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• Ronaldo Ramos Rivera

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ECUACION DE RICATTI La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Golbach, Juan, Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Eule. Cumple la forma:

dy ' =p ( x ) y +q ( x ) y +r ( x ) dx

METODOS DE SOLUCION PRIMERA SOLUCION:

Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación de BERNOULLI para luego resolverla. Esta transformación se consigue mediante la sustitución: y=φ( x)+ z '

φ ( x )+

dz 2 =P(x )(φ( x )+ z )+Q(x) ( φ ( x ) + z ) + R ( x) dx

Realizando operaciones φ' ( x )+

dz =P(x )φ (x)+ P ( x ) z+ Q(x)( φ2 (x)+2 φ ( x ) z + z 2)+ R( x ) dx

φ' ( x )+

dz =P(x )φ (x)+ P ( x ) z+ Q(x)φ2 ( x )+ 2Q ( x ) φ ( x ) z + z 2 Q( x)+ R( x ) dx

Agrupando términos φ' ( x )+

dz −P(x )φ (x)−P ( x ) z−Q ( x)φ2 (x)−2Q ( x ) φ ( x ) z−z 2 Q( x )−R( x )=0 dx

φ (¿¿ ' (x )−P(x )φ( x)−Q( x) φ2 ( x )−R( x ))+( ¿ Pero como

φ(x)

dz −P ( x ) z−2 Q ( x ) φ ( x ) z−z 2 Q(x))=0 dx

es una solución particular, se tiene que

φ (¿ ¿ ' (x )−P(x )φ( x)−Q( x) φ2 ( x )−R( x ))=0 ¿ dz 2 −P ( x ) z−2Q ( x ) φ ( x ) z −z Q( x) ¿=0 dx dz −( P ( x )−2 Q ( x ) φ ( x ) ) z= z2 Q( x) dx La cual corresponde a una ecuación de Bernoulli. SEGUNDA SOLUCIÓN Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación lineal para luego resolverla. Esta transformación se consigue mediante la sustitución: y=φ ( x ) +

1 z

y=φ ( x ) + z−1

Si

entonces

'

dydx=φ ( x)−z−2dzdx

, reemplazando en

la ecuación de Riccati, se tiene: φ' ( x )−z−2

2 dz =P (x)(φ ( x)+ z−1)+Q(x ) ( φ ( x ) + z−1 ) + R( x ) dx

Realizando las operaciones φ ( x )−z

dz −1 2 −1 −2 =P (x) φ( x )+ P ( x) z +Q(x )(φ ( x )+ 2φ ( x) z + z )+ R(x ) dx

φ' ( x )−z−2

dz =P (x) φ( x )+ P ( x) z−1 +Q(x )φ 2 (x)+2 Q( x) φ(x ) z−1 + z−2 Q( x) dx

'

−2

Agrupando términos '

−2

φ ( x )−z

dz 2 2 −P (x) φ( x )−P ( x ) z−Q(x )φ (x)−2 Q ( x ) φ ( x ) z−z Q( x)−R ( x)=0 dx φ

(¿¿ ' (x )−P(x )φ( x)−Q(x) φ2 ( x )−R( x ))+(−z−2 ¿ Pero como

φ’ =( x)

dz −P( x) z−1−2 Q(x) φ(x )z−1−z−2 Q( x ))=0 dx

es una solución particular, se tiene que

φ (¿ ¿ ' (x )−P(x )φ( x)−Q( x) φ2 ( x )−R( x ))=0 ¿ Luego la ecuación se reduce −z −2

dz −P(x )z−1−2 Q( x) φ(x ) z −1−z −2 Q (x)=0 dx

P( x)+2 Q(x) φ( x)¿ z −1=z −2 Q ( x) −2 dz −z −¿ dx De donde dz + ( P ( x )+ 2Q ( x ) φ ( x ) ) z=−Q( x) dx Que es la ecuación lineal a resolver.

EJEMPLO 1: sea

dy 2 = y + 4 y−5 dx

Solución: Sea '

y 1=−5 2

y = y +4 y−5

la solución particular Con

y 1=−5

y=−5+u

'

'

y =u

⇒

u' =(u−5)2 +4 (u−5)−5 u' =u2−10u+ 25+4 u−20−5 u' =u2−6 u '

2

u + 6 u=u

Entonces n=2

w=u1−n →w=u1−2=u−1 → −w' =u2 u' →

w ' =−u−2 u' u' + 6 u=u 2 3eq

u2 u ' +u−2 6 u=1

→u−2 u' +6 u' =1

'

−w +6 w=1 dy + p ( x ) y=f (x ) dx − 6 dx −6 x fi :u ( x )=e ∫ =e Luego multiplicamos u(x) a la expresión anterior

−6 x

−6 x

e

'

−6 x

w −6 e

−6 x

w=−e

e d (¿ w)=∫ −e−6 x

→

∫¿ e−6 x w=

−6 x

e

6

+c

1 6x w= + c e 6 u−1=−5+u →u= y +5

→

1 c w= + −6 x 6 e

1 1 1 6x = +c e → = y +5 y +5 6 1 6x +c e 6 y=

1 −5 6x 1/6+c e

Ejercicio 2.

dy 2 x− y = dx x+ 4 y

Solución: 2x y − dy x x = dx x 4 y − x x

dy = dx

→

y x 4y 1− x 2−

dy x =f → es una EDH dx y

()

y dy x = dx 4y 1+ x 2−

y dy dp = p → y= px → = x+ p ×1 x dx dx 2

dp 2− p dp 2− p− p−4 p x + p= → x= dx 1+4 p dx 1+ 4 p

dp 2−2 p−4 p2 dp x= → x (1+4 p)=dx (2−2 p−4 p2) dx 1+4 p dx dp (1+ 4 p) dx 1+ 4 p dx = →∫ dp=∫ 2 2 x x 2−2 p−4 p 2−2 p−4 p 1+4 p

1

∫ −1+ p+2 p2 dp=−2∫ x dx

ln |1+ p+2 p 2|=−2 ln |x|+c →

ln |2 p 2+ p−1|+2 ln |x|=c

ln |2 p 2+ p−1|+ ln|x 2|=c → ln e |(2 p2 + p−1) x 2|=c c=|(2 p 2+ p−1) x 2|→(2 p2 + p−1) x 2=±c c=|(2 p 2+ p+1) x2|→

(

(2 p 2+ p+1)x 2=±c

2 y2 y 2 + −1) x =c 2 x x

2 y 2+ xy −x2 =c

EJEMPLO 3:

…….solución general

y ' =1+t 2−2ty + y 2 ; y p (t )=t

Solución: y ' =u’ +1

y=u+t → '

2

u + 1=1+t −2 t ( u+t ) → u' =u2 ; n=2 −u 2 w ' =u’ w=u−1 w ' =−1 w ' =−u−2 u' w=−t + c 1 1 =−t +c →u= u −t+ c y=

1 −t −t +c

'

u + 2tu +t

2

du 2 1 =u → 2 du=dt dt u −1 −1 =t+ c → u= u t+ c y=

1 −t −t−c

………………….Solución general

dy 2 EJEMPLO 4: dx = y + 4 y +3 ; y=−3

Si

dy =0 dx

0=(−3)2+ 4(−3)+3 0=9−12+3 0=0

Entonces

y=−3

si es una EDO particular de la ecuación

dz 2 −( P ( x )−2 Q ( x ) R ( x ) ) z=z Q( x) dx P ( x )=4 ; Q ( x )=1 ; R ( x)=3

Reemplazando: dz 2 −(4−2 ( 1 ) (−3 ) ) z =z dx dz −10 z=z 2 dx

Ec. Bernoulli identificados con n=2

Por cambio de variable u= y1−n →u= y−1 P( x)=−10

Q( x)=1 ∴u ' + ( 1−n ) P ( x ) u=( 1−n ) Q ( x ) u' + (−1 ) (−10 ) u=(−1 )( 1 ) →u' +10 u=−1 P( x)=10

y

Q(x)=−1

[

¿ y=e∫ P( x)dx c+∫ Q( x ) e∫ P ( x ) dx dx

[

y=e∫ 10 dx c +∫ −dx e∫ 10 dx dx

]

]

y=e−10 x

ECUACION DE CLAIRAUT '

'

Cumple la forma: y=x y + f ( y ) La solución de esta ecuación se obtiene siguiendo el mismo procedimiento de la ecuación de Lagrange. Esta ecuación es una familia de curvas uniparamétricas con parámetro c y=cx+ f ( x ) Su método de solución sería hacer que

y ' =t

A través de ella se forman las siguientes ecuaciones:

'

x=−f ( t ) ; y=f (t )−t f (t ) y ' =c

Derivando con respecto a x seria Y al sustituir la ecuación inicial seria

cx + f ( x)=xc + f (c )

dx =−f ' ' (t ) dy dy ' ' '' '' =f (t)−f (t)−t f (t)=−t f (t) dt dy dy dt 1 '' = =−t f (t ) ' ' =t dx dt dx f (t )

f (t)−t f ' (t)=−f ' ( t ) t + f (t)

Ejemplo 1:

Sea

y=x y 2−e y

‛

Solución: dy =p → y=xp−e p dx dy ' p ' ' p ' =x p + p−e p → p=x p + p−e p dx '

p

'

0=x p −e p →

'

p

0=p (x −e ) p' =0 → p=c y=xc−e

p

x−e p=0 → x=e p ln x= p

ln x

y=x ln x−e → y=x ln x−x

Ejemplo2:

Rpta.

y=x y ' +1−ln y '

Solución: y'= p y=xp+ 1−ln p →

0=x p' −

dy 1 =x p' + p− p' dx p

1 ' p→ p

y=xc +1−ln c

(

0=p ' x −

1 → p ' =0 p

)

Solución general

1 x− =0 p 1 1 x= → p= p x 1 1 1 y=x +1−ln → y=1+1−ln x x x y=2−ln

1 x

Solución especifica

' 2 EJEMPLO 3: x y +2 xy + y =−2 x

Solución: y=u ( x ) +v ( x ) u(x )=−2 x

'

u (x)=−2 −2 x +2 x (−2 x )2+ (−2 x )2=−2 x −2 x−4 x 2+ 4 x 2=−2 x →−2 x=−2 x y=2 x+ v ( x ) → y ' =−2+ v ’ (x )

y'+ 2 y +

Hacemos la Sustitución

y2 =−2 x

(−2 x )+ v (x)+(−2 x +v ( x ))2=−2 −2+ v ' ( x)+2 ¿ 2

2

'

−2+ v (x)−4 x +2 v ( x)+

4 x 4 xv ( x ) v ( x ) − + =−2 x x 2

v (x)2 −2+ v (x)−4 x +2 v ( x)+ 4 x−4 v (x )+ =−2 2 '

2

'

−2+ v (x)−4 x +2 v ( x)+ 4 x−4 v (x )+

v ( x )−2 v ( x ) +

v ( x )2 =0 2

v ( x )−2 v ( x ) =

y +2 v=

v=

1 b

1 x

−1

u= y → b= y

−v ( x )2 2

−v ' ( x)v−2 +2 v−1 ( x)=

v (x) =−2 x

−1

u' =−1 y −1 y '

1 x

'

−2

→ b =(−1 ) v v 1 b= ; v

b=e−2 x (∫

2x

e dx+ c) x

2x

∫ ex dx +c e−2 x ¿ 1 v= ¿ e2 x ∫ x dx +c e−2 x ¿ 1 y=−2+ ¿