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*Universidad Técnica de Ambato, Facultad de Ingeniería Civil y Mecánica

DEFLEXION EN VIGAS CURVAS representa una deflexión producida en una viga curva gracias a los apoyos o cargas que se

Resumen: El siguiente texto contiene deducciones, formulas y anotaciones sobre lo que Ambato, Ecuador, e-mail: [email protected] Oscar Salazar; Damian Mena; Christian Guevara: Erick Manosalvas,Ing Diego Nulez encuentran actuando sobre esta produciendo así una deformación la cual será objeto de estudio. Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de flexiones internas. Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculos: los geométricos y los de energías Palabras clave: Deflexión: Deformación por flexiones Curvatura: Desviación continúa de una curva respecto a una recta Elástica: Que puede recobrar su forma y extensión después que haya cesado la acción o fuerza que la había alterado Centroidal: Que se encuentra ubicada en el centroide Abstract: The following contains deductions, formulas and notes on representing a deflection produced in a curved beam thanks to the supports or loads that are acting on this thus producing a deformation which will be studied. Deflection means that deformation of an element by the effect of internal bends. To determine the deflection the laws relating the applied forces and displacements using two types of calculation methods: the geometric and energy Keywords: Deflection: Deflection pushups Curvature: Deviation continues a curve from a straight Elastic: What can regain its shape and extension after the action has ceased or force that had altered Centroidal: It is located in the centroid 

III. DEFLEXIÓN EN VIGAS CURVAS I.

NOMENCLATURA

M: momentos EI: coeficiente de rigidez

II. INTRODUCCIÓN Cuando cualquier elemento estructural, por ejemplo una viga está sometida a un conjunto de cargas, esta tiende a deformarse, esta deflexión comúnmente se llama deflexión. Con frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexión que pueda sufrir una viga o un eje, cuando se le somete a una carga, el fundamento de este reporte es describir de una manera breve y concisa, varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente que sufren en puntos específicos las vigas y ejes curvos. El artículo fue recibido el 26 de julio de 2016;, bajo el tema del proyecto de titulación “Deflexión en Vigas Curvas” realizado por O. Salazar, D. Mena, C. Guevara y E. Manosalvas

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía. ; Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elástico-lineal). ; Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material. Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes. En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen.

Trazado tentativo de la curva elástica Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal. En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento. En elementos horizontales se puede asumir la siguiente convención, que coincide con dibujar los momentos para el lado que producen tracción.

Las rotaciones tienen la misma convención que los momentos en las ecuaciones estáticas, positivo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Figura 3: Angulo de curvatura Apoyo con rodillos sin giro: un solo grado de libertad de desplazamiento vertical.

Figura1: Sentido de la curvatura Para los elementos verticales se puede adoptar cualquier convención. Se sugiere que siempre se dibujen los diagramas de momento por el lado de tracción y de esta manera se sabe cómo es la concavidad.

Figura 4: Apoyo de rodillos

Empotramiento: El desplazamiento y el giro son nulos

Figura 5: Empotramiento Figura2: Curvas y Momentos Clases de curvaturas en apoyos y en juntas: Articulación: Tiene 1 grado de libertad libre, correspondiente a la rotación. Rodillo: Tiene dos formas de moverse, rotación y desplazamiento paralelo a la superficie.

Conexión rígida entre elementos: Por el equilibrio en la unión, si uno de los elementos termina con momento negativo en ese extremo el otro también tendrá momento negativo en ese extremo. Asociando los momentos con las deflexiones tendríamos que si las tracciones en uno de los elementos son en la cara exterior, en el otro también lo

serán por lo tanto las concavidades de ambos deben ser similares, o ambas para afuera o ambas para adentro.

Vigas Debido a la continuidad de la viga en los apoyos, la rotación por ambos lados debe ser la misma:

Figura6: Conexión Rígida entre Elementos Marcos: En estas estructuras se cumple que la concavidad en los elementos que se conectan en un nudo debe ser la misma:

Figura 9: Vigas y Apoyos Figura 7: Marcos

Figura 8: Pórticos

Articulación interna: En este caso las pendientes a la salida de la articulación pueden ser diferentes ya que no hay rigidez en la unión y un elemento puede rotar con respecto al otro.

TEORÍA DE LA FLEXIÓN EN VIGAS Se fundamenta en los conceptos de equilibrio, compatibilidad y leyes constitutivas. ;

Equilibrio:

(1)

(2)

;

Compatibilidad: D1 = D2 En puntos de contacto q1 = q2 En uniones rígidas q=0 En empotramientos

;

Leyes constitutivas: rigidez lineal

(4) Donde K:

(5) rigidez a flexión La teoría hace ciertas suposiciones acerca de cómo se deforma una viga en su interior.

Figura 10: Articulación Interna

Figura11: Ángulos de rotula

K:

Suposiciones válidas para vigas de poca altura: (6) No funciona en muros Suposiciones: 1. Una sección plana permanece plana después de la deflexión. (Euler - Bernoulli)

Con estas dos suposiciones y aplicando los tres tipos de ecuaciones definidos podemos encontrar los desplazamientos del eje neutro en función de los momentos internos M.

Figura 14: Diagrama de esfuerzos Figura 12: Radio de Curvatura · 2.

La sección plana deformada permanece perpendicular a las fibras de deformación nula (eje neutro)

Ecuaciones de equilibrio interno (7) Pero: )

·

(8

(9) Compatibilidad interna A. Triángulo pequeño pero:

(10) Triángulo grande: (11) Longitud de Arco: Triángulo pequeño con triángulo grande:

Integrar dos veces la ecuación de momento de la deflexión (12)

·

Relación de curvatura con deformación de las fibras internas. Ley de elesticidad

(20) Ecuación que relaciona deflexión con fuerzas internas

(13) Reemplazando en compatibilidad interna:

(21) (14)

Pendiente de la curva de corte, igual a la carga

Reemplazando en equilibrio:

(22) Pendiente de la curva de momento, igual al cortante

(15) Relación de curvatura con fuerzas internas:

(16) Relación tangente de la curva de deformación con fuerzas internas

(23)

falta relacionar Y con las fuerzas internas (17) Deformación en cada punto. Ecuación deferencial de la flexión Si EI es constante entonces: (24) (18)

Cuatro condiciones de frontera

Considerando que las deformaciones son pequeñas, el término elevado al cuadrado en el denominador se aproxima a cero dando como resultado una relación entre el inverso del radio de curvatura y la segunda derivada de la curva elástica.

y

(19)

(28) Momento que produce un cambio de temperatura diferencial entre las caras:

(29) Momento interno por diferencial de temperaturas entre las caras Figura 15: Relaciones de curvatura entre el momento Temperatura

CÁLCULO DE DEFLEXIONES:  Método de la doble integración: Este método consiste en encontrar la ecuación de la curva elástica integrando dos veces la ecuación de flexión.

(25) Cambio de longitud por variación de temperatura, introduciendo esta ecuación en la anterior tenemos: (26) Siendo Dt la diferencia de temperaturas entre las fibras superiores e inferiores. Si ambos lados sufren un cambio de temperatura diferente, entonces el cambio Dt que produce curvatura es la diferencia entre el cambio en la parte superior y la inferior.

Figura 16: Sección Figura 15

(27)

(30) En cada integración se requiere introducir una constante. Estas constantes se resuelven por las condiciones de frontera. Ejemplo: Encontrar la ecuación de la curva elástica de la siguiente viga:

El método exige encontrar las ecuaciones de momentos internos. En el caso de encontrar discontinuidades en la ecuación de momentos, ya sea, por la presencia de cargas puntuales o reacciones entonces se puede trabajar con origen en cada punto de quiebre del diagrama de momentos.

IV. CONCLUSIONES

Condiciones de Fontera:

Los métodos aquí mostrados son ejemplos de métodos para la determinación de deflexiones en vigas, el usuario puede utilizar cualquiera de los métodos y obtener el mismo resultado, tomando en cuenta que algunos métodos son más laboriosos que otros y la facilidad que tiene el utilizar el método gráfico. Prevenir el valor máximo de deflexión que van a sufrir las estructuras de una construcción en función del módulo de elasticidad del material y las fuerzas que se aplican (cargas) es muy importante para prevenir fallas y daños.

REFERENCIAS [1] [2]

Ing Fredy Leonardo Bacuilima, “Parametros mecanicos de estructuras”, Pag 35-57,Cuenca 2012 J.Massa-L.Giro-A.Guidici, “Compendio de Calculo Estructural”Pcef Pag 153-168, 2015