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• David Palma

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DEBER 1 Ejercicios propuestos: 1.

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en cada uno de los tamaños grande, pequeño y mediana. Produce diariamente 400 grandes, 200 pequeñas y 50 medianas del tipo A, 300 grandes, 100 pequeñas y 30 medianas del tipo B, la del tamaño grande gasta 30 horas de taller y 3 horas de administración, la del tamaño pequeño gasta 20 horas de taller y 2 horas de administración, la del tamaño mediano gasta 15 horas de taller y 1 hora de administración, represente la información en matrices.

2.

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estantería: A,B,C en cada uno de los tamaños grande y pequeño. produce diariamente 2000 estanterías grandes y 4000 pequeñas del tipo A, 5000 grandes y 3000 pequeñas del tipo B, 4000 grandes y 6000 pequeña del tipo C. Cada estantería grande lleva 20 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos, represente esta información en matrices.

3.

Ilustrar cada una de las propiedades de las matrices estudiadas con un ejemplo.

4.

Bajo que circunstancia se da la igualdad.

5.

Demostrar que si AB = A y BA = B entonces A y B son matrices Idempotentes.

6.

Si A y B son matrices conmutativas demostrar que ejemplo)

7.

Hallar una matriz

8.

Demostrar que si una matriz A satisface la ecuación −1 A =3 I − A .

A

T

; BT

conmutan (con un

A 3 x 3 , tal que aij =i+ j .

2

A −3 A+ I =0

entonces

9.

Cuáles de los enunciados siguientes es verdadero. Justifique su respuesta desarrollando el ejercicio o poniendo un contraejemplo. a.

( ABC )−1=C−1 B−1 A−1 .

b.

( ABC )T =C T BT A T .

c.

AA

T

es una matriz simétrica.

d. Si A y B son matrices simétricas entonces

( AB )T =BA

e. Si A y B son matrices simétricas entonces

( A+ B) es simétrica.

f.

A + AT

g.

A− AT

es una matriz simétrica.

h. La matriz

es una matriz antisimétrica.

(

A= 1 b 0 −1

)

, es involutiva para b número real

cualquiera. i.

La matriz

j.

Si

k. Si

10. Si

(

A= cos θ −sin θ sin θ cos θ

(

A= cos θ −sin θ sin θ cos θ

( )

1 0 0 A= 0 2 0 0 0 3

( )

1 2 3 A= 1 5 3 1 0 8

)

)

, es una matriz ortogonal.

(

A n= cos nθ −sin nθ sin nθ cos nθ

, entonces

, entonces

(

1 0 0 A n = 0 2n 0 n 0 0 3

)

.

)

, Explicar 2 métodos diferentes como hallar

A

−1

y cual es

la inversa.

11. Si

( ) ( )

1 2 3 2 1 −3 4 A= , B= 3 5 y C= 1 0 2 3 1 2 0 −1 4

(

)

,

Calcular: B+C; AB; BA;

AC; CA; A(3B- 2C ).

12. Sabiendo que A y B son conmutables y que además: a. A es idempotente y B es involutiva, pruebe que

( A + B )3 + ( A−B )3 =8 A .

b. A es involutiva y B es idempotente, pruebe que

( A + B )3 + ( A−B )3 =8 B .

13. Hallar los valores de k , tal que es idempotente.:

14. Sea

(

a.

k 0 0 A= 0 k 0 0 k+4 0

b.

A=

( 0p)

A= p i

verificar que

(

)

,

0 0 k +2 k k k k+2 0 0 , donde

p

) es un escalar e

A 2=2 pA−p 2 I , obtenga

i

es la unidad imaginaria,

An .

15. Demostrar que si A y B son matrices cuadradas simétricas conmutativas de un mismo orden, entonces la matriz: C = ABAB…..ABA es simétrica.

16. Demostrar que el producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, sii las matrices dadas son conmutativas.

17. Demostrar que el producto de dos matrices antisimétrica es una matriz simétrica si y sólo si, las matrices dadas son conmutativas.

18. Si A conmuta con B, demuestre que la transpuesta de A conmuta con la transpuesta de B.