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HISTORIA Los babilónicos, los griegos y en particular los matemáticos hindúes del siglo VII, ya sabían resolver ecuaciones de segundo grado de varios tipos. De hecho, la solución de estas ecuaciones se estudia en tercer año de la educación secundaria obligatoria como parte del álgebra elemental. La forma más general de la ecuación de segundo grado es:

La fórmula que permite obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es:

De una manera análoga, la ecuación de tercer grado más general tiene la forma:

El objetivo era encontrar una fórmula, parecida a la mostrada anteriormente para resolver la ecuación de segundo grado, que al sustituir a, b, c, d proporcionara las soluciones deseadas. Los antiguos babilónicos generaron algunas tablillas que les permitieron resolver unas pocas ecuaciones de tercer grado muy específicas y el poetamatemático Omar Jayyam presentó una solución geométrica para unas pocas más en el siglo XII. En cualquier caso, la solución a la ecuación general de tercer grado supuso un reto para los matemáticos hasta el siglo XVI. Tres famosos algebristas florentinos, el Maestro Benedetto en el siglo XV y sus dos predecesores del siglo XIV, el Maestro Biaggio y Antonio Mazzinghi, destinaron considerables esfuerzos a la comprensión de las ecuaciones y sus soluciones. Pero sus esfuerzos resultaron ser insuficientes para la de tercer grado. El matemático del siglo XIV, Maestro Dardi de Pisa, también presentó ingeniosas soluciones para no menos de 198 tipos diferentes de ecuaciones, aunque no para la ecuación de tercer grado. Incluso el famoso pintor renacentista Piero della Francesca, que también fue un dotado matemático, realizó su contribución a los intentos para hallar una solución. Pese a éstos y otros valerosos esfuerzos, la respuesta continuó siendo evasiva. Luca Pacioli (1445-1517) escribió una enciclopédica obra de seiscientas páginas que, al no estar escrita en latín, sino en un accesible italiano, fomentó muchísimo los estudios algebraicos. Aunque en esta obra, Pacioli concluye que «para las ecuaciones de tercer y cuarto grado, por el momento no ha sido posible formular reglas generales.» Pero en este punto, el sentido práctico dio paso a la ambición y ya nadie buscaba una solución a la ecuación de tercer grado con fines prácticos. Resolver la ecuación de tercer grado se había convertido en un desafío intelectual digno de consideración por los más privilegiados cerebros matemáticos. Entonces aparece un modesto matemático de Bolonia, Scipione dal Ferro (1465-1526). Scipione era hijo de un fabricante de papel, Floriano, y de su esposa, Filippa. En el siglo que presenció la invención de la imprenta, la producción de papel se convirtió en una profesión envidiable. Se sabe poco de la juventud de Scipione y de lo que le motivó a estudiar matemáticas. Es probable que concluyera su educación en laUniversidad de Bolonia. Esta prestigiosa institución, la universidad más antigua que continúa funcionando actualmente, fue fundada en 1088 y en el siglo XV se había labrado la reputación de ser una de las mejores de Europa. A finales del siglo XIV, las matemáticas entraron a formar parte del plan de estudios regular de Bolonia, y en 1450 el Papa Nicolás V añadió a la plantilla docente cuatro plazas de matemáticos. En 1496, dal Ferro se convirtió en uno de los cinco titulares conjuntos de la cátedra de matemáticas de la universidad. Diversas fuentes le describen como un gran algebrista, pero no ha sobrevivido el manuscrito original de ninguna de sus obras. Lo que sí es probable es que Scipione conociera a Luca Pacioli en 1501, cuando este último daba clases en Bolonia. Pacioli no fue exactamente un gran cerebro matemático, pero sí un espléndido comunicador de conocimientos matemáticos. Frustrado por su incapacidad para resolver la ecuación de tercer grado, Pacioli logró convencer a Scipione, que dominaba con gran destreza la manipulación de expresiones con raíces cuadradas y cúbicas, de que lo intentara. Alrededor de 1515, los esfuerzos de dal Ferro finalmente dieron sus frutos. Dio un enorme paso adelante logrando resolver la ecuación de tercer grado del tipo:

Aunque ésta no era la forma más general, abrió las puertas a los descubrimientos siguientes. Scipione dal Ferro no se apresuró a publicar su revelador resultado. Mantener los descubrimientos matemáticos en secreto fue bastante común hasta el siglo XVIII. Sin embargo, le comunicó la solución a su pupilo y yerno Annibale della Nave, y al menos a otro estudiante, el veneciano Antonio Maria Fiore. También expuso su método en un manuscrito que llegó a manos de su yerno tras la muerte de Scipione Durante el siglo XVI resurgió en Bolonia el interés por las matemáticas. En ocasiones, matemáticos y otros eruditos se enzarzaban en debates públicos. Estas disputas atraían no sólo a profesores universitarios y jueces que se designaban para dirimir el resultado de las mismas, sino también a estudiantes, partidarios de los litigantes y espectadores que acudía a divertirse o incluso para apostar. Hasta los propios contendientes apostaban anticipadamente mucho dinero a su victoria. De estas disputas dependía no sólo la reputación del matemático en la

ciudad o en la universidad, sino también el hecho de conservar un puesto e incrementar el salario. Las disputas tenían lugar en plazas públicas, en iglesias y en las cortes de nobles y príncipes. Antonio Maria Fiore, del que ya sabemos que conocía el secreto de la solución de dal Ferro, fue un matemático bastante mediocre. Una vez muerto Scipione dal Ferro, tampoco publicó la solución de inmediato, pero la utilizó como suya para así explotarla. Decidió esperar el momento adecuado para hacerlo con el objetivo de hacerse un nombre. En una sociedad en la que la renovación de los nombramientos universitarios dependía bastante del éxito en los debates, tener un as en la manga podía ser de una importancia vital para sobrevivir. En 1535 se le presentó a Fiore la oportunidad y desafió al matemático Niccolò Tartaglia a una competición pública para resolver problemas. ¿Quién era este Tartaglia y por qué fue el elegido? Niccolò Tartaglia nació en Brescia en el año 1500. Su apellido original era probablemente Fontana, pero se le apodó Tartaglia (que significa «el tartamudo») a causa de un corte de sable que recibió en la boca a la edad de doce años de un soldado francés. En la edad adulta, siempre llevaba barba para ocultar las cicatrices que le desfiguraban. Tartaglia procedía de una familia muy pobre. Su padre, Michele, un correo postal, murió cuando Niccolò tenía seis años, dejando a la viuda y a sus hijos en la miseria. Tartaglia tuvo que abandonar sus estudios de lectura y escritura porque la familia se quedó sin dinero para pagar al tutor. Sin embargo, continuó la labor el sólo y, pese a estas desgraciadas circunstancias, Tartaglia demostró ser un matemático de talento. Finalmente, después de pasar un tiempo en Verona, en 1534 se trasladó a Venecia para ejercer como profesor de matemáticas. Por esta época, tal y como él mismo afirma en sus memorias, hacía ya unos cuatro años que Tartaglia había conseguido, no sin grandes esfuerzos, resolver la ecuación de tercer grado

Este reto se lo planteó su conciudadano bresciano, Zuanne de Tonini da Coi. Los rumores de la afirmación de Tartaglia de que era capaz de resolver ecuaciones de tercer grado debieron de llegar a oídos de Antonio Maria Fiore quién, escéptico, creía estar convencido de que Tartaglia mentía. Confiado en su capacidad de derrotar a Tartaglia gracias a su conocimiento secreto de la solución de Scipione dal Ferro, Fiore lanzó el desafío. Poco después, Fiore y Tartaglia llegaron a un acuerdo sobre las condiciones exactas para el concurso. Cada uno de ellos propondría treinta problemas a su oponente para que los resolviera. Después los problemas se sellarían y quedarían depositados en el notario Maestro Per Iacomo di Zambelli. Los dos concursantes fijaron un plazo de cuarenta a cincuenta días para que cada uno intentara resolver los problemas, una vez que se abrieran los sellos. Acordaron que el que resolviera mayor número de problemas sería considerado ganador y además de los honores recibiría una generosa recompensa por cada problema. Resultó que Fiore, en efecto, sólo tenía una oportunidad: todos los problemas que planteó eran de la forma de los que él conocía la solución: Por otra parte, la lista de Tartaglia contenía treinta problemas diversos, cada uno de un tipo diferente. Según sus propias palabras, «para demostrarle que no le tenía en gran concepto y que no tenía razón alguna para temerle». La fecha del concurso fue fijada para el 12 de febrero de 1535. Asistieron varios dignatarios universitarios y algunos miembros de la alta sociedad veneciana. Cuando se entregaron los problemas a los dos adversarios, sucedió algo completamente inesperado. Ante el asombro de los espectadores, Tartaglia resolvió todos los problemas que se le habían planteado en tan sólo dos horas. Fiore no logró resolver ni uno solo de los que le presentó Tartaglia. Veinte años después Tartaglia relataba así los hechos: La razón por la que fui capaz de resolver sus 30 problemas en un tiempo tan corto es que los 30 estaban relacionados con operaciones del álgebra de incógnitas y cubos que eran igual a números. Él lo hizo creyendo que yo no podría resolver ninguno de ellos porque Fra Luca Pacioli afirma en su tratado que es imposible resolver estos problemas con una regla general. Sin embargo, por fortuna, tan sólo ocho días antes del plazo fijado para recoger del notario los dos grupos de 30 problemas lacrados, descubrí la regla general para esas expresiones. De hecho, un día después de la solución de

Tartaglia también descubrió la solución de

Como también sabía resolver

(el reto que le lanzó da Coi), Tartaglia se convirtió de la noche a la mañana en el experto mundial en la resolución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, rechazó una sugerencia de da Coi de publicar su solución en seguida, pues Tartaglia tenía la intención de escribir un libro sobre el tema. Las fórmulas descubiertas por Niccolò Tartaglia eran tan complicadas que él mismo encontraba difícil recordar sus propias reglas para los tres casos. Para ayudarse a memorizarlas compuso algunos poemas. Tartaglia dejó de ser un anónimo profesor de matemáticas y se convirtió en una celebridad matemática. Pero no quedó ahí la cosa. Los momentos más álgidos de esta historia de matemáticos, aún estaban por venir… Continua en "Sobre la ecuación de tercer grado (III)" El rumor del concurso entre Tartaglia y Fiore se extendió como la pólvora, llegando a oídos de Gerolamo Cardano (1501-1576), una de las figuras más brillantes y controvertidas del siglo XVI. Cardano era hijo ilegítimo del

abogado milanés Fazio Cardano. Este último asesoró a Leonardo da Vinci en geometría en diversas ocasiones y animó a su hijo a estudiar matemáticas, los clásicos y medicina en las universidades de Pavía y Padua. En sus años de estudiante Cardano convirtió el juego en su principal fuente de sustento financiero. Jugaba a las cartas, a los dados y al ajedrez y convertía en beneficio sus conocimientos sobre la teoría de probabilidades. Su adicción al juego la plasmó en un libro, "El libro de los juegos de azar", el cual fue la primera obra sobre cálculo de probabilidades. A Cardano le costó doctorarse porque era maleducado, de malos modales, además de vociferar siempre que podía. Sus profesores lo miraban con antipatía y al final de sus estudios le denegaron el doctorado en medicina por amplia mayoría. Fracasaron todos sus intentos de obtener una plaza de médico en Milán. Sin embargo, en 1534 y gracias a la influencia de su padre, fue nombrado profesor de matemáticas en la Fundación Piatti. Al mismo tiempo practicaba la medicina de forma clandestina de manera extremadamente eficaz, lo que le reportó gran éxito. Pero el Colegio de Médicos de Milán no le apoyaban en absoluto y Cardano, ni corto ni perezoso, llevó su disputa con el colegio a un enfrentamiento, publicando un libro en el que ridiculizaba las maneras de los médicos de su época. La ofensa de Cardano, paradójicamente, no sólo le sirvió para consolidarse como médico sino para convertirse en uno de los profesionales de la medicina más reconocidos de Europa. Cardano prosperó gracias a la controversia y a la competición. Era de ingenio rápido y de lengua afilada. Ganó muchos debates, tanto durante su época de estudiante como en su sabia madurez. Por eso las noticias del concurso entre Tartaglia y Fiore despertaron su curiosidad. Encontró muy atractiva la idea de incluir la solución de la ecuación de tercer grado en una obra que estaba escribiendo: "La práctica de la aritmética y la medición simple". Trató de descubrir la solución por sí mismo pero, habiendo fracasado, decidió enviar al librero Zuan Antonio da Bassano a Tartaglia para convencerle de que le revelara su fórmula. Tartaglia se negó, descartando todas las propuestas que le hizo Cardano. Pero, finalmente, se dejó engatusar pues Cardano le ofreció a Tartaglia presentarlo ante el virrey y comandante en jefe de Milán, Alfonso d’Avalos. Tartaglia había escrito un libro sobre artillería y un contrato con el virrey le garantizaría unos buenos ingresos. Cardano intentó de todas las formas posibles camelarse a Tartaglia para arrancarle la solución. Pero éste no daba su brazo a torcer. Incluso rechazó la proposición de Cardano de incluir un capítulo especial en el libro anunciando que Tartaglia había descubierto la solución. De lo que pasó después sólo se sabe por el testimonio del propio Tartaglia, que dista mucho de ser objetivo. Él mismo afirma que finalmente accedió a divulgar el secreto a Cardano, pero únicamente después de que este hubiera realizado un solemne juramento: «Juro ante ti por el Sagrado Evangelio y por mi fe de caballero, no sólo no publicar jamás tus descubrimientos si me los revelas, sino que también prometo y comprometo mi fe como verdadero cristiano que los escribiré en clave para que después de mi muerte nadie pueda comprenderlos». Sin embargo, Ludovico Ferrari, que era en ese momento secretario en casa de Cardano, explica una historia muy diferente. Según Ferrari, Cardano no realizó ningún juramento de silencio. Ferrari afirma haber estado presente en esa conversación y dijo que Tartaglia reveló su secreto simplemente a cambio de la hospitalidad de Cardano. La cuestión es que, aun conociendo Cardano la solución, su libro se publicó en 1539 sin la solución de Tartaglia. Ludovico Ferrari (1522-1565) llegó a casa de Cardano con catorce años, procedente de Bolonia. Cardano se apercibió de su gran talento y asumió la responsabilidad de su educación. Tras conocer la solución de Tartaglia, Cardano no sólo consiguió encontrar una prueba de ella, sino que empezó a trabajara en ecuaciones de tercer grado de carácter general:

Los matemáticos del siglo XVI trataban separadamente los trece diferentes tipos de ecuaciones de tercer grado sin asumir todavía que estos no eran más que casos particulares de la ecuación general. Al mismo tiempo el brillante Ferrari, con el apoyo de Cardano, se las ingenió incluso para encontrar, en 1540, una estupenda solución de la ecuación de cuarto grado

Por esa época llego a oídos de Cardano el rumor de que Scipione dal Ferro había dejado su fórmula original a su yerno. En 1543 Cardano y Ferrari viajaron a Bolonia para encontrarse con Annibale della Nave, a quien había sido confiado el artículo original de Scipione dal Ferro. Consiguieron confirmar que, en efecto, dal Ferro había descubierto veinte años antes la misma solución que Tartaglia. Aunque fuera cierto que Cardano había hecho el juramento ante Tartaglia, esto le bastó para liberarse de su obligación. Después de todo, el juramento se refería a no revelar la fórmula de Tartaglia, no la de dal Ferro. En 1545 Cardano publicó la obra que muchos matemáticos consideran que marca el principio del álgebra moderna: "Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus" (El gran arte o las reglas del álgebra, libro uno), comúnmente conocida como "Ars Magna". En esta obra, Cardano explora con gran detalle las ecuaciones de tercer y cuarto grado y sus soluciones. Demuestra por primera vez que las soluciones pueden ser negativas, irracionales y en algunos casos pueden incluso implicar raíces cuadradas de número negativos, que en el siglo XVII se denominarían «números imaginarios». La primera edición del "Ars Magna" se extendió rápidamente por la Europa matemática obteniendo reconocimiento inmediato. REFERENCIA Y BIBLIOGRAFIA: 

20 MATEMATICOS FAMOSOS (Profesional con experiencia en el área de Educación Matemática, 25 años de servicios, con enfoque en temas de educación. Numerosos trabajos de investigación en ciencias básicas)

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LA ECUACIÓN JAMÁS RESUELTA (Mario Livio (Rumanía, 1945) es astrofísico y miembro del Space Telescope Science Institute, organismo encargado de operar el telescopio Hubble. Además es autor de La proporción áurea, un libro que, además de haber sido un éxito en todo el mundo, le proporcionó el premio Pitagoras y el Peano )

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http://alejandralopezrodriguez.blogspot.com/2009/11/ecuacion-cubica.html

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http://ecuacionesmatematicas.blogspot.com/2007/06/ecuaciones-de-tercer-grado.html