolver la integral y despejar la variable "w"    wx 3 = − Revertir el cambio de variable:  y −3 =

3x6 x3 c +c⇒ w= − + 3   6 2 x

− x3 c + 3  2 x

2) xy ′ + y = − xy 2  

1 1 ⇒ y −2 y ′ + y −1 = − 1   2 xy x

Multiplicar la ecuación por el factor 

Hacer el cambio de variable:  y −1 = w ⇒ − y −2 y ′ = w′   1 −1 1 y = 1 ⇒ w′ − w = 1   x x Resolver la ecuación diferencial lineal. Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante 

Multiplicar la ecuación por "‐1" y sustituir:  − y −2 y ′ −

Aplicar la fórmula:  we ∫

P( x ) ∂x

= ∫ e∫

P( x ) ∂x

Q( x ) dx + c ⇒ w

.c om

1 − ∂x 1 1 ⇒ Q( x ) = 1 ⇒ FI = e ∫ x =   x x

1 1 1 = ∫ dx + c ⇒ w = ln x + c   x x x

a1

P( x ) = −

ic

Despejar w y revertir el cambio de variable:  w = x ln x + cx ⇒ y −1 = x ln x + cx  

2 y3 y= 2   x x

m

3) y ′ +

at

 

2 −2 1 y = 2  x x = w ⇒ −2 y −1 y ′ = w′  

at e

 Dividir la ecuación entre  y 3 :  y −3 y ′ +

M

Realizar el cambio de variable:  y −2

ww

w.

Multiplicar la ecuación por "‐2" y escribir la ecuación lineal:  w′ −

4 2 w=− 2   x x ∂x

∫ Resolver la ecuación lineal: Calcular el factor integrante:  FI = e x = x −4   P dx P dx ⎛ 2 ⎞ Aplicar en la fórmula:   we ∫ ( x ) = ∫ e ∫ ( x ) Q( x ) dx + c ⇒ wx −4 = ∫ x −4 ⎜ − 2 ⎟ ∂x + c   ⎝ x ⎠ −4

Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable:  

w=

−2 x −1 2 + cx 4 ⇒ y −2 = + cx 4   −5 5x 1

2 2y2 4) y′ + y =   x cos 2 x −

1 2

y y′ +

2 12 2   y = x cos 2 x

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    1 2

1 − 12 1 ⇒ y = w ⇒ y y′ = w′ ⇒ w′ + w = sec2 x x 2 FI = e

1

∫ x ∂x

= x ⇒ we∫ ( x) = ∫ e∫ P ∂x

P( x) ∂x

Q( x) dx + c ⇒ wx = ∫ x sec2 xdx + c

wx = xtgx − ∫ tgxdx + c ⇒ w = tgx +

ln cos x + c x

1 2

⇒ y = tgx +

 

ln cos x + c x

5) y′ − ytgx = − y cos x   2

⇒ y−2 y′ − y−1tgx = − cos x ⇒ y−1 = w ⇒ − y2 y′ = w ⇒ w′ + wtgx = cos x

ic m

2 2 1 4 2 y = ⇒ y 2 = w ⇒ 2 yy′ = w ⇒ w′ − w = x x x x ∂

∫x

at e

⇒ yy′ −

2 1   y= x xy

at

6) y′ −

x+c sec x ⇒y= x+c sec x

a1

w = sec x = x + c ⇒ y−1 =

.c om

tgxdx P dx P dx ln sec x = sec x ⇒ we∫ ( x) = ∫ e∫ ( x) Q( x) dx + c ⇒ wsec x = ∫ sec x cos xdx + c   FI = e∫ = e

−4

P dx P dx x =e = x ⇒ we ∫ ( x) = ∫ e ∫ ( x) Q( x ) dx + c ⇒ wx −4 = 2 ∫ ∂x + c   FI = e x 2 x −4 1 1 wx −4 = + c ⇒ w = − + cx 4 ⇒ y 2 = − + cx 4 −4 2 2 ln x −4

−4

7) y′ −

⇒ yy′ − e

−2

∂x

∫x

y x =   x y

ww

w.

M

−4

1 2 2 y = x ⇒ y 2 = w ⇒ 2 yy′ = w′ ⇒ w′ − w = 2 x x x

= e −2ln x = x −2 ⇒ we ∫

(

)

P( x ) dx

(

= ∫ e∫

P( x ) dx

w = x 2 ln x 2 + c ⇒ y 2 = x 2 ln x 2 + c

Q( x ) dx + c ⇒ wx −2 = 2 ∫ x −2 xdx + c  

)

  8) x 2 y′ +

⇒ y 3 y′ +

1 2 y = y −3   x x

1 4 2 4 8 y = 3 ⇒ y 4 = w ⇒ 4 y 3 y′ = w′ ⇒ w′ + 3 w = 3   3 x x x x

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FI = e ∫

4 x −3∂x

=e

−

2 x2

2

2

2

− 2 − 2 1 P dx P dx 2 ⇒ we∫ ( x) = ∫ e∫ ( x) Q( x ) dx + c ⇒ we x = 8∫ e x 3 ∂x + c ⇒ y 4 = 2 + ce x   x

9) y′ + 3xy = xy 2  

⇒ y′y−2 + 3xy−1 = x ⇒ y−1 = w ⇒− y−2 y′ = w′ ⇒ w′ − 3xw = −x FI = e∫

=e ∫

−3 xdx

=e

−3x2 2

⇒ we∫

P( x) dx

= ∫ e∫

P( x) dx

Q( x) dx + c ⇒ we

−3x2 2

= ∫e

−3 2 x ∂x 2

( −x) ∂x + c  

3 2 x 1 −23 x2∂x 1 −1 2 = e + c ⇒ y = + ce 3 3

⇒ y′y 2 +

4 1 y = e x y −2   x

.c om

10) y′ +

4 4 1 3 3 y = e x ⇒ y 4 = w ⇒ y 3 = w ⇒ 3 y 2 y′ = w′ ⇒ w′ + w = 3e x x x

a1

we

−3x2 2

P( x) dx

∂x

4

at

ic

3∫ 4 P dx P dx P dx e ∫ ( x) = e x = x 3 ⇒ we ∫ ( x) = ∫ e ∫ ( x) Q( x ) dx + c ⇒ we3 = ∫ x 3e x dx + c 4

3 x4 3e x 3e x c c 3 wx = e + c ⇒ w = 3 + 3 ⇒ y = 3 + 3 4 4x 4x x x

m

3

at e

w.

dy − y = e2 x y 3   dx

M

  11)

 

ww

dv dy dy dv 1 dv = −2y−3 ⇒ y−3 − y−2 = e2x ⇒ − − v = e2x ⇒ + 2v = −2e2x ; dx dx dx dx 2 dx 2dx dv d μ = e∫ = e2x ⇒ e2x + 2e2xv = −2e4x ⇒ ve2x = −2e4x ⇒ d ve2x = −2e4xdx dx dx 4x e e4x e4x −2x −2 −2x 2x 4x 2x ∫ d ve = −∫ 2e dx⇒ve = − 2 + C. ⇒v = − 2 + Ce ⇒ y = Ce − 2 ⇒ y =

v = y−2 ⇒

( )

( )

( )

1 e4x Ce − 2 −2x

 

dy y − = x2 y 2   dx x dv dy dy dv v dv v v = y −1 ⇒ = − y −2 ⇒ y −2 − x −1 y −1 = x 2 ⇒ − − = x 2 ⇒ + = −x2 dx dx dx dx x dx x   1 ∫ dx dv d 3 3 3 3 x μ (x ) = e = x ⇒ x + v = − x ⇒ ( xv ) = − x ⇒ d ( xv ) = d − x ⇒ ∫ d ( xv ) = ∫ d − x dx dx 12)

(

)

(

)

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.

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x4 x 4 C2 4x −1 xv = − + C1 . ⇒ xy = − + .⇒ y =   4 4 4 C2 − x 4 13)

dy 2 y = − x2 y2   dx x

dv dy dy dv v dv v = − y −2 ⇒ y −2 = 2x−1 y −1 − x2 ⇒ − = 2 − x2 ⇒ + 2 = x2 dx dx dx dx x dx x 2 dv d ∫ dx μ = e x = x2 ⇒ x2 + 2xv = x4 ⇐ x2v = x4 ⇒ d x2v = x4 dx   dx dx x5 + C2 5x2 x5 2 4 2 2 −1 ∫ d x v = ∫ x dx ⇒ x v = 5 + C1 ⇒ x y = 5 ⇒ y = x5 + C2 .

v = y −1 ⇒

( )

( )

.c om

( )

1

−

1 2

1

a1

dy y + = 5(x − 2) y 2   14) dx ( x − 2) 1 1

at

ic

− dy dv y 2 dy y2 dv v v= y ⇒ = ⇒y 2 + = 5(x − 2) ⇒ 2 + = 5(x − 2) dx dx (x − 2) 2 dx dx (x − 2)

∫ ln 5 ( x − 2) dv v + = ⇒ μ ( x ) = e 2 ( x −2 ) = e 2 dx 2 ( x − 2)

at e

m

dx

(

x −2

= x−2

)

3 3 dv v d 5 5 + = (x − 2)2 ⇒ v x − 2 = (x − 2)2 dx 2 x − 2 2 dx 2 3 3 5 5 d v x − 2 = ( x − 2 ) 2 dx ⇒ ∫ d v x − 2 = ∫ ( x − 2 ) 2 dx 2 2

w.

)

(

)

ww

(

M

x−2

v(x − 2 ) 2 = (x − 2 ) 2 1

15)

v= y

−2

5

 

5 ⎛( ⎞ ⎜ x − 2)2 + C ⎟ 1 ( ) x − + C 2 ⎠ + C; ⇒ v = y 2 = ⇒y=⎝ 1 x−2 (x − 2)2

  2

5 2

y dy + y3 x + = 0   x dx dv y −2 v 1 dv −3 dy −3 dy ⇒ = −2 y ⇐y +x+ =0⇒− +x+ =0 dx dx dx x x 2 dx

−∫ dv 2v − = 2x ⇒ μ (x) = e dx x

2 dx x

=e

ln

1 x

2

1 1 dv 2v = 2⇒ 2 − 3 = 2 x −1 x x dx x

 

 

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d ⎛ v ⎞ v ⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ −1 −1 −1 ⎜ 2 ⎟ = 2 x ⇐ d ⎜ 2 ⎟ = 2 x dx ⇒ ∫ d ⎜ 2 ⎟ = ∫ 2 x dx ⇒ 2 = 2 ln x + C ; dx ⎝ x ⎠ x ⎝x ⎠ ⎝x ⎠   1 1 1 2 2 = 2 ln x + C ⇒ x y = ⇒y= 2 ln x + C x2 y2 x 2 ln x + C   16)

dy + y = e x y −2   dx

3 dx 1 dv dv dy dy dv = 3y 2 ⇒ y 2 + y 3 = e x ⇒ + v = e x ⇒ + 3v = 3e x ⇒ μ(x) = e ∫ = e3x 3 dx dx dx dx dx dv d e3x + 3e3x v = 3e4 x ⇒ ve3x = 3e4 x ⇒ d ve3x = 3e4 x dx ⇒ ∫ d ve3x = ∫ 3e4 x dx dx dx

v = y3 ⇒

( )

( )

( )

3 4x 3 4x 3e x 3e x 3 3x 3 −3 x 3 ve = e + C ⇒ y e = e + C ⇒ y = + Ce ⇒ y = + Ce−3x 4 4 4 4

.c om

3x

 

ic

dv dy dy y 2 y = − y −2 ⇒ = 2 +2   dx dx dx x x

at

v = y −1 ⇒

a1

dy y 2 + 2 xy = 17)   dx x2

m

dy dv v 1 dv v 1 1 ∫ − 2 x −1 y −1 = 2 ⇒ − − 2 = 2 ; → + 2 = − 2 ⇒ μ (x ) = e dx dx x x dx x x x dv d 2 + 2 xv = −1 ⇒ x2 x v = −1 ⇒ d x 2 v = − dx ⇒ ∫ d x 2 v = − ∫ dx dx dx x2 x 2 v = − x + C ⇒ x 2 y −1 = − x + C ⇒ y = . C−x Nota: también puede ser resuelta por homogénea   

at e

y −2

( )

= e ln x = x 2 2

( )

ww

w.

M

( )

2 dx x

y dy dv dv y 2 + 2 xy y 2 2 xy =v+x ⇒v+x = = 2 + 2 = v 2 + 2v v = ⇒ y = vx ⇒ 2 x dx dx dx x x x dv dv dv dx dv dx = ⇒∫ 2 =∫ v + x = v 2 + 2v ⇒ x = v 2 + v ⇒ 2 dx dx x x v +v v +v A B Av + A + Bv ( A + B )v + A 1 = + = = ⇒ A = 1; B = −1 2 v + v v v +1 v2 + v v2 + v ⎛ y ⎞ ⎜ ⎟ dv dv dv dx v v ⎛ ⎞ x ⎟ = ⎛⎜ y ⎞⎟ = Kx ⎜ = ⇒ = − = ⇒ = + ⇒ x C Kx ln ln ⎜ ⎟ ∫ v2 + v ∫ v ∫ v +1 ∫ x v +1 ⎜ y + 1 ⎟ ⎜⎝ y + x ⎟⎠ ⎝ v +1⎠ ⎜ ⎟ ⎝x ⎠  

(

(

)

(

)

)

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y = Kyx + Kx 2 ⇒ y − Kyx = Kx 2 ⇒ y (1 − Kx ) = Kx 2 ⇒ y =

Kx 2 x2 ⇒y=   1 − Kx K−x

  18)

dy + y3x + y = 0   dx

1 dv dv dy dy = −2 y −3 ⇒ y −3 + x + y −2 = 0 ⇐ − +x+v=0 2 dx dx dx dx − 2 dx dv dv − 2v = 2 x ⇒ μ (x ) = e ∫ = e −2 x ⇒ e −2 x − 2e −2 x v = 2 xe −2 x   dx dx d ve −2 x = 2 xe −2 x ⇒ d ve −2 x = 2 xe −2 x dx dx

v = y −2 ⇒

)

−2 x −2 x ∫ d ve = ∫ 2 xe dx ⇒

)

2e −2 x dx = dz ⇒ −e −2 x = z; x = u ⇒ dx = du;

e −2 x e −2 x + C ⇒ ve −2 x = − xe −2 x − + C;   2 2 1 1 = − x − + Ce 2 x ⇒ y = 2x 2 Ce − x − 12

at

M

EJERCICIOS PROPUESTOS 

em

e −2 x + C ⇒ y −2 2

at ic

−2 x −2 x −2 x −2 x ∫ 2 xe dx = − xe + ∫ e dx = − xe −

y −2 e −2 x = − xe −2 x −

m

(

(

.c o

)

a1

(

ww w.

dy y x 1)2 = − 2 con y (1) = 1 dx x y

res. y = −3 x + 4 x 3

2

3 2

3x 2 2) y′ = 3 ; res. x 3 = − y − 2 + Ce y x + y +1 dy 3)tx 2 + x 3 = t cos t res. x3t 3 = 3 3 ( t 2 − 2 ) cos t + t ( t 2 − 6 ) sent + C dx 2 x 4) y′ = 2 ; res. x 2 + y 2 + 1 = Ce y 3 x y+ y

(

)

5) xy′ + y = x 4 y 3 ; res. y −2 = x 4 + Cx 2 cos x 6) xy 2 + y 3 = ; res. x 3 y 3 = 3 xsenx + 3cos x + C x 2 7) x 2 y′ − y 3 + 2 xy = 0 : res. y −2 = + Cx 4 5x

 

  DAMASO ROJAS  MAYO 2012    153       http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS