• Author / Uploaded
• Gladis Perez

Citation preview

Universidad Autónoma de Chihuahua Ingeniería matemática Modelo y solución de una cuerda vibrante Matemáticas aplicadas 8FM José Luis Domínguez Pérez Gladis Janeth Pérez Mancinas José Manuel Ordoque Cázares Daniel Boudib Martínez Giselle Anaí Anchondo Villa

26 de marzo de 2012

214930 235360 226054 214902 225751

Índice

1. Introducción

1

1.1. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Desarrollo

1 2

2.1. Deducción de la ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.3. Ecuación de onda con distancias innitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3. Conclusiones

8

0

1.

Introducción

El presente trabajo tiene como propósito en general el estudio de los movimientos que desplegaría una cuerda teórica, que se encuentra anclada en sus dos extremos a puntos jos y que fuera desplazada de su situación de equilibrio por un agente externo. Empezaremos por deducir las ecuaciones que describen dicho movimiento, para luego pasar a resolverlas detalladamente. Esto nos permitirá analizar e interpretar los resultados obtenidos y poder asi llegar a una o varias conclusiones respecto al problema tratado. El estudio de las cuerdas vibrantes tiene una larga historia. Naturalmente, la razón consiste en el empleo musical, desde tiempo inmemorial, de cuerdas tensas. Nos interesan aquí, sin embargo, no los efectos musicales sino el hecho mecánico básico de que una cuerda, con ambos extremos jos, tienen un numero de estados de vibración natural bien denidos, Dichos estados se denominan vibraciones estacionarias, en el sentido de que cada punto de la cuerda vibra transversalmente con un movimiento armónico simple de amplitud constante, cuya frecuencia de vibración es la misma para todas las partes de la cuerda.

1.1. Marco teórico A continuación plasmaremos algunos puntos que debemos de considerar: • • • •

La cuerda es extensible. Inicialmente se encuentra sobre el eje de abscisas x. La posición de un punto de la cuerda viene descrita por su posición vertical y(x, t). La posición depende de x y y (función de dos variables).

Cuando se produce una perturbación de la cuerda de su situación de equilibrio, por ejemplo, mediante un desplazamiento lateral de la misma en un punto o, mediante percusión instantánea, podemos analizar el movimiento inducido en la cuerda. Bajo la hipótesis de que el desplazamiento de la cuerda desde su posición de equilibrio es muy pequeño en comparación con su longitud, podemos ignorar los movimientos longitudinales de un segmento pequeño(innitesimal) de cuerda y concentrarnos exclusivamente en el movimiento transversal. Utilizaremos algunos conceptos involucrados en el estudio del movimiento de la cuerda, que seria importante recordarlos. • Densidad lineal. La densidad lineal de una cuerda es la masa total de la cuerda divi-

dida por su longitud.

• F uncion acotada. Se dice que una función está acotada superiormente si existe algún número real k , que es mayor o igual que cualquiera de los posibles valores de la función f (x). Se dice que está acotada inferiormente si existe algún número real k , que es menor o igual que

1

cualquiera de los posibles valores de la función f (x). Si la función está acotada superiormente e inferiormente entonces, la función está acotada.

2.

Desarrollo

2.1. Deducción de la ecuación Para comenzar las deducciones, hay que considerar la tensión de la cuerda, es decir, la fuerza por unidad de área sobre un elemento de cuerda de longitud ∆x pequeño en un instante de tiempo t. T (x, t) = T

De acuerdo a la segunda ley de Newton, el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Entonces, como la tensión es una fuerza, la podemos denir como F = ma. Donde F es la fuerza, m es la masa de la cuerda y a es la aceleración. Como la fuerza es un vector, para analizarla debemos de descomponerla en su parte horizontal y vertical, dado un ∆x pequeño.

max = T (x + ∆x)Cosθ(x + ∆x) − T (x)Cosθ(x) may = T (x + ∆x)Sinθ(x + ∆x) − T (x)Sinθ(x)

(1) (2)

Como está sujeta la cuerda de ambos extremos, el movimiento solo está dado verticalmente. Por lo tanto: ax = 0, (3) además, al usar ángulos cercanos a cero, podemos deducir que el seno y la tangente tienen valores demostrado por series de Taylor: Sin(0)x2 Cos(0)x3 − ... 2! 3! 2Sec2 (0)T an(0)x2 2Sec4 (0) + 4Sec2 (0)T an2 (0) 3 T an(0) = T an(0) + Sec2 (0)x + + x ... 2! 3! Sen(0) = Sen(0) + Cos(0)x −

al sustituir los valores cercanos a cero, la serie de Taylor del seno queda de esta manera: Sen(0) = 0 + x −

x3 ... 3!

de igual manera con la serie de la tangente; sin embargo, hay que considerar que Sec2 (x) = tan2 (x) + 1. T an(0) = 0 + x +

2

2x3 ... 3!

Como se tomarán valores cercanos a cero, los términos que le siguen al primero también los tomarán. Por lo tanto, el despreciar esos valores será un error mínimo, por lo que podemos armar que: x 0 Escribimos λ = ω 2 con ω > 0, obteniendo la solución general. Xω (x) = aCos(ωx) + bSen(ωx)

(20)

Estas funciones son acotadas para todo ω > 0. Así todo número positivo λ = ω 2 es un valor propio, con función propia correspondiente aCos(ωx) + bSen(ωx) para a y b no ambos cero. 6

Puede incluir el caso 1 en el caso 3, ya que aCos(ωx) + bSen(ωx) = constante si ω =0. Ahora considere la ecuación para T , la cual puede escribir ahora como T 00 + c2 ω 2 T = 0 para ω ≥ 0. Esta tiene solución general T (t) = aCos(ωct) + bSen(ωct) (21) Ahora

∂y (x,0) = X(x)T 0 (0) = X(t)ωcb = 0 ∂t entonces b = 0. Así las soluciones para T son múltiplos constantes de

(22) (23)

Tω (t) = Cos(ωct)

para cualquier ω ≥ 0, ahora tiene una función (24)

yω (x, t) = Xω (x)Tω (t) = [aω Cos(ωx) + bω Sen(ωx)]Cos(ωct)

que satisface la ecuación de onda y la condición ∂y (x, 0) = 0 ∂t

(25)

necesita satisfacer la condición y(x, 0) = f (x). Para el problema similar en [0, L], teniamos una función yn (x, t) para cada entero positivo n, e intentabamos una superposición

∞ X n=1

Ahora los valores propios llenan toda la recta real no negativa, de manera que sustituye Z

∞

yn (x, t). ∞ X

con

n=1

...dω formando la superposición:

0

Z

∞

∞

Z yω (x, t)dω =

y(x, t) =

[aω Cos(ωx) + bω Sen(ωx)]Cos(ωct)dω

(26)

0

0

La condición del desplazamiento requiere que ∞

Z y(x, t) =

[aω Cos(ωx) + bω Sen(ωx)]dω = f (x)

(27)

0

La integral de la izquierda es la representación de Fourier en integral de f (x) para -∞ < x < ∞. Así elige las constantes como los coecientes de la integral de Fourier:

y

1 aω = π

Z

1 bω = π

Z

∞

f (g)Cos(ωg)dg

(28)

f (g)Sen(ωg)dg

(29)

−∞ ∞

−∞

7

3.

Conclusiones

Referencias

[1] [2] [3] .

8