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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUMAN

Fluidos en Reposo FENOMENOS DE TRANSFERENCIA

Bibliografía: -

-

Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa. Welty. Limusa, 1998. Mecánica de Fluidos. Streeter, Wylie, Bedford. Mc Graw Hill, 2009. Procesos de transporte y operaciones unitarias. Geankoplis. Cecsa, 1998. Introduction to Fluid Mechanics. Shaughnessy, Katz, Shaffer. Oxford University Press, 2005. An Introduction to Fluid Mechanics and Transport Phenomena. G. Hauke. Springer, 2008.

FLUIDO: Sustancia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo cortante  cuando un fluido se encuentra en reposo NO PUEDEN EXISTIR ESFUERZOS

CORTANTES Recordar de Segunda Ley de Newton: La fuerza que actúa sobre un sistema es igual a la variación de la cantidad de movimiento de un sistema respecto del tiempo: 𝒅𝒗 𝑭=𝒎 𝒅𝒕 Las fuerzas que actúan sobre un fluido, como la presión y el esfuerzo cortante, son el resultado de una transferencia microscópica de la cantidad de movimiento. La Mecánica de los fluidos se conoce también como el estudio de la transferencia de momento en los fluidos.

FLUIDO: Sustancia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo cortante Fluidos → continuo El menor volumen de fluido que consideramos tiene un numero de moléculas suficientes para hacer promedios estadísticos Propiedades macroscópicas varían continuamente de un punto a otro del fluido

Propiedad en un punto ∆𝑚 ∆𝑉

Dominio molecular

DENSIDAD ESFUERZO PRESION Dominio continuo

𝜌=

∆𝑚 ∆𝑉→𝛿𝑉 ∆𝑉

lim

δV ΔV Considerar 𝚫𝑽 → 𝟎 es útil  permite describir flujo de fluidos con funciones continuas

Esfuerzo en un punto o fuerza por unidad de área i

j

ΔF ΔFs

ΔFn ΔA

Esfuerzo normal > 𝟎 TENSIÓN

∆𝐹𝑛 lim = 𝜎𝑖𝑖 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴 ∆𝐹𝑠 lim = 𝜏𝑖𝑗 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴

Esfuerzo normal Esfuerzo tangencial o cortante

Esfuerzo normal < 𝟎 COMPRESIÓN

FUERZAS Gravedad Fuerzas que actúan sobre cuerpo (sin contacto físico) Electrostática

Fuerzas superficiales (Contacto físico para su transmisión)

Presión De fricción

ESFUERZO: Para estar determinado requiere de: Magnitud, dirección y orientación respecto a la superficice.

Esfuerzo Cortante ∆𝐹𝑠 lim = 𝜏𝑖𝑗 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴

𝑖 = dirección del eje, normal al plano de acción del esfuerzo cortante 𝑗 = dirección de la acción

𝑧

𝝈𝒛𝒛 𝝉𝒛𝒙

𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒙𝒚

𝝉𝒚𝒙

𝝈𝒚𝒚

𝝈𝒙𝒙

𝑥

𝑦

Esfuerzo Cortante ∆𝐹𝑠 lim = 𝜏𝑖𝑗 ∆𝐴→𝛿𝐴 ∆𝐴

𝑧

𝑖 = dirección del eje, normal al plano de acción del esfuerzo cortante 𝑗 = dirección de la acción Los esfuerzos en gral ( 𝜎 y 𝜏 ) son positivos cuando, coinciden los signos del vector superficie con el de la fuerza normal o cortante aplicada.

𝜏𝑦𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

Dirección de esfuerzo cortante positivo 𝜏𝑧𝑦 𝑧 𝑥

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑦𝑧

𝑥

𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑥𝑧

𝑦

𝑧

Relación de Stokes

Esfuerzo cortante

𝝏𝒗𝒙 𝝏𝒗𝒚 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = −𝝁 + 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒗𝒚 𝝏𝒗𝒛 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉𝒛𝒚 = −𝝁 + 𝝏𝒛 𝝏𝒚 𝝉𝒛𝒙 = 𝝉𝒙𝒛 𝝈𝒙𝒙

Esfuerzo normal

𝝏𝒗𝒙 𝝏𝒗𝒚 𝝏𝒗𝒛 𝛁. 𝒗 = + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

𝝏𝒗𝒛 𝝏𝒗𝒙 = −𝝁 + 𝝏𝒙 𝝏𝒛

𝝏𝒗𝒙 𝟐 =𝝁 𝟐 − 𝛁. 𝒗 − 𝑷 𝝏𝒙 𝟑

𝝏𝒗𝒚 𝟐 𝝈𝒚𝒚 = 𝝁 𝟐 − 𝛁. 𝒗 − 𝑷 𝝏𝒚 𝟑 𝝏𝒗𝒛 𝟐 𝝈𝒔𝒔 = 𝝁 𝟐 − 𝛁. 𝒗 − 𝑷 𝝏𝒛 𝟑

𝟏 𝑷 = − 𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝒔𝒔 𝟑

Presión y manómetros de Bourdon

El manómetro mide la diferencia de presión entre el exterior (casi siempre la atm) y el interior

𝑃𝑎𝑡𝑚 (local)

𝑷𝒂𝒃𝒔 = 𝑷𝒎𝒂𝒏 + 𝑷𝒂𝒕𝒎

𝑷𝒂𝒃𝒔 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 − 𝑷𝒗𝒂𝒄𝒊𝒐

𝑃𝑚𝑎𝑛ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑏𝑠

𝑃𝑎𝑏𝑠 = 0

𝑃𝑎𝑏𝑠

𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑎𝑡𝑚

𝑃𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑎𝑡𝑚

PRESIÓN (Fluido Estático)

𝜽

No hay esfuerzo cortante Esfuerzo normal

∆𝑭𝒙

𝑦

𝑧

𝑥

∆𝒚 𝜽 ∆𝒙

Fuerzas que actúan sobre el elemento:

∆𝑭𝒔

∆𝒛

∆𝑭𝒚

Gravedad Esfuerzo normales

(∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧) Peso del elemento: 𝜌. 𝑔. 2

Para un cuerpo en reposo :

Dirección x

𝐹𝑥 = 0

∆𝐹𝑥 ∆𝐹𝑠 lim − =0 ∆𝑉→0 ∆𝑦. ∆𝑧 ∆𝑠 . ∆𝑧

𝑭=𝟎 ∆𝐹𝑥 − ∆𝐹𝑠 . 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 0 ∆𝒚 ∆𝐹𝑥 − ∆𝐹𝑠 . =0 ∆𝒔

−𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝒔𝒔 = 𝟎

∆𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽 = ∆𝒔

𝝈𝒙𝒙 = 𝝈𝒔𝒔

Dirección y 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 ∆𝐹𝑦 − ∆𝐹𝑠 𝐜𝐨𝐬 𝜽 − 𝜌. 𝑔. =0 2

𝐹𝑦 = 0

∆𝒙 ∆𝒔

∆𝐹𝑦 − ∆𝐹𝑠

∆𝑭𝒔 𝑦

𝑧

∆𝑭𝒙 𝑥

∆𝒚 ∆𝒙 ∆𝑭𝒚

𝜽

∆𝒛

∆𝒙 ∆𝑥. ∆𝑦. ∆𝑧 − 𝜌. 𝑔. =0 ∆𝒔 2

∆𝐹𝑦 ∆𝐹𝑠 𝜌. 𝑔. ∆𝑦 lim − − =0 ∆𝑉→0 ∆𝑥 ∆𝑧 ∆𝑠 . ∆𝑧 2 𝜌. 𝑔 −𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑠𝑠 − (0) = 0 2

𝝈𝒚𝒚 = 𝝈𝒔𝒔

Se verifica que en un fluido en reposo: 𝝈𝒙𝒙 = 𝝈𝒚𝒚 = 𝝈𝒔𝒔

En un fluido en reposo: 𝝈𝒙𝒙 = 𝝈𝒚𝒚 = 𝝈𝒔𝒔  Los esfuerzos normales son iguales e independientes de las direcciones (no aparece el ángulo), por lo que se deduce que el esfuerzo normal es un escalar.

Presión para un fluido en movimiento 𝟏 𝑷 = − 𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝒔𝒔 𝟑

Variación de propiedades de un punto a otro Isobaras: Lugar geométrico de puntos de igual presión

𝑥: dirección E 𝑦 : dirección N

𝑃(𝑥 , 𝑦) : Representa presión en una región.

𝑑𝑃 : Cambio de presión entre 2 puntos cualquiera de la región (separados por una distancia 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦) Diferencial total (𝑑𝑃)

𝝏𝑷 𝝏𝑷 𝒅𝑷 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Las derivadas parciales representan la forma en que cambia P a lo largo de 𝑥 e 𝑦. Diferencial total (𝑑𝑃) si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝝏𝑷 𝝏𝑷 𝝏𝑷 𝒅𝑷 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

Mapa de Presiones (Isobaras) – Gradientes

Gradiente

REPASO • Derivada parcial de la función 𝑃(𝑥, 𝑦): Variación de 𝑃 con respecto a una de las variables manteniendo la otra cte. Interpretación geométrica: pendiente de la recta tangente a la curva intersección del plano 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒 o 𝑥 = 𝑐𝑡𝑒 con la superficie de 𝑃(𝑥, 𝑦). • Derivada direccional: variación de 𝑃(𝑥, 𝑦) en una dirección S cualquiera, que forma un ángulo 𝛼 con el eje 𝑥. Mide la rapidez de cambio de 𝑃 en la dirección S. Interpretación geométrica: pendiente de la recta tangente a la curva intersección del plano S con la superficie de 𝑃(𝑥, 𝑦) Se calcula: 𝒅𝑷 𝝏𝑷 𝝏𝑷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Considerando una trayectoria arbitraria: S en el plano 𝑥, 𝑦 Derivada total: 𝒅𝑷 𝝏𝑷 𝒅𝒙 𝝏𝑷 𝒅𝒚 = + 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝒅𝒔 𝝏𝒚 𝒅𝒔 Derivada direccional : mide rapidez de cambio de 𝑃 en dirección S. 𝒅𝑷 𝝏𝑷 𝝏𝑷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝒚

Trayectoria S 𝒅𝒔 𝒅𝒚 𝜶 𝒅𝒙 𝒙

𝛼 : ángulo de la trayectoria con respecto a eje 𝑥.

Hay dos trayectorias de interés en el plano (𝑥, 𝑦) : 1) Trayectoria para la que

𝑑𝑃 𝑑𝑠

=0

 𝑑𝑃 = 0 en esa trayectoria  𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 en esa trayectoria  Isolínea 2) Trayectoria en la que la función

𝑑𝑃 𝑑𝑠

es Máxima

 Máxima pendiente de 𝑃 en una dirección determinada  Máxima variación de 𝑃 en esa trayectoria

𝒅𝑷 𝝏𝑷 𝝏𝑷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝒅𝑷 𝝏𝑷 𝝏𝑷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝒔 𝝏𝒙 𝝏𝒚 1) Trayectoria para la que 𝑑𝑃 =0 𝑑𝑠

𝑑𝑃 𝑑𝑠

𝒚

𝒅𝒔

=0

𝜕𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑑𝑦 𝜕𝑥 = 𝑡𝑔 𝛼 = =− 𝜕𝑃 cos 𝛼 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑃 A lo largo de esta trayectoria : 𝑑𝑦 𝜕𝑥 =− 𝑑𝑃 = 0, 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 → ISOLINEA 𝜕𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑃=0 𝜕𝑦 𝑑𝑠

2) Trayectoria para la que

𝑑 𝑑𝑃 =0 𝑑𝛼 𝑑𝑠 𝑑2 𝑑𝑃