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• Nestor Gonzalo Vera Chavez

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9.

DEFLEXIONES EN VIGAS.

Curva de Deflexión: Eje longitudinal de una viga deformada debido a fuerzas laterales. Deflexiones: Importantes en las respuestas de edificios a cargas permanentes o muertas, transitorias o vivas y sismos, ya que deben estar dentro de los límites permitidos en el C.9 del NSR-10. 9.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN Deformada o curva de deflexión de la viga y deflexión (+) hacia arriba

o : Centro de curvatura. ρ : Radio de curvatura.

ρdθ = ds k=

1

ρ

=

dθ ds

Curvatura.

dy = tanθ dx

Pendiente de la curva de deflexión.

dx dy  dy  cosθ = sen θ =  ds ds  dx  Para vigas con rotaciones pequeñas tanθ ≈ θ , sen θ ≈ θ , cosθ ≈ 1 y ds ≈ dx

θ = arctan

k=

1

ρ

=

dθ dx

θ ≈ tanθ =

dy dx

dθ d 2 y = dx dx 2

k=

1

ρ

175

=

d2y dx 2

Para una viga dentro del rango elástico lineal 1

M ρ EI M: momento EI: Rigidez a flexión k=

=

Ecuación diferencial de la curva de deflexión d2y M = . dx 2 EI

EIy´´= M ( x)

Convenciones. 1) Los ejes x e y son positivos hacia la derecha y hacia arriba. 2) La deflexión y es (+) hacia arriba. dy 3) La pendiente y θ son (+) antihorario. dx 4) La curvatura k es (+) con concavidad hacia arriba. Las ecuaciones siguientes para Vigas Prismáticas (Sección constantes)

dV = −w dx dM =V dx d2y M = EI 2 dx d  d 2 y  dM  EI = =V dx  dx 2  dx

d  d3y   EI  = −w dx  dx 3 

EI

d3y =V dx 3

EI

d4y = −q dx 4

Simplificando: EIy´´= M

Ecuación de Momento Flexionante

EIy´´´= V

Ecuación de fuerza cortante

EIy´´´´= − w

Ecuación de la carga.

10.2. DEFLEXIONES POR INTEGRACIÓN - ECUACIÓN ELÁSTICA. o Para cada región de la viga sustituimos la expresión de M en la ecuación diferencial y la integramos para obtener la pendiente y´, se obtienen además unas constantes.

176

o Se integra cada ecuación de pendiente para obtener la deflexión correspondiente y; sale una nueva constante. Las constantes se determinan a partir de tres tipos de condiciones.

a) Condiciones de frontera: Se refiere a las deflexiones y pendientes en los soportes de una viga por ejemplo en un apoyo simple y=0 y en un empotramiento y=0; y1 = 0 . P A

P B

yA=0

yA=0 y'A=0

yB=0

b) Condiciones de continuidad. Se dan en los puntos donde las regiones de integración confluyen o la deflexión yc es igual tanto para la parte izquierda como para la derecha. P A

B C

c) Condiciones de Simetría: por ejemplo: una viga que soporta una carga uniforme en toda la longitud, la pendiente en el centro de la viga debe ser cero. PROBLEMA 9.1. Determine la ecuación de la curva de deflexión. δ max y ángulos de rotación θ A y θ B en los apoyos. dV = −w dx EIy´´´´= − w x

V = ∫ − wdx 0

V = − wx + C1 wl Pero: C1 = 2 wl V = − wx + 2 dM =V dx

0≤x0 4 4 L 3P M (x ) = x − P < x − >1 4 4 dy EIθ = EIy ' = EI dx 3P L EIy ' ' = x−P< x− > 4 4 3P 2 P L EIθ = x − < x − > 2 +C1 8 2 4 P 3 P L 3 EIy = x − < x − > +C1 x + C 2 8 6 4

Condiciones de frontera: y A = y (0) = 0 P L EIy (0) = 0 − < − > 3 +0 + C 2 = 0 6 4 P P L EIy ( L) = L3 − < L − > 3 +C1 L + 0 8 6 4

P A

B L/4

3L/4 P

3P/4

P/4

y B = y ( L) = 0 C2 = 0 C1 = − 180

7 PL2 128

y=

L Px 3 P 7 PL2 − < x − >3 − x 8 EI 6 EI 4 128 P

PROBLEMA 9.4: Calcular la deflexión en C

B

A

V (x ) = −

P 3P 3L 0 + < x − L > 0 −P < x − > L 2 2 2 P 3P 3L 1 M (x ) = − + < x − L >1 − P < x − > 2 2 2 P 3P 3L < x − L >1 − P < x − > EIy ' ' = − x + P/2 2 2 2 P 3P P 3L 2 EIθ = − x 2 + < x − L >2 − < x − > +C1 4 4 2 2 3L 3 P P P EIy = − x 3 + < x − L > 3 − < x − > +C1 x + C 2 12 4 6 2 Condiciones de frontera: y A = y (0) = 0 y B = y ( L) = 0 P P 3L 1 < −L >3 − +0 + C 2 y A = y ( 0) = 0 + C2 = 0 4 EI 6 EI 2 PL3 P P 3L y B = y ( L) = − − < 0 >3 − < L− > +C1 L = 0 12 EI 4 EI 6 EI 2 PL2 PL3 yB = − + C1 L = 0 C1 = 12 EI 12 EI P 3 P P 3L 3 PL2 y=− x + < x − L >3 − < x− > + x 12 EI 4 EI 6 EI 2 12 EI

C L/2 P

3P/2

3

2 P  3L  P P  3L   3L  3L 3 PL  3L  yc = − <   − L >3 − +   +   12 EI  2  4 EI  2  6 EI  2  2 12 EI  2  PL3 yc = − 8EI

PROBLEMA 9.5: Para la viga y carga mostrada, encuentra: • La ecuación de pendiente y deflexión 1,2kN • La deflexión en el punto medio q=1,2kN E = 200GPa 6 4 I x = 1,024 × 10 m A

0,6m

ΣFx = 0 Bx = 0 ΣM B = 0 1,44 + 1,5(1,2 )(2,4 ) + 1,2(3,0 ) − A y (3,6 ) = 0

1,2m

1,44kNm B

0,8m 1,2

1,0m

1,5

Bx

Ay = 2,6kN

Ay=2,6

181

1,5

By

La ecuación de pendiente y deflexión V ( x ) = −1,5 < x − 0,6 >1 +1,5 < x − 1,8 >1 −1,2 < x − 0,6 > 0 +2,6

M ( x ) = −0,75 < x − 0,6 > 2 +0,75 < x − 1,8 > 2 −1,2 < x − 0,6 >1 +2,6 x − 1,44 < x − 2,6 > 0 EIy´´= −0,75 < x − 0,6 > 2 +0,75 < x − 1,8 > 2 −1,2 < x − 0,6 >1 +2,6 x − 1,44 < x − 2,6 > 0 EIθ = −0,25 < x − 0,6 > 3 +0,25 < x − 1,8 > 3 −0,6 < x − 0,6 > 2 +1,3 x 2 − 1,44 < x − 2,6 >1 +C1 EIy = −0,0625 < x − 0,6 > 4 +0,0625 < x − 1,8 > 4 −0,2 < x − 0,6 > 3 +0,433x 3 − 0.72 < x − 2,6 > 2 +C1 x + C2

Condiciones de frontera: y A = y (0) = 0

y B = y (3.6) = 0

EIy A = EIy (0 ) = −0,0625 < −0,6 > 4 +0,0625 < −1,8 > 4 −0,2 < −0,6 > 3 −0.72 < −2,6 > 2 +C 2

C2 = 0 EIy B = EIy(3.6) = −0,0625 < 3,6 − 0,6 > 4 +0,0625 < 3,6 − 1,8 > 4 −0,2 < 3,6 − 0,6 > 3 +0,433(3,6)

3

− 0.72 < 3,6 − 2,6 > 2 +C1 (3,6 ) = 0

Las cantidades positivas en los paréntesis triangulares se remplazan por paréntesis ordinarios.

C1 = −2,692 Ecuación de deflexión y = −3,0518 × 10 −7 < x − 0,6 > 4 +3,0518 × 10 −7 < x − 1,8 > 4 −9,7656 × 10 −7 < x − 0,6 > 3 + 2,1159 × 10 −6 x 3 − 3,5156 × 10 −6 < x − 2,6 > 2 −1,3145 × 10 −5 x Ecuación de pendiente θ = −1,2207 × 10 −6 < x − 0,6 > 3 +1,2207 × 10 −6 < x − 0,6 > 3 −2,9297 × 10 −6 < x − 0,6 > 2 + 6,3477 × 10 −6 x 2 − 7,0313 × 10 −6 < x − 2,6 >1 −2,692 La deflexión en el punto medio y (1,8) = −3,0518 × 10 −7 < 1,2 > 4 +3,0518 × 10 −7 < 0 > 4 −9,7656 × 10 −7 < 1,2 > 3

+ 2,1159 × 10 −6 (1,8) − 3,5156 × 10 −6 < −0,8 > 2 −1,3145 × 10 −5 (1,8) 3

Los paréntesis negativos se anulan y los positivos se vuelven normales y (1,8) = y 0 = −13,64mm

10.4. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN Muy útil para obtener deflexiones y ángulos de rotación cuando hay varias cargas sobre la viga, superponiendo la deflexión producida por cada carga individualmente en el mismo punto. 182

“La deflexión producida por varias cargas que actúan simultáneamente en una viga, puede encontrarse superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas actuando por separado. El principio de Superposición es válido para las siguientes condiciones en vigas: 1.- El material cumple la Ley de Hooke, s decir se encuentra en el rango elástico. 2.- Las Deflexiones y rotaciones son pequeñas. 3.- Las Deflexiones no alteran las acciones de las cargas aplicadas, no hay momentos de segundo orden.

PROBLEMA 10.7: Para la viga mostrada calcule la deflexión en C y giro en A.

5ql 4 δ cq = 384 EI Pl 3 δ Cp = 48 EI

δ C = δ Cq + δ Cp =

5ql 4 Pl 3 + 384 EI 48EI

Pl 2 16 EI ql 3 = 24 EI

θ Ap = θ Bp =

θ Aq = θ Bq

θ A = θ B = θ Aq + θ Ap

ql 3 Pl 2 = + 24 EI 16 EI

PROBLEMA 10.8: Determinar δ B y θ B . Por medio de la ecuación de la curva de deflexión se obtiene:

183

qa 3 qa 3 (4l − a) θBq = 24 EI 6 EI Pl 3 Pl 2 δ Bp = θB p = 3EI 2 EI 3 3 qa Pl δ B = δ Bq + δ Bp = (4l − a) + 24 EI 3EI 3 2 qa Pl θ B = θ Bq + θ Bp = + 6 EI 2 EI

δ Bq =

PROBLEMA 10.9: Determine δ B y θ A . En el soporte ANÁLISIS 1. Se considera una viga simple AB. 2. Se considera una viga en voladizo BC. TRAMO AB P Ay = 3

By =

2P 3

TRAMO BC La deflexión δ B es igual en el extremo del voladizo y de la viga simple. Por medio de la ecuación de la curva de deformación encontramos

δB =

qb 4 Fb 3 qb 4 2 Pb3 + = + 8 EI 3EI 8 EI 9 EI

Angulo de rotación 1) ∠BAB1 2) ∠ adicional de rotación generado por flexión. 1) θ Ap1 =

δB a

=

qb 4 2 Pb 3 + 8aEI 9aEI

2) Ángulo de rotación extremo viga simple con carga concentrada (Apéndice G2 – Caso 5). 184

θ Ap = 2

θ Ap

2

Pab( L + b) 6 LEI

L: longitud de la viga.

 2  a  P a   a + 3  3  =  6 LEI

θ A = θ Ap + θ Ap = 1

2

a  3

=

4 Pa 2 81EI

qb 4 2 Pb3 4 Pa 2 + + 8aEI 9aEI 81EI

185