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• Alfonso Jiménez Gandulias

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RESISTENCIA DE MATERIALES

Deflexiones en vigas

RESISTENCIA DE MATERIALES

Teoría De Deflexiones Y



d x



X

y(x)

d

ds

ds corresponde a la longitud recorrida en la curva

dx La tangente del ángulo  nos da la pendiente de la curva. Lo que se ha hecho es aproximar a un d el ángulo de barrido. Con esta aproximación se pierde precisión , pero no demasiada debido a que las deflexiones generalmente son pequeñas respecto a la viga

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Del dibujo anterior 2 d  d dy dy y tg(  )       2 dx dx dx dx

Además:

ds  .d   dx

(Derivando)

(Por definición de longitud de arco)

1 d  d2 y  2 (Definición de curvatura. Recordar Análisis 2   dx dx E.I Recordando la teoría de flexión   M 2 d y M(x) Sustituyendo (Ecuación diferencial de la elástica)  2 dx E.I Relacionando

Donde

•M(x) es la ecuación del momento flector para la viga •E es el módulo de elasticidad. •I es la inercia respecto al eje de flexión

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Método de doble integración De la ecuación diferencial de la elástica se deduce un método que consiste en integrar dos veces la ecuación diferencial. Así se obtiene la ecuación de la deflectada (viga deformada). Este método es recomendable cuando es posible representar el momento flector a lo largo de la viga con una sola ecuación Recordando la definición exacta de curvatura de Análisis Matemático

d2 y dx 2

1  2 3/2    dy   1      dx  

Pero para una curva elástica dy/dx es muy pequeño y se puede despreciar

1 d2 y dy/dx  0   2  dx

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Lo cual nos lleva a la misma ecuación de la elástica anterior Ver deducción anterior

Primera integración:

x

dy 1  pendiente  α  M(x).dx  C1  dx E.I 0

En este primer caso como la pendiente es pequeña e igual a tan() ,entonces tan()  .Por consiguiente la ecuación de la pendiente será aproximadamente igual a la del ángulo de pendiente

Segunda integración:

x

1 y E.I 0

x

 M(x).dx .dx  C .x  C 1

2

0

Tanto C1 y C2 se obtienen de las condiciones de contorno (tipos de apoyos)

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Apoyos más comunes Deflexión (y)

Pendiente (y’)

0

Incógnita,debe calcularse

0

Incógnita,debe calcularse

Apoyo móvil

Apoyo fijo

0 Empotramiento

0

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a) Para el tramo comprendido entre 0