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Universidad Tecnólogica Nacional Facultad Regional Santa Fe

Ing. MECÁNICA

ESTABILIDAD II

TEORÍA DISCOS DE ROTACIÓN

σ

ω

σr

a

σr

σθ b

σθ σr

Profesor:

Ing. Hugo A. Tosone J.T.P.:

Ing. Andrés Anca Octubre de 2009

DISCOS DE ROTACIÓN: CONTENIDOS Discos de espesor uniforme. Solución en corrimientos. Casos particulares: Disco sin orificio central y con orificio central circular. Análisis y discusión comparativa de los estados tensionales. Valores máximos. Limitación en la velocidad periférica en los discos de espesor uniforme. Ensayo de modelos a escala con igual comportamiento tensional. Disco de espesor variable. Solución general mediante una función auxiliar. Caso particular: disco de resistencia uniforme. Perfil del disco. Aplicaciones prácticas.

ESTABILIDAD ΙΙ

DISCOS DE ROTACIÓN

DISCOS DE ROTACIÓN

DISCO DE ESPESOR UNIFORME: Se analizará el comportamiento tensional para un disco que gira. Si el disco posee espesor muy pequeño en relación con su radio se podrán despreciar las variaciones de las tensiones radiales y circunferenciales en todo su espesor. Para simplificar la operatoria algebraica se analizará un disco de espesor unitario (e=1). Cuando el disco gira alrededor de su eje, las fuerzas de inercia (fuerzas másicas) generan tensiones que estarán distribuidas simétricamente respecto a dicho eje. Se presenta entonces un caso de distribución axil simétrica de corrimientos y de tensiones, que no dependerán del ángulo polar sino solamente del radio como única variable. No habrá tensiones de corte, ya que para un mismo radio todas los elementos diferenciales en esa circunferencia, experimentarán los mismos corrimientos radiales “u” y entonces no se generarán distorsiones en los “contactos” laterales entre ellos. Ello implica que las tensiones normales de direcciones circunferenciales y radiales, serán tensiones principales. Para resolver el estado tensional y deformacional se utilizará una solución en corrimientos, por lo que resultará una ecuación diferencial en el corrimiento radial “u”. Si para un e lemento genérico en la posición “r” se plantea la condición de equilibrio en la dirección radial, resulta: θ .d ) r d r (r+ dσ

σ

σθ ω

2

γ ω dθ

r

dr

θ r.d O

r

σ

r

g

σ

dθ

dr

r

r

σr . dθ

. θ

dr

σ θ.

σθ

σθ

dr

γ

dθ

dθ

σ θ.

dr

1

σr

g

ω2 r

1 dθ

r.dθ

dσr

dr

σθ

r

fig.1 Por equilibrio de proyecciones de fuerzas en dirección radial, fig. 1, se obtiene :

γ  0 = (σr + d σr ) ⋅ ( r + dr ) ⋅ dθ − σr ⋅ r ⋅ dθ − σθ ⋅ dr ⋅ dθ +  ⋅ ω2 ⋅ r  ⋅ ( r ⋅ dθ ⋅ dr ) g  Todos los sumandos contienen dθ , por lo que se puede cancelar. Luego, operando algebraicamente con los binomios queda lo siguiente:

γ 0 = σr ⋅ r + σr ⋅ dr + dσr ⋅ r + dσr ⋅ dr − σr ⋅ r − σθ ⋅ dr + ⋅ ω2 r2 dr g

Operando y despreciando el cuarto sumando por ser un infinitésimo de orden superior, resulta:

γ 0 = ( σr − σθ ) ⋅ dr + dσr ⋅ r + ⋅ ω2 ⋅ r2 ⋅ dr g DISCOS_TEORIA.doc - 23/10/2009 12:08:00

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Dividiendo todo por “–dr ” queda finalmente:

(σ

− σr ) − r ⋅

θ

d σr γ 2 2 − ω ⋅ r = 0 [1] dr g

en la que es:

γ: peso específico g: aceleración gravitatoria ω: velocidad angular

La [1] es la “Ecuación diferencial de equilibrio” que solo difiere de la obtenida en el caso de tubos gruesos en el último sumando, fuerza másica debida al giro. Por otra parte, el signo para las tensiones radiales se estableció contrario al del estudio de los tubos. Para poder expresar la [1] en corrimientos se recurre a la ley de Hooke generalizada.

εθ =

1 ( σθ − µ ⋅ σr ) E

εr =

1 ( σr − µ ⋅ σθ ) E

σr de esas dos expresiones resulta: E E σr = ⋅ ( εr + µ ⋅ εθ ) σθ = ⋅ ε + µ ⋅ εr ) 2 ( θ 1 − µ2 1− µ

Despejando σθ y

Las deformaciones unitarias ya analizadas para los tubos gruesos con presión, eran:

εr =

du dr

εθ =

2π⋅ (r + u) − 2 ⋅π⋅r 2 ⋅ π ⋅u u = = 2 ⋅π⋅ r 2 ⋅π⋅ r r

Reemplaza ndo dichas deformaciones en las expresiones de

σθ =

E u du  + µ ⋅  [2] 2  1− µ  r dr 

σr =

εθ =

u r

σθ

y

E  du u +µ  2  1 − µ  dr r

σr

resulta:

[3]

Para establecer una relación con la ecuación diferencial de equilibrio [1] se tendrá en cuenta el factor

dσr de dicha ecuación. dr

Por lo tanto se debe realizar primero esa derivada a partir de la [3].

dσr E d  du u E = +µ⋅  =  2 dr 1 − µ dr  dr r  1 − µ2

 d2u µ  du  + ⋅ r − u ⋅ 1  2   r2  dr   dr

dσr E  d2u µ du µ  = + − ⋅u Quedando:  dr 1 − µ2  dr2 r dr r2 

Se reempla zará en la [1] la tensión σθ dada por la [2], σr de la [3] y la expresión de dσ r 1− µ 2 obtenida previamente. Si además se multiplica todo por queda: E dr

u du du u  d2 u µ du µ  γ 2 2 1 − µ2 +µ⋅ − − µ ⋅ − r 2 + ⋅ − 2 ⋅ u  − ⋅ω ⋅r ⋅ =0 r dr dr r r dr r E  dr  g DISCOS_TEORIA.doc - 23/10/2009 12:08:00

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Aplicando propiedad distributiva :

u du du u d2 u du u γ 2 2 1 − µ2 +µ⋅ − −µ⋅ − r⋅ 2 −µ⋅ +µ⋅ − ⋅ω ⋅r =0 r { dr dr { r dr { dr {r g E ••

•

••

•

Cancelando los sumandos indicados, dividiendo todo por (-r) y ordenando luego por “orden de derivación” decreciente se obtiene:

d2 u 1 du u γ ⋅ ω2 2 + ⋅ − + (1 − µ ) ⋅ ⋅ r = 0 [1´ ] dr2 r dr r2 g⋅E

Ec. de equil. expr. en corrimientos “u”

Para integrar la ecuación anterior se le efectuarán algunas transformaciones. Los tres primeros sumando se pueden sustituir por la derivada de una suma, mientras que el sumando en “r” se pasa al segundo miembro del siguiente modo:

d  du u  γ ⋅ ω2 2 + = − (1 − µ ) ⋅ ⋅ r = −N ⋅ r dr  dr r  g ⋅E

siendo:

γ ⋅ ω2 N = (1 − µ ) g⋅E 2

La anterior se puede expresar también del siguiente modo:

d  1  du   ⋅ r + u  = − N ⋅ r  dr  r  dr 

ó

d 1 d  ⋅ u ⋅ r ( )  = − N ⋅ r dr  r dr

Integrando una vez en “r”:

1 d N ⋅ ( u ⋅ r ) = − r2 + C1′ ⇒ r dr 2

d N ( u ⋅ r ) = − r3 + C1′ ⋅ r dr 2

Integrando de nuevo:

u ⋅r = − queda:

N 4 C1′ 2 r + r + C2 8 2

u⋅r = −

y haciendo:

N 4 r + C1 ⋅ r2 + C2 8

u=−

C1′ = C1 2

de la que se obtiene finalmente el corrimiento u:

N 3 C r + C1 ⋅ r + 2 8 r

[4]

Sustituyendo “u” de la [4] y su derivada con respecto a “r”, en las expresiones de σθ y

σr dadas por [2] y [3], luego de operar algebraicamente se obtienen σθ y σr en función del

radio "r”. Las constantes C 1 y C 2 se determinarán con las condiciones de borde en cada caso.

σθ =

E 1 − µ2

1  1 + 3µ 2 − N ⋅ r + 1 + µ ⋅ C − 1 − µ ⋅ C ( ) ( ) 2 1  8 r2 

σr =

E 1 − µ2

1  3+µ ⋅ − N ⋅ r2 + (1 + µ ) ⋅ C1 − (1 − µ ) ⋅ C2 ⋅ 2  8 r  

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[5]

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El factor N se puede expresar en función de la velocidad periférica “v”. Siendo “b” el radio exterior del disco resulta:

v v2 2 v = ω ⋅b ⇒ ω = ⇒ ω = 2 b b

quedando:

(1 − µ2 ) ⋅ γ v2 N= ⋅ 2 g ⋅E b

CASOS PARTICULARES Disco con orificio central Para calcular las constantes C1 y C2 se deben plantear las condiciones de borde; como en ellos no hay fuerzas, resulta :

(σ r ) r =a = 0

σθ máx

(σ r ) r =b = 0

σθ

Reemplazando en la expresión [6] se obtiene :

3+ µ 1 ⋅ N ⋅ a 2 + (1 + µ ) ⋅ C1 − (1 − µ ) ⋅ C 2 ⋅ 2 = 0 8 a 3+ µ 1 =− ⋅ N ⋅ b 2 + (1 + µ ) ⋅ C1 − (1 − µ ) ⋅ C 2 ⋅ 2 = 0 8 b

σr

(σ r ) r =a = − (σ r ) r =b

Dividiendo la primera por b 2 , la segunda por a 2 y restando se obtiene:

b 3+ µ a  1  1 ⋅ N ⋅  2 − 2  + (1 + µ ) ⋅  2 − 2  ⋅ C1 = 0 8 b  a  b a 2

a

b

2

fig. 2

3+ µ ⋅ N ⋅ b 4 − a4 + (1 + µ ) ⋅ a 2 − b 2 ⋅ C1 = 0 8

(

de donde:

C1 =

)

(

(

)

)

3+ µ ⋅ a 2 + b2 ⋅ N 8 ⋅ (1 + µ )

[7]

En cambio, resta ndo la 2º de la 1º resulta:

C2 =

3+ µ ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ N 8 ⋅ (1 − µ )

[8]

Sustituyendo C1 y C2 dadas por las [7] y [8], en las expresiones [5] y [6] resulta :

σθ =

 (1 + 3 ⋅ µ ) E ( 3 + µ ) ⋅ a2 + b2 ⋅ N + 1 − µ ⋅ ( 3 + µ ) ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ N ⋅ 1  ⋅− ⋅ N ⋅ r2 + (1 + µ ) ⋅ ( ) ( ) 8 ⋅ (1 −µ)  2 8 ⋅ (1 + µ) r2  (1 − µ )  8

σr =

 (3 + µ ) ( 3 + µ ) ⋅ a 2 + b 2 ⋅ N + 1 − µ ⋅ ( 3 + µ ) ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ N ⋅ 1  E ⋅ − ⋅ N ⋅ r2 + (1 + µ ) ⋅ ( ) ( ) 8 ⋅ (1 − µ)  2 8 ⋅ (1 + µ) r2  (1 − µ )  8

( 3 +µ )

 2 2 1 + 3 ⋅µ 2 a2 ⋅ b2  ⋅ E ⋅ N ⋅ a + b − ⋅ r + 2  [9´ ] simplificando queda: σθ = 3+ µ r  8 ⋅ (1 −µ2 ) 

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(3 + µ)

 2 2 2 a2 ⋅ b2  σr = ⋅ E ⋅ N ⋅ a + b − r − 2  r  8 ⋅ (1 − µ2 ) 

[10´ ]

Sustituyendo N en función de la velocidad periférica, en las expresiones [9’] y [10’] resulta :

γ ⋅ v2 3 + µ  a2 1 + 3 ⋅ µ r2 a2  σθ = ⋅ ⋅  + 1− ⋅ +  g 8  b2 3 + µ b2 r2  [9]

γ ⋅ v2 3 + µ  a2 r2 a 2  σ r = g ⋅ 8 ⋅  b2 +1 − b2 − r2  [10] Analizando las expresiones [9] y [10] se comprueba que la tensión para r=b, tal como se impusiera en las condiciones de borde. Además en el borde interior, para r=a, la tensión

σθ

σrmáx

σ

σθ máx

Tensiones para a/b=0,25

σθ σrmáx

σr

hace falta averiguar para que

Se debe plantear entonces

se anula para r=a y

es máxima y vale:

2 γ ⋅ v2 3 + µ  1 − µ  a   σθm á x = g ⋅ 4 ⋅ 1 + 3 + µ ⋅  b   [11]  

Para determinar radio “r” ocurre.

σr

dσr = 0 y despejar “r” dr

r

r/b=0,5

a

b

que cumpla con dicha condición. Se puede recurrir a la expresión [10’ ] o también a la [10]. Derivando la [10’ ] e igualando a “0” resulta:

fig. 3

dσr γ ⋅ v2 3 + µ  2  = ⋅ ⋅  −2 ⋅ r + 3 a2 b2  = 0 dr g 8  r  y despejando “r” se obtiene:

r = ab

Lo que implica que el máximo se produce en la media geométrica de los radios. En la fig. 3, para a/b=1/4, es r/b=1/2 como se puede corroborar calculándolo. Sustituyendo

σr

σθ 1

σr a

a

r b

a

[12]

Con las expresiones [9] y [10] se comprueba que: máx

2

a

2

γ⋅v 3+µ  a  = ⋅ 1 −  g 8  b

σθ

2,42

r = a b en la [10] se obtiene :

2

max

σ

γ v2 . 3 + µ g 8

> σr m á x

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fig. 4

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En la figs. 3 se representa la variación de las tensiones σθ y σr para a/b=1/4=0,25. En la fig.4 se muestran dichas variaciones para distintas relaciones de a/b. Se puede apreciar que a medida que el agujero se achica las curvas de ambas tensiones se acercan y se tiende a juntar en la parte interior del disco. Pero en el borde del agujero, por pequeño que este sea, el factor entre corchetes de la expresión [9] tiende al valor 2 mientras que la [10] siempre se anula . Se verá luego, que para el disco sin agujero la tensión σθ disminuirá exactamente a la mitad, mientras que la radial dejará de ser nula y coincidirá con la circunferencial. Si el agujero es muy pequeño, lo será la relación a/b, por lo que su cuadrado puede despreciarse. Tener en cuenta que “existe agujero” siendo a