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• edwar.quiintero11

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´ del examen de Ecuaciones Diferenciales - Acumulativo Solucion 1. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial a)



x′′ = 8 − 4t + 2 sen (2t − 4)

x (2) = 1, x′ (2) = 0 ´ z = ´ inicial esta´ en t0 = 2, es necesario hacer la sustitucion ´ Dado que la condicion Solucion. t − 2, para aplicar la Transformada de Laplace (TL), de esta forma el problema de valor inicial (pvi) se convierte en  ′′ x = −4z + 2 sen (2z) x (0) = 1,

x′ (0) = 0.

Al aplicar TL (en la variable z) se obtiene s2 X − s = − y al despejar X se obtiene X =−

4 4 , + 2 2 s s +4

4 4 1 + + , s4 s2 (s2 + 4) s

´ es igual a pero esta expresion X=

1 1 1 4 − 2 + 2− 4 s s +4 s s

de donde, al aplicar TL inversa, se obtiene x (z) = z −

1 2 sin 2z − z 3 + 1, 2 3

´ del PVI es pero recuerde que z = t − 2, por tanto al sustituir se obtiene que la solucion 1 2 sin 2 (t − 2) − (t − 2)3 + 1 2 3 1 2 = t − 1 − sin 2 (t − 2) − (t − 2)3 . 2 3

x (t) = (t − 2) −

b)



(y ′′ + 2y ′ ) t + 2y = 0,

y (0) = 0, y ′ (0) = 3. d ´ Observe que L {tf (t)} = − ds Solucion. L {f (t)}, por tanto, 

d  L t y ′′ + 2y ′ = − L y ′′ + 2y ′ ds  d  2 = − s Y − 3 + 2sY ds = −2sY − s2 Y ′ − 2Y − 2sY ′ .

Por lo anterior, al aplicar TL al pvi se obtiene
−2sY − s2 Y ′ − 2Y − 2sY ′ + 2Y = 0,

´ que es equivalente a ecuacion


2sY + s2 Y ′ + 2sY ′ = 0 ⇐==⇒ s2 + 2s Y ′ + 2sY = 0 Ecuaciones diferenciales

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´ diferencial lineal de primer orden, que se puede resolver facilmente una ecuacion Y′+

2 Y s+2

0 =⇒ (s + 2)2 Y ′ + 2 (s + 2) Y = 0 o d n (s + 2)2 Y = 0 =⇒ ds =⇒ (s + 2)2 Y = c c =⇒ Y = (s + 2)2 =

Aplicando TL inversa se obtiene y (t) = cte−2t . Utilizando las condiciones iniciales, se tiene ´ del pvi es que c = 3; luego la solucion y (t) = 3te−2t . ´ de la resistencia del agua, la cual es proporcional 2. Una barca disminuye su velocidad bajo la accion a la velocidad de la barca. La velocidad inicial es de 1,5m/seg y al cabo de 4seg es de 1m/seg. ¿En ´ cuanto tiempo la barca disminuye su velocidad hasta 1cm/seg? ¿Que´ distancia recorrer la barca hasta detenerse? ´ que describe el ´ Sea v (t) la velocidad de la barca (t en segundos), entonces la ecuacion Solucion. problema es dv = kv, v (0) = 1,5m/seg, v (4) = 1m/seg. dt ´ de la ecuacion ´ es La solucion v (t) = 1,5 · ekt ´ v (4) = 1 = 1,5e4k , implica que k = la condicion

1 4

1 ln 1,5 ≈ −0,101 37.

Observe que 1cm/seg es igual a 0,01m/seg, por tanto, la velocidad es 1cm/seg cuando 1,5 · ekt = 0,01 =⇒ t =

1 0,01 ln ≈ 49,429. k 1,5

Es decir, que el tiempo necesario para que alcance dicha velocidad es de aproximadamente 49,429 segundo. Por otra parte, la velocidad se hace cero cuando t → ∞, por tanto la distancia total recorrida d es dada por  Z T  1,5 kt T 1,5  kT 1,5 kt e e −1 =− ≈ 14,798. d = l´ım 1,5e dt = l´ım = l´ım T →∞ 0 T →∞ k T →∞ k k 0 3. Supongamos que tenemos un sistema masa-resorte, no forzado y sin amortiguamiento. Si un objeto ´ del movimiento y determine que estira el resorte 6 pulgadas esta´ en equilibrio, establezca la ecuacion ´ general. Determine el desplazamiento del objeto para t > 0; si inicialmente el objeto su solucion esta´ desplazado 18 pulgadas arriba del punto de equilibrio y si se le aplica una velocidad hacia abajo ´ y el periodo. Realice la grafica ´ de 3 pies por segundo. Determine la amplitud de la oscilacion de la ´ que representa el desplazamiento. ecuacion ´ (Se lo dejo de ejercicio). Solucion. ´ 4. La figura muestra un problema de mezclas con alimentadores controlados mediante valvulas. En el ´ ´ salina con 0,4 kg de instante t = 0 se abre la valvula A, para transferir 6 litros/minuto de una solucion ´ ´ sal por litro. Cuando t = 10 minutos, la valvula A se cierra y se abre la valvula B y comienza a pasar ´ salina con una concentracion ´ de 0,2 kg/litro. En un principio hab´ıa 30 kg de 6 litros/minuto de solucion ´ ´ sal disueltos en 1000 litros de agua en el tanque. La valvula de salida C, que vac´ıa al tanque a razon ´ se mantiene de 6 litros/minuto, mantiene el contenido del tanque a volumen constante. Si la solucion bien revuelta, determine la cantidad de sal en el tanque para cada t > 0. ´ Sea x (t) la cantidad de sal (en kilogramos) en el tanque en el instante t. Entonces, por Solucion. x (t) ´ en kg/L es ´ de (6 L/min) × supuesto, la concentracion . El contenido de sal se reduce a razon 1000 Ecuaciones diferenciales

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 x (t) 3x (t) ´ de la valvula ´ ´ kg/L = kg/min a traves de salida. De manera simultanea, ingresa a 1000 500 ´ de las valvulas ´ ´ g (t), dada por traves A y B a la razon n ´ 0 ≤ t < 10 (valvula A), g (t) = 0,4kg/L × 6L/min = 2,4kg/min, ´ 0,2kg/L × 6L/min = 1,2kg/min, 10 ≤ t (valvula A). ´ As´ı, x (t) cambia a razon

d 3 dx 3 x (t) = g (t) − x (t) ⇐==⇒ + x (t) = g (t) , dt 500 dt 500 ´ inicial x (0) = 30 (kg). con condicion Observe que g (t) = 2,4 − 1,2U (t − 10). Al aplicar TL se obtiene sX − 30 + donde G (s) =

2,4 s

−

1,2 −10s s e

3 X = G, 500

es la TL de g (t). Al despejar X se obtiene X=

G 30 + , s + 3/500 s + 3/500

o reemplazando G, X = =

30 2,4 1,2e−10s + − s + 3/500 s (s + 3/500) s (s + 3/500) 30 400 400 200 −10s 200 + − − e + e−10s . s + 3/500 s s + 3/500 s s + 3/500

´ al problema es Aplicando TL inversa se obtiene que la solucion   x (t) = 400 − 370e−3t/500 − 200 1−e−3(t−10)/500 U (t − 10) . ´ general de una ecuacion ´ diferencial lineal no homogenea, ´ ´ dife5. Dada la solucion hallar la ecuacion rencial. a) y = c1 x + c2 x ln x + x − 1. ´ caracter´ıstica es c1 x + c2 x ln x, y ella se encuentra relacionada con una ´ La solucion Solucion. ´ de Cauchy-Euler, cuyas raices de la ecuacion ´ auxiliar estan repetidas es son unos, es ecuacion 2 ´ auxiliar es (m − 1) = 0. Pero recuerde que en el caso de las ecuaciones de decir, la ecuaciom ´ es de la forma y (x) = xm , y esto implica que Cauchy-Euler se supone que la solucion y ′ = mxm−1

y

y ′′ = m (m − 1) xm−2 .

Entonces si agrupamos de forma apropiada (m − 1)2 = 0 se tiene (m − 1) (m − 1)

= 0 =⇒ m (m − 1) − (m − 1) = 0 =⇒ x2 m (m − 1) xm−2 − xmxm−1 + 1xm = 0 =⇒ x2 y ′′ − xy ′ + y = 0,

´ homogenea asociada es x2 y ′′ − xy ′ + y = 0. Ahora reemplazamos la es decir, la ecuacion ´ particular yp (x) = x − 1, de donde se obtiene que yp′ = 1, yp′′ = 0, as´ı, reemplazando ecuacion ´ se tiene en la ecuacion x2 · 0 − x · 1 + (x − 1) = −1. ´ buscada es Por tanto, la ecuacion

x2 y ′′ − xy ′ + y = −1. Ecuaciones diferenciales

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b) y = c1 + c2 e2x + cos x + ln x. ´ caracter´ıstica es c1 + c2 e2x , y ella se encuentra relacionada con una ´ La solucion Solucion. ´ de coeficientes constantes, cuyas raices de la ecuacion ´ auxiliar son cero y dos, es ecuacion ´ auxiliar es m (m − 2) = 0. Pero recuerde que en el caso de las ecuaciones decir, la ecuaciom ´ es de la forma y (x) = emx , y esto implica de coeficientes constantes se supone que la solucion que y ′ = memx y y ′′ = m2 emx . Entonces si agrupamos de forma apropiada m (m − 2) = 0 se tiene (m) (m − 2)

= 0 =⇒ m2 − 2m = 0 =⇒ m2 emx − 2memx = 0 =⇒ y ′′ − 2y ′ = 0,

´ homogenea asociada es y ′′ − 2y ′ = 0. Ahora reemplazamos la ecuacion ´ es decir, la ecuacion 1 1 ′ ′′ particular yp (x) = cos x + ln x, de donde se obtiene que yp = − sin x + x , yp = − cos x − x2 , as´ı, ´ se tiene reemplazando en la ecuacion     1 1 2 1 − cos x − 2 − 2 − sin x + = 2 sin x − cos x − − 2 . x x x x ´ buscada es Por tanto, la ecuacion y ′′ − 2y ′ = 2 sin x − cos x −

2 1 − 2. x x

´ particular yp . 6. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la forma de la solucion (No evalue ´ las constantes). a) y iv − 16y = x2 sen 2x + x4 e2x . ´ auxiliar es m4 − 16 = 0, lo que implica que m = ±2i, ±2, es decir que la ´ La ecuacion Solucion. ´ caracter´ıstica es solucion yc (x) = c1 e2x + c2 e−2x + c3 cos 2x + c4 sin 2x ´ se ve que sin 2x y e2x se repite tambien ´ en la Si observamos la parte derecha de la ecuacion ´ caracter´ıstica, por tanto forma de la solucion ´ part´ıcular es solucion yp∗ (x) = k1 sin 2x + k2 cos 2x + k3 x sin 2x + k4 x cos 2x + k5 x2 sin 2x + k6 x2 cos 2x + +k7 x3 sin 2x + k8 x3 cos 2x + k9 e2x + k10 xe2x + k11 x2 e2x + k12 x3 e2x + k13 x4 e2x + k14 x5 e2x . b) y iv + 3y ′′ − 4y = cos2 x − cosh x.

´ auxiliar es m4 +3m2 −4 = 0, la cual es equivalente a m2 − 1 m2 + 4 = 0, ´ La ecuacion Solucion. ´ caracter´ıstica es lo que implica que m = ±2i, ±1, es decir que la solucion yc (x) = c1 ex + c2 e−x + c3 cos 2x + c4 sin 2x ´ es equivalente a 12 (1 + cos 2x − ex − e−x ), donde Si observamos la parte derecha de la ecuacion x −x ´ en la solucion ´ caracter´ıstica, por tanto forma de la se ve que cos 2x, e y e se repite tambien ´ part´ıcular es solucion yp∗ (x) = k1 + k2 sin 2x + k3 cos 2x + k4 x sin 2x + k5 x cos 2x + k6 ex + k7 xex + k8 e−x + k9 xe−x .

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