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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

16-1-2014

DESPACHO ECONOMICO

CURSO: ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 DOCENTE: ING. HOLGER MEZA ALUMNO: MARCO PAOLO TORREBLANCA LAZO CUI: 20095980

DESPACHO ECONOMICO

Contenido 1.

FUNCIONAMIENTO ECONOMICO DE LA CENTRALES ELECTRICAS.................................2

2.

DESPACHO ÓPTIMO DE GENERACIÓN ..................................................................................4

3.

OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL. .....................................................................4 3.1. Optimización de parámetros Restringidos ....................................................................6 a.

Restricciones de Igualdad: .............................................................................................6

3.2. Optimización de parámetros restringidos: Restricciones de desigualdad ..........7 4.

COSTO OPERATIVO DE UNA CENTRAL TÉRMICA: ..............................................................10

5.

PROBLEMA DEL DESPACHO ECONÓMICO: .......................................................................12

6. SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. ......................................................................................13 7.

EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: .........................................................15 7.1. Solución Del Despacho Económico Incluyendo Límites Del Generador: ..........15

8.

EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN:........................................................................16 Ejemplo: ............................................................................................................................................20

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DESPACHO ECONOMICO

DESPACHO ECONIMICO 1. FUNCIONAMIENTO ECONOMICO DE LA CENTRALES ELECTRICAS Aunque ya se han explicado ampliamente las centrales convencionales y las centrales de energía renovables en los capítulos precedentes, unas puntualizaciones sobre las centrales convencionales nos ayudara a entrar en la operación económica de los sistemas de potencia. En una central térmica el generador eléctrico convierte en energía eléctrica la energía mecánica entregada por la turbina. El aporte de vapor a la turbina es suministrado de diferente forma según se trate de una central térmica convencional (en tal caso el vapor será generado en una caldera), o de una central térmica nuclear (el vapor será generado en el reactor de fisión). Si la central es hidroeléctrica será la fuerza del agua la encargada de suministrar la energía mecánica que mueva los alabes de la turbina. Sea cual sea el sistema de generación, una central generadora de energía eléctrica, requiere una determinada potencia para atender servicios auxiliares, como el alumbrado de la propia central o el accionamiento de bombas y ventiladores. Debido al consumo que requieren estos servicios auxiliares, es necesario distinguir entre potencia bruta y potencia neta, siendo esta última la potencia disponible para el sistema eléctrico al que está conectada la central. Cada tipo de central se deberá tratar de distinta forma, ya que distintos serán sus comportamientos en cuanto a consumos. En una central hidroeléctrica, el problema lo representará la posibilidad de disponer de agua para accionar las turbinas, aunque sí se dispone de ella, el precio de la materia primera (agua), será insignificante. Por el contrario una central térmica convencional, no se tendrá problemas en obtener su combustible, aunque para ello se pagará un alto precio. En el estudio del despacho económico es fundamental el modelo de entrada-salida en cada unidad generadora. En el caso de una central térmica, la característica de entrada puede ser la cantidad de combustible, medido en toneladas de carbón o en millones de m3 de fuel-oil por hora, necesarios para generar la potencia (medida en MW), que se toma como la característica de salida. Si se multiplica la cantidad de combustible necesaria para obtener la potencia de salida por el coste de combustible, la característica que se obtiene relaciona el coste de generación, en ptas/h, con la potencia de salida. El coste calculado de esta forma es un coste variable, dependiente de la potencia generada; sin embargo, el coste total de la generación de una central térmica será la suma de costes fijos, que incluyen coste de mantenimiento, de personal y de amortización de las instalaciones, y de coste variables, siendo estos últimos función de la potencia activa que entrega la central. En la operación de una central térmica (nuclear o convencional), es necesario considerar ciertas restricciones, ya que la potencia de salida puede variar entre un

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DESPACHO ECONOMICO valor máximo y un valor mínimo. La existencia de un valor máximo es obvia ya que cualquier unidad dispone de una potencia nominal cuyo valor no conviene superar excepto en determinadas emergencias y por un corto período de operación. El valor mínimo, en cambio, viene fijado por ciertas características del generador eléctrico y por restricciones propias del generador de vapor. Por su parte la potencia reactiva que entrega un generador eléctrico a la red se puede regular mediante la excitación del generador, no dependiendo su valor de la potencia mecánica que acciona la unidad generadora, o lo que es lo mismo, de la cantidad de combustible consumido. La incidencia del coste de la potencia reactiva sobre el coste de una central eléctrica puede considerarse por tanto nulo. Así es mucho más práctico, para el estudio del despacho económico, definir un coste incremental o marginal de una unidad térmica, que no contabilizándose de forma absoluta. Ese coste marginal se define como la relación entre el aumento en el coste de combustible y el aumento que se origina en la potencia neta de salida.

Las centrales eléctricas pueden clasificar en las cuatro categorías siguientes: 

Centrales térmicas convencionales: son grandes centrales, las cuales entregan grandes cantidades de potencia. Estas centrales consumen combustibles de origen fósil, pudiendo distinguirse entre centrales que queman combustibles líquidos, sólidos o de gas. Su misión dentro de un sistema de potencia es, generalmente, la de atender la carga de base, operando de forma continua. También pueden funcionar con centrales de reserva; en este caso, la selección de unidades que han de atender los incrementos previstos en la demanda se realizará teniendo en cuenta la disponibilidad de unidades y los costes de puesta en marcha y parada de cada unidad generadora.



Centrales térmicas nucleares: son grandes centrales que entregan ingentes cantidades de potencia. Las turbinas y generadores eléctricos en este tipo de centrales son similares a los que existen en las centrales térmicas convencionales; sin embargo, presentan diferencias notables en el generador de vapor, mientras que las térmicas clásicas disponen de calderas, las nucleares utilizan reactores nucleares aptos para la fisión. La regulación de potencia en una central nuclear es un proceso muy lento, por lo que su potencia de salida se mantiene prácticamente constante durante largos intervalos de tiempo. Las unidades de generación con origen nuclear operan como centrales de base, es decir atendiendo la carga de base.



Centrales hidroeléctricas: normalmente estas centrales generan cantidades de potencia menores que las anteriores, pero por el contrario son más rápidas en

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DESPACHO ECONOMICO ponerse en sincronismo con la red. Esto las hace situarse en una posición intermedia, ya que aún producen suficiente energía para alimentar extensas zonas y por otra parte son regulables, pudiéndose adaptar a las normales variaciones de la curva de la demanda de potencia. Las unidades de generación con origen hidroeléctrico operan como centrales para los excesos de carga, y en ocasiones como reserva para cubrir la carga base. 

Centrales de gas: se entiende por centrales de gas, las pequeñas centrales térmicas con potencias de unos pocos MW, pero que por el contra son muy rápidas en conectarse a la red (normalmente en pocos minutos). Su rapidez y el poco volumen de potencia generado, las restringe a operar como centrales para cubrir las horas punta, o situaciones con cargas variables e imprevistas.

2. DESPACHO ÓPTIMO DE GENERACIÓN Un tipo de barra del SEP es la barra de voltaje controlado, sonde se especifica la magnitud del voltaje y para ello la potencia real da la solución de flujo de potencia da como resultado el ángulo de desfase y la potencia reactiva. En un sistema eléctrico real, la generación no está localizada en los centros d carga ni a distancias iguales, por lo que los costos de combustible son diferentes. Bajo condiciones normales de operación la capacidad de generación debe ser mayor a la demanda total de carga incluyendo las pérdidas. Dado que existen diferentes centros de generación que suministran al centro de carga existen varias opciones para programar la operación. En un sistema interconectado el objetivo es encontrar la potencia activa y reactiva de cada planta de tal forma que los costos de operación sean los mínimos. Es decir que la potencia real y reactiva de la generadora puede variar dentrote ciertos límites, pero satisfaciendo una demanda total de carga específica con el mínimo costo d combustible, flujo óptimo de potencia, optimiza la solución del flujo de potencia. Esto se hace minimizando función objetivo solucionadas al mismo tiempo que manteniendo un funcionamiento del sistema. Las funciones objetivo son conocidas también como funciones de costo y muestra coso económico, seguridad del sistema y otros objetivos, si la energía reactiva se planifica eficientemente entonces mejora la operación económica así como la seguridad del sistema. El OPF ha sido estudiado por muchos investigadores y se usan diferentes algoritmos y paquetes informáticos. Nosotros limitaremos nuestro análisis al despacho económico de la generación de potencia real.

3. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL. 4

DESPACHO ECONOMICO

Esta es una herramienta importante en el diseño asistido por computadora y está enmarcado dentro de la programación lineal. El objetivo es la minimización de alguna función coste objetivo no lineal sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad no lineales. S i tenemos una función costo dada por la condición necesaria para minimizar ésta función se obtiene la derivada de F respecto a las variables de equivalencia a cero.

f 0 xi i  1,2,3,...n f 

f f f f , , ,..., x1 x2 x3 xn

Esta operación es vector gradiente, luego los términos asociados con la segunda derivada se define como:

H

2 f xi xi j

H resulta una matriz simétrica denominada Hessiana de la función costo. Para que la función F tenga un mínimo la matriz Hessiana evaluada en x1, x2,…xn deben ser una matriz definida positiva pero esto requiere que todos los valores propios de la matriz Hessiana evaluada en x1,x2,…xn sean positivos. Es decir el mínimo si restricciones de una función se encuentra igualando a cero las derivadas parciales y resolviendo para valores de los parámetros. Entre los valores de los parámetros obtenidos de la matriz definida positiva H de la segunda derivada parcial de la función costo se encuentra los mínimos locales. Si existe un único mínimo local ese también es el mínimo global caso contrario la función costo debería ser evaluada en cada uno de los mínimos locales para encontrar el mínimo global. Ejemplo: Encontrar el mínimo global de la siguiente función:

f ( x1, x2, x3,...,xn)  x1  2x2  3x3  x1x2  x2 x3  8x1 16x2  32x3  110 2

2

2

f  2x1  x2  8  0 x1 2 f 1  4x2  x1  x3  16  0  x2 El 2 representa f el mínimo de la función0F mínimo global.  6x3  x2  32  0 x3 f(x1, x2, x3)  f(3,2,5)  2 5

1 0 x1 8    4 1 x2  16 x3 caso 32el  mínimo local es igual al 1 6este para

DESPACHO ECONOMICO Para saber si éste es un punto mínimo evaluamos la segunda derivada y formamos la matriz Hessiana.  2 f  2  x1  2 f H   x22 x1   f  x X  3 1

2 f x1 x2 2 f 2 x2 2 f x3 X 2

2 f   x1 x3  2 1 0   2 f     1 4 1  x2 x3   0 1 6 2  f  2 x3 

La matriz hessiana es positiva por lo tanto el vector [3,2, 5] corresponde a un punto mínimo.

3.1.

Optimización de parámetros Restringidos

a. Restricciones de Igualdad: Este problema surge cuando hay dependencias funcionales entre los parámetros a ser escogidos. El problema consiste en minimizar la función sujeta a las estricciones de igualdad. Para resolver utilizamos el método de multiplicadores de Lagrange.

f ( x1, x 2,...xn) gi( x1, x 2,...xk )  0 i  1,2,...k Método de Multiplicador de Lagrange k

L  f   igi i 1

Las condiciones para obtener el mínimo local restringido de L será: k L f gi    i 0 xi xi i 1 xi L  gi  0 i

Ejemplo:

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DESPACHO ECONOMICO

Usando el método del multiplicador de Lagrange, resuelva la distancia mínima del origen del plano xy del círculo descrito por la función de manera óptima.

y

(8;6) x

( x  8) 2  ( y  6) 6  25 f ( x, y )  x 2  y 2 L  x 2  y 2  [( x  8) 2  ( y  6) 6  25] L  2 x  [2( x  8)]  2 x  2x  16  0 x 2 x(  1)  16    (1) L  2 y  [2( y  6)]  2 y  2y  12  0 y 2 y (  1)  12    (2) L  ( x  8) 2  ( y  6) 6  25    (3)  x  x  8  0   y  y  6  0 x  4, y  3 x  12 , y  9 Los puntos extremos son:

(4,3)    1 (12,9)    3

3.2.

Optimización de parámetros restringidos: Restricciones de desigualdad 7

DESPACHO ECONOMICO En la práctica, los problemas de optimización contiene restricciones de desigualdad, el problema consiste en minimizar la función costo sujeta a las restricciones de igualdad y sujeta a las restricciones de desigualdad, utilizando el método de multiplicador de Lagrange, ésta es restringido e incluye las restricciones de igualdad y desigualdad mediante la introducción de los vectores λ y µ..

f ( x1, x 2,...,xn) gi( x1, x 2,...,xn)  0; i  1,2,...,n Pj( x1, x 2,...,xn)  0; i  1,2,...,n Función consto no restringido n

m

i 1

i 1

L  f   igi   jPj    (1) Las condiciones para el mínimo local de L son:

L  0, i  1,2,..,n    (2) xi L  0  g , i  1,2,..,n    (3) xi L  Pj  0, j  1,2,3,...m    (4) j jPj  0 & j  0, j  1,2,...,m    (5) Ejemplo: En el ejercicio anterior se incluye una restricción d desigualdad, el problema consiste en encontrar el valor mínimo de la función, sujeto a la restricción de desigualdad

f ( x, y )  x 2  y 2 g ( x, y )  ( x  8) 2  ( y  6) 2  25  0

 ( x, y )  2 x  y  12

Solución:

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DESPACHO ECONOMICO

L  x 2  y 2  λ[(x  8)2  (y  6)2  25]  μ(2x  y  12) L  2x  2λx  16λ  2μ  0    (A) x L  2y  2λy  12λ  μ  0    (B) y L  (x  8)2  (y  6)2  25  0    (C) λ L  2x  y  12  0        (D) μ Resolviendo el sistema:

2 x  4 y  2x  4y  8  0    ( E ) y  12  2 x              ( F ) Sustituyendo (F) en (E)

4  4.8    (*) 1  4  2.4 y    (**) 1 

x

(*)y(**) en (C)

 4  4.8   4  2.4   8    6   25  0   1    1   2   2  0.36  0 1  1.8 2

2

 2  0.2 Para 1  1.8 ,(x,y)=(3,6), µ=-1.2 Para  2  0.2 ,(x,y=(5,2), µ=-5.6 f(3,6)=6.71(distancia máxima) f(5,2)=5.39(distancia mínima)

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DESPACHO ECONOMICO

y f(3,6)

(8;6)

f(5,2)

x

4. COSTO OPERATIVO DE UNA CENTRAL TÉRMICA: Los factores que influyen en la generación de potencia, al mínimo costo son la eficiencia operativa de las generadoras costo de combustible, pérdidas de transmisión. El generador más eficiente del sistema no garantiza el costo económico, puesto que pude estar ubicado en una zona donde el costo del combustible es alto. Asimismo, si la generación está lejos de la carga, las pérdidas de transmisión son elevadas, y entonces la generación resulta antieconómica. De este panorama, el problema consiste n determinar la generación de diferentes plantas de tal forma que el costo total operativo sea mínimo. EL costo operativo tiene un papel importante en el despacho económico de un SEP, por lo que es estudiado ahora. La entrada de combustible a una central térmica se mide generalmente en BTU/h y la salida en MW, una curva de una unida térmica conocida como calor tasa es la siguiente CURVA CALOR TASA BTU/h combustible

Pi,MW

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DESPACHO ECONOMICO CURVA COMBUSTIBLE COSTO Ci,$/h Costo

Pi,MW

Usualmente en la práctica el costo del combustible del generado ”i” s representa como una función cuadrática de generación de potencia real. Graficando la derivada de la curva combustible costo, respecto a la potencia real, se obtiene una característica importante conocida como curva combustible incremental costo

CURVA INCREMENTAL COSTO $/MWh

Pi,MW

La curva incremental costo es una medida de cuan costoso será producir el siguiente incremento de potencia (costo marginal). El costo total de generación incluye el coso de combustible, el costo mínimo de obra, mantenimiento y suministro. Se asume que tos costos son un porcentaje fijo del costo combustible, y están incluidos en la curva combustible incremental costo.

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DESPACHO ECONOMICO 5. PROBLEMA DEL DESPACHO ECONÓMICO: Para un sistema de potencia interconectado que contiene “n” unidades de generación que operan en despacho económico, el costo variable total de operación de éstas unidades es: n

Ct   Ci i 1

Ct  C1 ( P1 )  C2 ( P2 )  ... Cn ( Pn )[$ / h] Por otro lado si: Pt=potencia demandada total en el sistema eliminando pérdidas de transmisión Pt=P1+P2+…+Pt Ya que los cambios en la carga son relativamente lentos, Pt se puede considerare constante para periodos de tiempo pequeños para 2 a 10min, por lo tanto, el problema de despacho económico se pude plantear de la siguiente manera: Nuestro problema es determinar los valores de las salidas de las unidades P1, P2, P3, P4,…Pn, que minimice el costo total dado por (6.1) sujeto a las restricciones de igualdad dadas por (6.2) Un criterio para la solución de este problema es que todas las unidades en despacho económico deben operar al mínimo costo de operación incremental.

dCn dC1 dC2 dC3    ...  dP1 dP2 dP3 dPn

(6.3)

La solución matemática al problema del despacho económico consiste: El valor mínimo de C1, ocurre cuando la diferencial total de Ct resulta cero, es decir:

dCt 

Ct Ct Ct dP1  dP2  ...  dPn P1 P2 Pn

(6.4)

Reemplazando (6.1) en (6.4) tenemos:

dCt 

C1 C Cn dP1  2 dP2  ...  dPn  0 P1 P2 Pn

(6.5)

Suponiendo que Pt es constante (6.5) resuelta:

dP1  dP2  ...  dPn  0

(6.6)

Luego multiplicando (6.6) por λ

dP1  dP2  ...  dPn  0

(6.6*)

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DESPACHO ECONOMICO Restamos (6.6*) de (6.5)

 dC   dC1   dC     dP1   2   dP2  ....  n   dPn  0  dP1   dP2   dPn 

(6.7)

La ecuación (6.7) se satisface cuando cada término en paralelo es igual a cero, es decir:

dCn dC1 dC2 dC3    ...   dP1 dP2 dP3 dPn

(6.8)

(6.8) define la operación al mínimo costo incremental, se obtiene el mínimo costo de operación total Ct.

6. SOLUCIÓN DEL DESPACHO ECONÓMICO SI CONSIDERAR LOS LÍMITES DEL GENERADOR NI LA PÉRDIDAS DE LÍNEA. Ejercicio: Un sistema interconectado tiene 2 unidades que operan con combustible fósil en despacho, los costos de operación variables de estas unidades están dadas por:

C1  8P1  10.103 P1 C2  7 P2  8.103 P2

2

2

Determinar la salida de potencia de cada unidad, el coso de operación incremental y el costo de operación total, que minimiza el costo de operación total cuando la demanda de carga varía de 500ª 1500 MW no se consideran las restricciones de la s unidades generadoras, ni las pérdidas de transmisión. Solución: La condición para que el sistema interconectado opere en condiciones de mínimo costo podrá ser que los costos adicionales de operación mínima sean iguales: Aplicando este criterio:

dC1  8  20.103 P1 dP1 dC2  7  16.103 P2 dP2 Costo total de operación:

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DESPACHO ECONOMICO

dC1 dC2   8  20 .10 3 P1  7  16 .10 3 P2      (1) dP1 dP2 La condición de restricción que tenemos es que la potencia demandada total es igual a las potencias demandadas por generadora (hecho pre-conocido)

Pt  P1  P2    (2) 1  20.103 P1 16.103 1  20.103 P1 Pt  P1  16.103 1  5 Pt   P1 1   3 16.10  4 4 P1  Pt  27.28MW 9 P2 

dC1 dC2 4    8  20.103  Pt  27.28  dP1 dP2 9   dCi  7.44  0.0089Pt($ / MW  h) dPi Costo de operación total:

Ct  8P1  10.103 P12  7P2  8.103 P22 Determinar el costo operación Pt 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500

P1 194.4 238.9 283.3 327.8 372.2 416.6 461.1 505.6 550.0 594.4 638.9

P2 305.6 361.1 416.7 472.2 527.8 583.4 638.0 694.4 750.0 805.6 861.1

dCi/dPi 11.89 12.78 13.67 14.56 15.45 16.34 17.23 18.12 19.01 19.90 20.79

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Ct 4041 5197 7335 7775 9197 11875 12308 13998 15775 17641 19597

DESPACHO ECONOMICO 7. EFECTO DE LAS RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: Cada unidad generadora no debe operar por encima de su capacidad p por debajo de alguna potencia mínimas, es decir:

Pi min  Pi  Pi max i  1,2,3,..., n

En el problema de despacho económico se pude incluir otras restricciones d desigualdad se podría restringir algunas salidas de las unidades para no sobrecargar ciertas líneas de transmisión u otros equipos, por situaciones climáticas adversas se podría también limitar la generación de algunas unidades para reducir las emisiones. Cuando se incluyen restricciones de desigualdad, la solución del flujo de potencia se modifica de la siguiente manera. Si una o más unidades alcanzan sus valores límites, entonces dichas unidades se mantienen constantes en sus límites y las demás operan al mismo costo incremental de operación “λ”, es decir “λ” es común, inclusive para las unidades que no están en sus límites.

7.1.

Solución Del Despacho Económico Incluyendo Límites Del Generador:

Resolver el ejercicio anterior cuando las unidades están sujetas a las siguientes restricciones de desigualdad. 100≤P1≤600 (MW) 400≤P2≤1000 (MW) Para pequeñas cargas (13.4 $/MW-h) la carga adicional viene de la carga 1, hasta su costo incremental.

dC1  13.4  8  20.103 P1 dP1 P1  270MW 270  400  670MW Para potencias demandadas totales menores que 670MW donde P1812.5 MW el costo incremental de operación es fijado por la unidad 2.

670  Pt  1412.5 Ninguna de las unidades ha alcanzado sus límites y la solución del despacho económico es la misma del ejemplo anterior. Pt 500 600 670 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1412.5 1500 1600

P1 100.0 200.0 270.0 283.3 327.8 372.2 412.5 461.1 505.6 549.9 594.4 600.0 600.0 600.0

P2 400.0 400.0 400.0 416.7 472.2 527.7 583.4 638.9 694.4 750.1 805.6 812.5 900.0 1000

dCi/dPi 10 12 13.4 13.67 14.56 15.45 16.34 17.23 18.12 19.01 19.90 20.00 21.40 23.00

8. EFECTO DE LA PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN: Aunque una unidad podría ser eficiente bajo un costo bajo de operación incremental también podría localizarse lejos del centro de carga. Las pérdidas de transmisión asociadas a esta unidad podrían ser tan altas que la solución del despacho económico requiere que esa unidad disminuya su salida, mientras que otras unidades con mayores costos incrementales de operación pero con menos pérdidas de transmisión aumenta sus salidas. Cuando se incluyan las pérdidas de transmisión en el despacho económico la ecuación (6.2) se convierte en: Pt=P1+P2+…+Pn-Pl

(6.9)

Usualmente Pl no es constante sino que depende de las salidas de las unidades P1,P2,…,Pn

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DESPACHO ECONOMICO

 P  P P (dP1  dP2  ... dPn )   L dP1  L dP2  ... L dPn   0 P2 Pn  P1  Multiplicando por 

 PL  P P dP1   L dP2  ...  L dPn   0 P2 Pn  P1 

dP1  dP2  ... dPn   

(6.10)

(6.10) restamos (6.5) y obtenemos:

 C   C1   C  P P P    L   dP1   2   L   dP2  ...  n   L   dPn  0 (6.11) P1 P2 Pn  P1   P2   Pn  La ecuación (6.11) se cumple su cada término es igual a cero; es decir

dCi P  L  0 dPi P1     dC 1   i dPi  1  PL   P1   P  1,2,...,n dC   Li i      (6.12) dPi Donde Li= factor de penalización. La ecuación (6.12) es el criterio es despacho económico incluyendo las pérdidas. Considerando las pérdidas del generador, otra solución del despacho económico (acápite 6.5.1) sería:

P1

P2

Pn PT

El problema es encontrar la potencia generada por cada planta, entonces nuestra función costo objetivo es determinar el costo total de operación que debe ser mínima.

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DESPACHO ECONOMICO

n

Ct   Ci i 1

n

Ct   i  iPi  iPi 2

(A)

i 1

Esta ecuación está sometida a la siguiente restricción de igualdad. n

 Pi  PD ----------(B) i 1

De la primera condición: n  k  L  Ct     PD  Pi   0 i 1  i1 

(C)

Entonces:

dL 0 dPi dL 0 d

1º condición 2º condición

El mínimo de la función no restringida se aumenta en el punto de las demandas

dL Ct Ct    (0  1)    0 dPi Pi Pi Ct  C1  C2  .... Ct Ct Ci   Pi Pi De la segunda condición:

Ci  Pi i  1,2,3,...n

(D)

i  2iPi   n

 Pi  PD (B) i 1

Entonces cuando se desprecian las pérdidas y límites de operación, todas las plantas deben operar al mismo costo incremental mientras sea satisfecha la expresión (B), de la expresión (D), tenemos:

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DESPACHO ECONOMICO

Pi 

  i 2i

(E)

dCi   para Pi min  Pi  Pi max dPi dCi   para Pi  Pi max dPi dCi   para Pi  Pi min dPi Sustituyendo (E) en (D)

  i  PD 2i i 1 n i PD   i 1 2i  n 1  i 1 2i n



(F)

(G)

Y de la expresión (F) despejamos (λ) El valor de λ obtenido en (G) se reemplaza en (E), de esta forma se obtiene la potencia óptima despachada en el generado i, de esta forma se encontró el despacho óptimo analíticamente. Cuando se consideran las pérdidas, las ecuaciones son no lineales, por lo que se resuelven iterativamente una solución iterativa rápida se obtiene por el método del gradiente que es como sigue: 1º Escribimos la expresión (F) como función

f ( )  PD Expandiendo en la serie de Taylor alrededor de un punto de operación λ(k) y despreciando los términos de orden superior tenemos:

f ( )

(k )

( k ) 

df ( )  d

(k )

( k )  PD

PD  f ( ) ( k ) df ( ) d

(k )

PD( K )

(I)

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DESPACHO ECONOMICO

( k ) 

( k ) 

P ( k )  dPi     i 1  d  n

P ( k ) n 1  i 1 2i

(k )

(J)

(K)

( k 1)  ( k )  ( k ) n

P ( k )  PD  PD ( k )  PD   Pi ( k ) i 1

La potencia generada por cada generador no debe exceder su límite, ni tampoco debe estar por debajo de su límite inferior, el problema es entonces encontrar la potencia real generada por cada planta, de tal forma que la función objetivo sea mínima y sujeta a la ecuación de restricción (B) y a las restricciones de desigualdad dadas por Pimin ≤ P1 ≤ Pimax , i= 1,2,…n Las condiciones de Kuhn-Tucker completan las restricciones de Lagrangiano para indicar las restricciones de desigualdad como términos adicionales. Entonces las condiciones necesarias para el despacho óptimo incluyen las condiciones del generador resultan:

dCi   para Pi min  Pi  Pi max dPi dCi   para Pi  Pi max dPi dCi   para Pi  Pi min dPi

Ejemplo: Encontrar el despacho óptimo y el costo total $/h para las centrales térmicas siguientes si las generadoras tiene los siguientes:

C1  500  5.3P1  0.004P1

2

C2  400  5.5P2  0.006P2 C3  200  5.8P3  0.009P3

2

2

200  P1  450 150  P 2  350 100  P3  225 20

DESPACHO ECONOMICO

PD  975MW Solución: Asumiendo

( 0)  6 Usando la ecuación (E)(ecuación de coordinación)

6  5.3  87.5MW 2(0.004) 6  5.5 P2  41.6667MW 2(0.006) 6  5.8 P3   11.1111MW 2(0.009) P1 

Cálculo de ∆P(1) ecuación (M)

P(1)  PD  ( P1  P 2  P3 ) P(1)  834.7222MW Cálculo de ∆λ(1) (K)

(1) 

834.7222  3.1632 1 1 1   2(0.004) 2(0.006) 2(0.009)

Cálculo λ ecuación (L)

( 2 )  (1)  (1) ( 2 )  6  3.1632 ( 2 )  9.1632 Continuamos con el proceso iterativo:

9.1632  5.3  482.8947MW 2(0.004) 9.1632  5.5 P2  305.2632MW 2(0.006) 9.1632  5.8 P3   186.8421MW 2(0.009) P1 

P (2)  975  (482.8947  305.2632  186.8421) P (1)  0MW 21

DESPACHO ECONOMICO

El problema está en P1(2) excede la potencia que genera P1=450 MW por lo que se establece el valor en este límite Luego el nuevo desbalance de potencia será:

P(2)  975  (450  305.2632  186.8421) P(1)  32.8947 Luego ya que P1(2) se considera constate ya que siempre trabajará en ese límite superior(450MW) entonce ya no se considera en el cálculo iterativo.

( 2 ) 

32.8947 1 1  2(0.006) 2(0.009)

 0.2368

(3)  ( 2)  ( 2) (3)  9.4 9.4  5.5  325MW 2(0.006) 9.4  5.8 P3   200MW 2(0.009) P2

P (3)  975  (450  325  200) P (3)  0.0 Por lo tanto el despacho óptimo es:

P1  450MW P 2  325MW P3  200MW Luego el costo total de operación Ct=8236.25$/h

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