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• Rodrigo Vallejos Vergara

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CALCULO III RENE ZUÑIGA FLORES

DEPARATMENTO DE MATEMATICA UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

 

CURVAS SUAVES La parametrización de la curva representada por la función vectorial

r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k Es suave en un intervalo abierto I. y si los valores de t en el intervalo I.

x '(t ) , y '(t ) y z '(t ) son continuas en I y además para todos

Ejemplo: Hallar los intervalos en los que la epicicloide C , dada por

r (t )  (5cos(t )  cos(5t ))i  (5sin(t )  sin(5t )) j ; 0  t  2 es suave. Solución: La derivada de r es

r '(t )  (5sin(t )  5sin(5t ))i  (5cos(t )  5cos(5t )) j En el intervalo  0, 2  , los únicos valores de

3    t donde r '(t )  0i  0 j son 0, ,  , , 2  . 2  2 

Por tanto, podemos concluir que C es suave en los intervalos

      3   3  , 2   0 ,  ,  ,   ,  , y  2   2  2 2    Como se muestra en la figura siguiente.

t 



 2

t 

t0



t  2

3 t  2 Observe en la figura que la curva deja de ser suave en los puntos donde tiene un cambio brusco de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.

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EJERCICIOS En los ejercicios siguientes determinar: a) Dibujar la curva plana dada por la función vectorial. b) dibujar los vectores r (t0 ) y r '(t0 ) para el valor de t0 que se especifica. Colocar los vectores de manera que el punto inicial de r (t0 ) este en el origen y el punto inicial de r '(t0 ) coincida con el punto final de r (t0 ) . ¿Qué relación hay entre r '(t0 ) y la curva?. 1.

r (t )  t 2i  tj

; t0  2

Solución: a) Dibujar la curva plana dada por la función vectorial. Construyamos la siguiente tabla. t x(t )  t 2 y (t )  t

 x, y 

-3 9 -3  9, 3

-2 4 -2  4, 2 

-1 1 -1 1, 1

0 0 0  0, 0 

1 1 1 1,1

2 4 2  4, 2 

3 9 3  9,3 t 3



t2



t 1



t0

 

t  1



t  2



t  3

b)

r (t )  x(t )i  y (t ) j  r '(t )  x '(t )i  y '(t ) j Por tanto

r (t )  t 2i  tj  r '(t )  2ti  j r (2)  4i  2 j  r '(2)  4i  j t0  2

r '(2)



r (2)

Como se puede observar el vector r '(t0 )  r '(2) es el vector tangente a la curva plana generada por la función vectorial r (t )  t i  tj 2

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2.

r (t )  ti  t 3 j

t0  1

3.

r (t )  cos(t )i  sin(t ) j ; t0 

4.

1 r (t )  t 2i  j ; t0  2 t

5.

Considere la siguiente función vectorial

;

 2

r (t )  ti  t 2 j a)

Dibujar un bosquejo de la gráfica.

b)

Dibujar los vectores r 

c)

1 1 1 1 , r r y       r   en la grafica de la parte a) 4 2 2 4 1 Comparar el vector r '   con el vector 4 r (1 2)  r (1 4 1 2 1 4

En los ejercicios siguientes: a) Dibujar la curva espacial dada por la función vectorial. b) dibujar los vectores r (t0 ) y r '(t0 ) para el valor de t0 indicado para cada caso.

3 2

6.

r (t )  2cos(t )i  2sin(t ) j  tk ; t0 

7.

3 r (t )  ti  t 2 j  k ; t0  2 2

8.

Dada la función r (t )  cos( t )i  sin( t ) j  t k determinar 2

t0  

r '  t0  r '  t0 

y

r ''  t0  cuando r ''  t0 

1 4

En los ejercicios siguientes hallar r '(t ) y r ''(t )

                         

9.

r (t )  6ti  7t j  t k

10.

11.

r (t )  a cos3 (t )i  a sin 3 (t ) j  k

12.

1 t2 r (t )  i  16tj  k 2 t r (t )  t i  t t j   ln(t )  k

13.

r (t )  et i  4 j

14.

r (t )  t sin(t ),cos(t ), t

15.

r (t )  sin(t )  t cos(t ),cos(t )  t sin(t ), t 2

16.

r (t )  arcsin(t ),arccos(t ),0

2

3

   

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INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Definición: 1. Si r (t )  x (t )i  y (t ) j , donde x(t ) y y (t ) son funciones continuas en indefinida (o antiderivada) de r es



r (t )dt 









 a , b ,

   x(t )dt  i   y (t )dt  j    

 x(t )i  y(t ) j dt  

la integral

(Plano)

y su integral definida sobre el intervalo a  t  b es



b

a

 r (t )dt   



b

a

  x(t )dt  i    



b

a

 y (t )dt  j 

2. Si r (t )  x (t )i  y (t ) j  z (t )k , donde x(t ), y (t ) y z (t ) son funciones continuas en  a , b  , la integral indefinida (o antiderivada) de r es









      r (t )dt   x(t )dt  i   y (t )dt  j   z (t )dt  k      

(espacio)

y su integral definida sobre el intervalo a  t  b es



b

a

 r (t )dt   



b

a

  x(t )dt  i    



b

a

  y (t )dt  j    



b

a

 z (t )  k 

EJERCICIOS

En los ejercicios siguientes evaluar la integral indefinida.



 2ti  j  k  dt

2.

 3t i  4tj  8t k  dt

3.



1 32   i  j  t k  dt t 

4.



5:



 2t  1 i  4t 3 j  t k  dt  

6.

 e i  sin(t) j  cos(t)k  dt

7.



1  2  sec (t )i  1 t2 

8.

 e

1.

 j  dt 

2

3

1    ln(t )i  j  k  dt t   t

t

sin(t )i  e t cos(t ) j dt

En los ejercicios siguientes hallar r (t ) con las condiciones que se indican: 1.

r '(t )  4e2t i  3et j ; r (0)  2i

2.

r '(t )  2ti  t j ; r (0)  i  j

3.

r ''(t )  32 j ; r '(0)  600 3i  600 j ; r (0)  0

r ''(t )  4cos(t ) j  3sin(t )k ; r '(0)  3k ; r (0)  4 j 1 t 2 t 5. r '(t )  te i  e j  k ; r (0)  i  j  k 2

4.

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En los ejercicios siguientes calcular la integral definida. 1.



1



 2

8ti  tj  k  dt

2.

0



3

 a cos(t )  i   a sin(t )  j  k  dt

4.

 ti  t j  3

1

0

3.



1

0

3

 e i  te  dt   t

t



t k dt