• Author / Uploaded
• nelson_grande

Citation preview

Universidad Centroamericana José Simeón Cañas Departamento de Matemática Guía sobre aplicaciones físicas de la integral definida Ing. Daniel Sosa

Ing. José Ma. Velásquez

Lic. Enrique Argüello

1) Longitud de arco de una curva plana. En los siguientes ejercicios Calcular la longitud arco de la función definida en el intervalo dado. 3 2

y  x desde x=0 hasta x=4, R/9.0734 a)

8y  x4  2x2 , desde x=1 hasta x=2. R/ b) y

c)

33 16

3 1 2 x  2 2 , desde x=0 hasta x=3. R/ 12 3





x

 y   costdt,desde x=0 hasta x= . R/ 2 2 0 d)

x

y4 1 123  2 ,desde y=1 hasta y=2. R/ 4 8y 32

e) 2 3

2 3

2 3

x  y  a ,donde a es una constante, a>1, desde x=1 hasta x=a.

f)

1 3 3 R/ (a  a ). 2

x

y

g)



2

3t4  1dt, desde x=-2 hasta x=-1.R/

7 3 3

2) En los siguientes ejercicios calcular el trabajo indicado según sea el caso. Resortes a) U n resorte tiene una longitud natural de 10 pulgadas. Una fuerza de 800 libras lo estira hasta una longitud de 14 pulgadas, i) Determine la constante del resorte, ii) ¿Cuanto trabajo se requiere para estirar el resorte de 10 a 12 pulgadas?, iii)¿Qué tanto se estirara el resorte respecto de su longitud natural si se le aplica una fuerza de 1600 R / k  200lb / pu lg, w=400lb-pulg, se deforma 8 pulgadas. lbs? b) Se necesitan 1800J oules de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural R / 400N / m de 2m hasta una longitud final de 5m. Determine la constante del resorte. .

c) Se requiere una fuerza de 50 newtons para deformar un resorte 50 cms. Si este tiene una longitud de 2.5 metros y ya está estirado, y además el trabajo necesario para estirarlo hasta una longitud de 3 metros es de 37.5 joules. Encuentre la longitud natural R / L0  2m del resorte. . d)Un resorte tiene una longitud natural de 10 pulg, y una fuerza de 30 lbs lo estira hasta 11.5 pulgadas. Determine el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 pulg hasta 12 R / 40 lb  pu lg,120 lb-pulg pulg, y calcule el trabajo para estirarlo de 12 a 14 pulgadas. . e) Un resorte tiene una longitud natural de 12 cm. Una fuerza de 600 dinas lo comprime R / 1350 ergios a 10 cm. Determine el trabajo realizado al comprimirlo de 12 cm a 9 cm. . Fuerza variable f) Una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a la acción de una fuerza f(x)  (2x  1)2 libras, encontrar el trabajo realizado por la fuerza si esta mueve la partícula 158 R/ lb  pie 3 desde x=1pie hasta x=3 pies. . g) Un alpinista recoge una cuerda de 50 m de longitud que pesa 0.624 newton por cada R / 780J metro de longitud. ¿Cuánto trabajo realizo al recogerla? . h) Un operario levanta por medio de una grúa un contenedor lleno de agua con un 12m3 volumen de desde el suelo hasta una altura de 10 metros, para poder mezclar cemento en el último piso de la construcción, sin darse cuenta el contenedor se rompe 4m3 / s de la base dejando salir el agua a una razón de , si la velocidad a la cual el 3m / s depósito es levantado es de y el tanque cuando se encuentra vacio tiene un peso de 10 newtons, i) ¿Llegara algo de agua al último piso? ii) si no es así ¿a qué altura el tanque se vaciara por completo? iii) que trabajo realiza la grúa al levantar el tanque desde el suelo hasta el punto en que se vacía por completo. La densidad del agua es de   9810N / m3 R / el tanque se vaciara antes de llegar, y=9m, w=529830J . . j) Un cable de 200 pie de longitud pesa 4lb/pie y pende verticalmente en un pozo. Si se suspende un cuerpo cuyo peso es de 100 lb del extremo inferior del cable, determine el trabajo efectuado al subir el cable y el cuerpo hasta la parte superior del pozo. R / 100000 lb-pie . Bombeo k) Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5 pies de profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Determine el trabajo necesario para bombear el agua hasta un nivel de 1pie por arriba de la superficie del tanque. R / 409500 lb-pie .

l) Un tanque hemisférico de radio 6 pies se llena con agua hasta una altura de 4 pies. Calcule el trabajo realizado para bombear el agua hasta la parte superior del tanque. R / 50185 lb-pie . m) Una artesa tiene una sección transversal de un triangulo isósceles con la longitud de los lados iguales de 10m y con el lado distinto en la parte superior de la misma, si la profundidad de la artesa es de 8 m y su longitud es de 20m. Calcular el trabajo necesario para bombear el liquido contenido en el tanque hasta la orilla de la artesa vaciando el tanque hasta la mitad de su profundidad. La densidad del liquido es de 640000   100N / m3. R/ 3 . n) Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene un diámetro de 8m en su parte superior y una profundidad de 10 m. Si el tanque se llena a una altura de 9m con agua calcule el trabajo efectuado para bombear el agua hasta la parte superior del R / 3894291.864J oules tanque. 3) Hidrostática. Calcular la fuerza ejercida sobre la placa según sea el caso en cada ejercicio. a) Una placa en forma de triangulo isósceles se sumerge verticalmente en un tanque que contiene agua, con un cateto en la superficie del agua. Los catetos miden cada uno 6 pies de longitud. Calcule la fuerza ejercida por la presión del agua sobre la placa. R / 2246.4 lb b) La cara de la compuerta de una presa es vertical y tiene la forma de un trapecio isósceles de 3m de ancho en su parte superior y de 4m en su arte inferior y 3 m de altura. Si la base superior está 20 metros por debajo del agua, calcule la fuerza total que R / 2221965 N se ejerce sobre la placa. x2  6y c) Una placa tiene la forma de una región limitada por la parábola y la recta 2y  3 y se coloca dentro de un tanque que contiene agua con su vértice hacia abajo y la recta sobre la superficie del agua. Determine la fuerza ejercida por la presión sobre la R / 35.316 N placa si la distancia es medida en metros. d)Un tanque cilíndrico está lleno hasta la mitad de gasolina cuya densidad es de 42 lb/pie 3 , si el eje del cilindro es horizontal y su diámetro es de 6 pies, calcular la fuerza ejercida por la presión de la gasolina en un extremo del tanque. 4) Encontrar el centro de masa o centroide respectivo según se le indique. a) Se colocan cinco masas sobre una barra horizontal, la primera en la punta con una masa de 5kg, la segunda a ¼ de la longitud total de la barra con una masa de 7kg, la tercera a 5/7 de la longitud total con una masa de 1 kg, la cuarta a un medio de la longitud total con una masa de 3kg, y la ultima en la esquina derecha con una masa de

0.5 kg, si colocamos el marco de referencia en el extremo izquierdo de la barra encontrar 125 R/ x  L 462 el punto donde la barra estará en equilibrio.  8 R /  0,  2 y  4 x  5 b) Encontrar el centroide contenido entre la parábola y el eje x. . y  2x  1 x  y  7 x  8 R / c)Encontrar el centroide encerrado por las rectas , , .

 6,7

 3  R /  ,1  yx x y y  5 d) Encontrar el centroide encerrado por la parábola y la recta . 2

y  cos x e) Encontrar el centroide de la región acotada por la curva        2 , 2 R /  8, 8     intervalo de . .

y el eje x, en el