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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME CULHUACÁN Carrera: Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Asignatura: Mecánica Cuántica SEXTO TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DEL PRIMER PARCIAL “RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO”

Alumno: 

Redondo Huerta Miguel Aldahir

Profesor: 

Rodríguez Sánchez Carlos

Grupo: 

4EV43

Fecha: 

26/Febrero/2019

ÍNDICE Desarrollo ..................................................................................................................... 3

Propiedades de la superficie de un cuerpo ................................................................. 3

El cuerpo negro .......................................................................................................... 4

La radiación del cuerpo negro .................................................................................... 4

La ley del desplazamiento de Wien ............................................................................. 6

La ley de Stefan-Boltzmann ........................................................................................ 7

Intensidad de la radiación emitida en una región del espectro .................................... 7

Conclusión................................................................................................................... 10

Referencias ................................................................................................................. 10

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Desarrollo Propiedades de la superficie de un cuerpo Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energía radiante, tanto desde el interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos que rodean al cuerpo. Cuando la energía radiante incide sobre la superficie una parte se refleja y la otra parte se transmite.

Consideremos la energía radiante que incide desde el exterior sobre la superficie del cuerpo. Si la superficie es lisa y pulimentada, como la de un espejo, la mayor parte de la energía incidente se refleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo y es absorbido por sus átomos o moléculas. Si r es la proporción de energía radiante que se refleja, y a la proporción que se absorbe, se debe de cumplir que r+a=1.

La misma proporción r de la energía radiante que incide desde el interior se refleja hacia dentro, y se transmite la proporción a=1-r que se propaga hacia afuera y se denomina, por tanto, energía radiante emitida por la superficie. En la figura, se muestra el comportamiento de la superficie de un cuerpo que refleja una pequeña parte de la energía incidente. Las anchuras de las distintas bandas corresponden a cantidades relativas de energía radiante incidente, reflejada y transmitida a través de la superficie.

Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiación es un buen emisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflector es un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor. 3

Una aplicación práctica está en los termos utilizados para mantener la temperatura de los líquidos como el café. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habiéndose vaciado de aire el espacio entre dichas paredes para evitar las pérdidas por conducción y convección. Para reducir las pérdidas por radiación, se cubren las paredes con una lámina de plata que es altamente reflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiación.

El cuerpo negro La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, en el que toda la energía incidente desde el exterior es absorbida, y toda la energía incidente desde el interior es emitida.

No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo refleja el 1% de la energía incidente.

Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir con gran aproximación por una cavidad con una pequeña abertura. La energía radiante incidente a través de la abertura, es absorbida por las paredes en múltiples reflexiones y solamente una mínima proporción escapa (se refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la energía incidente es absorbida.

La radiación del cuerpo negro Consideremos una cavidad cuyas paredes están a una cierta temperatura. Los átomos que componen las paredes están emitiendo radiación electromagnética y al mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de las paredes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de energía que emiten los átomos en la unidad de tiempo es igual a la que absorben. En consecuencia, la densidad de energía del campo electromagnético existente en la cavidad es constante. A cada frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente del material del que están hechas.

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Si se abre un pequeño agujero en el recipiente, parte de la radiación se escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a alta temperatura, y se ve completamente negro a bajas temperaturas.

Históricamente, el nacimiento de la Mecánica Cuántica, se sitúa en el momento en el que Max Planck explica el mecanismo que hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía observada. Max Planck sugirió en 1900 que 1. La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f. 2. Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en una cantidad hf. La segunda hipótesis de Planck, establece que la energía de los osciladores está cuantizada. La energía de un oscilador de frecuencia f sólo puede tener ciertos valores que son 0, hf, 2hf ,3hf …nhf. La distribución espectral de radiación es continua y tiene un máximo dependiente de la temperatura. La distribución espectral se puede expresar en términos de la longitud de onda o de la frecuencia de la radiación. dEf /df es la densidad de energía por unidad de frecuencia para la frecuencia f de la radiación contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (J·m-3) · s.

donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es k=1.3805·10-23 J/K. dEl /dl es la densidad de energía por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l de la radiación contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (J·m-3) · m-1.

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La ley del desplazamiento de Wien La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien. Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia

Obtenemos la ecuación trascendente

Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía dEl /dl por unidad de longitud de onda a distintas temperaturas T1, T2, T3, ..., se produce a las longitudes de onda l1, l2, l3...tales que

De modo similar en el dominio de las frecuencias

Obtenemos la ecuación trascendente

A medida que la temperatura T se incrementa el máximo se desplaza hacia longitudes de onda menores (mayores frecuencias). Como podemos comprobar el producto

no nos da la velocidad de la luz c como se podría esperar a primera vista, ya que estamos tratando con el máximo de una distribución que nos da la intensidad por unidad de longitud de onda o por unidad de frecuencia. La luminosidad de un cuerpo caliente no se puede explicar, como se indica en algunos textos, a partir de la ley del desplazamiento de Wien, sino a partir de la intensidad de la radiación emitida en la región visible del espectro, tal como veremos más abajo. Así, a temperaturas tan elevadas como 6000 K el máximo medido en el eje de frecuencias de la distribución espectral se sitúa en la región del infrarrojo cercano. Sin embargo, a esta temperatura una proporción importante de la intensidad emitida se sitúa en la región visible del espectro. 6

La ley de Stefan-Boltzmann La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.

Su unidad es (W·m-2) · m-1. La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia f, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.

Su unidad es (W·m-2) · s. La intensidad total en W·m-2, de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias).

o bien W=s ·T4, con s =5.670·10-8 (Wm-2K-4) Esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T. Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale s’=4s /c.

Intensidad de la radiación emitida en una región del espectro Vamos a calcular, la intensidad emitida por un cuerpo negro en una región del espectro comprendida entre las frecuencias f1 y f2, o entre las longitudes de onda l1=c/f1 y l2=c/f2

La fracción de la intensidad emitida en una región del espectro es el cociente entre la intensidad emitida en dicha región dividido por la intensidad total (ley de Stefan).

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Esta fracción no depende de lo de T sino del producto l T. Esto quiere decir que por ejemplo la fracción de la intensidad emitida por un cuerpo negro en la región del espectro comprendida entre 0 y 10 mm a 1000º K es la misma que la fracción de la intensidad emitida en la región comprendida entre 0 y 5 mm a 2000º K. Para calcular la integral definida se ha de emplear un procedimiento numérico, por ejemplo, el método de Simpson, o bien la aproximación que se explica a continuación. Se define la función F(x) a

El término 1-e-x en el denominador se puede expresar como suma de potencias de e-x desarrollando el binomio (1-z)-1=1+z+z2+z3+z4+…

Integrando por partes obtenemos la siguiente expresión para F(x)

Un pequeño programa de ordenador, nos permite calcular el valor de F(x1) y de F(x2) y a partir de la diferencia el valor de fracción de la intensidad emitida por el cuerpo negro en una región dada del espectro comprendida entre dos longitudes de onda o entre dos frecuencias. La intensidad total emitida en la región del espectro delimitada por las longitudes de onda l1 y l2 se obtiene

donde s ·T4 como se ha explicado, es la intensidad de la radiación emitida en todas las regiones del espectro. En la siguiente tabla, se proporcionan los datos acerca del tanto por ciento de la contribución de la radiación infrarroja, visible y ultravioleta a la radiación de un cuerpo negro a las temperaturas que se indican.

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Temperatura (K)

% infrarrojo

%visible

%ultravioleta

1000

99.999

7.367·10-4

3.258·10-11

2000

98.593

1.406

7.400·10-4

3000

88.393

11.476

0.131

4000

71.776

26.817

1.407

5000

55.705

39.166

5.129

6000

42.661

45.732

11.607

7000

32.852

47.506

19.641

8000

25.565

46.210

28.224

9000

20.154

43.247

36.599

10000

16.091

39.567

44.342



A baja temperatura prácticamente toda la radiación es infrarroja.



A muy alta temperatura la contribución de la radiación ultravioleta es cada vez mayor y la visible e infrarroja se hacen cada vez menores.



La contribución de la radiación visible alcanza un máximo aproximadamente a 7100º K.

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Conclusión Cuando un sistema de cuerpo negro se calienta a una temperatura adecuada emite radiación de todas las longitudes de onda posibles, es decir, energía. Esta radiación se llama radiación del cuerpo negro. El sistema más exacto que posee las propiedades del cuerpo negro es una cavidad isotérmica, cuya superficie tiene una temperatura uniforme. Cuando la radiación entra en la cavidad a través de una pequeña apertura, sufre múltiples reflejos en las paredes internas. Tras varios reflejos, la radiación será casi enteramente absorbida por la cavidad. La aplicación de las leyes concernientes al cuerpo negro (ley de la radiación, ley de Wien, ley de Planck) es con frecuencia útil… pero hay que recordar de estas páginas las condiciones físicas en las que se puede aplicar el modelo de cuerpo negro: la radiación tiene que ser testigo del equilibrio térmico del objeto considerado. Sin esta hipótesis, la aplicación de las leyes anteriores no puede ser utilizada y puede llevar a malas interpretaciones. En primera aproximación, las estrellas radian como cuerpos negros... pero las numerosas líneas de absorción pueden deformar el aspecto de distribución de la radiación. La radiación del fondo cosmológico es un excelente cuerpo negro.

Referencias      

Jain P. IR, visible and UV components in the spectral distribution of blackbody radiation. Phys. Educ. 31 pp. 149-155 (1996). http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mod6.html www.quimicafisica.com › QUÍMICA GENERAL › Teoría Cuántica www.fisica.unam.mx/personales/romero/.../Radiacion-Cuerpo-Negro-LIBRO.pdf https://docs.kde.org/trunk5/es/extragear-edu/kstars/ai-blackbody.html

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