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Estadística II

UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA CONTADURÍA PÚBLICA Y SISTEMAS

DOSSIER GESTIÓN II – 2015 ESTADISTICA II SEXTO SEMESTRE PARALELO: 6C1 Lic. Jorge Troche Luna

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INDICE

I.

INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

CONCEPTOS………………………………………………………………………………………1

PROBABILIDAD………………………………………………………………………… 1 EXPERIMENTO………………………………………………………………………….. 1 ESPACIO MUESTRAL……………………………………………………………………1 EVENTO O SUCESO…………………………………………………………………… 1 ISOMORFISMO ENTRE LAS PROBABILIDADES Y EL ALGEBRA………………1 TECNICAS DE CONTEO………………………………………………………………..2 COMBINACIONES……………………………………………………………………… 2 COMBINACIONES CON REPETICIÓN…………………………………………… ..3 PERMUTACIONES……………………………………………………………………… 3 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN………………………………………. ……. 4 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IDENTICOS……………………………….5 PROBABILIDADES……………………………………………………………………… 6 DEFINICION AXIOMATICA…………………………………………………………... 6 TEOREMA DE PROBABILIDADES………………………………………………… 6 EXPERIMENTO ALEATORIO………………………………………………………… 6 DEFINICION CLASICA……………………………………………………………….. 7 DEFINICION FRECUENCIAL…………………………………………………………. 8 PROBABILIDAD CONDICIONAL……………………………………………………. 11 3

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PROBABILIDAD CONJUNTO……………………………………………………….. 12 PROBABILIDAD TOTAL………………………………………………………………. 13 APLICANDO PROBABILIDADES……………………………………………….. …..13 INDEPENDENCIA………………………………………………….. …………………15 TEOREMA SI A O B SON INDEPENDIENTES……………………………………..15

II VARIABLE ALEATORIA ………………………………………………………… 17 CONCEPTO…………………………………………………………………………… 17 FUNCION DE PROBABILIDADES…………………………………………………… 17 ESPERANZA MATEMÁTICA………………………………………………………….. 20 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA (F.D.P) F(X)………………….. 21 VARIANZA………………………………………………………………………………. 22 DESVIACION ESTANDAR……………………………………………………………. 23 III DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES…………………………………….. 24 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE VARIABLE DISCRETA………… 24 DISTRIBUCION BINOMIAL………………………………………………………….. 24 INDEPENDENCIA…………………………………………………………………….. 24 DISTRIBUCION GEOMETRICA…………………………………………………….. 25 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA…………………………………………… 27 DISTRIBUCION DE POISSON……………………………………………………… 28 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES VARIABLE CONTINUA……………. 29 DISTRIBUCION UNIFORME……………………………………………………….. 29 DISTRIBUCION NOMINAL…………………………………………………………. 29 PROPIEDADES………………………………………………………………………. 30 IV INFERENCIA ESTADISTICA………………………………………………… 31

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CONCEPTOS………………………………………………………………………… 31 DISTRIBUCION MUESTRAL……………………………………………………… 32

TEMA N°1 INTRODUCCION A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES

1. CONCEPTOS 1.1 Probabilidad: Es una medida de la ocurrencia o no ocurrencia de un evento o suceso en condición de incertidumbre. 1.2 Experimento: Es una acción mediante la cual se desea obtener resultados, en algunos casos se puede manipular algunas variables para observar los resultados. Existen 2 tipos de experimentos: 

Deterministicos: Que se caracterizan por tener un solo resultado posible.



Probabilisticos: Que se tienen mas de un resultado posible.

Ejemplo: De un grupo de 4 personas se desea premiar a 2 de ellos aleatoriamente P1, P2, P3, P4 Ω= {P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P3, P2P4, P3P4} 1.3 ESPACIO MUESTRAL (Ω)

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Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico. 1.4 Evento o Suceso.Es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: “La 3ª persona es premiada” A= {P1P3, P2P3, P3P4} P(A)= 3/6 = 0.5 2. ISOMORFISMO ENTRE LAS PROBABILIDADES Y EL ALGEBRA ALGEBRA

PROBABILIDADES

Conjunto A

Evento o suceso A

A

Ocurre A

Ac

No ocurre A

AUB

Ocurre el evento A ó ocurre el evento B

AηB = AB

Ocurre le evento A y el evento B

Ф

Evento Imposible

Ω=U

Evento seguro

3. TECNICAS DE CONTEO.Principio de la suma: Que se utiliza cuando está presente el conectivo “ó”. Principio de la multiplicación: Que se utiliza cuando está presente el conectivo “y”. Ejemplo: Una persona tiene 5 trajes y 3 vestimentas informales. De cuántas maneras diferentes se puede vestir dicha persona? 5 + 3= 8 Ejemplo: Una persona ingresa a un restaurant y desea servirse un almuerzo que consta de una sopa y un segundo, si le ofrecen 3 sopas para elegir y 5 segundos ¿De cuantas maneras diferentes podrá elegir su almuerzo?

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3 x 5 = 15 4. COMBINACIONES: Son arreglos u ordenaciones de “n” elementos tomados de r en r donde no nos importa el orden y de define:

Crn= nCr = n!/(n-r)! r! Ejemplo: De un grupo de 15 personas, 10 mujeres y 5 hombres se elige a tres de ellos de cuantas maneras diferentes se puede elegir a 2 mujeres y 1 hombre?

Ejemplo: Cinco contadores públicos y 4 economistas pugnan por 3 cargos similares. a) De cuantas maneras diferentes se puede asignar los 3 cargos? C1, C2, C3, C4, C5, E1, E2, E3, E4

b) De cuántas maneras si al menos debe haber un contador público?

c) De cuantas maneras si deben ser asignados 2 cargos a los economistas?

Ejemplo: Cuatro turistas llegan a una ciudad que tienen 3 alojamientos. a) De cuantas maneras diferentes se pueden alojar si al menos un turista se debe quedar en cada alojamiento? TURISTAS: A, B, C, D ALOJAMIENTOS: A1, A2, A3

b) De cuantas maneras si un alojamiento queda vacio?

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4.1 COMBINACIONES CON REPETICION Son combinaciones donde se puede repetir los elementos y se definen como:

Ejemplo: De cuantas maneras diferentes se puede pedir un postre que consta de tres porciones de helado si existen 6 sabores diferentes

5. PERMUTACIONES: Son ordenaciones de “n” elementos tomados de r en r donde nos importa el orden y se define como:

Ejemplo: En una carrera de caballos compiten 6. De cuantas maneras diferentes pueden ser ocupados los tres primeros lugares?

Ejemplo: De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 4 personas en una fila?

Ejemplo: En un minibús de 7 asientos de cuántas maneras diferentes se pueden sentar 3 personas?

Ejemplo: De un grupo de 5 mujeres y 3 hombres ingresan a un aula. De cuantas maneras diferentes pueden ingresar:

Ejemplo: En un librero contiene tres enciclopedias, una enciclopedia roja de 4 tomos, una verdece 3 tomos y una amarilla de 2 tomos.

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a) De cuantas maneras diferentes se puede ubicar en el librero los tomos, si en cada enciclopedia se debe mantener los tomos juntos?

5.1 Permutaciones con repetición.- Son permutaciones donde pueden repetir los elementos y se define como:

Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces. De cuantas maneras diferentespueden salir los resultados?

Ejemplo: De una urna que contiene 4 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Se extrae aleatoriamente con reposición 2 de ellas. De cuantas maneras diferentes se podrá extraer?

Ejemplo: 5 turistas llegan a una ciudad que tiene 3 alojamientos de cuántas maneras diferentes se pueden hospedar estos 5 turistas en los 3 alojamientos?

Ejemplo: Una moneda se lanza:

a) Una vez RP21 = 21 = 2

Ω= {c,s}

b) 2 veces RP

Ω= {cc,cs,sc,ss}

2 2

= 22 = 4

c) 3 veces RP23 = 23 = 8

Ω= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss}

d) 4 veces RP24 = 24 = 16 Ejemplo: Se lanza un dado 3 veces

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5.2 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IDENTICOS Si “n ” elementos de los cuales n1 son idénticos, n2 son idénticos ……… nk son idénticos, dando: n1+n2+………..+nk = n Entonces el total de permutaciones será:

Ejemplo: Cuantas palabras diferentes con la palabra ANA

P32,1 =

=

3

Ejemplo: De cuantas maneras diferentes se puede obtener 5 caras, cuando se lanza una moneda 8 veces?

P (5 caras) =

6. PROBABILIDADES 6.1 DEFINICION AXIOMATICA 10

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1. P(A) ≥ 0 2. P(Ω) = 1

Ω = evento seguro

3. Si A1, A2………An son eventos mutuamente excluyentes

P(A1 U A2 U……..U An) = P(A1) + P(A2)+ ………..+ P(An)

6.2 TEOREMA DE PROBABILIDADES 1) P(Ac) = 1- P(A) 2) P( ) = 0 3) 0 ≤ P(A) ≤ 1 4) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A Ф B) 5) Si A ≤ B = P(A) ≤ P(B) 6) P(A Ф Bc) = P(A) – P(A Ф B) 7) P( A U B U C)=P(A)+ P(B)+P(C) –P(A Ф B)-P(A Ф C)-P(B ФC) + P(A Ф B

Ejemplo: Juan y Pedro son 2 estudiantes de la Salesiana la probabilidad de que Juan viaje este fin de semana al corso de corsos es de 0.15 y la probabilidad de que viaje Pedro es de 0.23 y lo probabilidad de que ambos viajen es de solo 0.5. a) Cual es la probabilidad de que viajen ambos: P(J) = 0.15 P(P) = 0.23 P(J Ф P) = 0.05 P(Jc) = 1-P(J)= 1-0.15= 0.85 b) Cual es la probabilidad de que ninguno viaje P(Jc Ф Pc) = P(Jc U Pc) = 1- (J U P) 11

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= 1- (P(J)+P(P)-P(J U P)) = 1- (0.15 + 0.23 - 0.05) = 0.67 c) Cual es la probabilidad de que solo viaje Pedro? P(Jc Ф P) = P(P) – P(P Ф J) = 0.23 – 0.05 = 0.18 d) Cual es la probabilidad de que al menos uno viaje? c

c

P ((J U P ) U (J Ф P) U (J ФP)) P (J U P) = P(J) + P(P) – P(J Ф P) = 0.15 + 0.23 -0.05 = 0.33

6.3

Experimento aleatorio

6.3.1 DEFINICION CLASICA.- Si un experimento aleatorio tiene definido un evento A asociado al espacio muestral Omega cuyos elementos son equiprobables entonces la probabilidad de que ocurra el evento A, se define como: P(A) =

(Equiprobable = misma probabilidad) Ejemplo: De un grupo de 8 personas (5 mujeres y 3 hombres) se elige a 2 representantes aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean mujeres? (La elección de una persona es equiprobable) Total casos = # (Ω) = C82 = 28 A: Se selecciona a dos mujeres

# (A) = C52 * C30 = 10

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B: Al menos es elegida una mujer

# (B) = C51* C31+C52* C30 = 25

Ejemplo: De una urna que contiene 5 bolas blancas y 8 negras se extrae con reposición 2 de ellas aleatoriamente. a) Cual es la probabilidad de que la 1ª bola extraída sea blanca?

# (Ω) = 169 b) La segunda bola extraída es blanca # (A) = 13*5 = 65

c) Cual es la probabilidad que salga una de cada color?

Ejemplo: Se lanza una moneda 6 veces ¿Cuál es la probabilidad de que nos salga 4 caras?

6.3.2 DEFINICION FRECUENCIAL.- Si un experimento aleatorio se repite n veces en las mismas condiciones (n - ) de los cuales nA veces son favorable al evento A entonces la probabilidad de que suceda el evento A. Se de fine como:

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Ejemplo: De 20 estudiantes de los cuales 8 estudian Contaduría Publica y 12 Derecho. Se elige aleatoriamente a un estudiante ¿Cuál es la probabilidad que estudie Contaduría Publica? A: Estudia Contaduría pública

Ejemplo: De una caja que contiene 5 fichas rojas y 10 azules se extrae sin reposición aleatoriamente 2 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? A: Salen dos fichas rojas Definición clásica:

Definición frecuencial:

B: Sale una de cada color Definición clásica:

Definición frecuencial:

Ejemplo: A los estudiantes de una cierta universidad se los clasifica de acuerdo a las siguientes variables de acuerdo a la cantidad de los mismos. 14

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CARRER

HOMBRE MUJER TOTAL

A A

20

30

50

B

50

20

70

C

15

25

40

TOTAL

85

75

160

Ejemplo: Se elige un estudiante al azar: a) Cual es la probabilidad que sea mujer?

b) Cual es la probabilidad que sea hombre y de la carrera A?

c) Cual es la probabilidad que sea mujer o de la carrera B?

d) Cuál es la probabilidad que no sea mujer, ni sea de la carrera C?

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Se eligen a 2 estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad que ambos sean de la misma carrera?

6.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL.- Si A o B son dos eventos o sucesos donde la probabilidad P(B) > 0. Se denota como el evento A que ocurra dado el evento B, A │ B cuya probabilidad se defina como la probabilidad: P (A │ B) = P(A ∩B) / P(B) Ejemplo: Se lanza una moneda 2 veces ¿Cuál es la probabilidad de que en el 2º lanzamiento nos salga cara dado que en el 1º lanzamiento nos salio sello? Ω = { cc, ss, cs, sc} A: Sale cara en el 2º lanzamiento B: Sale sello en el 1º lanzamiento P(A | B) =? A = {cc, sc} # (A) = 2 B = {sc, ss} # (B) = 2 A ∩ B= {sc} # (A ∩ B) = 1

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Ejemplo: De una urna que contiene 3 fichas rojas y 6 azules se extrae el azar 2, una tras otra sin reposición. Si la primera ficha extraída es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la 2ª ficha también sea roja? # (Ω) =

= 72

R1: La 1ª ficha extraida fue roja R2: La 2ª ficha extraida fue roja

Ejemplo: Un señor tiene 2 carros y se sabe la probabilidad que arranque el carro rojo es de 0.7 y la probabilidad que arranque el carro azul dado que arrancado el carro rojo es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos carros arranquen?

Cr: Arranca el carro rojo

P(Cr) = 0.7

Ca: Arranca el carro azul

P(Ca|Cr) = 0.3

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6.5 PROBABILIDAD CONJUNTA.- Si A1, A2, ………., An son eventos o sucesos entonces la probabilidad que todos los eventos A, ocurran se define como: P(

Ejemplo: De 10 artículos se sabe que 7 están en buen estado y el resto son defectuosos. Se elige al azar 3 artículos ¿Cuál es la probabilidad de que todos estén en buen estado?

6.6 PROBABILIDAD TOTAL.- Si A1, A2,………..An es una partición del espacio muestral y B un evento cualquiera, entonces:

Particion.a) Los Ai son mutuamente excluyentes b) Los Ai son colectivamente exahustivos 6.7 APLICANDO PROBABILIDADES

Como las eventos A1 son n excluyentes entonces: 18

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)

Ejemplo:

3 empresas cubren el Mercado de un cierto producto. La

empresa 1 interviene en el mercado el doble que la empresa 2 y la empresa 2 interviene mas que la empresa 3. Ademas se sabe que la cantidad de productos defectuosos de la Emp.1, Emp.2 y la Emp.3 son el 5%, 6% y el 9% respectivamente. Del mercado se extrae un producto ¿Cuál es la probabilidad de que dicho producto sea defectuoso?

Datos: E1: El producto es elaborado por la Emp 1 E2: El producto es elaborado por la Emp 2 E3: El producto esta elaborado por la Emp 3 D: El producto es defectuoso 1) P(E1)+ P(E2)+P(E3)= P(Ω)= 1 2) P(E1)= 2 P(E2) 3) P(E2)= 3 P(E3) Reemplazando 2 y 3 en 1

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Ejemplo: De un grupo de 4 mujeres y 2 hombres se desea elegir a un representante aleatoriamente. El dia de la elección solo asisten 4 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la representante sea , mujer?

6.7.1 INDEPENDENCIA.- Dos eventos son independientes si: P(A|B)= P(A)

Ó

P(B|A)=P(B)

En general si los eventos A son independientes:

6.7.2 TEOREMA SI A O B SON INDEPENDIENTES: c

c

1)

P(A∩B ) = P(A) * P(B )

2)

P(A ∩B) = P(A )*P(B)

3)

P(A ∩B ) = P(A )*P(B )

c c

c

c

c

c

Ejemplo: Si A, B, y C son 3 empresas cuyas probabilidades de que sus acciones suban son 0.78; 0.65 y 0.41 respectivamente. Cual es la probabilidad de que:

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a) Las acciones de las empresas suban

P(A) = 0.78 P(B) = 0.65 P(C) = 0.41

b) Solo suba de la empresa A

c) Suban de 2 empresas

Ejemplo: Un cazador tiene en su rifle 3 balas y se encuentra al frente de un tigre, tal vez sino mata al tigre lo mate a el. Si la probabilidad de que el cazador le de al blanco es 0.7 en cada tiro es decir, asumimos su independencia de tiro a tiro. Cual es la probabilidad de que el cazador viva? c

c

c

P(vivo) = P(B1) + P(B 1∩B2)+ P(B 1∩B 2∩B3) c

c

c

= P(B1) + P(B 1)*P(B2)+ P(B 1)*P(B 2)*P(B3) = 0.7+0.3*0.7+0.3*0.3*0.7 = 0.973

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TEMA Nº 2 VARIABLE ALEATORIA 1. CONCEPTO: Es una función “x” cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo dominio son los números reales Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces y se define la variable aleatoria “x” como el Nº de caras obtenidas. Ω= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss} X: es el numero de caras X(sss) = 0 X(ssc)=x(scs)=x(css) = 1 X(scc)=x(csc)=x(ccs)=2 X(ccc)=3 Recorrido: (Rx) (0,1,2,3) Es el conjunto generado por la variable aleatoria de un experimento probabilístico. Si el recorrido es finito o infinito numerable entonces la variable aleatoria es discreta; si el recorrido es infinito entonces la variable es continua. 2. FUNCION DE PROBABILIDADES (f.d.p) una función de probabilidades debe cumplir: Si la variable aleatoria es discreta:

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1) P(X=x) ≥ 0

x pertenece a los reales

2)

Si la variable aleatoria es continua: 1) ƒ(x)≥ 0 x pertenece a los reales

2) Para encontrar la función de probabilidad de un problema de variable aleatoria discreta se debe calcular las probabilidades de todos los elementos del recorrido.

Ejemplo anterior: Ω= {ccc,ccs,csc,scc,css,scc,ssc,sss} X: Nº caras obtenidas Rx = (0,1,2,3)

Ejemplo:

En una rifa que consta de 1000 boletos se tiene los siguientes

premios: 1º premio 1 TV de Bs 2000

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2º premio 1 Dvd de Bs 500 3º premio 2 canastones de Bs 50 4º premio 1 canaston de Bs 50 Si la variable se define como la ganancia obtenida sabiendo que cada boleto cuesta Bs 5. ¿Cuál es la función de probabilidad de una persona que compra un boleto? Ω= {1,2,…………..1000} X: Ganancia de una persona que compra un boleto Ganancia = Premio – Costo del boleto Rx: (-5, 45, 495, 1995)

Funcion de probabilidad

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=0

e.o.c

Cual es la probabilidad que gane la persona algún premio?

Ejemplo: De una urna que contiene 5 fichas blancas y 2 fichas negras, se extrae 3 a la vez. Sea x la variable aleatoria como el N° de fichas blancas extraidas X: N° de fichas blancas extraidas Rx = (1,2,3)

Ejemplo: De 100 productos de los cuales 30 son defectuosos y 70 buenos. Se extrae un producto a la vez con reposición hasta encontrar un producto defectuoso. Sea “x” la variable aleatoria definida como el N° de extracciones hasta encontrar el producto defectuoso.

X: N° de extracciones hasta encontrar el producto defectuoso. Rx = (1,2,3,4,5…………………)

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e.o.c. = 0

3.Esperanza matemática.- (Ex).- Es el promedio ponderado de una variable aleatoria y se define como:

Si la variable aleatoria es discreta

Si la variable aleatoria es continua

Ejemplo: Dada la función de probabilidad (f.d.p.)

=0

e.o.c.

Ejemplo: Sea “x” la variable aleatoria definida como tiempo que dura un foco hasta que falle. Dada por la función de probabilidad: f(x) = 3x2 =0

0≤x≤1 e.o.c. 26

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Sabemos que: Comprobando:

4. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA (f.d.p) F(x) F(x) = P (X=x) En el ejemplo:

Entonces:

Ejemplo: Una lotería instantánea consiste en raspar una casilla de cada fila de una tarjeta tiene 3 filas y en cada fila dos casillas de los cuales existe un numero oculto de 5 Bs y 10 Bs en un orden aleatorio en cada fila.

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El juego consiste para ganar en raspar de cada fila una casilla similar en las tres filas y gana ese monto. Si la tarjeta cuesta 9 Bs. ¿Cuánto espera ganar una persona que compra una tarjeta? X: Ganancia = Premio – costo 1º

2º

3º

4º

5

5

5

10 10 10

5

10 10 10 5

10 10 5

5

5º

6º

5

10 5

Rx = (-6,-1, -4)

= 4.125

5. VARIANZA.- Mide el grado de dispersión de una variable aleatoria y se define como: V(x) = E(x – E(x))2 Para fines prácticos: V(x) = E(x2) – E2(x)

donde: =E2(x) = (E(x))2

En el ejemplo: 28

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V(x) = 2.2 6. DESVIACION ESTANDAR.-

En el ejemplo:

TEMA Nº 3 DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES 1.DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE VARIABLE DISCRETA.1.1DISTRIBUCION BINOMIAL.- Se caracteriza por estar definida la variable aleatoria como # de exitos en “n” ensayos tiene dos parámetros: n: # de ensayos o tamaño de la muestra p: Probabilidad de éxito Decimos que una variable aleatoria tiene una distribución binomial con parámetros (x ~ B(n,p)) si su funcion de probabilidad esta dad por: x = 0,1,2 …………n Con E(x) = n*p V(x) = n*p*q Donde: q es la probabilidad del fracaso q = 1-p 1.1.1

Independencia:

En

general

existe

independencia

cuando

la

probabilidad e éxito o de fracaso no cambia. 

Lanzamiento de objetos



Cuando se extrae con reposición



Cuando se extrae sin reposicion De una población finita (expresada en porcentaje)

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Ejemplo: Se lanza 3 dados se “x” la variable aleatoria establecida como: # de cincos que se obtiene. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea 5? x: # de cincos obtenidos cuando se lanza 3 dados entonces: (x ~ B(n,p) ~ B (3, 1/6)

1.2 DISTRIBUCION GEOMETRICA.Se caracteriza por estar definida como # de ensayos hasta que salga el primer éxito donde los ensayos son independientes. Tiene un solo parámetro: P = probabilidad de éxito

(x ~ G(p))

Cuya funcion de probabilidad esta dada por: x

P(X = x) = q -1p

x = 1,2,3,……….

Donde: Con:

Ejemplo: Se lanza un dado hasta que salga 3 ¿Cuál es la probabilidad de que salga después del 5º lanzamiento? 30

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x: Nº de lanzamientos hasta que salga el 3 los lanzamientos son independientes entonces: (x ~ G(p)) ~ G (1/6)

=0

e.o.c.

P(x > 5) = 1- p (x ≤ 5) = 1- (P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)+P(x=5))

Ejemplo: x: Nº de personas seleccionadas hasta encontrar a una persona con problemas renales Los ensayos son independientes entonces:(x ~ G(p)) ~ G (0.05) Luego: P(X = x) = 0.45

x-1

* 0.05

x = 1,2,3

=0 P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) + ………………….. = 1 – p(x ≥ 2) = 1 – (P(x = 1)+P(x = 2)) = 1 – (0.951-1* 0.05 + 0.952-1 * 0.05) = 0.9025

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Ejemplo: De una población se sabe que el 30 % goza de un seguro de salud. Se elige a 5 personas de la población ¿Cuál es la probabilidad que se hayan elegido mas personas aseguradas que personas no aseguradas? x = 0,1,2,3,4,5

= 5*0.30 = 1.5

= 10*0.027*0.49 = 0.1323 1.3 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA.N: Tamaño de la población n: # de ensayos ó tamaño de la muestra M: # de elementos con la característica de éxito x ~H(N,n,M) cuya f.d.p. es:

x=0,1,2,3,4,5,…,min(n;M) =0

e.o.c.

Con:

Ejemplo: De un grupo de 10 mujeres y 6 hombres se selecciona a 4 de ellos aleatoriamente, cuál es la probabilidad de seleccionar: a) 3 mujeres

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b) Que haya más hombres que mujeres c) Cuantas mujeres se espera que sean seleccionadas x: Nº de mujeres seleccionadas = éxito

x = (0.4- (16-10))= (0,-2) = 0 x = 0,1,2,3,4

1.4 DISTRIBUCION DE POISSON.Se caracteriza por estar definida la variable aleatoria como el # de éxitos en T unidades de medida, donde los ensayos se asumen independientes. Tiene un solo parámetro λ que representa el # promedio de éxitos en las T unidades de medida cuya función de probabilidad esta dada por: (x~P(λ)) x = 0,1,2,3 =0

e.o.c.

Con: E(x) = λ V(x) = λ

Ejemplo: A cierta telefónica llega un promedio de 30 llamadas cada 15 min. Cual es la probabilidad de que no ingrese ninguna llamada en los próximos 20 segundos? Se sabe que la central telefónica hay 15

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Si asumimos que existe independencia entre llamadas x: Nº de llamadas que ingresan a la central telefónica en 20 segundos λ = (30 Llamadas / 15 min)*(1min/60 Seg)*20 seg λ = 1/3 * 30 / 15 λ = 0.67 entonces: (x~P(λ)~P(0.67))

luego:

x = 0,1,2

2. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES VARIABLE CONTINUA 2.1 DISTRIBUCION UNIFORME.Si la variable aleatoria continua “x” con rango Rx (a,b); ab ε|R; a 0, se dice que se distribuye de forma aproximadamente normal su función de densidad esta dada por:

La media puede tomar cualquier numero real -∞ < μ < ∞ σ2 > 0 Donde: x ~N(μ,σ) Caso particular: Si una variable aleatoria continua se distribuye de forma normal con media a 0 y varianza σ 2 = 1; μ = 0 a esta variable se la denominara variable normal estándar o equivalentemente que esta variable aleatoria se distribuye de forma normal estándar. μ = 0 y σ2 = 1

normal estándar

Definición: Una variable aleatoria continua “z” con media μ = 0 y σ 2 = 1 exactamente uno, se dice que se distribuye de forma normal estandar. Si su función de densidad esta dada por:

2.2.1 PROPIEDADES.Si z es una variable distribuida de forma normal estandar y sean: Z~N(0,1) y z1, z2 pertenecen a los reales; z1 < z2 entonces las siguientes propiedades: 1) P(Z > z1) = 1- p(Z ≤ z1) Complemento 2) P(z1 ≤ Z ≤ z2) = P(Z ≤ z1) – P(Z ≤ z2) 3) P(-z1 ≤ Z ≤ z1) = 2P (Z ≤ z1)-1

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Estandarización: Se parte de cualquier variable si su comportamiento es de forma normal, se vuelve magnitud, lo que pasa en la normal. Sea la variable aleatoria continua “x” distribuida de forma normal estandar, donde la media es μ y la varianza σ2; si se puede definir una nueva variable aleatoria continua x como: Z=x–μ/σ

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TEMA Nº 4 INFERENCIA ESTADISTICA a) Estimación b) Prueba de hipótesis 1. CONCEPTOS 

Población.- Un conjunto de observaciones mas grande imaginable constituida una variable asociado a una variable de interés.



Muestra.- Una parte representativa de la población conjunto finito.



Muestra aleatoria.- Una colección de variables aleatorias x1,x2, ……xn Se denominara muestra aleatoria de tamaño n, si y solamente si cumplen con las siguientes condiciones: cada una de estas variables en independencia, cada una de estas variables tiene la misma distribución de probabilidad. x ~ b, x ~ H iid = independiente e idénticamente distribuidas



Parámetro: Es una función definida con todos los elementos de la población. 5) Estadístico.- Se denomina estadístico a cualquier función definida con todos los elementos aleatorios a) Los estadísticos son variables aleatorias b) La distribución de probabilidad (función de cuantía o función de densidad) de un estadístico se denominara distribución muestral.



Estimados.- Un estimado es una función de una realización en particular de una muestra aleatoria. Este estimado puede ser un único valor (Estimado puntual) o puede ser un conjunto de valores (estimados por intervalos); cuya función

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Estadística II

principal es de aproximarse al valor verdadero del parámetro de interés.

2. DISTRIBUCION MUESTRAL.Una media estadística de posición central es la media aritmética definida por:

si es con reposición

si es sin reposición Ejemplo: Se extrae una muestra de tamaño 2 (n = 2) con reposición para encontrar la media aritmética muestral 2º ext 1

2

3

1º ext 1

-

1.5

2

2

1.5

-

2.5

3

2

2.5

-

Rx = (1.5, 2, 2.5)

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Estadística II

Por otro lado:

Donde: N = tamaño de población

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Estadística II

Luego: Caso sin reposición:

Entonces:

2 =2

Luego:

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