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• Andrés Gonzales Lezama

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Se tiene que: n 

Sesión Nº 02

CUATRO OPERACIONES

Luego: S 

ADICIÓN

cantidades (sumandos)

1.

3. 4.

5.

6.

SUMA DE LOS NATURALES

PRIMEROS

S1 

n(n  1) 2

Ejemplo: hallar el valor de “A”. A = 1 + 2 + 3 + . . . + 10

ASOCIATIVA. Dadas ciertas cantidades de sumandos, la suma total también resulta al hacer grupos de sumandos. a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

A 2.

CONMUTATIVA. El orden de los sumandos no altera la suma total.

10 . 11  55 2

SUMA DE LOS CUADRADOS DE PRIMEROS NÚMEROS NATURALES S2  12  22  32  ...  n2 S2 

Ejemplo: Hallar el valor de “B”

UNIFORMIDAD. Si se tienen varias igualdades, estas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad.

B

B  12  22  32  ...  102

3.

MONOTONIA * a d.

b

a

d

c

?

El resultado no se puede anticipar (?)

7

b

b d

CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE La cantidad de cifras del cociente de dos números, puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor y como máximo la diferencia aumentada en una unidad. A  a cifras q B  b cifras

Recuerda que Dd

 rmáx  d  1

r q

¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener “q”?

Entonces:

Máximo : a – b + 1 Mínimo : a – b

b  a  12b  (b  1) a b  1 12 a  13b  1 .............(2)

CASO ESPECIAL

Igualando (1) y (2):

Cuando el numerador y denominador tienen varios factores Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo, tanto del numerador como denominador, mediante la regla del producto. Luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador, con el mínimo del denominador, análogamente para hallar el mínimo del cociente se compara el mínimo del numerador con el máximo del denominador, ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente.

107 + b = 13b – 1 12b = 108 b=9 Reemplazando el valor de “b” en (1) a = 107 + 9  a = 116  El mayor es 116 02.

Ejemplo: A ; B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene E? E

Resolución Del problema; sea “D” el dividendo y “d” e divisor:

A 2 .B3 C

4

max : 2(12)  3(9)  51  min : 51  (5  1)  47

3

2

* D d  D  156  6 ......()

A .B 

C4

6 156 * (D  1000) d  D  1000  173d  54

max :  4(5)  20  min :  20  (4  1)  17

E

En una división el cociente es 156 y el residuo es 6; al agregar 1000 unidades al dividendo y al repetir la división se obtiene un cociente de 173 y un residuo de 54. Hallar el dividendo.

54 173 D  173d  946 ....() Igualando (α) y (β)

max :  51  17  1  35  min :  47  20  27

156d + 6 = 173d – 946 952 = 17d  d = 56 Reemplazando el valor de “d” en (α):

EJERCICIOS DESARROLLADOS 01.

D = 156(56) + 6  D = 8742

La diferencia de 2 números es 107 y su cociente es 12, dejando un residuo que es lo mayor posible. Hallar el mayor de dichos números.

 El dividendo es 8742 03.

Resolución Del problema:

Determinar un número N si es el mayor posible y además al dividirlo por 50 se obtiene un resto que es igual al triple del cociente respectivo. Resolución Del problema: N 50  N  50q  3q

* a – b = 107  a = 107 + b ……(1) * a b ,rel mayor posible r 12

3q q

8

N 53q

Reemplazando el valor de xy en (1)

Como N tiene que ser mayor posible, entonces que tiene que ser el mayor posible.

abc = 11 × 64 + 25 abc = 729  a = 7 , b = 2  c = 9

Además: 3q < 50  3q = 48 q = 16

 a + b + c + x + y = 28

 N = 848 04.

El cociente de dos números es 15, y el residuo es 3. Si la suma de ellos es 211, entonces el mayor excede al cuadrado de menor en: Resolución Del problema: * D d 3 15  D  15d  3 ...(1) * D + d = 211 ………..(2) Sumando “d” a ambos miembros de (1), tenemos: D + d = 16d + 3 ………(3) Reemplazando (2) en (3): 211 = 16d + 3 d = 13 Reemplazando el valor de “d” en (2): D + 13 = 21  D = 198 Nos piden: D – d2 = 198 – (13)2 D = d2 = 29

05.

Al dividir un número de 3 cifras y otro de 2 cifras, se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo; se les toma el complemento aritmético y se vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo y divisor. Resolución Del problema: * abc xy 25 11

* C.A.(abc) C.A (xy) 19

7

Luego: *

abc  11 xy  25 ...(1)

*

103 – abc = (102 – xy ) × 7 + 19 abc – 7 . xy = 281 …(2)

Reemplazando (1) en (2): 4 . xy + 25 = 281 xy = 64  x = 6  y = 4

9