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• Clauu Dure

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Diferenciales 1. Definir la diferencial total de una función de dos variables. 2. Definir el cambio en la exactitud de dz como aproximación de Δz cuando Δx y Δy aumentan. 3. Cuando se usan diferenciales, ¿qué significan los términos de propagación y error relativo? 1. Hallar la diferencial total de las funciones: a. 𝑧 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 b. 𝑧 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥+𝑦

c. 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧−2𝑦 2. Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular Δz., luego utilizar la diferencial total dz para aproximar Δz. a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥 c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 3. El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el volumen 4. La lata de una bebida de gaseosa tiene 12 cm de alto y un radio de 3 cm. El fabricante planea reducir la altura en 0,2 cm y el radio en 0,3 cm. Calcular aproximadamente cuánto menos beberán los consumidores en cada lata de los nuevos envases. 5. En un triángulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos forman un ángulo de 45°. Los posibles errores de medición son 1/16 pulgadas en los lados y 0.02 radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al calcular el área. 6. La potencia eléctrica P está dada por 𝑃 =

𝐸2 𝑅

, donde E es el voltaje y R la resistencia.

Aproximar el máximo error porcentual al calcular la potencia si se aplican 200 volts a una resistencia de 4.000 ohms y los posibles errores porcentuales al medir E y R son 2% y 3%, respectivamente. 7. La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo es 𝑎 =

𝑣2 , 𝑟

donde v es

la velocidad y r es el radio del círculo. Aproximar el error porcentual máximo al medir la aceleración debido a errores de 3% en v y 2% en r. 8. Demuestre que 𝑓𝑥 (0,0)𝑦 𝑓𝑦 (0,0)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 en (0,0). 3𝑥 2 𝑦 𝑥 4 +𝑦 2

a)𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0

(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)

5𝑥 2 𝑦 𝑥 3 +𝑦 2

b)𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0

(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)