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• Gabriel León

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Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x 1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Ejemplo 1: Encuentre la distancia entre los puntos (1, 2) y (3, 5). Solución: Paso 1 - Dibujar el triangulo rectangulo con vertices (1,2), (3,2) y (3,5).

Paso 2 - Encontrar las longitudes de los catetos del triángulo: Ver Diagrama arriba. Paso 3 - Usar el teorema de Pitagoras para calcular la distancia: c1=3 c2=2

distancia = ( 3 ) 2 + ( 2 ) 2 = 13

Ejemplo 2: Encuentre la distancia entre los puntos (-1, 2) y (3, -2). Solución: Paso 1 - Dibujar el triangulo rectangulo con vertices (-1,2), (3,2) y (3,-2).

Paso 2 - Encontrar las longitudes de los catetos del triángulo: Ver Diagrama arriba. Paso 3 - Usar el teorema de Pitagoras para calcular la distancia: c1=2 c2=3

distancia = ( 4 ) 2 + ( 4 ) 2 = 32 istancia entre A(6) y B(-3) AB = ((6) - (-3)) = ( (-3) - (6) ) = (6 + 3 ) = ( - 3 - 6 ) = (9)= (-9) = 9

) Determine la distancia entre cada par de puntos dados 1.1) (1,2) y (-3,4)

1.2) (-3,0) y (-4,6)

2) Para los pares de puntos dados en cada figura a) Estime las coordenadas de los puntos P1 y P2. b) Estime la distancia entre P1 y P2 usando la fórmula de distancia

Punto de división de una recta División de un segmento en una relación dada

Divi dir un segmento AB en una relaci ón dada r es determi nar un punto P de l a recta que contiene al se gmento AB , de modo que l as dos partes, PA y PB, están en la rel aci ón r:

Ej emplo:

¿Qué puntos P y Q di vi den al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes i guales?

Área del Polígono El á rea

de

un

p o lí g on o se

obti ene t ri ang ul and o

pol í go no y su man do el ár ea de di c hos t ri án gul os .

el

A = T

1

+ T

2

+ T

3

+ T

4

Ej empl o

Cal cul ar el ár ea del si g ui ente p ol í go no :

AD B C;

AB

= =

DC Rom boi de

A A

R

+ A

= T

A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2

= 162 cm 2

1Hall ar el área de l a si gui ente figura:

El área pedida es de

cm 2 .

2Hall ar el área de l a si gui ente figura.

cm 2

3Queremos pi ntar la parte de la fachada y chimenea de la casa que se obser va en la imagen. Un bote de 1 Kg de pintura cuesta 3 €, sabi endo que con 1 Kg de pintura se pintan aproxi madamente 8 m 2 y el bote más pequeño que venden de pi ntura es el de 1 Kg, ¿cuánto nos

costará la pi ntura necesari a?.

€

4Hall a el área de un pentágono regul ar de 8 cm de l ado y 5 cm de radi o.

cm 2

Y el área de un octógono regular de 8 cm de lado y 6 cm de apotema.

cm 2

5¿Cuál es el área de un dodecágono regul ar de 5 cm de lado y apotema 9.35 cm?

cm 2

Pendiente de una recta

Pendiente de la recta

Antes de referirnos a la orientación de una pendiente de la recta (si es positiva o negativa) hagamos una recapitulación: Veamos un ejemplo. Si tenemos y = 3x − 4 esto es igual a, 3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta) Ahora lo que sigue es sacar la pendiente, pero ¿Cómo se obtiene la pendiente si solo tenemos la fórmula? Pues hay dos maneras de hacerlo: directa e indirecta: Indirecta: Obtenemos dos puntos (x e y) a partir de dos valores dados a x (por ejemplo, x = 1 y x = 2), y los ponemos en la ecuación de la recta: 3x − y − 4 = 0 si (x = 1) 3(1) − y − 4 = 0 3−y−4=0 −y−1=0 y+1=0 y=−1 P1 (1, −1) = (x1, y1) 3x − y − 4 = 0 si (x = 2) 3(2) − y − 4 = 0 6−y−4=0 −y+2=0 y=2

P2 (2, 2) = (x2, y2) Ahora sustituimos en la fórmula de la pendiente:

(esta es la pendiente) Directa: Basándonos en los valores de la recta podemos conseguir la pendiente: 3x − y − 4 = 0 Ax − By − C = 0 A = cantidad de x B = cantidad de y C = Número cualquiera Ahora solo sustituimos en la fórmula de la pendiente

(esta es la pendiente)

Grado de inclinación Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación

Pendiente positiva

Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de x aumentan los de y), su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0 Pendiente negativa

Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores de x disminuyen los de y), su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0 Pendiente nula o cero

Cuando la recta es constante se dice que tiene pendiente nula, en la expresión analítica m = 0

Visualmente, también podemos definir si la pendiente es positiva o negativa: Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

endiente

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

Pendiente dado el ángulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Ecuación punto-pendiente

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

Ejemplo: 1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director Escribir su ecuación punto pendiente.

= (2,5).

2 Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

3 Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9. Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que: y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5 y = -2x en la forma general es 2x + y = 0 La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendienteintercepto. Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2. Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2). OPERACIONES:

1. Desde un extremo del segmento AB, por ejemplo elA, se traza una recta cualquiera, por ejemplo la s. . . .

.

2. Con una abertura cualquiera en el compás, se lleva 5 veces la misma medida sobre la recta s. . . . .

3. El último punto que se obtiene (en nuestro caso el 5) se une con el otro extremo del segmento, el B. . . . . 4. Por el resto de las divisiones, se trazan paralelas a la última línea trazada (la formada entre los puntos 5 y B) y todos los cortes en el segmento AB serán las divisiones del segmento.

division de una recta mediante una razon dada Definición:

Di vi di r un se gm en to AB en u n a rel a ci ón da d a r es determinar un punto P de la re cta que contiene alseg me n to AB , de modo que las dos partes, PA y PB , están en la relación r :

Fórmula:

Ejercicio:

Sean dos puntos A (-2,1) y B (8,6). Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento AB tal que AB es a PB como 2 es a 3.