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• Michelle Margarita Garcia Torres

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Departamento de Ciencias Básicas Ingeniería Petrolera DINÁMICA M.C. Raymundo López Martínez. Ing. Civil. Grupo: 3603-A Hora 14:00 – 15:00 N° de control

Apellido Paterno

Apellido Materno

15071056 Arguelles Saucedo 16070967

García

15071480 González

Nombres

Calificación

Mario

Torres

Michelle Margarita

Barrios

Oscar

15071051

Guzmán

Saavedra

Jorge Enrique

16070960

Martínez

Pérez

Armando Ciudad Madero, Tamaulipas. noviembre del 2017

Cantidad de movimiento e impulso. Expresamos la segunda ley de Newton para una partícula, 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗, en términos del teorema del trabajo y la energía, el cual nos ayudó a resolver muchos problemas y nos llevó a la ley de conservación de la energía. Volvamos a 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ y veamos otra forma útil de replantear esta ley fundamental. Consideremos una partícula de masa constante m. Puesto que 𝑎⃗ = 𝑑𝑣⃗⁄𝑑𝑡 , podemos escribir la segunda ley de Newton para esta partícula así: 𝑑𝑣⃗ 𝑑 𝐹⃗ = 𝑚 = (𝑚𝑣⃗) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Podemos meter m en la derivada porque es constante. Así, la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta 𝐹⃗ que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la combinación 𝑚𝑣⃗, el producto de la masa y la velocidad de la partícula. Llamamos a esta combinación cantidad de movimiento, o cantidad de movimiento lineal, de la partícula. Si usamos el símbolo 𝑝⃗ para la cantidad de movimiento, tenemos. 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ (definición de cantidad de movimiento) Las unidades de la magnitud de la cantidad de movimiento son las de masa por rapidez, o sea, kgm/s en el SI. 𝑑𝑝⃗ 𝐹⃗ = (según ley de Newton en términos de cantidad de movimiento) 𝑑𝑡 Según la ecuación, un cambio rápido de cantidad de movimiento requiere una fuerza neta grande, mientras que un cambio gradual de cantidad de movimiento requiere una fuerza neta menor. Con frecuencia expresaremos la cantidad de movimiento de una partícula en términos de sus componentes. Si la partícula tiene componentes de velocidad vx, vy y vz, las componentes de su cantidad de movimiento p x, py y pz están dadas por: 𝑝𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 𝑝𝑦 = 𝑚𝑣𝑦 𝑝𝑧 = 𝑚𝑣𝑧 La cantidad de movimiento de una partícula 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ y su energía cinética K=½mv2 dependen de la masa y la velocidad de la partícula.

El impulso de la fuerza neta, denotado con 𝐽⃗, se define como el producto de la nueva fuerza neta y el intervalo de tiempo: 𝐽⃗ = 𝐹⃗ = (𝑡2 − 𝑡1 ) = 𝐹⃗ ∆𝑡 (suponiendo una fuerza neta constante) Para ver de qué nos sirve el impulso, volvamos a la segunda ley de Newton planteada en términos de cantidad de movimiento. Si la fuerza neta 𝐹⃗ es constante, 𝑑𝑝⃗⁄𝑑𝑡 también es constante. En tal caso 𝑑𝑝⃗⁄𝑑𝑡 es igual al cambio total de cantidad de movimiento 𝑝⃗2 − 𝑝⃗1 durante el intervalo t2-t1 dividido entre el intervalo: 𝑝⃗ −𝑝⃗ 𝐹⃗ = 2 1 𝑡2 −𝑡1

Si multiplicamos esta ecuación por (t2-t1), tenemos: 𝐹⃗ (𝑡2 − 𝑡1 ) = 𝑝⃗2 − 𝑝⃗1 Al comparar esto, obtenemos un resultado conocido como teorema del impulso y la cantidad de movimiento: 𝐽⃗ = 𝑝⃗2 − 𝑝⃗1 (teorema del impulso y la cantidad de movimiento) El teorema del impulso y la cantidad de movimiento también se cumple si las fuerzas no son constantes. Para comprobarlo, integramos los dos miembros de la segunda ley de Newton ∑ 𝐹⃗ = 𝑑𝑝⃗⁄𝑑𝑡 respecto al tiempo entre los limites t1 y t2. 𝑡2 𝑡2 𝑝⃗2 𝑑𝑝⃗ ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑝⃗ = 𝑝⃗2 − 𝑝⃗1 𝑡1 𝑡1 𝑑𝑡 𝑝⃗1

La integral de la izquierda es por definición el impulso 𝐽⃗ de la fuerza neta F durante este intervalo: 𝑡2

𝐽⃗ = ∫ 𝐹⃗ (definición general de impulso) 𝑡1

Con esta definición el teorema del impulso y la cantidad de movimiento 𝐽⃗ = 𝑝⃗2 − 𝑝⃗1, es válida aun si la fuerza neta 𝐹⃗ varia con el tiempo. Podemos definir una fuerza neta media 𝐹⃗𝑚𝑒𝑑 tal que, si 𝐹⃗ no es constante, el impulso 𝐽⃗ este dado por: 𝐽⃗ = 𝐹⃗𝑚𝑒𝑑 (𝑡2 − 𝑡1 ) Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores, y las ecuaciones son vectoriales. En problemas específicos suelen ser más fácil usarlas en su forma de componentes. 𝑡2

𝐽𝑥 = ∫ Fxdt = (𝐹𝑚𝑒𝑑 )𝑥 (𝑡2 − 𝑡1 ) = 𝑝2𝑥 − 𝑝1𝑥 = 𝑚𝑣2𝑥 − 𝑚𝑣1𝑥 𝑡1 𝑡2

𝐽𝑦 = ∫ Fydt = (𝐹𝑚𝑒𝑑 )𝑦 (𝑡2 − 𝑡1 ) = 𝑝2𝑦 − 𝑝1𝑦 = 𝑚𝑣2𝑦 − 𝑚𝑣1𝑦 𝑡1

Y lo mismo para la componente z. Conservación de la cantidad de movimiento El concepto de cantidad de movimiento tiene especial importancia en situaciones en las que dos o más cuerpos interactúan. Repasemos esto con ciertos términos nuevos. En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema por algún objeto externo son fuerzas externas. En el sistema que hemos descrito, las fuerzas internas son 𝐹⃗𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴ejercida por la partícula B sobre la A y 𝐹⃗𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 ejercida por la partícula A sobre la B. No hay fuerzas externas, así que tenemos un sistema aislado. La fuerza neta sobre la partícula A es 𝐹⃗𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴 y sobre la partícula B, 𝐹⃗𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 . Las razones de cambio de la cantidad de movimiento de ambas partículas son: 𝑑𝑝⃗𝐴 𝑑𝑝⃗𝐵 𝐹⃗𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴 = 𝐹⃗𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Las razones de cambio de las dos cantidades de movimiento son iguales y opuestas así que la razón de cambio de la suma vectorial 𝑝⃗𝐴 + 𝑝⃗𝐵 es cero. Ahora definimos la cantidad de movimiento total 𝑝⃗ del sistema de dos partículas como la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales. 𝑝⃗ = 𝑝⃗𝐴 + 𝑝⃗𝐵 Así se convierte finalmente 𝑑𝑝⃗ 𝐹⃗𝐵 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴 + 𝐹⃗𝐴 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐵 = =0 𝑑𝑡 Principio de impulso y cantidad de movimiento Cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento llamado también momentum lineal (P), es una magnitud que sirve de medida vectorial de movimiento mecánico. Todo cuerpo que tiene velocidad se dice que es un portador de cierta cantidad de movimiento igual al producto de su masa por su velocidad. (Véase anexos, figura 1) El vector cantidad de movimiento 𝑝⃗ presenta igual dirección que la velocidad (v), es decir: 𝑝⃗ ⇈ 𝑣⃗. Si se desea obtener la cantidad de movimiento de un sistema de partículas (𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 𝑠𝑖𝑠𝑡 se suma la cantidad de movimiento de todos los cuerpos. .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 𝑝1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝2 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝3 𝑠𝑖𝑠𝑡 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑝𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 + 𝑚3 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣3 en general se tiene: 𝑛

𝑝𝑠𝑖𝑠𝑡 = ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑝1 ⃗⃗⃗⃗

𝑙=1

Momento angular En esta ocasión se definirá una nueva magnitud física, el momento angular y se establecerá el correspondiente principio de conservación en donde el momento angular, al igual que la cantidad de movimiento y la energía son una herramienta eficaz para la resolución de numerosos problemas que se plantean en la física, estos tres principios constituyen la clave y el fundamento de la mecánica. Momento de una fuerza. Consideremos una fuerza F que actúa sobre una partícula localizada en un punto P del espacio y un punto O fijo en un cierto plano referencial inercial. Se utiliza la definición previa del momento de un vector con respecto a un punto para definir ahora el momento de la fuerza F con respecto al punto O como el producto vectorial del vector de posición de la partícula con respecto al punto O (esto es r = OP) por el vector F, ósea que, designando por MO a dicho momento, tenemos MO = r × F. Momento angular. El momento angular o cinético con respecto a un punto arbitrario O (fijo en un cierto plano de referencia) de una partícula de masa m y velocidad v (en ese mismo plano de referencia) o sea la cantidad de movimiento p = mv, se define como el producto vectorial, L = r ×mv = r × p. El momento angular es un vector perpendicular al plano definido por el punto arbitrario (O) elegido como origen de momento y la recta directriz de la cantidad de movimiento de la partícula, su sentido es el determinado por la regla de la mano derecha para el producto vectorial y su modulo es: Lo = r p sen  = p bp Fuerzas centrales. La condición de que el momento sea nulo también se satisface si F es paralela a r; en otras palabras, si la recta directriz de la fuerza pasa siempre por el punto O elegido como centro u origen de momentos. Una categoría especial de este tipo de fuerzas está constituida por las llamadas fuerzas centrales, entonces el punto O recibe el nombre de centro de fuerza. Por ello podemos establecer que: cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central, su momento angular con respecto al centro de fuerzas es una constante del movimiento, y viceversa. En resumen, el momento angular de una partícula de masa m respecto a un determinado origen se da por: L = m v r sen  o formalmente L = r × p (Véase anexos, figura 2) Momento angular y lineal. El momento angular y el momento lineal, son ejemplos del paralelismo entre los movimientos lineal y rotacional. Tienen la misma forma y están sujetos a las restricciones fundamentales de las leyes de conservación, la conservación del momento lineal y la conservación del momento angular. (Véase anexos, figuras 3 y 4)

Ejercicio 1 – Problemas de cantidad de movimiento, impulso y choques Problema 1. Un automóvil de 1500kg de masa choca contra un muro, como se ve en la fig. La velocidad antes de chocar es V=-15 m/s y la velocidad después de chocar es Vf=2.60 m/s. Si el choque dura 0.15s encuentre el impulso y la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil. Datos: 𝑚 = 1500𝑘𝑔 𝑚 𝑉𝑖 = −15 𝑠 𝑚 𝑉𝑓 = 2.60 𝑠 ∆𝑡 = 0.15𝑠 Momento inicial 𝑃𝑖 = 𝑚𝑣𝑖

𝑚 𝑃𝑖 = 1500𝑘𝑔 (−15 ) 𝑠 𝑚 𝑃𝑖 = −22500 𝑘𝑔 𝑠

Impulso 𝐼 = ∆𝑃 = 𝑃𝑓 − 𝑃𝑖 𝑚 𝑚 𝐼 = 3900𝑘𝑔 − (−22500𝑘𝑔 ) 𝑠 𝑠 𝑚 𝐼 = 26400 𝑘𝑔 𝑠

Momento final 𝑃𝑓 = 𝑚𝑣𝑓

𝑚 𝑃𝑓 = 1500𝑘𝑔 (2.60 ) 𝑠 𝑚 𝑃𝑓 = 3900 𝑘𝑔 𝑠

𝐼 = 𝐹∆𝑡 𝑚 26400𝑘𝑔 𝑠 𝐼 𝐹= = ∆𝑡 0.15𝑠 𝑭 = 𝟏𝟕𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑵

Ejercicio 2 – Momento angular Problema 5. Se dispara horizontalmente una bala de ¾ oz que atraviesa el bloque A y queda incrustada en el bloque B. La bala hace que A y B comiencen a moverse con velocidades de 7.5 y 5 ft/s respectivamente. Calcule a) la velocidad inicial de la bala y b) la velocidad de la bala al viajar del bloque A al bloque B. Datos: 𝑓𝑡 𝑉𝐴 = 7.5 𝑠 𝑓𝑡 𝑉𝐵 = 5 𝑠 𝑚𝐴 = 4𝑙𝑏 𝑚𝐵 = 10𝑙𝑏 3 𝑙𝑏 3 64 𝑚𝑂 = 𝑜𝑧 → 4 𝑔

Vo

a) 𝑉𝑜 =?

𝑚𝑜 𝑣𝑜 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + (𝑚𝐵 + 𝑚𝑂 )𝑉𝐵 3 𝑙𝑏 𝑓𝑡 3 𝑙𝑏 𝑓𝑡 ( )𝑉𝑜 = (4𝑙𝑏) (7.5 ) + (10𝑙𝑏 + ) (5 ) 64 𝑔 𝑠 64 𝑔 𝑠 𝑓𝑡 (30 + 50.23)𝑙𝑏 𝑠 𝑉𝑜 = 3 64 𝑙𝑏 𝒇𝒕 𝑽𝒐 = 𝟏𝟕𝟏𝟏. 𝟓 𝒔 b) 𝑉𝑜 ′ =? 𝑚𝑜 𝑣𝑜 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝑜 𝑣𝑜 ′ 3 𝑙𝑏 𝑓𝑡 𝑓𝑡 3 𝑙𝑏 ( )(1711.5 ) = (4𝑙𝑏) (7.5 ) + ( )𝑉 ′ 64 𝑔 𝑠 𝑠 64 𝑔 𝑜

𝑉𝑜′ =

(80.22 − 30)𝑙𝑏 3 64 𝑙𝑏

𝑽′𝒐 = 𝟏𝟎𝟕𝟏. 𝟓

𝒇𝒕 𝒔

𝑓𝑡 𝑠

A

B

4 lb

10 lb

Bibliografía Hibbeler R.C. Ing. Mecánica Dinámica Ed. Prentice Hall 7ª Edición Beer Ferdinand & Johnston Mec. Vec. Para ingenieros Dinamica Ed. Mc Gran Hill

Anexos Nombre

Imagen

Equación

 Figura 1 Cuerpo sometido a una velocidad.

 Figura 2 Momento angular una partícula.

de

L=r×p

 Figura 3 Momento angular. L=IXW

 Figura 4 Momento lineal.

P=MXV