• Author / Uploaded
• HaroldVillanuevaTeran

Citation preview

DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". FUNCIÓN DE DENSIDAD Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula Representación gráfica de esta función de densidad

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así 1 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN    

Puede tomar cualquier valor (- , + ) Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media  Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica). Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro , que es la desviación típica.

F(x) es el área sombreada de esta gráfica

TIPIFICACIÓN

Por tanto su función de densidad es

Y su función de distribución es 2 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

Siendo la representación gráfica de esta función

A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)     

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY Tiene un máximo en este eje Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) : Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique 3 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular. Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad.

4 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES. La distribución de la variable Z se encuentra tabulada

5 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

6 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

Cálculo de probabilidades en la distribución N( 0, 1) A) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z ≤ k, siendo k > 0, es: Φ(k) = p[ z ≤ k] Su probabilidad aparece en la figura-1 y su valor se determina directamente en las tablas Ejemplos: 1º.- P[ z ≤ 1,75 ] = Φ(1,75) = 0,9599 2º.- P[ z ≤ 3,18 ] = Φ(3,18) = 0,9993 B) Para calcular p[ z > k] recordemos que Φ(k) + p(z>k) = 1 de donde p[ z > k] = 1 - Φ(k) Su probabilidad aparece en la figura-1 en color blanco Ejemplos 1º.- p[ z >1,75] = 1-0.9599 = 0,041 2º.- P[z ≥ 2,8] = 1 - P[z ≤ 2,8] = 1 – Φ(2,8) = 1- 0,9974 = 0,0026 3º.- P[z>0,12] = 1 - P[z- k] = p[z < k] = Φ(k)

Ejemplos: 1º.- p[z > -1,8] = Φ(1,8) = 0,9641 2º.- p[z > - 0,3] = Φ( 0,3) = 0,6179 Reciprocamente Supongamos ahora que nos dan la probabilidad, p, y necesitamos averiguar el valor z = - k para el que: p[ z < - k] = 1 - p[z < k] = 1 - Φ(k) = p De donde Φ(k) = 1 - p El valor de k lo encontraremos en las tablas, bien directamente o de una manera aproximada. 7 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

Ejemplos Hallar el valor de - k que cumple las relaciones siguientes: 1º.- p[z - k] = p[z < k] = 0,6915 k = 0,50  - k = - 0,50 5º.- p[z ≥- k] = 0,9429  p[z ≥ - k] = p[z ≤ k] = 0,9429  k = 1,58  - k = - 1,58 6º.- p[z ≥- k] = 0,9971  p[z ≥- k] = p[z ≤ k] = 0,9971  k = 2,76  -k1 = - 2,76 D) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera k < z < k´ La probabilidad p de que un valor cualquiera z se Encuentre en el intervalo k < z < k´ es p[ k < z < k´] = p[z < k´] - p[z < k] Determinándose p[z < k´] y p[z < k], según los valores de k´ y k y restando los resultados obtenidos. Ejemplos: 1º.- p[ 1 < z < 1,85] = p[z < 1,85] - p[z < 1] = 0.9678 - 0,8413 = 0,1265 2º.- p[1,62≤ z < 2,3] = p[z k] recordemos que Φ(k) + p(z>k) = 1 de donde p[ z > k] = 1 - Φ(k) Su probabilidad aparece en la figura-1 en color blanco Ejemplos 1º.- p[ z >1,75] = 1-0.9599 = 0,041

Gráfica de distribución

Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0,4

Densidad

0,3

0,2

0,1 0,0401 0,0

0 X

1,75

20 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

C) La probabilidad p de encontrar un valor cualquiera z < 0, es: p[z