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1.1 INTRODUCCIÓN La aplicación del análisis estadístico al diseño de procesos se ha hecho muy frecuente en los últimos años en todas las ciencias 1.2 PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER EL ESTADÍSTICO DE DUNCAN En el Cuadro 1.1 se detalla el diseño matricial de los tratamientos (muestras) y jueces de una prueba experimental. Cuadro 1.1 Diseño matricial de tratamientos y jueces Tratamientos (A) 1 2 3 4 5 ….. a Jueces (B) Total (Yi) 1 Y11 Y12 Y13 Y14 Y15 …. Y1a Y1 2 Y21 Y22 Y23 Y24 Y25 …. Y2a Y2 3 Y31 Y32 Y33 Y34 Y35 …. Y3a Y3 4 Y41 Y42 Y43 Y44 Y45 …. Y4a Y4 5 Y51 Y52 Y53 Y54 Y55 …. Y5a Y5 … … … … … … …. …. …. … … … … … … …. …. …. n Yn1 Yn2 Yn3 Yn4 Yn5 …. Yna Yn Total (Yj) Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 …. Ya Y.. Según (Ureña-D’Arrigo, 1999), para realizar el análisis estadístico de la prueba de Duncan consta de los siguientes pasos: 1.- Planteamiento de hipótesis Hp: No hay diferencia entre los tratamientos (muestras). Ha: Al menos una muestra es diferente de las demás. 2.- Nivel de significación del 0.05 (5%) ó 0.01 (1%) 3.- Prueba de Significancía o tipo de prueba: “Fisher y Duncan” 4.- Suposiciones: Los datos (muestras) siguen una distribución Normal (~ N) Los datos (muestras) son extraídos aleatoriamente de un muestreo al azar 5.- Construcción del cuadro de ANVA y criterios de decisión: Para realizar la construcción del cuadro de ANVA, se debe tomar en cuenta las expresiones matemáticas citadas a continuación:  Suma de cuadrados de los tratamientos SC(T): a n (Y ..) 2 SC (T )  Yij2  na i 1 j 1 o Ecuación alternativa: a (Y ..) 2 SC (T )  Y j  na i 1  Suma de cuadrados de los tratamientos SC(A):  Y j2  (Y ..) 2 SC ( A)  n na  Suma de cuadrados de los jueces SC(B): Yi 2  (Y ..) 2 SC ( B)  a na Donde: a = Es el número de tratamientos o muestras n = Es el número de jueces

 Suma de cuadrados del error SC(E): SC ( E )  SC (T )  SC ( A)  SC ( B) Los criterios de decisión a tomar en cuenta son:  Se acepta la Hp si Fcal < Ftab (no se realiza la prueba de Duncan)  Se rechaza la Hp si Fcal > Ftab (se realiza la prueba de Duncan) 6.- Desarrollo de la prueba estadística de Duncan:  Determinar el valor de la varianza Muestral de S2/y S2  CM ( E ) / b y 7.- Determinar el Cuadro 1.2 de Análisis de Varianza (ANVA) y conclusión Cuadro 1.2 ANVA para el diseño completamente al azar cuando los tamaños de los tratamientos son iguales Fuente de variación (FV)

Suma de cuadrados (SC)

Grados de libertad (GL)

Cuadrados medios (CM)

Fisher calculado (Fcal)

Fisher tabulado (Ftab)

Total

SC (T )

na  1

Muestras (A)

SC ( A)

( a  1)

CM ( A) 

SC ( A) a  1

CM ( A) CM ( E )

GLSC ( A) 1  2 GLSC ( E )

Jueces (B)

SC (B )

( n  1)

CM ( B) 

SC ( B) n  1

CM ( B) CM ( E )

 1 GLSC ( B )   2 GLSC ( E )

Error

SC (E )

a 1(n 1)

CM ( E ) 

SC ( E ) na  1

PRUEBA DE SENSORIAL

FRIEDMAN

APLICADO

A

UN

ANÁLISIS

Según, Úreña De Árrigo, 1999. La prueba de Friedman, es aplicada para el análisis de varias muestras pares relacionadas en pruebas de comparación para determinar diferencias entre los tratamientos (muestras). 1.- Planteamiento de hipótesis Hp: Las a muestras relacionadas han sido extraídas de poblaciones idénticas o todos los tratamientos tienen idénticas efectos. Ha: Las a muestras relacionadas no han sido extraídas de poblaciones idénticas o no todos los tratamientos tienen idénticas efectos. 2.- Elección del nivel de significación del 0.05 (5%) ó 0.01 (1%) 3.- Tipos de pruebas de Significancía: “Friedman” 4.- Suposiciones: Los datos (muestras) siguen una distribución Normal (~ N) Los datos (muestras) son extraídos aleatoriamente de un muestreo al azar 5.- Los criterios de decisión a tomar en cuenta son:  Si T2 < Ftab. Se acepta la Hp.  Si T2 > Ftab. Se rechaza la Hp. 6.- Desarrollo de la prueba estadística:  Primero se debe arreglar los puntajes en una tabla de dos calificaciones, de a condiciones (tratamientos) y n jueces (bloques).  Ordenar los puntajes de cada juez de 1 hasta a.



Determinar la suma de los rangos de cada condición (tratamiento).

Ejemplo 1 En una prueba sensorial de laboratorio para elegir el tipo de corte de muestras de cebolla, variedad morada. Se procedió a utilizar 15 jueces no entrenados, a través de un test de escala hedónica de nueve puntos para lo cual se tomaron en cuenta tres muestras MA (corte en rodajas), MB (corte juliana) y MC (corte en cubos de 3.75x3.25 cm.) y los resultados del test se muestran en la Tabla 1.1. Se pide determinar cual de las tres muestras analizadas se podrían tomar en cuenta para elegir el tipo de corte más adecuado y que se podría decir en cuanto a los jueces. Utilice un α = 0.005. Asimismo, realizar la representación gráfica de los valores promedio de las muestras de cebolla. Tabla 1.1 Evaluación sensorial para elegir el tipo de corte de cebolla Muestras (Escala hedónica) Total Jueces (Yi) MA MB MC 1 5 8 9 22.00 2 5 7 8 20.00 3 5 7 8 20.00 4 5 8 8 21.00 5 5 8 7 20.00 6 5 7 8 20.00 7 6 7 8 21.00 8 6 7 7 20.00 9 6 7 8 21.00 10 6 6 7 19.00 11 6 7 9 22.00 12 5 7 8 20.00 13 5 6 9 20.00 14 6 6 8 20.00 15 6 8 8 22.00 5.47 7.07 8.00 20.53 x ΣYi 82.00 106.00 120.00 308.00 ΣYi2 452.00 756.00 966.00 6336.00 Fuente: Flores, 2006 Primeramente, se realiza la representación gráfica de los resultados promedio de la Tabla 1.1. En la Figura 1.1, se muestran los resultados promedio de la evaluación sensorial para elegir el tipo de corte de las muestras de cebolla, variedad morada.

Escala hedónica

Figura 1.1 Valores promedio para elegir el tipo de corte de las muestras de cebolla, variedad morada

9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 MA

MB

MC

Muestras

En la Figura 1.1, se observa que la muestra MC (cortado en cubos) obtiene un mayor puntaje promedio del tipo de corte de 8.00; MB (cortado en juliana) con un puntaje de 7.07 y MA (cortado en rodajas) con un puntaje de 5.47 en la escala hedónica. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER LA PRUEBA ESTADÍSTICA DE DUNCAN 1.- Formulación de Hipótesis Si Hp = No existe diferencias entre las muestras Ha = Si existen diferencias significativas entre las muestras 2.- Nivel de significación del 0.05 (5%) 3.- Tipo de prueba de Hipótesis “Fisher y Duncan” 4.- Suposiciones:  Los datos siguen una distribución Normal (N)  Las muestras son elegidas aleatoriamente (al azar) 5.- Criterios de decisión:  Se acepta la Hp si la diferencia de promedios entre muestras es  que el límite de significación de Duncan [ALS(D)]  Se rechaza la Hp si la diferencia de promedios entre muestras es  que el [ALS(D)] 6.- Desarrollo de la prueba estadística:  Determinar el valor de la varianza Muestral de S2/y 7.- Determinar el cuadro de ANVA y conclusión SOLUCIÓN n = 15 jueces a = 3 muestras Tomando en cuenta las ecuaciones de análisis estadístico para determinar los cuadrados totales del experimento, se tiene:

 Suma de cuadrados totales SC(T): SC (T )  5 2  5 2  5 2  5 2  5 2  5 2  6 2  ...................  8 2  9 2  8 2  8 2 

(308.00) 2 15(3)

SC(T) = 2174.00 - 2108.089 = 65.911 También se puede calcular la suma de cuadrados totales con los valores ΣYj2 de la Tabla (308.00) 2 1.1 SC (T )  452.00  756.00  966.00  = 2174.00 – 2108.089 = 65.911 15(3)

 Suma de cuadrados del tratamiento SC(A): SC ( A) 

(82.00) 2  (106.00) 2  (120.00) 2 (308.00) 2 = 2157.333 - 2108.089 = 49.244  15 15(3)

 Suma de cuadrados de los jueces SC(B): SC ( B) 

22.00 2  20.00 2  20.00 2  21.00 2  ........  20.00 2  20.00 2  22.00 2 (308.00) 2  3 15(3)

SC(B) = 2112.00 – 2108.089 = 3.911

 Suma de cuadrados del error: SC ( E )  65.911  49.244  3.911  12.756 En base a los resultados obtenidos de la suma de cuadrados, se procede a construir la Tabla 1.2 de análisis de varianza (ANVA) experimental de los efectos de los tratamientos para elegir el tipo de corte de la cebolla, variedad morada. Tabla 1.2 Análisis de Varianza (ANVA) para elegir el tipo de corte Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Fcal Ftab Varianza Cuadrados Libertad Medios (FV) (SC) (GL) (CM) 65.911 4(15) -1 = 44 Total 49.244 (3-1) = 2 24.622 Tratamientos 53.996 3.34 3.911 (15-1) = 14 0.279 Jueces 0.612 2.07 12.756 (3-1)(15-1) = 28 0.456 Error Para calcular el Ftab, se recurre a la tabla de Fisher, considerando los grados de libertad del tratamiento o muestras (ν1), los grados de libertad del error (ν2) y el nivel de significancia (α = 0.05). Calculando el Fcal de los tratamientos o muestras: ν1 = 2 ν2 = 28

Entrando a la tabla de Fisher del 95% 2

28 Calculando el Fcal de los jueces: ν1 = 14

3.34

Entrando a la tabla de Fisher del 95% 12 14 15

28

2.12

2.07

2.04

ν2 = 28 Como el valor de los grados de libertad de 14. Entonces se debe interpolar.



Cómo se puede observar en la Tabla 1.2, Fcal > Ftab (53.996 > 3.34) para los tratamientos (muestras), lo cual existe evidencia estadística de variación entre los valores promedios entre las muestras MA, MB y MC para una p < 0.05. Por lo tanto, esta condición nos indica la evidencia de recurrir la prueba de Duncan.  Para el caso de los jueces, Fcal < Ftab (0.612 < 2.07). Por lo tanto, no existe evidencia estadística de variación entre los 15 jueces para una p < 0.05. Calculando el valor de la varianza muestral del experimento: S2 CM ( E ) (0.456)   = 0.174 y n 15 Para estimar las Amplitudes Estudiantizadas de Duncan [AES (D)] con nivel de significación α= 0,05, los valores fueron extraídos de la tabla (Anexo VIII a, VIIIb (Ureña-D’Arrigo, 1999). Tabla 1.3 Amplitudes estudiantizadas y límites de significación de Duncan Número de promedios

AES (D)

ALS (D) = AES(D)Sy

2 3

2.90 3.04

0.505 0.529

- Ordenando los promedios de las muestras de mayor a menor: En el Cuadro 1.3 se muestran los valores promedio de los tratamientos o muestras ordenados de mayor a menor de la Tabla 1.1. Cabe aclarar que estos valores también pueden ser ordenados menor a mayor. Cuadro 1.3 Valores promedio de los tratamientos o muestras Valores promedio de las muestras MC MB MA 8.00 7.07 5.47 En base a los datos del Cuadro 1.3 y Tabla 1.3 se procede a realizar el análisis de los tratamientos que se muestran en la Tabla 1.4. Tabla 1.4 Análisis de los tratamientos Tratamientos Análisis de los valores Efectos MC - MB 8.00 - 7.07 = 0.93 > 0.505 Si hay diferencia significativa MC - MA 8.00 - 5.47 = 2.53 > 0.529 Si hay diferencia significativa MB - MA 7.07 - 5.47 = 1.60 > 0.505 Si hay diferencia significativa En la Tabla 1.4, se observa que existe evidencia estadística entre los tratamientos (MC-MB, MC-MA y MB-MA) que son significativas para un límite de confianza del 95%. Por lo tanto, se puede decir existe diferencias significativa entre las muestras

MA; MB y MC. Pero analizando la preferencia de los jueces por la muestra MC (corte en cubos) con mayor puntaje en la escala hedónica como la mejor opción para el proceso en comparación a MB (corte juliana) y MA (corte en rodajas).