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• Edison Gudiño

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PONTIFICIA UNVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR INGENIERIA DE SISTEMAS Materia: Investigación de Operaciones DEBER 1: MODELIZACION CON PL 1. Una compañía produce dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 (dólares) por cada unidad que se venda del producto 1, y $30 por cada unidad del producto 2. A continuación se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los departamentos:

Departamento A Departamento B Departamento C

Producto 1 1.50 2.00 0.25

Producto 2 3.00 1.00 0.25

Los supervisores de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 horas en el departamento A, 350 horas en el departamento B, y 50 horas en el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, encuentre: a) El modelo de programación lineal para este problema b) La solución óptima. ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto, y cuál es la utilidad que se proyecta? c) ¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en cada departamento?

2. Una empresa de fertilizantes fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes en una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 y K50. Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra del producto llamado “Jardín verde” utiliza 3/5 de libra de K40 y 2/5 de K50. Cada libra del producto llamado “Atención al jardín” utiliza ¾ de libra de K40 y ¼ de libra de K50. Además, un determinado límite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de “Atención al jardín” a un máximo de 500 librasa) Si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 (dólares) por libra, ¿cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? b) Debe preocuparle a la compañía que la disponibilidad de materiales de empaque esté restringiendo la producción de “Atención al jardín”? ¿Qué sucedería con las cantidades de producción y con las utilidades esperadas si la empresa pudiera eliminar la restricción sobre la cantidad de Atención al jardín que se puede fabricar?

3. La firma “Mascotas felices” ofrece alojamiento nocturno para diversos tipos de mascotas. Una característica especial de la empresa es la calidad de la atención que se da a las mascotas, incluyendo excelentes alimentos. El alimento para perros se hace mezclando dos productos alimenticios caninos de alta calidad para obtener los que se denomina “dieta bien balanceada para perros”. Los datos de los dos alimentos son los siguientes:

Alimento para perros Bark Bits canine Chow

Costo por onza $0.06 $0.05

Proteínas Grasa (%) s (%) 30 15 20 30

Si la firma desea asegurarse de que los canes reciben cuando menos 5 onzas de proteínas y cuando menos 3 onzas de grasas por día, ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los dos productos alimenticios para perros?

4. Eli Daisy usa 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos. El medicamento 1 tiene que contener por los menos 70% del producto químico 1, y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1, a 6 dólares la onza, y hasta 30 oz del medicamento 2, a 5 dólares la onza. Se puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1, a 6 dólares la onza, y hasta 40 oz del producto químico 2, a 4 dólares la onza. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de Daisy. 5. Cada semana, Cítricos S.A. usa una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8.00 por galón. Formule un modelo de Programación Lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables:

JN = el número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana

JT = el número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana 6. “Salsas” produce dos tipos de salsas para bistec: Diablo picante y Barón Rojo, las cuales se producen mezclando dos ingredientes A y B. Se permite cierto grado de flexibilidad en las fórmulas de estos dos productos. En la tabla se presentan los porcentajes permisibles, junto con datos de ingresos y costos. Se puede comprar hasta 40 litros de A y 30 litros de B. Se puede vender todas las salsas que se produzcan. Formule un PL que permita maximizar la utilidad de la empresa. INGREDIENTE SALSA

A

B

Precio por litro

Diablo picante

por lo menos un 25%

por lo menos un 50%

$ 3,35

Barón rojo

cuando más un 75%

*

$ 2,85

$ 1,60

$ 2,59

Costo por litro

* No existe un porcentaje máximo o mínimo explícito. 7. La empresa Innis Investments administra los fondos de diversas compañías y clientes de alto poder económico. La estrategia de inversión se diseña en especial para las necesidades de cada cliente. Un cliente nuevo ha autorizado a la Innis invertir hasta 1.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: Uno de acciones y uno de mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 (dólares) y ofrece una tasa anual de rendimiento de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta $100 y ofrece una tasa anual de rendimiento de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, sujeto al requisito de que los ingresos anuales de la inversión sean menos de $60.000. De acuerdo con el sistema de medición de Innis, cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad que se invierte en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice mayor asociado al fondo de acciones simplemente señala que el riesgo de la inversión es mayor. El cliente también ha especificado que se deben invertir cuando menos $300.00 en el fondo de mercado de dinero. a) Determine cuantas unidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la cartera b) ¿Cuántos ingresos anuales se generaran en esta estrategia de inversión? c) Supóngase que el cliente desea maximizar el rendimiento anual. ¿Cómo se deben invertir los fondos?

8. CSL es una cadena de tiendas de servicio para computadoras. El número de horas de reparación especializada que requiere CSL durante los próximos cinco meses, se da a continuación: Mes 1: (enero): 6.000 horas Mes 2: (febrero):

7.000 horas

Mes 3: (marzo):

8.000 horas

Mes 4: (abril):

9.500 horas

Mes 5: (mayo): 11.000 horas Al principio de enero, 50 técnicos especializados trabajan para CSL. Cada técnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas, hay que capacitar nuevos técnicos. La capacitación de un nuevo técnico dura un mes. Un técnico experimentado tiene que supervisar al aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada técnico experimentado se le paga mensualmente $1.200. Durante el mes de entrenamiento, se paga al aprendiz $500. Al final de cada mes, 5% de los técnicos experimentados renuncian y cambian de trabajo. Formule un P.L. cuya solución permitirá a CSL minimizar los costos de trabajo que se presentan al cumplir con los requerimientos de servicio durante los próximos meses. Sugerencia: defina las variables de decisión: xt

t  1, 2, ... , 5

t

= número de técnicos capacitados durante el mes

(

yt

) t  1, 2, ... , 5

t

= número de técnicos experimentados al principio del mes

(

)

9. Una refinería transforma petróleo en queroseno y en aceite combustible. Cuesta 40 dólares comprar 1000 barriles de petróleo, que se destilan y producen 500 barriles de queroseno y 500 barriles de aceite. Se puede vender directamente lo que se obtiene de la destilación, o se puede pasarlo por un reactor catalítico. El queroseno obtenido después de la destilación y sin mas procesos, se puede vender a 60 dólares los 1000 barriles. El aceite combustible obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 40 dólares los 1000 barriles. Tarda una hora procesar 1000 barriles de queroseno en el reactor catalítico , y se pueden vender estos 1000 barriles a 130 dólares. El proceso de 1000 barriles de aceite en el reactor catalítico tarda 45 minutos, y se puede vender estos 1000 barriles a 90 dólares. Se pueden comprar diariamente a lo más 20.000 barriles de petróleo, y se disponen de 8 horas de desintegración catalítica. Formule un PL que permita maximizar las ganancias a la refinería.

10. Una compañía fabrica dos tipos de productos. El único recurso que utiliza es la mano de obra artesanal y especializada. De mano de obra artesanal se dispone de 40 horas al día y cuesta 5 dólares la hora, de mano de obra especializada se dispone de 50 horas al día y cuesta 6 dólares la hora. En la tabla se dan los precios de cada producto, así como los recursos necesarios para su producción.

PRODUCTO 1

PRODUCTO 2

Precio (Dólares)

Recursos requeridos

Precio (Dólares)

Recursos requeridos

25

Artesano:

22

Artesano:

1 hora

2 horas

Especialista:

Especialista:

2 horas

1 hora

Materia Prima

Materia Prima

costo:

costo:

5 dólares

4 dólares

Formule y resuelva un PL que permita maximizar las ganancias a la compañía. 11. Un fabricante elabora tres componentes que vende a compañías de refrigeración, los cuales se procesan en dos maquinas: una cepilladora y una rectificadora. Los tiempos (en minutos) que se requieren en cada máquina son los que se presentan a continuación:

Componente

Máquinaherramienta Cepillador Rectificador a a

1 2 3

6 4 4

4 5 2

La cepilladora está disponible durante 120 horas y la rectificadora lo está durante 110 horas. No se pueden vender más de 200 unidades del componente 3, pero pueden venderse hasta 1000 unidades de cada uno de los otros componentes. De hecho, la compañía ya tiene pedidos para 600 unidades del componente 1 que debe satisfacer. Las contribuciones a las utilidades de los componentes 1, 2 y 3 son $8, $6 y $9, respectivamente. Plantee el problema y determine las cantidades de producción que se recomiendan. Utilice un programa de computadora. 12. Un hospital programa a los médicos residentes para turnos de 8 horas. Los inicios de los turnos son 8:00 a.m., mediodía, 4:00 p.m., 8:00 p.m., medianoche y 4:00 a.m. Los residentes que comienzan en alguno de los horarios anteriores de inicio trabajan durante las siguientes 8 horas. Durante las operaciones normales entre semana, el número de residentes que se requieren varía dependiendo del momento del día. Los lineamientos de asignación de personal del departamento médico fijan el número mínimo siguiente de residentes de guardia: Hora del día 8:00 a.m. – Mediodía

Número mínimo de residentes 5

Mediodía – 4:00 p.m.

6

4:00 p.m. – 8:00 p.m.

10

8:00 p.m. – Medianoche

7

Medianoche – 4:00 a.m.

4

4:00 a.m. – 8:00 a.m.

6

Encuentre un PL que permita determinar el número de residentes que se deben contratar para comenzar en los turnos de 8 horas, en cada uno de los horarios de inicio

13. Un banco está en proceso de formular una política de préstamos que incluye un máximo de diez millones de dólares. La tabla proporciona los datos pertinentes acera de los diferentes tipos de préstamos. Los malos créditos son irecuperables (no se recupera ni el capital ni intereses). Para diversificar la cartera se tienen las siguientes reglas: Se debe asignar por lo menos el 40% de los fondos a préstamos agrícolas y para vivienda. Los préstamos para vivienda deben ser equivalentes por lo menos al 60% de los préstamos personales. Los préstamos para automóviles y comerciales deben ser equivalentes a lo más al 50% del total de préstamos entregados. Formule un modelo de PL que permita al banco maximizar su utilidad. Tipo de préstamo Tasa de interés Probabilidad de un mal crédito Personal 14% 10% Automóvil 13.% 8% Vivienda 9% 5% Agrícola 10% 15%

Comercial

11%

9%

14. Se usan 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos. El medicamento 1 tiene que contener por los menos 70% del producto químico 1, y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1, a 6 dólares la onza, y hasta 30 oz del medicamento 2, a 5 dólares la onza. Se puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1, a 6 dólares la onza, y hasta 40 oz del producto químico 2, a 4 dólares la onza. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar las ganancias.

15. Muchas empresas de Wall Street usan modelos de PL para tratar de escoger una atractiva cartera de bonos. Lo siguiente es una versión simplificada de tal modelo. Solodrex considera invertir en cuatro bonos, y dispone de 1000000 de dólares para la inversión. El interés anual esperado, el interés anual en el peor de los casos y la “duración” se dan en la tabla, para cada tipo de bono. La duración de un bono es una medida de la sensibilidad del bono respecto a las tasas de interés. Solodrex quiere maximizar la ganancia esperada de sus inversiones en bonos, sujeta a las tres restricciones siguientes:  

El interés en el peor de los casos de la cartera, tiene que ser de por lo menos 8% La duración media de la cartera tiene que ser a lo más 6. Por ejemplo una cartera que invierte 600000 dólares en el bono 1, y 400000 en el bono 4 tendría una duración media de

600000(3)  400000(9)  5 .4 1000000



Se puede invertir a lo más 40% de la cantidad total invertida en un solo bono, debido a las necesidades de la diversificación. Interés Esperado Bono 1 Bono 2 Bono 3 Bono 4

13% 8% 12% 14%

Interés En el peor De los casos 6% 8% 10% 9%

Duración 3 4 7 9

16. Los empleados de una fábrica, trabajan cuatro días a la semana, 10 h al día. Cada día de la semana, se necesitan (por lo menos) las siguientes cantidades de empleados: de lunes a viernes, 7 empleados; sábado y domingo, 3 empleados. La empresa tiene 11 empleados. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar el número de días de descanso consecutivos de los empleados. Por ejemplo, un trabajador que descansa el domingo, el lunes y el miércoles tiene solamente dos días consecutivos de descanso. 17. Al principio del mes 1, Finco tiene 400 dólares en efectivo. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, Finco recibe ciertos ingresos, después de lo cual paga sus cuentas (Tabla). Se puede invertir el dinero que sobre, por un mes, a una tasa mensual de 0,1%; por dos meses, a una tasa mensual de 0,5%; por tres meses, a una tasa mensual de 1%; por cuatro meses, a una tasa mensual de 2%. Utilice PL para determinar una estrategia de inversión que maximice el efectivo en caja al principio del mes 5. Ingresos Cuentas

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

400 800 300 300

600 500 500 250

18. Sunco transforma petróleo en queroseno y en aceite combustible. Cuesta 40 dólares comprar 1000 barriles de petróleo, que se destilan después y producen 500 barriles de queroseno y 500 barriles de aceite. Se puede vender directamente lo que se obtiene de la destilación, o se puede pasarlo por un reactor catalítico. El queroseno obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 60 dólares los 1000 barriles. El aceite combustible obtenido después de la destilación y sin más procesos, se puede vender a 40 dólares los 1000 barriles. Tarda una hora procesar 1000 barriles de queroseno en el reactor catalítico, y se pueden vender estos 1000 barriles a 130 dólares. El proceso de 1000 barriles de aceite en el reactor catalítico tarda 45 minutos, y se puede vender estos 1000 barriles a 90 dólares. Se pueden comprar diariamente a lo más 20.000 barriles de petróleo, y se disponen de 8 horas de desintegración catalítica. Formule un PL para maximizar las ganancias de Sunco.

19. La compañía TJ´s produce tres mezclas de nueces para venderlas a cadena de tiendas de abarrotes. Las tres clases, a las que denomina Mezcla regular, Mezcla de lujo y Mezcla Holiday, se producen mezclando diferentes porcentajes de 5 tipos de nueces. Al prepararse para la temporada de otoño, la firma acaba de adquirir las siguientes cantidades de nueces, a los precios que se indican: Tipo de nuez Almendra Nuez de Brasil Avellana Nuez común Nuez de Castilla

Cantidad en el envío (lb) 6000 7500 7500 6000 7500

Costo por remesa $ 7.500 $ 7.125 $ 6.750 $ 7.200 $ 7.875

La mezcla Regular consiste en 15% de almendras, 25% de nueces de Brasil, 25% de avellanas, 10% de nueces comunes y 25% de nueces de Castilla. La Mezcla de Lujo consiste en 20% de cada tipo y la Mezcla Holiday consiste en 25% de almendras, 15% de nueces de Brasil, 15% de avellanas, 25% de nueces comunes y 20% de nueces de Castilla. El contador de la compañía ha analizado el costo de los materiales de empaque, el precio de venta por libra, etc., y determinado que la contribución a las utilidades es de $1,65 (dólares) por libra de la Mezcla Regular, $2,00 por libra de la Mezcla de Lujo y $2,25 por libra de la Mezcla Holiday. Estas cifras no incluyen el costo de las nueces que se tienen en las diferentes combinaciones, porque los costos pueden variar en gran medida en elmercado de productos perecederos. Ya se han recibido los siguientes pedidos de clientes: Tipo de mezcla Normal

Pedido (libras) 10.000

de Lujo Holiday

3.000 5.000

Como la demanda está siendo alta, se espera que la empresa reciba muchos más pedidos de los que puede satisfacer. El compromiso de TJ´s es utilizar las nueces disponibles para maximizar las utilidades en la temporada de otoño. Las que no se utilizan se regalan a un albergue. Pero, aun cuando no es redituable hacerlo, el presidente de la empresa ha dado órdenes de que se satisfagan todos los pedidos que ya se han recibido. REPORTE DE ADMINISTRACIÓN Realice un análisis del problema y elabore un reporte para el presidente en el que se resuman los resultados. Es importante asegurarse de incluir la información y los análisis sobre lo siguiente: 1. El costo por libra de las nueces que se incluyen en cada una de las mezclas 2. La mezcla óptima de productos y su contribución a las utilidades 3. Recomendaciones sobre la forma en que pueden aumentarse las contribuciones a las utilidades si es posible adquirir cantidades adicionales de nueces. 4. Una recomendación con respecto a si TJ´s debe adquirir mil libras adicionales de almendras en $1.000, a un proveedor que tiene excedentes. 5. Recomendaciones con respecto a la forma en que pueden aumentarse las contribuciones a las utilidades (si es que fuera posible) en caso de que TJ´s no satisfagan todos los pedidos existentes.

20. Una inmobiliaria está realizando el proceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicará en uno de los valles cercanos a la ciudad, y el negocio consiste en la venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro. El principal mercado para estos lotes incluye a las familias e ingresos medios y altos. La inmobiliaria ha utilizado a una reconocida firma de publicidad para la campaña promocional. Después de considerar los posibles medios publicitarios y el mercado que se debe cubrir, la publicista ha hecho la recomendación preliminar de restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final del mes la publicista reevaluará su estrategia, con base en los resultados del mes. Ha recopilado datos acerca del número de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el número de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el número máximo de veces que está disponible cada medio, y la disposición esperada para cada uno de los cinco medios publicitarios. La exposición esperada se mide en términos de una unidad de exposición, que es una medida del valor relativo de un anuncio en cada uno de los medios. Tales mediciones, con base en la experiencia que la compañía tiene en el negocio de la publicidad, toman en consideración factores tales como perfil de la audiencia (edad, ingresos y grado de educación), imagen que se presenta y calidad del anuncio. En la tabla se presenta la información recopilada: Medios de publicidad

Número de Costo Máximo Unidad familias por de es de potencialm anunci ocasion exposic ente o es que ión comprador están espera

as que se alcanzan 1000 2000

disponi bles por mes* $ 1.500 15 $ 3.000 10

1. TV diurna (1 min) 2. TV nocturna (30 seg) 3. Periódico diario (página completa) 1500 $ 400 4. Suplemento de periódico dominical (1/2 pag. a color) 2500 $ 1.000 5. Radio: noticias 8:00 A.M. o 5:00 P.M. (30 seg) 300 $ 100 *El número máximo de ocasiones que está disponible el medio es el número máximo

das 65 90

25

40

4

60

30

20

de ocasiones en que se presenta el medio de publicidad (por ejemplo, cuatro domingos para el medio número 4) 0 el número máximo de ocasiones en que la publicista permitirá que se utilice el medio.

La firma ha proporcionado a la publicista un presupuesto de publicidad de $30.000 (dólares) para la campaña del primer mes. Además, ha impuesto las siguientes restricciones sobre la forma en que se deben asignar estos fondos: se deben utilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisión, y se debe llegar cuando menos a 50.000 compradores potenciales durante el mes. Además, no pueden invertirse más de $18.000 en anuncios por televisión. ¿Qué plan de selección de medios debe recomendar la empresa publicitaria?