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• Gaby Barragan Fonseca

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¡CUIDADO CON LOS PROMEDIOS¡ Cuéntase la anécdota de que una vez un agente viajero se hospedó en un hotel de lujo. El chico que ayudaba en el hotel le llevó el equipaje a la habitación y se quedó esperando la propina. El hombre, al advertirlo, le preguntó: “¿Qué propina te suelen dar los clientes de este hotel?”, “Un promedio de cinco dólares replicó el muchacho”. El hombre, aunque extrañado, sacó cinco billetes de un dólar y a regañadientes se los dio al muchacho. Este, con la cara iluminada de alegría, dio las más expresivas gracias al hombre y le dijo: “Usted es el primero que ha llegado al promedio”. Sin duda ese muchacho tenía una noción muy individualista de lo que era el promedio. Pero eso es lo que ocurre con los promedios. La palabra se originó como un término claramente definido en el lenguaje de los seguros, a base del hecho de que alrededor a algún valor central o “representativo” se suelen agrupar muchas clases de datos. Mas hoy el término tiene ya significados tan diversos que resulta irremediablemente confuso, a menos que vaya acompañado de credenciales bien determinadas. Pero desoriente o no, la palabra “promedio” la suelen usar mucho tanto el estadístico como una persona sin ningún conocimiento estadístico. Por lo pronto, se descarta desde ahora el abuso de la palabra: hablar de un “hombre promedio” o de un “clima promedio”etc, es no decir nada, aunque mucha gente hable así. Un hombre puede ser promedio con respecto a la estatura, el peso, los ingresos, el CI, inestabilidad emocional, o cualquier otra cualidad específica y medible. Pero el término de “hombre promedio” no dice nada, salvo quizá, que dicho hombre no sobresale en nada a simple vista. De la misma manera, el tiempo o el clima pueden ser promedio con respecto a la temperatura, humedad, pero no es “promedio” y nada más. Este vocablo, para que tenga significado preciso, ha de usarse de conjunto con alguna propiedad específica cuantificable. Los promedios que con más frecuencia se usan son la media aritmética, la mediana y la moda. Aunque menos usada también merece que se le conozca la media ponderada. Así pues, uno no se ha de dedicar a calcular el promedio venga como vinivere, sino que se debe seleccionar el promedio que proporcione el resumen menos distorsionado de los datos. La necesidad de escoger un tipo de promedio apropiado, antes de empezar los cálculos, resulta evidente. No obstante, se trata de algo que mucha gente pasa por alto porque piensa que un promedio es un promedio y, “¿para qué crearse problemas?”; pero el otro aspecto del asunto es que existe mucha gente que se percata muy bien de los distintos promedios que lleva el estadístico en su cartera, aunque quizá éste no tenga el mismo respeto por la verdad que tiene el estadístico profesional. Este es el grupo de personas que selecciona intencionalmente el promedio que más desorienta, para presentar los datos de manera errónea. Es necesario estar alerta contra los productos estadísticos de ambos grupos; tanto del estadístico no informado como del bien informado pero

falto de escrúpulos, porque aun partiendo del mismo conjunto de datos básicos pueden resultar promedios distintos , que difieran notoriamente unos de otros. Además, uno o más de tales promedios pueden ajustarse perfectamente bien en los datos, mientras que otros serán definitivamente inapropiados. Los promedios equivocados Suponga que en la última edición de la revista Vistazo hay un desplegado para que los comercios se anuncien en la revista. En dicha propaganda se dice: “El año pasado, los suscriptores de esta revista gastaron un promedio de 400 dólares en regalos”. Esa cifra de 400 dólares puede parecer impresionante, pero ¿Cuánta información nos proporciona? La respuesta es prácticamente ninguna. Le voy a rogar a usted que por el momento acepte la suposición absurda de que la revista sólo tenga siete suscriptores: Pérez, Gómez, García, Martínez, Moncada, Vásquez, y Suárez. Haciendo a un lado a Vásquez y a Suárez por el momento, suponga que los otros cinco suscriptores gastaron las siguientes cantidades en regalos, el año pasado: Pérez, 48 dólares; Gómez, 48 dólares; García, 50 dólares; Martínez, 60 dólares y Moncada, 70. Cuando se habla de “promedios” sin especificar el término se supone que se trata de media aritmética. En este caso, la media aritmética es (48 + 48 + 50 + 60 + 70)/ 5 = $55.20. Sin embargo, como se ha mencionado antes, de esas mismas cifras se pueden obtener otras clases de promedios, siendo las opciones más usadas la mediana y la moda. En nuestro caso, la mediana del gasto en regalos es de $50.0, porque 50 excede a los dos 48 pero es superado por los 60 y 70.La moda es 48.0. Por tanto, se tiene: media = 55.20; mediana = 50.00; moda = 48.00. Pero, cuál de esas cifras es la más representativa?. La respuesta dependerá por completo de cómo se empleen las cifras. En este ejemplo, quizá no importe mucho cuál es el promedio empleado, porque las tres cifras son más o menos la misma cantidad. Pero ahora tomemos en cuenta a Vásquez que es una persona de buena posición. Suponga que gastó 300 dólares en regalos, sólo en el año pasado. Ahora se tiene seis cifras: 48,48,50,60,70,300, que se deben promediar. Con la introducción de Vásquez la media aritmética se vuelve bastante impresionante: 96 dólares, que es exactamente el doble de la moda (que sigue siendo sólo 48 dólares), y considerablemente más que la mediana, que es 55 dólares. Ahora sí importa cuál será el promedio que se emplee. La media aritmética de 96 dólares es superior a las cinco cifras e inferior a sólo una, condición que indica que si se empleara como medida representativa desorientaría mucho. Llevando el ejemplo a un extremo aún más exagerado, tomemos en cuenta ahora a Suárez que gastó en regalos el año pasado 2 224 dólares. Se encuentra que la media aritmética aumenta ahora a 400

dólares, la cifra que aparecía en nuestro anuncio hipotético, mientras que la mediana son 60 dólares y la moda sigue siendo 48 dólares, lo mismo que antes. El que se pueda preferir la mediana o la moda como cifra representativa es debatible; pero una cosa está clara como el cristal, en la media aritmética repercute notablemente la cantidad gastada por Suárez, para que pueda ser representativa. Ahora hágase caso omiso de la suposición de que la revista tenía sólo 7 suscriptores sin denegar por eso lo que se acaba de afirmar. Independientemente de si el número de suscriptores es escaso o abundante, las cifras en regalos no se distribuirán simétricamente, donde media, mediana y moda son iguales. Esta distribución simétrica es la que probablemente el autor hubiera querido que el lector de l anuncio se imaginara. Pero los gastos en regalos depende de los ingresos personales, y éstos se distribuyen de una manera bastante escalonada (o asimétrica). En tal caso, la media aritmética como cifra representativa desorientaría, por las razones ya mencionadas. Si todo este asunto de las medias, medianas y modas lo han confundido a usted un poco, no se preocupe porque esos promedios confunden a buen número de gente muy preparada. Lo que ha de recordar usted como estudiante de estadística es: cuándo no le dicen ni qué tipo de promedio se ha usado ni la manera cómo se han distribuido los datos, será conveniente que mire el supuesto promedio con mucho recelo: quizá se haya empleado la media aritmética, intencionadamente o no, como instrumento, con el fin de exagerar lo que se lleva entre manos o para dar una impresión falsa

La semana pasada los tres salimos con 6 muchachas cuyas medidas de cintura promediaban 66 cm

Veamos: las medidas de cada una eran 60,60,67,68,69 y 72. de donde resulta una mediana de 67.5

Sí pero la moda era 60, y fui yo quien tuvo a las dos

Cuando se desprecia la dispersión

Dos estadísticos al enrolarse en el ejército fueron enviados al frente y puesto uno junto a otro. Ambos a la vez, divisaron a un soldado enemigo, apuntaron sus fusiles y abrieron fuego. Uno de los estadísticos, disparó medio metro hacia la derecha y el otro, medio metro hacia la izquierda. Se miraron el uno al otro, con el gozo pintado en la cara, se estrecharon efusivamente la mano y exclamaron: “¡Enhorabuena¡”. Está por demás decir que poco provecho sacaron de saber que, en promedio el soldado enemigo habría resultado muerto. En un caso como éste son los detalles triviales los que más importan, como el detalle de que el soldado enemigo estaba vivo, preparándose para devolver el disparo, mientras los estadísticos celebraban su hazaña imaginaria. La moraleja de esta anécdota descabellada es que a veces la dispersión es más importante que el promedio. Entiendo por dispersión la cantidad de diseminación de datos, esto es, el grado en que difieren entre sí unos de otros. Por ejemplo, el conjunto de números 3,3,3,3,3, no tiene dispersión. El conjunto, 1,3,5,7,9, tiene dispersión, pero no tanta como el conjunto 1, 5 10, 15, 30. Para expresar la dispersión como un número se han ideado muchas medidas formales. Entre éstas se encuentra el rango, la desviación media, la desviación estándar, el coeficiente de variación, etc. Por qué importa la dispersión Suponga, por ejemplo, que usted conoce a alguien que piensa tomar pronto un curso de estadística. Acude a usted para pedirle consejo sobre cuál de dos profesores – ya sea el profesor Franco o el profesor Pérez – debería escoger. Después de que le ha hecho algunas preguntas, usted se da cuenta de que esa persona se sentirá dichosa de aprobar el curso. Continúe suponiendo, por extraño que parezca, que lo único que le importa a esa persona es aprobar el curso. ¿Qué profesor le recomendaría? Me doy cuenta de que no está bien formular esa pregunta en este momento, porque no le he dicho nada a usted sobre los profesores Franco y Pérez. Dejémosla pues, hasta haber aprendido algo acerca de estos dos hombres que han de calificar. Repasando un poco las calificaciones que conceden, pronto se advierte que la nota promedio que suelen otorgar estos profesores para aprobar es C. ¿Será entonces indiferente por qué profesor opte? No necesariamente. Suponga que el profesor Franco raramente da otra calificación que A mientras que el profesor Pérez raramente da una calificación que no sea o A o F, ambas más o menos en la misma proporción. La opción lógica parecería ser el profesor Franco, puesto que diríase que considera que la mayoría de los alumnos son regulares. Está claro que obtener una calificación superior a C sería difícil, pero también sería poco probable obtener una calificación menor que C. Habría que evitar al profesor Pérez, quien considera quien considera que los alumnos son o excelentes o malos, aunque existe la posibilidad de obtener una calificación de A; pero la otra

posibilidad es también obtener una calificación F. Repitiendo el punto principal: a veces un promedio no proporciona por sí mismo suficiente información para realizar una decisión racional Se cuenta también otra anécdota, acerca de un oficial de intendencia que informó que el consumo promedio de víveres por soldado en el cuartel era adecuado. Pero tuvo problemas al tener que explicar cómo algunos mostraron indicios de desnutrición por haber recibido cantidades considerablemente inferiores al promedio, mientras que otros habían comido en exceso. Comparación de una observación única con un promedio A menudo se compara una observación única con un promedio, de donde aparecen resultados sorprendentes; sorprendentes, entiéndase, porque no se hace mención de la dispersión. Por ejemplo, un compañero suyo hace alarde ante usted de que puede hacer más flexiones que el promedio de todos los alumnos de la clase de educación física. ¿Qué es lo que ha dicho en realidad? Sólo que él está por encima del promedio de su clase a este respecto. No ha dicho que sea el mejor de la clase, ni siquiera uno de los mejores, aunque su jactancia se podría interpretar fácilmente en ese sentido. Sin conocimiento de la cantidad de la cantidad de dispersión que hay en torno al promedio, no se puede tener ni siquiera una idea lejana de cómo está él con relación a los demás. Siempre esté alerta frente a comparaciones donde se coteja una única observación con un promedio, a menos que sepa usted con certeza que existe muy poca dispersión en los datos. Cuando no se conoce la cantidad de dispersión, tales comparaciones no dicen gran cosa o nada.