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• Hector Arestegui Molina

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Probabilidad – Cap 6

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.

4.1 - 1

La distribución normal estándar

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Variable aleatoria normal estandarizada Podemos determinar el área bajo la curva normal primeramente estandarizando la variable. Determinamos el valor Z para cada valor de la variable usando la transformación

Luego usamos la tabla conocida como la tabla para la curva normal para determinar el área bajo la curva. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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Propiedades de la curva de normal estándar 1. Es simétrica alrededor de su media, 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1. 2. La moda = media = mediana =0, y el punto más alto se produce en 𝑥 = 0. 3. Tiene puntos de inflexión en 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 1 4. El área bajo la curva es igual a 1. 5. El área bajo la curva a la derecha de 𝜇 es igual al 1 área bajo la curva a la izquierda 𝜇 y es igual a . 2

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EJEMPLO

Estandarizar una variable aleatoria

Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media, μ = 2,200 libras y desviación estándar, σ = 200 libras. • Estandarice la variable X. • Determine el área bajo la curva normal estándar para X entre los valores de Z correspondientes a x=2000 y x = 2300.

𝑥−𝜇 𝑧= 𝜎

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Area bajo una curva de normal estándar • Calcule el área bajo la curva normal estándar: • entre z=0 y z=1 • entre z=1 y z=2

• entre z=2 y z=3

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4.1 - 6

Determinar el área bajo una curva normal estándar usando tablas. La tabla A-2 para la distribución normal estándar da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z, como se muestra

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EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de Z = -0.38.

Área hacia la izquierda de z = -0.38 es________

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Area bajo una curva normal estándar

Área bajo la curva normal estándar a la derecha de zo es igual a 1 – Area to the left of zo

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EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25

Área a la derecha 1.25 = 1 – área a la izquierda de 1.25 7-10

EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar entre

z = -1.02 y z = 2.94. Área entre -1.02 y 2.94 = (Área a la izquierda de z = 2.94) – (área a la izquierda de z = -1.02)

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Problema

Procedimiento

Solución

Determinar el área a la izquierda de z

Sombrear el área a la izquierda de z

Usar la tabla normal para hallar la fila y la columna que corresponden a z. El área el el valor donde la fila y la columna intersecan.

Determinar el área a la derecha de z

Sombrear el área a la derecha de z

Usar la tabla normal el área a la izquierda de z. Luego reste 1 – área a la izquierda de z

Determinar el área entre 𝑧1 𝑦 𝑧2

Sombrear el área entre 𝑧1 𝑦 𝑧2

Usar la tabla normal el área a la izquierda de 𝑧1 y a la izquierda de 𝑧2 . Luego reste área a la izquierda 𝑧2 – área a la izquierda de 𝑧1

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EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la izquierda de z. Determinar z, dado que el área a la izquierda de z es 0.7157

El valor z tal que el área a la izquierda de z es 0.7157 es _____________. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la derecha de z. Determinar z, dado que el área a la derecha de z es 0.3021. El área a la izquierda de z es ___________________________________.

La aproximación para el valor de z que corresponde a un área de 0.3021 a la derecha es _________________________.

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Práctica

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La tabla normal

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La tabla normal (cont)

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Práctica Determinar el área bajo la curva normal estándar que está a la derecha de z.

Determinar el área bajo la curva normal estándar que está entre:

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Probabilidad para una variable aleatoria normal estándar P(a < Z < b)

representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar está entre a y b

P(Z > a)

representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es mayor que a. representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar es menor que a.

P(Z < a)

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EJEMPLO Determinar la probabilidad una variable aleatoria normal estándar. Determinar las siguientes probabilidades: (a) P(Z < -0.23)

(b) P(Z > 1.93)

(c) P(0.65 < Z < 2.10) © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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P(Z=z) NOTA: Para cualquier variable aleatoria continua, la probabilidad de observar un valor específico de la variable aleatoria es 0. Por ejemplo, para una variable aleatoria normal estándar, P (a) = 0, para cualquier valor de a. Esto es debido a que no hay área bajo la curva normal estándar en un sólo valor, por lo que la probabilidad es 0.

Por lo tanto, las siguientes probabilidades son equivalentes:

P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b) = P(a < Z < b)

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