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Olimpiada Mexicana de Matem´aticas Curso de entrenadores 2014 Edici´on: Leonardo I. Mart´ınez Sandoval 9 de diciembre de 2014

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´Indice general 1. Introducci´ on 1.1. Curso de entrenadores 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Participantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Organizaci´ on estatal 2.1. La Olimpiada en Nuevo Le´on . . . . . . . . . . 2.2. C´omo ser un (buen) entrenador (de Olimpiada) ´ 2.3. Algebra en Cuernavaca . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Descripci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Filosof´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. El entrenamiento . . . . . . . . . . . . .

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´ 3. Algebra y teor´ıa de n´ umeros 3.1. Temario a´lgebra y teor´ıa de n´ umeros . . . . . . . . . . . . . 3.2. Problemas ´algebra y teor´ıa de n´ umeros . . . . . . . . . . . . 3.2.1. N´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Propiedades de los n´ umeros (operaciones: suma, producto. Existencia de los inversos) . . . . . . . . . . . 3.2.3. Sucesiones y patrones num´ericos . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. M´ ultiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Maximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo . . 3.2.7. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Sumas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.10. Operaciones b´asicas con lenguaje algebraico . . . . . 3.2.11. Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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5 5 6 7 7 7 11 11 11 13 13

17 . 17 . 18 . 18 . . . . . . . . . .

19 22 23 25 26 28 30 31 32 32

´INDICE GENERAL

4 3.2.12. 3.2.13. 3.2.14. 3.2.15. 3.2.16. 3.2.17. 3.2.18.

Simplificaci´on de fracciones algebraicas Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . Productos notables . . . . . . . . . . . Factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . Desigualdades e inecuaciones . . . . . .

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33 33 34 35 36 37 39

4. Combinatoria 41 4.1. Temario introductorio para combinatoria . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5. Geometr´ıa

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on 1.1.

Curso de entrenadores 2014

Cada a˜ no la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas organiza un curso de entrenadores para preparar a estudiantes y profesores que quieran dar entrenamientos en los niveles estatales. En 2014 este curso se llev´o a cabo del 10 al 13 de abril en CIMAT, Guanajuato, Guanajuato. Este es un documento que recopila el trabajo realizado en el curso. Por una parte, se compartieron experiencias exitosas acerca de la organizaci´on de algunas olimpiadas estatales. El objetivo de esto fue compartir la filosof´ıa y la log´ıstica que se tiene en distintos estados del pa´ıs. La participaci´on en este sentido fue rica y se compartieron varios puntos de vista. Tambi´en hubo una parte matem´atica importante. Se habl´o de los temas b´asicos en cada una de las ´areas de la Olimpiada: a´lgebra, combinatoria, geometr´ıa y teor´ıa de n´ umeros. Una gran parte del trabajo fue realizado por los asistentes. Ellos compartieron sus ideas y colaboraron para armar temarios de estas a´reas. Adem´as, participaron en la creaci´on de m´as de 160 problemas que se compilan en las siguientes secciones. Esta enorme colecci´on es un excelente punto de partida para la creaci´on de ex´amenes de primeras etapas y para la elaboraci´on de listas de trabajo en las primras sesiones de entrenamiento. 5

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

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1.2.

Participantes

A continuaci´on se enlistan los asistentes al curso de entrenadores. Se agradece su participaci´on, sin la cual este documento no ser´ıa posible: Alejandro Contreras Balbuena, Alfredo Saracho Dur´an, Alicia Ram´on Barrios, Antonio Rosales Rivera, Ashley Antonio Olmedo Ortiz, Beatriz Adriana Alvarado Castro, Benito Fernando Mart´ınez Salgado, Blanca Yazm´ın Radillo Murgu´ıa, Carlos Alberto S´anchez Torres, Carlos L´opez Gonz´alez, Carmen Jazm´ın Isa´ıas Castellanos, Cecilia Edith Hern´andez Fregoso, Claudia Luc´ıa Guerrero Gonz´alez, Delfo Urbina Hern´andez, Demian Espinosa Ruiz, Diego Ter´an R´ıos, Edward Melchisedech Navarrete Pineda, Efra´ın Casillas Carrillo, Eugenio Daniel Flores Alatorre, Francisco Flores Mac´ıas, Francisco G´omez Hern´andez, Gabriel Guti´errez Garc´ıa, Hern´an Rafael D´ıaz Mart´ın, Jair Remigio Ju´arez, Jes´ us Arturo Lucio Coronado, Jes´ us Eduardo R´ıos Rochin, Jes´ us Eduardo R´ıos Torres, Jorge Fern´andez Hidalgo, Jos´e F´elix Garc´ıa Goitia, Jos´e Luis del ´ Angel Medell´ın, Juan Camacho Cordero, Juan Gabriel Geraldo Hern´andez, Julio Rodr´ıguez Hern´andez, Marcelino Ram´ırez Ib´an ˜ez, Mar´ıa Araceli Ju´arez Ram´ırez, Mar´ıa del Rosario Soler Zapata, Mar´ıa del Rosario Vel´azquez Camacho, Mar´ıa Guadalupe Russell Noriega, Mart´ın Velasco Hern´andez, Melida Carranza Trejo, Miguel Santoyo Mondrag´on, Nancy Janeth Calvillo Guevara, Norberto Ordo˜ nez Ram´ırez, Owen Yael Mireles Briones, Paulina Linares Arroyo, Rafael Salgado Vel´azquez, Ram´on Jardiel Llanos Portales, Rogelio Reyes Palma, Roger Ramos Ramos, Rosario Santill´an Baltazar, Rosaura del Carmen Garc´ıa de la Rocha, Salvador Segovia Gastelum, Sa´ ul D´ıaz Alvarado, Silvia Evelyn Ward Bringas, Ulises Juan Carlo Gonz´alez Reina, V´ıctor Antonio Aguilar Arteaga, Viviana Rivera Monjaras y Zeus Caballero P´erez. As´ı mismo, el curso se llev´o con agilidad y hacia el camino correcto gracias a cada uno de los encargados de las distintas secciones H´ector Raymundo Flores Cantu Luis Miguel Garc´ıa Vel´azquez Hugo Villanueva M´endez C´esar Octavio P´erez Carrizales Rogelio Vald´ez Delgado Leonardo Ignacio Mart´ınez Sandoval

Cap´ıtulo 2 Organizaci´ on estatal En la parte de organizaci´on estatal se compartieron varias experiencias de c´omo organizar entrenamientos o temas. Los participantes fueron los siguientes: H´ector R. Flores Cant´ u Eugenio D. Flores Alatorre Rogelio Vald´ez Delgado

2.1.

La Olimpiada en Nuevo Le´ on

Por H´ector Flores Cant´ u

2.2.

C´ omo ser un (buen) entrenador (de Olimpiada)

Por Eugenio Daniel Flores Alatorre - [email protected] Cuando me propuse empezar a escribir este peque˜ no texto, quise hacer memoria de c´omo fueron mis primeros pasos como entrenador de Olimpiada en San Luis. La verdad no recuerdo mucho pero fue algo bastante improvisado: nadie me dijo c´omo, s´olo me dieron una lista de problemas casi id´entica a la que hab´ıa tenido en mis manos un a˜ no atr´as como participante. Cuando quise recordar c´omo han sido los primeros pasos de los nuevos entrenadores, 7

´ ESTATAL CAP´ITULO 2. ORGANIZACION

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la verdad es que lo u ´nico que ha cambiado es que ahora ni siquiera les doy una hoja de problemas. Supongo que la mayor´ıa de nosotros nos aventuramos en esto tratando de imitar lo bueno que recibimos y evitar lo que no nos gust´o tanto. Aunque me he encontrado gente genuinamente talentosa en cada distinta actividad, estoy convencido de que la mayor´ıa de nosotros podemos suplir nuestras deficiencias con trabajo, esfuerzo y dedicaci´on hasta llegar a fingir talento que termina por ser indistinguible. Escribo esto pensando no s´olo en ex-ol´ımpicos que desean estar ahora del otro lado, tambi´en en profesores y hasta padres que quieren ayudar a preparar grupos de olimpiquitos de cualquier nivel. En principio, me parece que lo que uno necesita para ser un buen entrenador de Olimpiada no es distinto de lo que uno necesita para ser un buen profesor, que resumir´ıa en un proceso c´ıclico de tres tiempos. 1. Antes La primera parte del trabajo empieza en la preparaci´on, que es en dos sentidos: tu preparaci´on personal que te permite dominar los temas o estrategias que quieres trabajar en la sesi´on y la preparaci´on de la sesi´on misma, ya sea elaborar una buena lista de problemas, alg´ un material manipulable, analog´ıas, videos, ejemplos. Este antes se resume en dos preguntas: qu´e y c´omo. Entiendo que en nuestro contexto tengamos una visi´on muy satanizada de la planeaci´on; en la Olimpiada, ´esta no es tanto una traba burocr´atica con formatos r´ıgidos sino una gu´ıa para ti, un resumen de tu estrategia de combate que a lo mejor ni siquiera tienes que escribir: con qu´e problemas voy a motivar los temas, qu´e ejemplos ayudan a empezar la generalizaci´on, cu´ales contraejemplos pueden ser u ´tiles, de qu´e manera se puede ser m´as claro, qu´e problemas son retadores pero posibles y cu´anto tiempo dedicar a cada actividad. La ventaja de tener todo escrito es que puede ser reutilizado, mejorado, compartido. 2. Durante Este paso del proceso tiene que ver con la ejecuci´on de tu estrategia y tu desempe˜ no general frente al grupo de olimpiquitos. Una de las primeras cosas que hay que hacer es ayudar a generar y mantener un ambiente de mucha confianza y respeto: cuando los olimpiquitos no tienen miedo de preguntar, de comentar sus intentos de soluci´on, ni de equivocarse frente a sus compa˜ neros se puede trabajar mucho mejor.

´ 2.2. COMO SER UN (BUEN) ENTRENADOR (DE OLIMPIADA)

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Muchos de los aspectos que tienen que ver con la comunicaci´on los ir´as perfeccionando con la experiencia: a cuidar tus palabras y expresiones, tus gestos, atender con la mirada a todo el grupo, reconocer cu´ando alguien tiene dudas, ayudarte de los alumnos m´as avanzados, etc´etera; es por eso que es tan importante el ambiente de respeto: todos pueden equivocarse, t´ u inclu´ıdo, y no tiene nada de malo. Por supuesto, aqu´ı entra en juego tu capacidad para hacer un diagn´ostico r´apido sobre si tu estrategia est´a o no funcionando y cambiar el rumbo, a veces improvisar. Tambi´en, es algo que ir´as ganando con experiencia: proponer r´apidamente un contraejemplo, se˜ nalar el error en un razonamiento, guiar las respuestas con preguntas, inventar ejercicios, contar chistes y an´ecdotas, buscar una explicaci´on desde otro ´angulo, anticipar dudas y errores comunes. 3. Despu´ es Cuando termina la sesi´on es hora de la reflexi´on: qu´e hice bien, qu´e pude haber hecho mejor. La reflexi´on es tambi´en doble, sobre el qu´e y sobre el c´omo: ¿me entendieron? ¿me salt´e alg´ un tema necesario? ¿les di suficiente tiempo para pensar los problemas? ¿termin´e resolviendo todos los problemas yo? ¿los problemas fueron muy dif´ıciles o muy sencillos, demasiados o muy pocos? ¿mis explicaciones fueron suficientes, mis ejemplos buenos? Las respuestas que t´ u mismo encuentres a estas preguntas, o las que puedan darte tus olimpiquitos, deben ayudarte a preparar tu pr´oxima sesi´on y as´ı volvemos a empezar. Aunque el t´ıtulo de este texto pudiera as´ı sugerirlo, la verdad es que no hay recetas; lo que funciona es trabajar mucho y trabajar bien. Si trabajas muy bien, a lo mejor no hace falta trabajar demasiado; pero si trabajas bien, probablemente tuviste que trabajar mucho antes. No es cosa de que necesites todo esto antes de empezar, al principio te alcanza con tus ganas de ayudar, lo que sabes y algo de sentido com´ un. Adem´as de estos pasos, hay algunas cosas que permean todo el proceso y es importante que tengas en cuenta, m´as como consejos que no se me ocurri´o juntar de otra manera: Contagia entusiasmo Si has estado cerca de la Olimpiada, seguro sabes que la mayor´ıa del trabajo se hace en el tiempo libre de todos, el tuyo, el de los alumnos, y

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´ ESTATAL CAP´ITULO 2. ORGANIZACION que, adem´as, es escasamente recompensado, sobre todo econ´omicamente. El punto aqu´ı es: si ya todo mundo le est´a dedicando sus vacaciones a trabajar en la Olimpiada, ayuda a que sea una experiencia agradable para todos. Mu´estrales que hay belleza en las ideas, en los teoremas y las soluciones, emoci´onate genuinamente de sus avances, inter´esate por sus dudas y sus metas, disfruten el tiempo de descanso juntos, plat´ıcales tus an´ecdotas de participante, si es el caso. No tengas miedo a experimentar Lo m´as sencillo y normal para todos es tratar de repetir la manera en que nos ense˜ naron a nosotros, sobre todo si funcion´o bien. Probablemente los que son profesores de escuela ya tienen una din´amica de trabajo, algunos ejemplos, m´etodos y orden: tu grupo de Olimpiada es un buen lugar para jugar con los l´ımites, ver qu´e tanto puedes empujar tus m´etodos y teor´ıas did´acticas, poner a prueba otros ´ordenes en los contenidos, otras explicaciones. Tus alumnos te van a superar Al menos eso esperamos todos y es una buena se˜ nal de que hacemos un buen trabajo. Esto sigue presentando un reto importante y una oportunidad para seguir mejorando. Sobre todo, intenta ser de ayuda: prop´on problemas retadores aunque no los sepas resolver, mucho mejor si al menos tienes una idea de c´omo empezar, y sigue muy de cerca sus razonamientos para poder encontrarles un error y ofrecer contraejemplos, ideas, sugerencias. Comparte experiencias y pide ayuda Seg´ un he podido observar, el tema favorito de muchos de los que trabajan cerca de la Olimpiada es la propia Olimpiada. No tengas miedo de acercarte a los entrenadores que admiras o reconoces para pedirles consejo pues en general no te lo negar´an, aunque seguramente no tienen mucho tiempo libre as´ı que muestra paciencia. En particular, es importante que tengas esta buena comunicaci´on con la gente que entrena en tu mismo estado para que sepan coordinarse y mejorar. Conforme vayas ganando experiencia, te toca compartirla con los dem´as: haz p´ ublicas las estrategias que te han servido, los problemas que crees m´as u ´tiles, los ejercicios que te parecen m´as ilustrativos, las soluciones que m´as te gustan, etc´etera.

´ 2.3. ALGEBRA EN CUERNAVACA

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Est´ a bien tomar un descanso Este, como casi todos, es m´as f´acil decirlo que hacerlo. Si te das cuenta que tu pr´actica ha ido decayendo, ya no tienes ganas de preparar tus entrenamientos, te cansas m´as r´apido, nunca andas de humor, sientes que pierdes el tiempo, a lo mejor es momento de descansar un rato, tomar un a˜ no sab´atico por ejemplo. La Olimpiada no deber´ıa ser un obst´aculo para tu desarrollo personal o profesional, no es una excusa para no terminar tu tesis, por ejemplo. Deber´ıa ser una motivaci´on y un lugar feliz de trabajo. Al final, lo que me parece que marca tu manera de entrenar se resume en qu´e tanto dominas lo que quieres ense˜ nar y en todo eso que llamamos “vocaci´on”: las ganas que tienes de hacer todo lo posible porque tus alumnos aprendan eso que t´ u sabes.

2.3.

´ Algebra en Cuernavaca

Por Rogelio Vald´ez Delgado

2.3.1.

Introducci´ on

´ Algebra se ha convertido en un a´rea fundamental en las olimpiadas. Son frecuentes los problemas de ese tema que aparecen en los concursos, y son tambi´en frecuentes los problemas de otras ´areas que hacen uso del a´lgebra para su soluci´on. Es importante entonces se˜ nalar las principales herramientas de ´algebra que un alumno deber´a asimilar paso a paso en su preparaci´on para los concursos y olimpiadas de matem´aticas. Durante esta discusi´on mostraremos el desarrollo del entrenamiento de a´lgebra, en el estado de Morelos, que se lleva a cabo de mayo a noviembre de cada a˜ no, como preparaci´on de los alumnos participantes en la olimpiada del estado.

2.3.2.

Descripci´ on

La olimpiada de matem´aticas en el estado de Morelos, los ex´amenes y entrenamientos, est´a dividida en varias etapas con un n´ umero decreciente de alumnos al pasar de una etapa a la otra. La primera etapa empieza con

´ ESTATAL CAP´ITULO 2. ORGANIZACION

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un examen estatal de opci´on m´ ultiple, este examen consiste de 20 preguntas, dentro de las cuales siempre aparece al menos un tercio de problemas algebraicos o de otra a´rea que necesitan conocimientos b´asicos de a´lgebra. Hay que tomar en cuenta que temas de combinatoria y teor´ıa de n´ umeros se estudian muy poco a nivel secundaria o preparatoria. A los alumnos seleccionados con este primer examen, se les imparte un entrenamiento de 4 s´abados consecutivos, el primero de estos 4 entrenamientos est´a dedicado al ´algebra. En este primer entrenamiento de a´lgebra se les imparte una clase de 2 horas en temas muy b´asicos de a´lgebra como son: Productos Notables Factorizaci´on Valor absoluto Desigualdad b´asica (todo n´ umero elevado al cuadrado es mayor o igual que cero) Sumas simples (suma de los primeros n naturales, suma de los cuadrados de los primeros n naturales) Una vez que se concluye esta clase, los alumnos se dividen en grupos peque˜ nos de 20 alumnos y se les imparte un taller de 3 horas en resoluci´on de problemas de ´algebra, donde los problemas se resuelven usando las ideas vistas en la clase. La manera en como se ha trabajado en a˜ nos anteriores, es el hecho de darle al alumno una serie de problemas tipo olimpiada, para los cuales, el estudiante debe tener un tiempo razonable para resolverlos. El profesor eventualmente deber´a resolver los problemas, ya sea pidiendo a alg´ un estudiante que pase al pizarr´on o el mismo, pero siempre asegur´andose de que la mayor parte de los alumnos entienda la soluci´on. Al resolver un problema, se puede intercalar la soluci´on con alguna explicaci´on extra de la teor´ıa que se crea pertinente, y siempre contestando todas las dudas de los estudiantes. Siempre hay que motivar y propiciar la participaci´on de los estudiantes, en la manera que sea crea conveniente, teniendo un dialogo con el alumno lo m´as personal que se pueda. La idea es hacer sentir al alumno, que las matem´aticas en la olimpiada son diferentes y mejores que las que se les ense˜ na en sus escuelas. Despu´es de estos cuatro entrenamientos se les aplica un segundo examen, ya tipo olimpiada el cual nos permite seleccionar el grupo con el cual se

´ 2.3. ALGEBRA EN CUERNAVACA

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trabajar´a durante los siguientes meses. A partir de este momento, los entrenamientos son dos d´ıas a la semana, 8 horas cada d´ıa, durante aproximadamente 5 meses.

2.3.3.

Filosof´ıa

Existen cuatro a´reas de las matem´aticas en la olimpiada de matem´aticas: a´lgebra, geometr´ıa, combinatoria y teor´ıa de n´ umeros. Cada una de estas a´reas requiere t´ecnicas diferentes para su ense˜ nanza y cada una tiene sus problemas espec´ıficos de aprendizaje. Adem´as, para dominar cada una de ellas se requiere la resoluci´on de gran cantidad de problemas. Durante nuestro proceso de entrenamiento, se le da m´as importancia al a´lgebra que a las otras ´areas, en el sentido de que alrededor de una tercera parte del entrenamiento se dedica exclusivamente al ´algebra. La raz´on de esto es que nosotros consideramos que el a´lgebra es formativa para los alumnos, adem´as de que gran cantidad de problemas de las otras ´areas requieren conocimientos de a´lgebra. Los temas que se ense˜ nan en a´lgebra, no est´an pensados en el sentido de esperar alg´ un problema que se resuelva con ese tema en espec´ıfico, sino con la idea de que ese conocimiento particular del tema pueda ayudar al estudiante a resolver varios problemas, que requieran ese tema como una parte de la soluci´on global del problema. Como un ejemplo importante a lo anterior, se podr´ıa mencionar el principio de inducci´on el cual, si se entiende y domina, es una herramienta poderosa en la resoluci´on de problemas, no s´olo en cualquier a´rea de la olimpiada, sino en las matem´aticas en general.

2.3.4.

El entrenamiento

Primera parte Aqu´ı se presentan los temas que consideramos preliminares del a´lgebra, es decir, los cuales se podr´ıan considerar b´asicos. Usualmente estos temas los cubrimos en tres sesiones de entrenamiento de 8 horas cada una, haciendo ´enfasis en la teor´ıa, con problemas como ejemplos, y no tanto en la resoluci´on de problemas tipo olimpiada. Esto se les presenta a los alumnos entre mayo y junio. 1. N´ umeros. Definir los diferentes tipos de n´ umeros con los cuales se trabaja, es decir, naturales, enteros, racionales, reales, etc. Su localizaci´on

´ ESTATAL CAP´ITULO 2. ORGANIZACION

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en la recta real, propiedades de las operaciones b´asicas de suma y multiplicaci´on, as´ı como la noci´on de orden. Sistemas num´ericos. Ejemplo t´ıpico de problema: mostrar que la ra´ız cuadrada de un primo no es un n´ umero racional. 2. Valor absoluto. Es importante que el alumno tenga claro este concepto pues nos lleva directamente a la desigualdad de tri´angulo. Adem´as de la definici´on, es conveniente ver las propiedades y resoluci´on de ecuaciones con valor absoluto. En el concurso nacional del 2004 apareci´o un problema con valor absoluto. 3. Productos notables. Entre m´as productos notables se conozcan, m´as herramientas y rapidez tiene el alumno para resolver cierto tipo de problemas. Una buena referencia es el libro de Baldor. Es muy importante conocer, por ejemplo, como elevar al cuadrado un binomio, trinomio, o alguna expresi´on con m´as de 3 t´erminos. Ejemplo, examen estatal segunda etapa 2014. 4. Factorizaci´on. En general, la factorizaci´on es el proceso inverso de los productos notables, por lo cual puede ser un poco m´as dif´ıcil de dominar. Es importante para el alumno conocer los diferentes tipos de factorizaci´on de sumas y diferencias de potencias n-´esimas, as´ı como la identidad de Sophie Germain. En problemas del tipo de mostrar que ciertas expresiones son compuestas, el conocimiento adecuado de factorizaci´on puede ser una herramienta muy u ´til. Un manejo adecuado de la factorizaci´on y productos notables, permite atacar problemas de sistemas de ecuaciones. 5. Desigualdades. Aqu´ı consideramos s´olo la desigualdad b´asica de que todo n´ umero elevado al cuadrado es mayor o igual que cero, as´ı como las desigualdades entre las medias. Es esencial el manejo de la desigualdad entre la media aritm´etica y geom´etrica. Una combinaci´on de desigualdades y factorizaci´on nos lleva a la desigualdad u ´til. 6. Parte entera y parte fraccionaria. Este tema es de los u ´ltimos que hemos incorporado ya que en muchos pa´ıses es frecuente ver este tipo de problemas. Los problemas t´ıpicos son ecuaciones con parte entera. Segunda parte

´ 2.3. ALGEBRA EN CUERNAVACA

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Consideramos ahora sumas y sucesiones muy particulares de n´ umeros. Esta parte es cubierta en dos sesiones de 8 horas cada una, durante el mes de julio. 1. Progresiones aritm´eticas. Se empieza con la pregunta t´ıpica de calcular la suma de los primeros n naturales, los primeros n pares o los primeros n impares. Se generaliza un poco, esto introduciendo el concepto de progresi´on aritm´etica. Ejemplo el problema de los tri´angulos. 2. Progresiones geom´etricas. Estas se introducen con el ejemplo t´ıpico de calcular la suma de las primeras n potencias de un n´ umero fijo. Ejemplo el problema de la pelota que rebota, adem´as nos da pie para empezar a hablar del infinito. 3. Otras sumas. Ver casos de sumas de n´ umeros que no forman parte de progresiones geom´etricas o aritm´eticas, como la suma de los cuadrados o cubos de los primeros n naturales. 4. Sumas telesc´opicas. Es una herramienta u ´til el hecho de conocer que ciertas sumas pueden ser calculadas de manera muy r´apida, si los sumandos se comportan de cierta forma. Tambi´en se puede introducir el concepto de producto telesc´opico. Tercera parte Para formalizar algunas cosas que han sido estudiadas en las primeras dos partes, es necesario el Principio de Inducci´on matem´atica. En esta parte damos un estudio detallado del principio, teorice y practico. Esta parte es cubierta en tres sesiones de 8 horas cada una, durante el mes de agosto. 1. El principio de inducci´on matem´atica. Se presenta la primera versi´on del principio y se les muestran a los estudiantes varios ejemplos que les permitan ver como se usa y el poder que tiene en matem´aticas. Los ejemplos son para resolver problemas de distintas a´reas de las matem´aticas. Es de especial inter´es mostrarles ejemplos donde al parecer la inducci´on no funciona, sin embargo al hacer ciertas modificaciones al problema, es posible mostrar un resultado m´as fuerte con la ayuda de inducci´on. Tambi´en se estudian las distintas versiones del principio con sus respectivos ejemplos. Aqu´ı la filosof´ıa es aprender por repetici´on, as´ı que hay que resolver varios problemas.

16

´ ESTATAL CAP´ITULO 2. ORGANIZACION 2. Coeficientes binomiales. Con la idea de estudiar el teorema del binomio de Newton, es necesario hacer un estudio detallado de los coeficientes binomiales desde el punto de vista algebraico. Adem´as de que es otro lugar donde es muy com´ un usar inducci´on. Ejemplo cualquier identidad con coeficientes binomiales. 3. Descenso infinito. Esta t´ecnica es un poco m´as avanzada, pero la incluimos como complemento a lo ya visto de inducci´on, y aplicada a problemas sencillos ya vistos, como mostrar que la ra´ız cuadrada de 2 no es un numero racional. 4. Pruebas err´oneas por inducci´on. Es com´ un durante el proceso de inducci´on, cometer algunos errores en los pasos, por lo cual mostramos varios ejemplos de situaciones donde hay errores y no son tan claros de identificar. Ejemplo todas las potencias de 2 son iguales a 1.

Cuarta parte Aqu´ı introducimos la teor´ıa de polinomios en los casos de grados peque˜ nos como 2 y 3. En particular se estudian las relaciones de Vieta y el discriminante de un polinomio cuadr´atico. Este material es cubierto en dos sesiones de 8 horas cada una, en el mes de septiembre. 1. Definici´on y propiedades de polinomios cuadr´aticos y c´ ubicos. Presentamos las definiciones b´asicas de polinomios de estos grados que se pueden extender a un polinomio de grado arbitrario. Tambi´en se introducen las relaciones de Vieta entre las ra´ıces de un polinomio y sus coeficientes. Ejemplo Alemania 1970. 2. Ra´ıces. Para conocer un polinomio es necesario conocer sus ra´ıces. En el caso de polinomios cuadr´aticos, es posible analizar las ra´ıces haciendo un estudio detallado del discriminante. Aqu´ı presentamos este estudio con un tinte geom´etrico, que nos puede llevar a entender los puntos extremos de esta clase de polinomios. Ejemplo factorizaci´on de la identidad cubica o una demostraci´on sencilla de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Parte final En las u ´ltimas semanas del entrenamiento, ya con un n´ umero reducido de estudiantes (alrededor de 10), las sesiones de algebra consisten en listas de problemas de algebra de diferente dificultad con las cuales se trabaja durante una o varias sesiones.

Cap´ıtulo 3 ´ Algebra y teor´ıa de n´ umeros En las a´reas de a´lgebra y teor´ıa de n´ umeros se estableci´o un temario b´asico y se trabaj´o en la creaci´on de problemas introductorios. Los problemas fueron clasificados por tema. Los encargados de dirigir la secci´on fueron C´esar P´erez Carrizales y Leonardo I. Mart´ınez Sandoval.

3.1.

Temario ´ algebra y teor´ıa de n´ umeros

Clasificaci´on de los n´ umeros Propiedades de los n´ umeros (operaciones, inversos) Operaciones b´asicas (simplificaci´on y factorizaci´on) N´ umeros primos, m´ ultiplos y divisores Criterios de divisibilidad Descomposici´on factorial M´aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo Algoritmo de la divisi´on Teorema del residuo Paridad Sumas notables (incluye Gauss) 17

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

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Sucesiones y patrones Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres Fracciones (comparaciones y operaciones) Jerarqu´ıa de operaciones Leyes de los exponentes Factorizaci´on y productos notables en a´lgebra Ecuaciones (lineales, cuadr´aticas, sistemas) Lenguaje algebraico Desigualdades Fracciones algebraicas Ley de los signos

3.2. 3.2.1.

Problemas ´ algebra y teor´ıa de n´ umeros N´ umeros naturales

Problema 1 Paridad ¿Cu´al de los siguientes n´ umeros es par? a) 2013 0.5cm

b) 201 × 3

c) 201 − 3

d) 201/3

Problema 2 Paridad Encontrar las parejas de primos p y q tales que p + q = pq. Problema 3 Paridad ¿Cu´al de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? a) 2003n

b)n2 + 2003

c) n2

d) 2n2 + 2003

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

19

Problema 4 Paridad Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar l´ıneas entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un ciclo. ¿Cu´al de los jugadores tiene estrategia ganadora? Problema 5 Paridad Si sabemos que el u ´ltimo d´ıgito del n´ umero 9n + 99n + 999n es igual a 3, muestra que n es par. Problema 6 Paridad En el pizarr´on est´an escritos once n´ umeros 1. Una posible operaci´on es tomar dos n´ umeros y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle 1 a uno de los n´ umeros y restarle 1 a otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en el pizarr´on once n´ umeros 10? Problema 7 Paridad En un cuarto hay dos focos y dos apagadores. Al principio, los dos est´an apagados. Totoro juega con los apagadores en total 15 veces. Cuando termina de jugar, ¿cu´antos focos siguen apagados?

3.2.2.

Propiedades de los n´ umeros (operaciones: suma, producto. Existencia de los inversos)

Problema 8 Propiedades de los n´ umeros Cuatro tarjetas tienen un n´ umero escrito de un lado y una frace del otro. Las cuatro fraces son “m´ ultiplo de 7”, “primo”, “impar” y “mayor que 100”. Los cuatro n´ umeros son: 2,5,7 y 12. En cada tarjeta el n´ umero escrito de un lado no corresponde con la frace escrita del otro. ¿Cu´al es el n´ umero que est´a escrito en la tarjeta que dice “mayor que 100”?. a) 2

b) 5

c) 7

d) 12

e) imposible de determinar

Problema 9 Operaciones b´asicas Si efectuamos el producto de todos los impares comprendidos entre el 1 y el 2014, ¿Cu´al es la cifra de las unidades del n´ umero as´ı obtenido? Problema 10 Operaciones b´asicas Utilizando los d´ıgitos 1, 9, 9 y 8 en ese orden, y los s´ımbolos +, −, × y /, expresa los n´ umeros 7 y 10.

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

20

Problema 11 Operaciones b´asicas En una tarea Alberto saco 80 de calificaci´on y as´ı elevo su promedio de 68 a 69 ¿Cu´antas tareas hab´ıa antes de la u ´ltima? Problema 12 Operaciones b´asicas Una de las siguientes expresiones no es igual a −1. ¿Cu´al es? 

a) −

− √13 169 20 19 × 1 2

×

18 3

×

b) −100+99−98+...+2−1 25
1 . . . × 20

c)

63 √ 36

3

8

−6

d)

Problema 13 Operaciones b´asicas El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45, ¿Cu´al es el mayor de esos tres n´ umeros? Problema 14 Sumas Calcula el valor de la siguiente suma 99 − 97 + 95 − 93 + · · · + 3 − 1. Problema 15 Sumas ¿Cu´al es el resultado de la siguiente operaci´on? 1 − 2 − 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + . . . − 1998 − 1999 − 2000 Problema 16 Sumas Si S = 1 + 2 + 3 + . . . + 100, ¿Cu´antos signos + hay que cambiar por signos − para obtener 19991 en lugar de S? Problema 17 Sumas ¿Para que entero positivo n se satisface la ecuaci´on siguiente? 2006 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = 2 + 4 + 6 + . . . + 2n 2007 Problema 18 Sumas Si m y n son enteros y m < n, definamos m ⊕ n como la suma de todos los enteros entre m y n, incluyendo a m y n. Por ejemplo, 3 ⊕ 6 = 3 + 4 + 5 + 6 = 18. ¿A qu´e es igual (1 ⊕ 18) − (2 ⊕ 17) + (3 ⊕ 16) − · · · + (9 ⊕ 10)?

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

21

Problema 19 Sumas Observa que: 13 23 33 43

= = = =

1 3+5 7 + 9 + 11 13 + 15 + 17 + 19

Entonces 503 es igual a: 1.

a) 2061 + 2063 + · · · + 2157 + 2159 b) 2161 + 2163 + · · · + 2257 + 2259 c) 2257 + 2259 + · · · + 2353 + 2355 d) 2353 + 2355 + · · · + 2499 + 2451 e) 2451 + 2453 + · · · + 2547 + 2549

Problema 20 Propiedades de los n´ umeros Si Y es un n´ umero tal que 2006 = 2005 + 2007 − Y . Entonces Y vale a) 2005

b) 2006

c) 2007

d) 2008

Problema 21 Propiedades de los n´ umeros Si se sabe que 1 1 1 1+ + + + ... = A 4 9 16 ¿cu´al es el valor de 1+ a) 34 A

b) 34 A

1 1 1 + + + . . .? 9 25 49 c) 54 A

d) 54 A

Problema 22 Propiedades de los n´ umeros Un n´ umero de tres cifras es equilibrado si una de sus cifras es el promedio de las otras dos, por ejemplo, 258 es equilibrado pues 5 = 2+8 . ¿Cu´antos 2 n´ umeros equilibrados de tres cifras hay?

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

22

Problema 23 Propiedades de los n´ umeros Muestra que la siguiente igualdad no es posible para enteros positivos x, y y z: nxo ny o nz o + + = 2. 2 3 5 Aqu´ı {a} denota la parte fraccionaria de a. Problema 24 Propiedades de los n´ umeros En la expresi´on AAB × B = CB5B, cada una de las letras A, B y C denota un d´ıgito diferente. ¿Cu´ales son los valores de A, B y C?

3.2.3.

Sucesiones y patrones num´ ericos

Problema 25 Sucesiones Considera la sucesi´on 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .. El n´ umero colocado en el lugar 100 es... a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

Problema 26 Patrones Empiezas con el n´ umero 1. Una “operaci´on” consiste en multiplicar el n´ umero por 3 y sumarle 5. ¿Cu´al es la cifra de las unidades despue´es de aplicar la operaci´on 1999 veces? a) 1

b) 2

c) 8

d) 9

Problema 27 Patrones Analiza los dibujos que se muestran a continuaci´on

1.

a) Dibuja dos V que contiene la sucesi´on dada. b) ¿Es posible que una V tenga 100 puntos?, ¿Por qu´e? c) ¿Cu´antos puntos tendr´a el sexto t´erminos de la sucesi´on? d) ¿A qu´e sucesi´on de n´ umeros corresponder´a esta sucesi´on V? ¿Cu´ al ser´ıa la expresi´on general que describe a la sucesi´on?

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

23

Problema 28 Patrones Analiza la siguiente sucesi´on de n´ umeros 85, 83, 81, 79, 77, 75, . . . 1.

a) ¿Cu´al es el patr´on utilizado para formarla? b) ¿Qu´e propiedad poseen los n´ umeros de la sucesi´on? c) ¿Puedes anticipar que tipo de n´ umeros no estar´an en ella? d ) Escribe una f´ormula para est´a sucesi´on.

Problema 29 Patrones Empiezas con el n´ umero 1. Una operaci´on consiste en multiplicar el n´ umero por 3 y sumarle 5. ¿Cu´al es la cifra de las unidades despu´es de aplicar la operaci´on 1999 veces? Problema 30 Progresi´on aritm´etica Se tiene una progresi´on aritm´etica continua donde la suma de sus cuatro t´erminos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28, encuentra al extremo mayor. Problema 31 Progresi´on geom´etrica En una progresi´on geom´etrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los t´erminos medios son consecutivos ¿Cu´al es la suma de los t´erminos medios? Problema 32 Sumas Se tienen n n´ umeros enteros tales que su suma es 1230, al primero se le suma 1, al segundo se le suma 3, y as´ı sucesivamente hasta el n-´esimo al cual se le suma 2n − 1.Despu´es de esto el resultado de la suma es 2014. ¿Cu´antos n´ umeros hab´ıa originalmente?.

3.2.4.

Porcentajes

Problema 33 Porcentajes A un empleado le han aumentado un 20 % a su sueldo anterior y ahora gana 6000 pesos. ¿Cu´anto ganaba antes? Problema 34 Porcentajes Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente se quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qu´e porcentaje de jugo hay en la mezcla final?

24 a) 24 %

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS b) 36 %

c) 30 %

d) 27 %

Problema 35 Porcentajes Si Juan ganaba $15000 mensuales y este mes le pagaron $17250. ¿En qu´e porcentaje aument´o su sueldo? a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

Problema 36 Porcentajes A una fiesta el 25 % de los asistentes son mujeres. Si hay 90 hombres, ¿cu´antas mujeres fueron a la fiesta? a) 30 b) 25 c) 15 d) 45 Problema 37 Porcentajes En una tienda, una blusa costaba $1200, pero por ser fin de temporada rebajaron su costo en 50 %. Como segu´ıa sin venderse, hicieron un descuento del 25 % sobre el nuevo precio. ¿Cu´anto cuesta ahora la blusa? a) 150

b) 300

c) 450

d) 500

Problema 38 Porcentajes David compr´o un panqu´e. Reparti´o la mitad con sus compa˜ neros. De lo que qued´o, reparti´o la mitad con sus amigos y del u ´ltimo pedazo reparti´o la mitad con su familia. ¿Qu´e porcentaje del panqu´e le qued´o? a) 25

b) 12,5

c) 50

d) 75

Problema 39 Porcentajes Dos lados paralelos de un cuadrado se aumentan un 10 % y los otros dos lados se disminuyen en un 10 %. ¿C´omo cambia el ´area del cuadrado original? a) Aumenta 10 % d) Disminuye 1 %

b) Aumenta 1 %

c) Disminuye 10 %

Problema 40 Porcentajes Si M es el 30 % de Q, Q es el 20 % de P y N es el 50 % de P . ¿Cu´anto vale M ? N

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

3.2.5.

25

M´ ultiplos y divisores

Problema 41 Criterios de divisibilidad Considera los n´ umeros de cinco d´ıgitos x = 2014b y y = 4102a (es decir, a y b son d´ıgitos, no est´an multiplicados). Sabemos que 4 divide a y, que 2 no divide a x y que 3 divide a y −x. ¿Cu´ales son los posibles valores para |a−b|? Problema 42 Criterios de divisibilidad Si N = 20142014a2014b en donde a y b son d´ıgitos y sabemos que 132 divide a N , ¿cu´anto vale a + b? Problema 43 Criterios de divisivilidad ¿Cu´al es la suma de todos los enteros positivos n que dejan 15 como residuo al dividir 141 entre n? Problema 44 Criterios de divisivilidad ¿Cu´antos m´ ultiplos de 33 menores a 102014 hay que todos sus d´ıgitos sean unos? Problema 45 Criterios de divisivilidad El n´ umero d456d es divisible entre 18. Si d es un d´ıgito, ¿cu´al es su valor? Problema 46 Criterios de divisivilidad Encuentra el menor entero positivo que sea igual a 5 veces el producto de sus d´ıgitos. Problema 47 Divisores Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente 3 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qu´e n´ umero es a6 ? a) 9

b) 49

c) 121

d) 169

Problema 48 Divisores Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente 7 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qu´e n´ umero es a3 ? a) 64

b) 729

c) 15625

d) 3125

Problema 49 Descomposici´on de factores Sea n un entero mayor que cero tal que los n´ umeros n × 1998 y n × 2695 son cuadrados perfectos. Encuentra el menor valor que cumple el enunciado.

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

26

Problema 50 Ecuaciones en enteros Ver´onica y su amigo Julio entraron a una librer´ıa de Bah´ıa Blanca y compraron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el due˜ no no ten´ıa cambio para cobrarle a ninguno de los dos. Entonces Julio ofreci´o pagarle con un billete de $50 y as´ı pudo darle el vuelto. Al ver esto, Ver´onica sac´o un billete de $50 y el librero pudo cobrarle a ella tambi´en. ¿Cu´al es el n´ umero m´ınimo de billetes que pod´ıa tener el librero cuando llegaron los amigos?. NOTA: Los billetes en circulaci´on son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1. Problema 51 Ecuaciones en enteros En sus primeros cinco ex´amenes, que el profesor califica con notas enteras entre 0 y 10 inclusive, Ramiro obtuvo: 3, 4, 7, 10 y 9. Despu´es de rendir el siguiente examen, el promedio de sus seis notas result´o un n´ umero entero. Al rendir el s´eptimo examen, el promedio de sus siete notas fue nuevamente un n´ umero entero. Calcular las notas que pudo sacarse Ramiro en el sexto y s´eptimo examen. Dar todas las posibilidades. Problema 52 Ecuaciones en enteros Un n´ umero se multiplica por 2, despu´es se le suma 1, luego el resultado se multiplica por 3 y finalmente se le suma 2. ¿Cu´al de los siguientes n´ umeros no puede ser el resultado? a) 59

3.2.6.

b) 71

c) 77

d) 85

Maximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo

Problema 53 MCD Se tienen tres varillas de 60cm, 80cm y 100cm de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre, ni falta nada. Encuentra tres longitudes posibles para cada pedazo. Problema 54 MCD Se tienen 3 cajas que contienen 1600 kg, 200 kg y 3392 kg de jab´on respectivamente. El jab´on de cada caja est´a divido en bloques del mismo peso en todas las cajas y es del mayor peso posible. ¿Cu´anto pesa cada bloque y cu´ants bloques hay en cada caja?

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

27

Problema 55 MCD Juan tiene un terrreno de forma rectagular de 40 metros de ancho y 96 metros de largo. Si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada parcela tres ´arboles, ¿Cu´al es el m´ınimo n´ umero de ´arboles que podr´ıa sembrar en todo su terrreno? Problema 56 MCD En una fiesta se tienen canastas con fruta. En la de manzanas hay 24, en la de los pl´atanos hay 16, en la de las peras hay 80, en la de los mangos 32 y en la de los kiwis 40. Si a cada persona en la fiesta le toco la misma cantidad de fruta de cada clase, ¿cu´al es el m´aximo n´ umero de personas que hab´ıa? a) 10

b) 6

c) 8

d) 5

Problema 57 MCM Andrea, B´arbara y Carlos van a una dulcer´ıa, Andrea compra cajas con 5 chocolates, B´arbara compra cajas con 10 paletas y Carlos compra cajas con 9 chicles. Si quieren tener la misma cantidad de dulces, ¿cu´antas cajas m´ınimo comprar´an entre los 3? Problema 58 MCM Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6 : 30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volver´an a coincidir en los 5 minutos siguientes. Problema 59 MCM ¿Cu´al es el menor n´ umero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de residuo 9? Problema 60 MCM Blanca, Rogelio y Mar´ıa tienen cuadernos, los quieren llevar a las escuelas y est´an empacados en cajas de 15 cuadernos chicos, 28 cuadernos medianos y 17 cuadernos grandes. Si quieren dejar el mismo n´ umero de cuadernos de cada tama˜ no, ¿cu´antas cajas deben dejar como m´ınimo en cada escuela? Problema 61 MCM Ana, Antonio, Rodrigo y Mar´ıa corren en una pista circular. Ana tarda 12 minutos en completar una vuelta, Antonio tarda 15, Rodrigo 20 y Mar´ıa 16. Si a las 10:28 empiezan juntos en la meta, ¿a qu´e hora se vuelven a encontrar ah´ı mismo?

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

28

Problema 62 MCM Juan y Antonio tienen la misma cantidad de dinero; se sabe que si la cantidad de dinero que tiene Juan se divide entre 11 le sobran 6 y que si la de Antonio se divide entre 13 a el le quedar´ıan 2, ¿Cu´al es la cantidad de dinero que tienen? Problema 63 MCM Un sol de cierta galaxia emite 3 diferentes rayos de la siguiente manera: el rayo alfa cada 16 segundos, el rayo beta cada 45 segundos y el rayo gama cada 140 segundos. Si en este momento se emiten al mismo tiempo los 3 rayos, ¿dentro de cuantos segundos se volver´an a emitir los 3 rayos al mismo tiempo?

3.2.7.

Fracciones

Problema 64 Fracciones Una bandera est´a formada por tres tiras del mismo tama˜ no como indica la figura. Cada una de las tiras se ha dividido en dos, tres y cuatro partes respectivamente. ¿Qu´e fracci´on del ´area de la bandera est´a coloreada?

a)

5 9

b)

4 7

c)

3 5

d)

2 3

Problema 65 Fracciones Una pastilla pesa 4/7 de onza, Juan toma 3/4 partes de ella, ¿Qu´e fracci´on del total consumi´o Juan? Problema 66 Fracciones Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qu´e fracci´on del pastel qued´o despu´es de cortar 3 veces? Problema 67 Fracciones La maestra dej´o leer un libro. Mariana ha le´ıdo 34 partes, Juan lleva 13 y Daniela 58 . Del libro. ¿En cu´al de las opciones se indica el orden del que ha le´ıdo m´as al que ha le´ıdo menos?

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

29

1. Mariana, Daniela, Juan 2. Mariana, Juan, Daniela 3. Juan, Daniela, Mariana 4. Daniela, Mariana, Juan Problema 68 Fracciones ¿De cu´antas formas se puede escribir

1 14

en la forma a7 + 2b con a y b enteros?

Problema 69 Fracciones Considerando el orden de las fracciones 69 , 67 , 97 , ¿d´onde debe ir 87 ? 1. Antes de 2. Entre

6 9

y

3. Entre

7 6

y

6 9 7 6

4. Despu´es de

9 7 9 7

Problema 70 Fracciones Si x > 5, ¿cu´al de las siguientes fracciones es la menos?Mariana, Daniela, Juan 1.

5 x

2.

5 x+1

3.

5 x−1

4.

x 5

5.

x+1 5

Problema 71 Fracciones Si ab = b+c , ¿cu´al es el valor de cb ? x5 a 1.

a2 +b2 b2

2.

a2 −b2 b2

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

30 3.

a3 −b b2

4.

a3 −b3 a+b

5.

a2 b2

Problema 72 Fracciones ¿A qu´e es igual el producto: 1 11 11 1  1 −3 −5 −7 − 2 4 6 · · · 48 1 1 1 1 1 1 1 −4 −6 −8 − 3 5 7 49

3.2.8.

1  49 ? 1 50

Orden

Problema 73 Orden ¿Qu´e n´ umero es menor, (−1)5 o (−1)4 ? Problema 74 Orden Ordena los siguientes n´ umeros de menor a mayor: 15,

20 18 , 5, 3

6y

72 . 7

Problema 75 Orden Ordena de menor a mayor los n´ umeros (−2)(19)(53), (−2)(19)(−53) y (2)(−19)(52). Problema 76 Orden Ordena los siguientes n´ umeros de mayor a menor: 0,5,

3 4 1 , , 2 7 5

y 34 .

Problema 77 Orden Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se enumera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atr´as ¿en qu´e n´ umero de fila est´a el asiento 375? Problema 78 Orden De la lista 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, · · · ¿Qu´e n´ umero est´a en la posici´on 2016? a) 65

b) 45

c) 56

d) 63

Problema 79 Orden Se tienen 6 tarjetas con los siguientes n´ umeros 309, 41, 2, 5, 68, 7 . ¿Cu´ al es el mayor n´ umero que se puede formar usando sumas, multiplicaciones y par´entesis.

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

3.2.9.

31

Sumas de Gauss

Problema 80 Sumas de Gauss Ubicar los n´ umeros 1-2-3-4-5-6-7-8-9 en los casilleros de esta cuadr´ıcula de modo que: el 9 ocupe el centro, los n´ umeros de la primera fila sean todos impares y la suma de los n´ umeros de cada fila y de cada columna sea la misma.

Problema 81 Sumas de Gauss ¿Cu´al es el d´ıgito de las unidades de (1 + 12 ) + (2 + 22 ) + . . . + (2000 + 20002 )? Problema 82 Sumas de Gauss Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes, como se muestra en la figura.

¿Cu´antos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos? Problema 83 Sumas de Gauss ¿Cu´antas perlas en total (blancas y negras) tiene este collar?

Problema 84 Sumas de Gauss Observa c´omo est´a construida la pared; de ella s´olo se muestran los u ´ltimos cuatro niveles. La base de esta pared tiene 17 bloques. ¿Cu´antos bloques se utilizaron en total para, construir esta pared?

32

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

Problema 85 Sumas de Gauss De los siguientes n´ umeros ¿cu´al es m´as grande? x = 1998(1 + 2 + 3 + . . . + 1999) y = 1999(1 + 2 + 3 + . . . + 1998) Problema 86 Sumas de Gauss Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos conjuntos A y B tales que A contenga 70 n´ umeros, B contenga 30 n´ umeros, y la suma de todos los n´ umeros de A sea igual a la suma de todos los n´ umeros de B. Problema 87 Sumas de Gauss Hallar la suma de todos los n´ umeros que son permutaciones de los d´ıgitos 1,2,3,4 y 5. Esto es 12345 + 12354 + . . . + 54321. Problema 88 Sumas de Gauss Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas) menores que uno y cuyo denominador es 1991.

3.2.10.

Operaciones b´ asicas con lenguaje algebraico

Problema 89 Expresiones algebraicas El per´ımetro de un tri´angulo est´a determinado por la expresi´on 26a + 4b − 9 y dos de sus lados por las expresiones 13a − b − 8 y 5a + 7b − 5. Determina la expresi´on del lado faltante.

3.2.11.

Leyes de los signos

Problema 90 Ley de los signos Paty escoge dos n´ umeros de la lista −9, −7, −5, 2, 4, 6 y los multiplica. ¿Cu´ al es el menor resultado que puede obtener? a) −63

b) −54

c) −18

d) −10

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

33

Problema 91 Ley de los signos ¿Cu´al es el valor de las siguiente operaci´on: 3 + (2 − 4) × 3 (5 − 2) − (7 − 2)? a) −20

b) 4

c) −27

d) 9

Problema 92 Ley de los signos ¿Cu´al es el resultado de hacer la siguiente operaci´on: 3 − (2 + 4 × 3 − 5) + 4 (6 − 8 + 13 − 7)? a) 6

3.2.12.

b) 24

c) 10

d) 16

Simplificaci´ on de fracciones algebraicas

Problema 93 Fracciones algebraicas
m−1
n+1 = 1, entonces m es igual a Si n > 1 y m n a) n − 1

b) n + 1

c) 2n

d)

√

Problema 94 Fracciones algebraicas De la fracci´on algebraica 2x3 − 3x2 − 5x + 6 2x3 + 3x2 − 8x − 12 obtenga otra equivalente y que sea reducida.

3.2.13.

Exponentes

Problema 95 Exponentes ¿Qu´e n´ umero es mayor? √ a) 2 b) 31/3

c) 41/4

d) 51/5

Problema 96 Exponentes ¿Cu´anto es la suma de las cifras del n´ umero N = 1092 − 92? Problema 97 Exponentes ¿Cu´al de los siguientes n´ umeros es m´as grande? a) 212

b) 415

c) 811

d) 128

e) 326

n2 + 1

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

34

Problema 98 Exponentes ¿Cu´antas cifras tiene el n´ umero 21998 × 52002 ? Problema 99 Exponentes ¿Qu´e n´ umero es mayor, 22013 52014 o 22015 52013 ? Problema 100 Exponentes Si 3x+y = 81 y 25y/2 = 5, ¿cu´anto vale x? Problema 101 Exponentes ¿Para qu´e entero positivo j es 22 + 25 + 2j un cuadrado perfecto? Problema 102 Exponentes Reduce la siguiente fracci´on a su m´ınima expresi´on: 22014 + 22012 . 22014 − 22012 Problema 103 Exponentes Si 4x − 4x−1 = 24, ¿cu´anto vale (2x)x ?

3.2.14.

Productos notables

Problema 104 Productos notables ¿Cu´al es el resultado de la siguiente suma? 1 1 1 1 √ +√ √ +√ √ + ··· + √ √ 1+ 2 2+ 3 3+ 4 49 + 50 √ √ b) 10 c) 50 d) 1 e) 50 − 1 √

a) 6

Problema 105 Productos notables ¿Cu´al es el valor de 653355792 − (56335591)(56335567)? Problema 106 Productos notables ¿Cu´al es le valor de 9999999992 − 1? Problema 107 Productos notables Sea N = |999{z · · · 9} ¿Cu´anto vale la suma de los d´ıgitos de N 3 ? 2014 veces

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

35

Problema 108 Productos notables Sean a y b n´ umeros que cumplen a + b = 1 y a2 + b2 = 2. Encuentra el valor de a3 + b3 . Problema 109 Productos notables Sean x y y dos n´ umeros tales que x + y = 3 y xy = 1. Encuentra el valor de x3 + y 3 . Problema 110 Productos notables Encuentra dos n´ umeros enteros a y b que cumplan a + b + ab = 2013. Problema 111 Productos notables Si a y b son n´ umeros positivos distintos que cumplen a2 + b2 = 4ab, hallar el
a+b 2 . valor de a−b Problema 112 Productos notables Si x2 + y 2 = 6xy con x 6= y, ¿a qu´e es igual

3.2.15.

x+y ? x−y

Factorizaci´ on

Problema 113 Factorizaci´on Si a4 +4b4 = 20 con a y b enteros positivos, determina el valor de a2 −2ab+b2 . Problema 114 Factorizaci´on Encuentra todos los n´ umeros m y n tales que: 1 3n! 21 m2 + = + . 8! 7! 4 · 7! 8! Problema 115 Factorizaci´on El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qu´e edad tuvo el hijo de Pedro a su hijo? Problema 116 Factorizaci´on El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qu´e edad tuvo el hijo de Pedro a su hijo?

36

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

Problema 117 Factorizaci´on El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qu´e edad tuvo el hijo de Pedro a su hijo? Problema 118 Factorizaci´on El producto de las edades de Juan y sus dos nietos es 2013. ¿Cu´antos a˜ nos tiene el nieto m´as joven? Problema 119 Factorizaci´on Encuentra todos los enteros n tales que el n´ umero (n2 − n + 1)(n2 + 3n + 1) sea un n´ umero primo positivo.

3.2.16.

Ecuaciones

Problema 120 Ecuaciones Escribe los n´ umeros 21, 147, 2015 como suma de dos enteros consecutivos. Problema 121 Ecuaciones ¿Es posible escribir al 21 como suma de 3 enteros consecutivos? Problema 122 Ecuaciones ¿Es posible escribir a 21 como suma de 6 enteros consecutivos? Problema 123 Ecuaciones La suma de cuatro enteros consecutivos es 1994. ¿Cu´al es el menor de los cuatro n´ umeros? Problema 124 Ecuaciones ¿Cu´anto vale x en la siguiente figura?

81cm2

a) 2cm

b) 7cm

c) 9cm

18cm2

x

x

d) 10cm

e) 11cm

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

37

Problema 125 Ecuaciones Ra´ ul, V´ıctor y Teresa recogen pelotas en un campo de golf. Ra´ ul junto el doble de pelotas que Teresa y ´esta 5 m´as que V´ıctor. Si en total recogieron 35 pelotas, ¿cu´antas recogi´o Teresa? Problema 126 Ecuaciones En una caja hay canicas rojas, verdes y azules. Las rojas son el triple de las azules y las azules el triple de las verdes y en total hay 65 canicas. ¿Cu´antas canicas rojas hay? Problema 127 Ecuaciones En el diagrama se ven dos reglas; la de arriba, de 10 cm de longitud, dividida en 10 partes de 1 cm, y la de abajo, de 9 cm de longitud, tambi´en dividida en 10 partes iguales. Si el extremo derecho de la cuarta divisi´on de la regla de abajo coincide con el extremo derecho de la s´eptima divisi´on de la regla de arriba, calcular la distancia entre los puntos marcados A y B. A

B

Problema 128 Ecuaciones cuadr´aticas Hay s´olo dos valores de a para los que la ecuaci´on 4x2 + ax + 8x + 9 tiene una u ´nica soluci´on para x. ¿Cu´anto vale la suma de esos dos valores?

3.2.17.

Sistemas de ecuaciones

Problema 129 Sistemas de ecuaciones El rect´angulo de la figura est´a formado por 6 cuadrados. La longitud de cada uno de los lados del cuadrado es 1 cm. ¿Cu´al es la longitud del lado del cuadrado m´as grande?

1

1

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

38 a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

Problema 130 Sistemas de ecuaciones En una feria la entrada para los adultos cuesta $90 y para los ni˜ nos $55. Si cierto d´ıa el n´ umero de adultos que asisti´o es una tercera parte del n´ umero de ni˜ nos y en las entradas se recaudaron $25500, ¿cu´antos ni˜ nos fueron a la feria? a) 300

b) 100

c) 600

d) 200

Problema 131 Sistemas de ecuaciones Consideramos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del mont´on A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas momo hay en C y del C pasamos al A tanta como existen ahora en el A, tendremos el mismo n´ umero canicas en cada mont´on. ¿Cu´antas canicas hab´ıa en principio en el mont´on A? Problema 132 Sistemas de ecuaciones El entrenador m´as experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un elefeante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cu´antos minutos tardar´an el entrenador y su hijo en lavar tres elefantes trabajando juntos? Problema 133 Sistemas de ecuaciones La yerba en un prado crece con densidad y rapidez homog´eneas. Sabiendo que 70 vacas consumen la yerba en 24 d´ıas y 30 vacas la comen en 60 d´ıas, ¿Cu´antas vacas consumir´an la yerba en 96 d´ıas? Problema 134 Sistemas de ecuaciones Encontrar el valor de xyz donde x, y y z son n´ umeros positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones 1 +z =9 y 1 x2 + − z = 3 y 1 x2 − + z = 5. y x2 +

a)

1 15

b)

1 3

c)

1 2

d) 3

´ ´ 3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

39

Problema 135 Sistemas de ecuaciones Encuentra las soluciones enteras positivas del sistema w + x = yz y + z = wx.

3.2.18.

Desigualdades e inecuaciones

Problema 136 Desigualdades ¿Cu´antos enteros n hay tales que 22n ≥ n2 + 120? Problema 137 Desigualdades Una f´abrica de paletas vende cada paleta a $5 y hacer una paleta cuesta $3. Si adem´as la f´abrica gasta $600 cada mes en el transporte de las paletas, ¿cu´al es el m´ınimo n´ umero de paletas que se deben vender para tener ganancias? Problema 138 Desigualdades Beto tiene 16 a˜ nos menos que Pedro y las edades de Beto y Pedro suman menos de 70 a˜ nos. ¿Cu´al es la m´axima edad que puede tener Pedro? a) 43 b) 42 c) 41 d) 44 Problema 139 Desigualdades Rosa y Petra hacen su´eteres y 2 veces el n´ umero de su´eteres que hace Rosa, menos el n´ umero de su´eteres que hace Petra es 24. Si el triple de su´eteres que hace Petra es mayor que 51, ¿cu´al es el m´ınimo n´ umero de su´eteres que pueden hacer entre las dos? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 Problema 140 Desigualdades Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57 encuentra la suma a + b. Problema 141 Desigualdades Rosa y Petra hacen su´eteres y 2 veces el n´ umero de su´eteres que hace Rosa, menos el n´ umero de su´eteres que hace Petra es 24. Si el triple de su´eteres que hace Petra es mayor que 51, ¿cu´al es el m´ınimo n´ umero de su´eteres que pueden hacer entre las dos? a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

40

´ ´ CAP´ITULO 3. ALGEBRA Y TEOR´IA DE NUMEROS

Problema 142 Desigualdades Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12. ¿Cu´al es el valor m´as grande de la suma xyz + xy + yz + zx? a) 62

b) 72

c) 102

d) 112

Problema 143 Desigualdades √ √ √ √ Entre los n´ umeros 7 + 10 y 3 + 19 escribir el s´ımbolo adecuado, o =. Problema 144 Desigualdades geom´etricas Demuestra que todos los rec´angulos de un per´ımetro dado P , el cuadrado es el que tiene mayor ´area. Problema 145 Desigualdades geom´etricas Demuestra que de los rect´angulos que tienen la misma ´area A, el de menor per´ımetro es el cuadrado. Problema 146 Desigualdades geom´etricas Demuestra que la suma de los catetos de un tri´angulo rect´angulo nunca excede √ 2. Problema 147 Desigualdades geom´etricas Demuestre que para cualquier ´angulo agudo α se tiene que tan(α) + cot(α) ≥ 2. Problema 148 Desigualdad del tri´angulo ?Cu´antos tri´angulos diferentes puedes hacer de modo que sus medidas sean n´ umeros del conjunto {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}? Problema 149 Desigualdad del tri´angulo Totoro tiene 10 popotes de distintos tama˜ nos y se dio cuenta de que no puede construir ning´ un tri´angulo con ellos. Si el m´as peque˜ no mide 1, ¿qu´e longitudes puede tener el m´as grande?

Cap´ıtulo 4 Combinatoria En combinatoria la din´amica fue propuesta y dirigida por Luis Miguel Garc´ıa Vel´azquez. Consisti´o en definir colaborativamente un temario y luego trabajar en secuencias en funci´on del temario propuesto. Una secuencia es una lista de problemas que cumple un objetivo de ense˜anza espec´ıfico. En este caso el objetivo fue cubrir los distintos temas b´asicos en el a´rea de combinatoria para olimpiada.

4.1.

Temario introductorio para combinatoria

El temario que se defini´o fue el siguiente Uso de conjuntos (operaciones b´asicas, subconjuntos) Organizar la informaci´on (listas ordenadas, separar por casos) Principio de adici´on y multiplicaci´on Diagramas de a´rbol Patrones en recursividad Principio de las casillas (elemental) “Contar” con repeticiones Patrones en problemas din´amicos: invarianza, estrategias ganadoras, coloraciones 41

CAP´ITULO 4. COMBINATORIA

42

4.2.

Problemas

A partir del temario, se trabaj´o por equipos para crear secuencias que tuvieran un problema de cada tema. A continuaci´on se enlistan todos los problemas propuestos. Para recuperar una secuencia para trabajo en el grupo, basta elaborar una lista tomando un problema de cada tema.

Problema 150 Principio de adici´on y multiplicaci´on En placalandia hay dos tipos de placas, las placas tipo A (alfabeto de 27 letras) y las placas tipo B que tienen 2 n´ umeros seguidos de 3 letras distintos. ¿Cu´antas placas distintas puede haber en placalandia?

Problema 151 Principio de adici´on ¿Cu´antos cuadrados existen que tengan sus lados en las aristas de la siguiente rejilla?

Problema 152 Principio de multiplicaci´on En la siguiente figura se permite caminar en cualquier direcci´on, excepto directamente hacia la izquierda. Si no se permite pasar dos veces por el mismo sitio, ¿cu´antos caminos existen del punto A al punto B?

Por ejemplo, un camino v´alido es el siguiente:

4.2. PROBLEMAS

43

Problema 153 Problemas din´amicos Se tienen 3 montones con 3, 4 y 5 piedras respectivamente, un jugador A comienza tomando una cantidad de piedras, tomando al menos una piedra y a lo m´as todas las piedras que puede en un mont´on, un segundo jugador B hace lo mismo en su turno. A´si contin´ uan alternadamente Gana el jugador que toma la u ´ltima piedra. ¿Qui´en puede tener la estrategia ganadora? Problema 154 Problemas din´amicos En una cuadr´ıcula de 4×4 se tiene un foco en cada casilla, ordenados como se presenta en la figura. Un movimiento permitido es elegir una fila (columna) y se encienden todos los focos apagados en esa fila (columna) y se apagan todos los focos encendidos en esa fila (columna). ¿Es posible mediante estos movimientos llegar a tener todos los focos encendidos? Nota: Los puntos negros son focos apagados, y los puntos blancos son focos encendidos.

Problema 155 Organizar informaci´on ¿De cuantas formas se pueden escoger 3 n´ umeros entre el 1 y 9 tal que su suma no sea m´ ultiplo de 3? Problema 156 Organizar la informaci´on Se tienen 6 casillas, tres blancas y tres negras. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar en una l´ınea recta?

44

CAP´ITULO 4. COMBINATORIA

Problema 157 Conteo En un intercambio de regalos hay 7 personas. ¿De cu´antas maneras es posible hacer el arreglo si cada uno debe dar y recibir un regalo? (Nadie debe recibir su propio regalo) Problema 158 Conteo ¿Cu´antas palabras diferentes pueden formarse utilizando todas las letras de la palabra matem´atica? Las palabras pueden no tener sentido, por ejemplo, timc. Problema 159 Patrones y recursividad Se tienen 2014 personas en un sal´on rectangular con 53 filas con 38 asientos cada una. Cada persona saluda a las personas que se encuentran a su alrededor (a lo m´as cuatro: atr´as, enfrente, izquierda y derecha) ¿Cu´antos saludos se dieron en total? Problema 160 Patrones y recursividad ¿Cu´antas diagonales tiene un pol´ıgono de n lados? Problema 161 Conjuntos e inclusi´on-exclusi´on ¿Cu´antos n´ umeros menores que 1000 no son m´ ultiplos de 3, ni de 5, ni de 7? Problema 162 Conjuntos e inclusi´on-exclusi´on ¿Cu´antos n´ umeros del 1 al 100 no son m´ ultiplos de 2, 3, y 5. Problema 163 Principio de las casillas En un caj´on se tienen 5 tipos de calcetines: azules, rojos, verdes, blancos y amarillos. ¿Cu´antos calcetines tengo que sacar para asegurar que salgan 2 calcetines del mismo color? Problema 164 Principio de las casillas Considera los n´ umeros 1, 4, 7, 10, ..., 100. A lo m´as, ¿cu´antos n´ umeros se pueden tomar de manera que la suma de cualesquiera dos de ellos no sea 104? Problema 165 Coloraci´on A un tablero de ajedrez se le cortan dos esquinas (opuestas), ¿ser´a posible cubrir totalmente el tablero con fichas de domin´o sin traslaparlas?

Cap´ıtulo 5 Geometr´ıa

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