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• Antonio Mendoza Ochoa

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SECUNDARIA

Matemática 4

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Matemática 4 SECUNDARIA

El cuaderno de trabajo de Matemática 4, para el cuarto grado de Secundaria, es una obra colectiva, concebida, diseñada y desarrollada en el Departamento de Ediciones de Santillana S. A., por el siguiente equipo de especialistas: Cecilia Mejía Directora Editorial

Carlos Valverde Editor Responsable del Área Sintia Huailla Jenny Torres Esteban Paulino Editores Ejecutivos Rafael Moy Jefe de Arte

Wilmer Pasache Diagramador Silvia Arce, Ana Gamero Correctoras de estilo Pedro Martínez, Paola Palermo, Miguel Díaz, Richard Del Pino, Luigi Najarro, Carlos Alcántara, David Mina, Patricia Vallejo Colaboradores y correctores de especialidad Daniel Jiménez Documentalista gráfico Daphne Avilés Retocadora fotográfica Jaime Gamarra Jefe de Producción Sergio Morales Asistente de Producción Archivo editorial Fotografía de carátula

001_008 CTU0M4_lici.indd 2

Fotografías e ilustraciones Todas las imágenes e ilustraciones pertenecen a Santillana S. A., salvo las indicadas con el nombre del autor. © 2016, Santillana S. A. Santillana S. A. Av. Primavera 2160, Santiago de Surco, Lima 33 - Perú Teléfono: 313-4000 Primera edición: abril de 2016 Primera reimpresión: agosto de 2016 Tiraje: 370 428 ejemplares Tiraje: 405 843 ejemplares Impreso enCorporación el Perú / Printed in Peru Consorcio Gráfica Navarrete S.A., Amauta Quad Graphics Perú S.A. S.A.C., Metrocolor S.A., en los Impresiones Comerciales Av. Los gráficos Frutales de 344, Ate, Lima 3 - Perú S.A.C., sito en Juan talleres Amauta Comerciales del Mar y Bernedo 1298 - Lima ISBN 978-612-01-0334-0 Registro de Proyecto Editorial n.° 31501401600085 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú 2016-10515 n.° 2016-00642 Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro, sin el permiso previo de la Editorial.

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Presentación Querido estudiante: Con mucha satisfacción te entregamos este cuaderno de trabajo de Matemática 4, para el cuarto grado de Secundaria, con la finalidad de que lo utilices durante el presente año escolar. Es tuyo y por consiguiente puedes trabajar directamente en él. Este cuaderno contiene una gran variedad de actividades que fueron cuidadosamente seleccionadas y organizadas con el propósito de contribuir al desarrollo de las competencias y capacidades establecidas para el área. Este material busca que pongas en práctica lo que ya sabes y construyas nuevos saberes con el apoyo de tus compañeros y profesor(a). Así, entre todos, irán superando las diferentes situaciones problemáticas que se presenten, de igual manera como se podrían presentar en la vida real. Asimismo, disfrutarán del placer de encontrar la solución a esas situaciones haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la información y las herramientas disponibles que consideren pertinentes.

© Santillana S. A.

Por estas razones, tu cuaderno de trabajo de Matemática 4 ha sido elaborado a partir de una concepción de matemática para la vida y el trabajo, relacionándose con el desarrollo de aprendizajes organizados en cuatro competencias, las que a su vez se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localización; y gestión de datos e incertidumbre.

3

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Estructura del cuaderno de trabajo El cuaderno de trabajo de Matemática 4 está organizado en ocho unidades, cada una de las cuales te presenta una variedad de fichas con situaciones significativas vinculadas a los contextos familiar, económico, social, científico, entre otros. En este cuaderno encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Inicio de unidad 1

Números reales. Triángulos Luis Yupanqui

En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Número y nombre de la unidad Elemento distintivo del conjunto de fichas que se organizan en cada unidad.

Aprendizajes esperados Visión global de los logros que alcanzarás mediante el desarrollo de las actividades propuestas en cada ficha.

Matematizar situaciones •

Seleccionar información de fuentes para organizar datos que expresan magnitudes grandes o pequeñas al plantear un modelo referido a la notación exponencial y científica.

•

Expresar de forma gráfica y simbólica los números racionales considerando también los intervalos e irracionales.

•

Leer, escribir y comparar números racionales en notación científica utilizando potencias de 10 con exponentes enteros (positivos y negativos).

•

Expresar la escritura de una cantidad o magnitud grande o pequeña haciendo uso de la notación exponencial y científica.

•

Expresar un decimal como notación exponencial y científica.

Cantidad

Elaborar y usar estrategias •

Realizar operaciones con números racionales e irracionales al resolver problemas.

•

Realizar operaciones con intervalos al resolver problemas.

•

Realizar conversiones de medidas considerando la notación exponencial y científica al resolver problemas.

•

Realizar cálculos de suma, resta, multiplicación y división, con notación exponencial y científica al resolver problemas.

•

Juzgar la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.

Razonar y argumentar generando ideas matemáticas •

Emplear ejemplos y contraejemplos para reconocer las propiedades de las operaciones y relaciones de orden en Q. I

•

Generalizar que todo número irracional es decimal infinito no periódico.

•

Justificar procedimientos de aproximación a los irracionales, empleando números racionales.

•

Plantear conjeturas basándose en la experimentación, para reconocer números irracionales en la recta numérica.

•

Justificar la condición de densidad y completitud de la recta real.

•

Plantear conjeturas respecto a relacionar cualquier número con una expresión decimal.

•

Justificar las operaciones como la unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y el complemento de intervalos.

Matematizar situaciones • Forma, movimiento y localización

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

Comunicar y representar ideas matemáticas

Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.

Comunicar y representar ideas matemáticas •

Representar triángulos a partir de enunciados que expresen sus características y propiedades.

•

Expresar las líneas y puntos notables del triángulo usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas.

Elaborar y usar estrategias •

Seleccionar y utilizar la unidad de medida apropiada para determinar las medidas de ángulos, perímetros y áreas en figuras compuestas.

•

Emplear procedimientos con líneas y puntos notables del triángulo y la circunferencia al resolver problemas.

Razonar y argumentar generando ideas matemáticas •

Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos. 9

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Fichas Conjunto de actividades que contribuyen al desarrollo de las competencias y capacidades establecidas para el área. Sugieren una variedad de estrategias. Título de la ficha Elemento distintivo que alude a una situación significativa.

Subtítulo que sugiere el comienzo de la actividad.

Modelación matemática

EN PARES

Situación significativa Texto y soporte gráfico como estímulo principal.

Campaña solidaria

Si un número x cumple las desigualdades x ≤ b y x ≥ a, significa que está comprendido entre a y b. Por lo tanto, se puede escribir así: a ≤ x ≤ b

Como parte del Programa “Reciclar para Abrigar” realizado por una comisión de colegios de los distritos de Tana y Licha (provincia de Yauyos, región Lima) se recolectó cierto número de frazadas elaboradas con plástico reciclable. Se sabe que de un lote de frazadas, unos voluntarios repartieron 35 y quedaron más de la mitad. Al día siguiente le devolvieron 6 a la comisión, pero luego repartieron 36 y quedaron menos de 42. Expresa en forma gráfica y simbólica el conjunto solución. ¿Cuántas frazadas había como máximo en el lote?

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad

6. Expresa las respuestas de las actividades 5 y 6 en forma simbólica. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Desarrollo de la ficha Actividades y preguntas orientadoras que guían el proceso de resolución de la situación significativa.

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Plantea inecuaciones que representen las situaciones de entrega y residuo de frazadas en cada día. Luego, resuélvelas y describe tus procesos.

8. Representa el conjunto solución en forma gráfica y simbólica.

¿Para qué se utilizan las botellas de plástico recicladas? ¿Conoces las frazadas de polar? ¿Sabes de qué material se hacen? ¿Qué modelo matemático puedes plantear para resolver el problema?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________

9. ¿Cuál es el número máximo de frazadas que puede contener el lote?

SITIO WEB

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Accede a

2. ¿Qué tienes que averiguar?

http://goo.gl/dSwVkG y resuelve las inecuaciones propuestas.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Reemplaza la incógnita en la inecuación planteada y comprueba tus resultados.

▶ ¿SABÍAS QUE…?

Para fabricar una frazada polar se utilizan, aproximadamente, 30 kg de botellas de plástico.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

_______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR

¿Qué estrategia apliqué al resolver la situación?

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

4. Si del lote de frazadas se repartieron 50 y quedaron más de la mitad, ¿cuántas frazadas como mínimo había en el lote?

_______________________________________________________________ 186 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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© Santillana S. A.

_______________________________________________________________ 5. Si del lote de frazadas se repartieron 40 y quedaron menos de la mitad, ¿cuántas frazadas como máximo había en el lote?

Heteroevaluación

Analizo mi aprendizaje y respondo las preguntas.

© Santillana S. A.

Preguntas previas que orientan y aseguran la comprensión del problema y su resolución sin dificultad.

¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Se sabe que el costo del metro de tela polar varía entre S/ 8,50 y S/ 12,40. Si se compraron 5 m, ¿entre qué cantidades estará el costo de dicha compra? 2. Paula tiene que subir rollos de tela de 18 kg por un ascensor cuya carga máxima es de 350 kg. Si ella pesa 55 kg, ¿cuál es el mayor número de rollos que puede subir?

187

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Actividades de evaluación y metacognición Interrogantes para reflexionar sobre lo aprendido, las estrategias seguidas y los recursos usados, así como actividades complementarias.

© Santillana S. A.

3. ¿Qué estrategia usarás para determinar el número máximo de frazadas que había en el lote?

4

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4/11/16 10:29 AM

Todas las fichas tienen un mismo propósito: contribuir a que desarrolles tus competencias y capacidades matemáticas.

Fichas que sugieren juegos, investigación, trabajo con recursos tecnológicos, manipulación de instrumentos de medida y de dibujo, empleo de material concreto estructurado y no estructurado, aplicación de estrategias heurísticas, desarrollo de talleres relacionados con evaluaciones nacionales e internacionales, etc.

A partir de la medida del cuadrado, ¿de qué otros lados de las piezas del tangrama podrás deducir las medidas? Hay algunas piezas cuyas medidas de sus lados estén expresadas por un radical. ¿Cuáles? ¿Qué piezas tendrán igual área?

Resolvemos paso a paso

▶ TEN EN CUENTA

Las cantidades de ingredientes de la receta y las cantidades que necesita Sofía son directamente proporcionales.

Para combinar dos o más celdas, selecciónalas y haz clic en

3. ¿Qué datos se tienen?

62

10 m

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Plataforma de acceso

4/7/16 4:57 PM

1.

Tuvo como finalidad evaluar las estrategias de los estudiantes para medir diámetros y la longitud en circunferencias.

D–A A∩B

U) En S

]–3; +∞[

ab

[–5; 5]

[–5; 0]

[– 4; 1]

]–∞; 1]

]0; 5]

[–5; – 4[

]1; +∞[

]–∞; –5[ ]0; 1]

]–∞; – 4[

]–3; 1]

30

Total

14 15

Masculino Femenino

]–1; 5]

]–∞; 5]

]– 4; 5]

∅

0 –2

Total

2

4

6

–2

Input

En la celda L8 =E8*M8/F8

_______________________________________________________________ Pedidos de logotipos especiales _______________________________________________________________

_______________________________________________________________ Benjamín debe diseñar logotipos de igual forma, pero de lados proporcionales a uno que le han dado como muestra. 2. tecnológico Haz clic en que yle ubícalo Él quiere usar algún recurso permitasobre la gráfica de la parábola. Cuando el cursor , mueve la gráfica horizontal o verticalmente ubicando su vértice cambie mantener la forma y proporción de losa lados con respecto a la muestra. ¿Qué recurso tendrá la opciónvalores de elegir: la sobre los ejes X e Y. ¿Qué observas? en diferentes enteros ampliación o la reducción?

_______________________________________________________________

Manos a la obra

_______________________________________________________________

¿Qué le pidieron a Benjamín? cumplir con el pedido? 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN¿Podrá CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA 218 UNIDAD ¿Qué estrategia tendrá que utilizar? ¿Habrá algún recurso gráfico en la computadora que le permita cumplir con su objetivo? ¿Cuál será ese recurso? 216_234 CTU5M4_lici.indd 218

4/7/16 4:59 PM

ACCIÓN REAL Aplicando tus conocimientos de proporcionalidad, ¿qué entiendes por figuras semejantes?

1. Ingresa a http://web.geogebra.org/app/ y haz clic en “Geometría”. 2. Selecciona

, haz clic en un punto o posición y cambia la letra a por k

3. Selecciona

para construir la figura que vas a escalar (ver figura 2).

(ver figura 1).

4. Selecciona

y haz clic en

k

. Luego, selecciona el polígono que

vas a escalar y ubica el centro de homotecia. Finalmente, coloca el valor de factor de escala (k) (ver figura 3).

_______________________________________________________________

k=3

2. ¿Cómo podrías organizar el registro de datos de cada experimento?

G

B

C

F

D

Figura 1

_______________________________________________________________

3. Realiza tu experimento y registra los resultados.

A

B' C'

E F'

B

C D

F

A

Figura 2 5. Haz clic en G “Segmento” y une el centro G con cada uno de los vértices de los dos polígonos (ver figura 4). Obtendrás la imagen que se muestra.

En cada turno ambos pueden tener el mismo puntaje: 0 o 1.

4. Elabora una tabla con el resumen de tus resultados.

_______________________________________________________________

E'

Figura 3 B

C D

F

B'

A C'

E F'

A'

D'

Figura 4

328 UNIDAD 8 / CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROBABILIDAD

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

A'

D'

E

▶ TEN EN CUENTA

2. ¿Los intervalos son conjuntos?

10

Vista gráfica

0

RECOLECCIÓN Y MANEJO DE DATOS

_______________________________________________________________

8

1. Digita y = x^2 en la barra de entrada y luego presiona “Enter” para expresar la función y = x2. Luego, digita y=-x^2 para expresar la función y = −x2. ¿Qué obtienes? Y en “Vista gráfica”, ¿qué forma tiene la gráfica?

4/7/16 4:58 PM

Se sugiere repetir el experimento 35 veces como mínimo.

2

–4

Barra de entrada

Actualizar Vistas Recalcular todos los objetos

N

_______________________________________________________________

1. ¿Qué tipo de intervalos identificas en el tablero del juego?

234 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

Masculino Femenino 27 15 46 36

M

_______________________________________________________________

ABSTRACCIÓN ¿Qué casillas elegirías para tener más opciones de ganar? Menciona un ejemplo.

14 15

L

1. ¿Qué procedimiento sugieres para determinar la probabilidad experimentalmente?

– Gana el primer jugador que logre colocar cuatro botones en línea.

© Santillana S. A.

2. ¿Cuánto tiempo tarda ir del punto Q al punto S?

4. ¿Qué otras situaciones cotidianas puedo resolver con estos conocimientos?

– 16 tarjetas

– Cada jugador, por turno, elige una tarjeta con una operación y la resuelve. Luego, coloca la respuesta sobre la casilla del tablero que contiene el intervalo correspondiente. Si la correspondencia es correcta, colocará un botón sobre la casilla, en caso contrario, continuará el otro jugador.

Sección desglosable 1. Si partimos del mismo punto, ¿cuánto tiempo tardaremos en llegar al punto R?

3. ¿Para qué me servirá lo repasado en este taller?

K

6

4

Datos de la muestra

Indagamos

– Coloca las tarjetas boca arriba sobre una mesa, de modo que ambos jugadores puedan verlas en todo momento.

Heteroevaluación

J

117_137 CTU3M4_lici.indd 126

– Escribe en una hoja los intervalos A, B, C y D.

Resuelve las actividades en tu cuaderno. Luego, entrégaselo a tu profesor(a).

2. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

Materiales

– Botones de diferente color para cada jugador.

_______________________________________________________________

Metacognición

I

16 18 28 16 Entre lo experimental y loTotalteórico Total

Instrucciones

_______________________________________________________________

G H

4

–6

Vista algebraica

¿Cuál es la probabilidad de extraer de la bolsa el papel con el número 10? ¿Qué es más probable extraer: un número par o un número impar? ¿Cuál es la probabilidad de extraer un número primo?

– Un tablero con las respuestas.

V) Entre S y P

_______________________________________________________________

1. ¿Qué conocimientos pude integrar durante el desarrollo de esta actividad?

– Dos jugadores (M y N)

– Hojas y lápices

_______________________________________________________________

F

6. Selecciona las celdas horizontales y verticales y haz clic en Autosuma PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA para hallar el total. Luego, determina el tamaño deseado de la muestra y MaríaMATERIALES y Juan colocan en una bolsa 10 papeles numerados colócalo en la M8lo(total de muestra). (para equipo) del 1 alcada 10. Por turnos, cada uno extraerá uncelda papel,

ESTRUCTURACIÓN

La noria da vueltas a una velocidad constante. Tarda exactamente 40 minutos en dar una vuelta completa. Juan inicia su viaje en la noria en el punto de acceso P. ¿Dónde estará Juan después de media hora?

E

DESARROLLO DEL PLAN

Número de participantes Utiliza los desglosables 1 y 2 de las páginas 353 y 355.

Respuesta: ____________________ m.

D

Datos de estudiantes

En la celdaesK8 =D8*M8/F8 de obtener un punto en cada caso? ¿Cuál la probabilidad que ambos3obtengan punto en PROGRESIONES el mismo turno? ¿Cuál es / ENCUESTASun Y VARIABLES. 126 UNIDAD la probabilidad de que solo un participante obtenga el punto en el turno? ¿Qué diferencias encuentras entre la teoría y la realidad?

Proponemos nuestro juego

_______________________________________________________________

T) Entre R y S

C–D

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La letra M del gráfico señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra el punto M?

S) En R

A–C

A–D C∪B

_______________________________________________________________

2.

C∪A

A–B

C

lo devolverá a la bolsa. Se sabe que María ganará –revisará Listas dey los ANÁLISISde DE3,DATOS unestudiantes punto si saca un número múltiplo y Juan ganará un de tercero y cuarto grado,un número mayor que 6. punto si saca 7. Determina en la muestra los valores de los totales en cada sexo. indicando género y ¿Cómo edad. determinarías experimentalmente la probabilidad de

¿Qué materiales se utilizarán? ¿Qué característica común tienen las expresiones de las tarjetas? ¿Qué nombre le pondrías al juego? ¿Qué reglas propondrías para su realización?

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué es una noria? ¿A qué se refiere con un diámetro exterior? ¿Habrá un diámetro interior?

Conoce más sobre la situación inicial

B–C

D∩C

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Cauce del río Támesis

Se aplicó a nivel internacional en el año 2012 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

D∪C

C–A

D – CTRIÁNGULO RECTÁNGULO C∩A UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD.

P

EN PARES

EN PARES

3. ¿A qué conjunto numérico pertenece el producto de un número racional y un irracional?

A∪B

A B

Álgebra Gráficos Gráficos 2 Gráficos en 3D Hoja de cálculo CAS Calculadora de Probabilidades Protocolo de Construcción Barra de Entrada Barra De Navegación

5. Coloca el resultado del conteo de los estudiantes en cada una de las celdas correspondientes. Observa este ejemplo con datos supuestos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

–4

© Santillana S. A.

M

y su punto más alto se encuentra metros 1 /150 NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS 32 UNIDAD a sobre el cauce del río. Da vueltas en el sentido indicado por las flechas.

B∩C

© Santillana S. A.

4.La¿En qué otras noria tiene unsituaciones diámetro puedo encontrar S exterior de 140con metros operaciones números irracionales? 150 m

EJECUTA

5. Aplica la estrategia conveniente para resolver el problema. ¿Cómo puedes expresar mediante una sola operación la conversión de la cantidad de A = ]0;ingredientes 5] B = de ]–3;4 +∞[ C = [–5; 1] D = ]–∞; –4[ a 10 personas?

4. A la derecha crea otra tabla idéntica titulada “Datos de la muestra”.

© Santillana S. A.

y en el diagrama que se 3.muestran ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí? a continuación.

© Santillana S. A.

EN PARES

R

2. ¿En qué casos el producto de dos números irracionales es igual a un número racional?

una noria para realizar cálculos con 2.encuentra ¿Tuve dificultades gigante. Fíjate en el dibujo¿Cómo las superé? los números obtenidos?

Particularizar ADAPTACIÓN

.

d) Empezar por el final.

Busca a su pareja

▶ ESTRATEGIA

Consiste en buscar Formen parespara lo que ocurriría e interactúen un determinado libremente con caso. En la situación planteada, buscamos las tarjetas lo que ocurriría con una mostradas. persona y lo podemos extender a cualquier número de personas.

Para orientar el texto, utiliza

b) Generalizar.

c) Buscar patrones.

de un lado desconocido de un triángulo rectángulo?

Combinar y centrar .

_______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia te permitirá resolver el problema? a) Particularizar.

Interpretación, aplicación y valoración 1. ¿Cómo se calcula la medida

EN EQUIPO

2

3. En una hoja de cálculo, crea una tabla de doble entrada titulada “Datos de estudiantes” con las variables que se tomarán en cuenta para la estratificación.

▶ TEN EN CUENTA

0

–2

Accede a http://web.geogebra.org/app, selecciona “Álgebra” y haz clic en para configurar la pantalla. Luego, en “Vistas” selecciona “Álgebra”, “Gráficos” y “Barra de entrada”.

Perspectivas

RECOLECCIÓN Y MANEJO DE DATOS

_______________________________________________________________

0

–2

Vistas

2. Sigue las instrucciones con los datos que obtuviste.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué información necesitas para resolver el problema?

Taller matemático 7 (problema liberado PISA)

La noriaAutoevaluación

Metacognición

2 –4

ACCIÓN REAL

1. A partir de las listas de estudiantes, realiza un conteo por edad. Identifica la cantidad de varones y de mujeres.

_______________________________________________________________

PLANIFICA

Traducción simple Traducción compleja 1.Familiarización ¿Qué estrategia apliqué para armar las figuras solicitadas? A la orilla de un río se

4

–6

¿Qué recursos conoces? ¿Sabes el nombre de las curvas?

DESARROLLO DEL PLAN

1. ¿De qué trata la situación?

_______________________________________________________________

¿Qué cantidad de cada ingrediente necesitarías para preparar arroz con pollo para una persona?

6

–8

Manos a la obra

¿Cuál es el objetivo de esta investigación? ¿Qué materiales necesitas? ¿Qué es un muestreo estratificado? ¿Qué variables debes considerar para la estratificación?

COMPRENDE CONEXIÓN

8

Indagamos

¿En qué te ayuda conocer la receta para 4 personas? ¿Cómo sería la receta para 2 personas? ¿Y para 8 personas?

Realizar operaciones con números irracionales te facilitará el cálculo de los perímetros.

Conic

© Santillana S. A.

Nos familiarizamos con la situación

Lanzamiento de una pelota Bruno le muestra a Pedro la representación de tres curvas en la computadora. Este, que gusta mucho del fútbol, comenta que vistas al revés se parecen a las trayectorias que siguen las pelotas cuando el arquero realiza un saque. Pedro, impresionado, quiere reproducirlas en su computadora utlizando algún recurso tecnológico.

© Santillana S. A.

Utiliza el desglosable 3 de la página 357 y arma un rectángulo y un trapecio isósceles. Luego, calcula el perímetro de cada una de las figuras. ¿Qué unidad de medida será la más apropiada para los resultados?

Muestras y preferencias PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Uno de los temas de interés de los estudiantes de los últimos años de Secundaria está vinculado con la elección de la profesión que les gustaría seguir. Al informarse sobre la demanda de las carreras, los estudiantes van encontrando diferencias según el género: masculino y femenino. Los estudiantes realizarán una investigación con adolescentes que cursan el tercer y cuarto grado de Secundaria para conocer las profesiones preferidas por varones y mujeres. Como no se entrevistará a todos los estudiantes, se realizará un muestreo estratificado utilizando una hoja de cálculo. Además, se cuenta con las listas de los estudiantes de tercer y cuarto grado con su género y edad respectiva. Por lo tanto, se determinará una muestra aleatoria estratificada por edades y género.

EN PARES

3.

Receta con solución Sofía va a preparar arroz con pollo para 10 personas. Si cuenta con la receta que se muestra, ¿qué cantidad de cada ingrediente necesitará para la preparación?

© Santillana S. A.

Si el lado del cuadrado del tangrama mide 16 cm, ¿cuál será el perímetro de cada una de sus piezas?

Edad

2.

Edad

Interpretación, aplicación y valoración

EN EQUIPO

Traducción compleja

Shutterstock

Traducción simple

EN PARES

INDIVIDUAL

Taller matemático 3

Piezas del tangrama Familiarización

Teresa arma un cuadrado con las piezas del tangrama. 1. Nombra y clasifica cada una de sus siete piezas.

E'

258 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

Al finalizar las ocho unidades, encontrarás 16 desglosables que utilizarás para trabajar algunas fichas. 216_234 CTU5M4_lici.indd 234

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4/7/16 4:57 PM

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Desglosable 6

Contienen indicaciones claras acerca de su propósito y uso.

4/7/16 5:00 PM

258_284 CTU6M4_lici.indd 258

Desglosable 5

4/7/16 4:59 PM

Desglosable 16

Propósito: Desarrollar la imaginación espacial.

Propósito: Demostrar el teorema de Pitágoras.

Propósito: Verificar el desarrollo de un icosaedro truncado.

Uso: Pinta según se indica. Luego, pega sobre cartulina y recorta por las líneas discontinuas para trabajar la ficha de la página 245.

Uso: Pega sobre cartulina y recorta por las líneas discontinuas para trabajar la ficha de la página 107.

Uso: Pega sobre cartulina y recorta por las líneas discontinuas para trabajar la ficha de la página 323.

Azul

Rojo

Verde Celeste Rosado

Morado

Anaranjado

© Santillana S. A.

© Santillana S. A.

© Santillana S. A.

Amarillo

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Algunos desglosables se utilizarán para desarrollar la imaginación espacial.

© Santillana S. A.

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361

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Otros, para demostrar teoremas.

383

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Y otros, para construir poliedros.

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Bibliografía y sitios web consultados 5

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Tabla de contenidos Números reales. Triángulos

• Aprendizajes esperados

• Uso de combustible • Cebiche proporcionalmente nutritivo • Receta con solución Proporcionalidad. • Medidas y costos en la cocina • Alimentación balanceada Triángulo • Reparto de ganancias rectángulo • Concentración de un fármaco • Pago por superficie • Guías turísticos • Desayuno en la parroquia • Propina para el paseo • Incentivo al trabajo • Vinos y mezclas • Viaje en pequepeque • Rendimiento en obra • Monedas con historia • Aprendizajes esperados 57 • A medir cajas

2

3 Encuestas y variables. Progresiones • Aprendizajes esperados

4 Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones. Relaciones métricas • Aprendizajes esperados

10 12 14 16 18 19 20 22 24 26 28 30 32 33

• Planetas vecinos • Masas de planetas • Años luz • Galaxias cercanas • El cometa Halley • El Sol, fuente de energía • Banderines para la fiesta • Piezas por accidente • Una mesa singular • Telefonía móvil para todos • Ingeniería al servicio • Vitrales • Logo deportivo • Triángulos

58 60 62 64 66 68 70 71 72 74 76 78 80 82 84 86 87

• Elena, la ciclista • A pintar la casa • Préstamo y cuota inicial • Negocio familiar • Intereses y decisiones • Almuerzo familiar • Obligaciones tributarias • Compromiso de obra • Nueva oferta • Consumo de energía eléctrica • Ganancias y predicciones • Un jardín particular • Faro que ilumina • Maqueta y construcción • La altura de la torre • El poder del viento • Los niveles de CO2

88 89 90 92 94 96 98 100 101 102 104 106 108 110 112 114 116

34 36 38 40 42 43 44 46 48 50 52 54 55 56

• Aprendiendo a preguntar • Animal preferido • Para conocernos más • Deporte y tiempo libre • Muestras y preferencias • Control de calidad • Uso del correo electrónico • Ahorro solidario • Bote y rebote 117 • Protegiendo la fauna latinoamericana

118 120 122 124 126 128 129 130 132 134

• ¿Cuántas veces doblarán un papel? • Cuyes peruanos • Reproducción de bacterias • El lirio de los incas • Criadero de truchas • Espárragos de exportación • Alpacas y lanas • Distancia entre planetas • Planes de ahorro • Manzanos

136 138 140 142 144 146 148 150 151 152

• Medidas de una cisterna • Cajas recicladas para quequitos • De visita a la fábrica de cartones • Caños ahorradores • Consumo responsable del agua • Alfombra de flores • Un concurso singular • Recolección de botellas • Reciclaje creativo • Frutas y agua para una buena nutrición • Campaña de reciclaje 153 • Muebles de aglomerado

154 156 158 160 162 164 165 166 168 170 172 174

• Pequeños empresarios del reciclaje • Papeles que ayudan • Venta de compactadoras de plástico • Agua para la pecera • Huertos ecológicos • Fertilizante orgánico • Campaña solidaria • Cajas de cartón reciclado • Módulo de equilibrio • Repartiendo agua • Lo más cerca del río • Frecuencia de goteo

176 178 179 180 182 184 186 188 190 192 193 194

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1

• Carrera de ciclismo • Compras y encargos • Paseo en bicicleta • En el centro comercial • Medida de llaves • Diseño del parque • Puntos en serie • Columnas en el terreno • Acampando en Marcahuasi • Viajes y temperatura • Vamos a los juegos • Busca a su pareja • Piezas del tangrama 9 • Vuelo espacial

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5 Ecuación y función cuadrática. Circunferencia

• Aprendizajes esperados

195

6 Semejanza. Transformaciones. Tablas y gráficos

• Aprendizajes esperados

235

7 Trigonometría

• Aprendizajes esperados

285

8 Cuerpos geométricos. Probabilidad

© Santillana S. A.

• Aprendizajes esperados

315

• Ampliación de la cancha de vóley • Mezcla de edades • Uniformes para el equipo • Un regalo para la mejor velocista • Jugando con ecuaciones • Piscina en casa • Ciclismo infantil • Llenado de piscina • Juguemos fútbol • Medicina deportiva • Juego de vóley • Losa deportiva

196 198 200 202 204 206 208 209 210 212 214 216

• Lanzamiento de una pelota • Rampa parabólica de skate • Tenis de mesa • Cocina solar parabólica • Preparándose para la competencia • Formación integral • Bandera de los Juegos Panamericanos • Descanso del deportista • Cuidando el material atlético • Carreras de antaño • La noria

218 220 222 223 224 226 228 230 232 233 234

• La lámpara rota • Tiras de papel • La foto del recuerdo • Una gran arquitectura • Más de un triángulo • Caminos que unen • La altura del edificio • Encuentro de amigos • El plano de una cancha de fulbito • Una fotografía peculiar • Pintemos la pared • Midiendo áreas • Superficie de un continente • Pedidos de logotipos especiales

236 238 240 242 244 246 247 248 250 252 254 256 257 258

• Recuerdos de la cultura moche • Nuestro logotipo de campaña • Diseño de cenefas • Motivos de la cultura chancay • Incrementando la cultura • Plantilla para un mosaico • Un teselado especial • El edificio retorcido • Registrando edades • Escolaridad por géneros • Acceso a Internet • Ingreso mensual • Afición por los deportes

260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 282 284

• El jardín de Doris • Inclusión en lugares públicos • Redes telefónicas • Estructuras de vigas • Águila pescadora • Construcción de cercos de protección • Cancha de básquet • Altura de semáforos • Nuestra distancia al castillo

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• Seguridad en casa • Ondas eléctricas • Análisis de ondas con la función coseno • Las mareas y la función seno • Música y ondas • Remodelemos el parque • El terreno en coordenadas • Las figuras

302 304 306 308 309 310 312 314

• Moldes de forma singular • Una caja especial • Velas decorativas • La pelota de fútbol • Decantadores para la fábrica • Moldes de chocolate • Diseño de tejado • Entre lo experimental y lo teórico • Adivina el contenido • Fichas al azar • Desayuno en un congreso

316 318 320 322 324 326 327 328 330 332 334

• El curso preferido • La llegada del bebé • Notas de un control • Autos en reparación • Visión cromática de un ratón • Mejoramos nuestro informe de investigación • Convocatoria para los equipos del colegio • Rendimiento en Matemática • Estatura

336 338 340 342 343 344

Bibliografía y sitios web consultados

351 Sección desglosable

346 348 350

353 7

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“No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”. Nikolái Ivánovich Lobachevski, matemático ruso (1792-1856).

El estudio de las matemáticas en casa no significa que pases largas horas sentado en un escritorio resolviendo ejercicios y problemas

distanciados de la realidad. Mientras juegas, viajas, ayudas en las labores de la casa o cuando haces alguna compra, te verás en la necesidad de realizar acciones, como contar, calcular, medir, estimar o dibujar. Estas son oportunidades fabulosas para ponerte a prueba y demostrar aquellas habilidades de cálculo y razonamiento que vas adquiriendo día a día. A continuación, te presentamos ocho unidades en las que encontrarás situaciones muy similares a las que podrían presentarse en la vida real, con la intención de que experimentes y estés preparado para afrontarlas con éxito.

© Santillana S. A.

Las matemáticas son imprescindibles en la vida diaria y, por supuesto, para el desarrollo de otras ciencias. Sus conocimientos se aplican en diferentes campos, como el arte, la tecnología, la medicina, la meteorología, la gestión de datos, la economía, la política, entre otros. Sin las matemáticas, muchos objetos de uso cotidiano no existirían: calculadoras, computadoras, teléfonos celulares, cajeros automáticos, Internet, cámaras digitales, etc.

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Números reales. Triángulos En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Luis Yupanqui

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Matematizar situaciones • Seleccionar información de fuentes para organizar datos que expresan magnitudes grandes o pequeñas al plantear un modelo referido a la notación exponencial y científica. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar de forma gráfica y simbólica los números racionales considerando también los intervalos e irracionales. • Leer, escribir y comparar números racionales en notación científica utilizando potencias de 10 con exponentes enteros (positivos y negativos). • Expresar la escritura de una cantidad o magnitud grande o pequeña haciendo uso de la notación exponencial y científica. Elaborar y usar estrategias Cantidad

• Realizar operaciones con números racionales e irracionales al resolver problemas. • Realizar operaciones con intervalos al resolver problemas. • Realizar conversiones de medidas considerando la notación exponencial y científica al resolver problemas. • Realizar cálculos de suma, resta, multiplicación y división, con notación exponencial y científica al resolver problemas. • Juzgar la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Emplear ejemplos y contraejemplos para reconocer las propiedades de las operaciones y relaciones de orden en Q. I • Generalizar que todo número irracional es decimal infinito no periódico. • Justificar procedimientos de aproximación a los irracionales, empleando números racionales. • Plantear conjeturas basándose en la experimentación, para reconocer números irracionales en la recta numérica. • Justificar la condición de densidad y completitud de la recta real. • Plantear conjeturas respecto a relacionar cualquier número con una expresión decimal. • Justificar las operaciones como la unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y el complemento de intervalos. Matematizar situaciones • Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. Forma, movimiento y localización

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

• Expresar un decimal como notación exponencial y científica.

Comunicar y representar ideas matemáticas • Representar triángulos a partir de enunciados que expresen sus características y propiedades. • Expresar las líneas y puntos notables del triángulo usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. Elaborar y usar estrategias • Seleccionar y utilizar la unidad de medida apropiada para determinar las medidas de ángulos, perímetros y áreas en figuras compuestas. • Emplear procedimientos con líneas y puntos notables del triángulo y la circunferencia al resolver problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos. 9

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Luis Yupanqui

EN PARES

Carrera de ciclismo Cuatro amigos –Guillermo, Enrique, Pedro y Luis– participan en una carrera de ciclismo organizada por la municipalidad. Se sabe que en un determinado momento de la carrera, Luis ha recorrido los ___ ​  6  ​ del trayecto; Guillermo, los __ ​  5 ​ , y 11 8 Pedro se encuentra a igual distancia de Guillermo y de Enrique. Además, Enrique ha recorrido los __ ​  3 ​  de lo que le 5 falta recorrer para llegar a la meta. Si la carrera comprende 20 km, ¿quién va ganando la carrera? ¿En qué orden están los cuatro amigos hasta ese momento? Resolvemos paso a paso ¿Será útil hacer una representación gráfica para ubicar los datos? ¿De qué tipo? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver la situación?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata el problema? Las fracciones son útiles para representar una parte o porción de un total, en este caso, del trayecto de la carrera.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué datos son importantes para resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia te permitirá resolver este problema? a) Buscar patrones. b) Hacer un gráfico.

c) Empezar por el final.

d) Utilizar el ensayo y error.

EJECUTA

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5. ¿Cuál es la distancia recorrida por Enrique? ¿Qué parte del recorrido total representa esa distancia? ¿Cuál es la distancia recorrida por Pedro?

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UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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Resolución de problemas

 ESTRATEGIA

6. Representa en la recta numérica las fracciones que corresponden a las distancias recorridas por Enrique, Guillermo y Luis.

Hacer un gráfico La representación de los números en la recta numérica permite compararlos con facilidad y determinar cuál es el mayor y cuál es el menor.

20 km 0

1

7. ¿Quién va ganando la carrera? ¿En qué orden van los cuatro amigos?

COMPRUEBA 8. Calcula numéricamente la relación de orden entre las fracciones que representan las posiciones de Guillermo, Luis, Pedro y Enrique. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 76 y 77).

9. ¿Qué conocimientos matemáticos empleaste para comprobar tus procedimientos y resultados? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema? _______________________________________________________________ 11. ¿Fue efectivo el plan que trazaste para resolver el problema? Explica. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición

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1. ¿Qué dificultades tuve para ubicar los puntos en la recta numérica? 2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. ¿En qué situaciones de la vida diaria puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

Heteroevaluación Resuelve la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Supón que en la carrera hay un participante entre Luis y Guillermo. ¿Qué parte del trayecto ha recorrido dicho participante? 11

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Shutterstock

Si María compró 2 kg de naranja, 5 kg de fresa, 5 kg de maracuyá y S/ 6,45 de carambola y, además, los encargos de su tía y hermano, ¿cuánto dinero le quedó de los S/ 100 que llevó? ¿Cuánto le debe dar de vuelto a su tía? ¿Cuántos kilos de maracuyá compró para su hermano?

Fresa × kg S/ 7,43

Carlos Sala

María lleva S/ 100 al supermercado para comprar frutas. Además, su tía le da S/ 20 para que compre 3 kg de granadilla, y su hermano, S/ 12 para que compre maracuyá.

Carambola × kg S/ 1,29

Naranja × kg S/ 1,39 Shutterstock

INDIVIDUAL

Compras y encargos

Maracuyá × kg S/ 1,50

Granadilla × kg S/ 4,99

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Qué compras tiene que realizar María? ¿Podrías estimar cuánto gastará María en cada una de sus compras? ¿Qué datos adicionales necesitas para responder las preguntas? ¿De qué trata el problema?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? Las operaciones con números decimales y sus propiedades nos ayudan a resolver problemas que demanden el cambio monetario.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué operaciones debes realizar para calcular el costo total de un producto? ¿Y para calcular la cantidad de kilogramos que se van a comprar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un compañero(a) cómo lo hiciste.

RECUERDA

El costo total (CT) es el producto del costo unitario (CU) por la cantidad de kilogramos de fruta (kg) que se van a comprar. CT = CU × kg 12

4. Si un kilo de manzanas cuesta S/ 6,99, ¿cuánto costarán, aproximadamente, 4 kilos? _______________________________________________________________ 5. Si un kilo de azúcar cuesta S/ 2,15, ¿cuál será el costo aproximado de 6 kilos de azúcar? _______________________________________________________________

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UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. Calcula de manera aproximada los vueltos de María y de su tía.

7. Sin recurrir a la división, ¿de qué forma podrías calcular cuántos kilos de maracuyá compró María para su hermano? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 8. Calculamos el gasto de María y la cantidad que le quedó de vuelto. ▶ TEN EN CUENTA

Para realizar adiciones y sustracciones con números decimales, debes colocar los números de modo que la coma quede alineada.

9. Calculamos el vuelto que María le debe dar a su tía. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. Calculamos la cantidad de kilogramos de maracuyá que compró María para su hermano. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición 1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver el problema?

2. ¿Tuve dificultades al realizar cálculos por estimaciones o al descomponer cantidades en lugar de realizar la división con decimales? ¿Cómo las superé?

© Santillana S. A.

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿En qué situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos adquiridos? 5. ¿Por qué es importante la estimación al realizar operaciones con decimales?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Redacta un problema en donde intervengan tres personas y operaciones de compra y venta de todos los artículos que se presentan en la situación inicial. Resuélvelo aplicando la estimación y operaciones que utilicen los valores reales como validación.

2. Crea una situación con otros artículos, precios y cantidades y determina el contexto en el cual se deban realizar operaciones para su solución. 13

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EN PARES

Paseo en bicicleta Flavia y Aldo salen a pasear en bicicleta. Las ruedas de la bicicleta de Flavia miden 50 cm de altura, y las de Aldo son 10 cm más altas. Si desde un mismo punto cada uno hace girar 20 vueltas las ruedas de su bicicleta, ¿cuántos metros estarán separados? Si deciden recorrer 2 km juntos, ¿cuántas vueltas darán las ruedas de cada bicicleta para cumplir este recorrido? Aproxima las distancias al centésimo, y el número de vueltas, al entero.

Resolvemos paso a paso ¿Qué información se tiene? ¿A qué elementos de la circunferencia se refieren los datos del problema? ¿Qué datos adicionales necesitas para hallar las distancias recorridas por cada bicicleta?

COMPRENDE Ten en cuenta que la altura de la rueda coincide con su diámetro.

1. ¿Cuáles son las dimensiones de las ruedas? ¿Por qué es importante saberlo? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Con qué se relaciona la altura de las ruedas? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

TECNOLÓGICOS

Para operar con π, en algunas calculadoras se digitan las teclas SHIFT y ×10x

▶ ESTRATEGIA

Plantear una ecuación La representación de las relaciones numéricas entre dos cantidades mediante un lenguaje algebraico te permitirá el planteamiento y resolución de una ecuación. 14

PLANIFICA 4. ¿Qué dato o procedimiento debes considerar para resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Cómo expresarías el número de vueltas en relación con la distancia recorrida? _______________________________________________________________ EJECUTA 6. Utiliza la estrategia elegida para calcular la distancia en metros que separa a Flavia y Aldo, y aproxima tu resultado al centésimo. © Santillana S. A.

▶ USO DE DISPOSITIVOS

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Resolución de problemas SITIO WEB

7. Calcula el número de vueltas que dan las bicicletas de Flavia y Aldo luego de recorrer 2 kilómetros.

Accede a http://goo.gl/7MPncd para profundizar tus conocimientos acerca de los números irracionales.

COMPRUEBA 8. Realiza cálculos que te permitan validar tus resultados.

CONCLUYE Y APLICA 9. Completa la tabla que registra el número de vueltas del 1 al 12 y la distancia recorrida por la bicicleta de Aldo. ¿Cuál será la menor cantidad de vueltas que permita avanzar un número exacto o casi exacto de metros? Usa la calculadora y aproxima tus resultados al centésimo. N.° de vueltas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Distancia  USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Ingresa la operación completa en la calculadora. Luego, observa la cifra del orden de los milésimos para poder aproximar al centésimo.

N.° de vueltas Distancia

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. ¿Qué clases de números son las distancias? ¿Cuántas cifras decimales tienen? ¿Tienen cifras periódicas? _______________________________________________________________

Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje. 1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver el problema?

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2. ¿Qué dificultades tuve para determinar y realizar las operaciones?

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿En qué situaciones de la vida diaria puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones. 1. Si la bicicleta de Flavia avanza 17 metros, ¿cuántas vueltas habrán dado sus ruedas, aproximadamente? Verifica tus resultados con la calculadora.

2. ¿Cuántos kilómetros tendrían que recorrer Flavia y Aldo, juntos, para que el número total de vueltas que realicen sus ruedas sumen 880? 15

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EN EQUIPO

En el centro comercial Sandra y Milagros van de compras a un centro comercial. Al llegar, Sandra sube al segundo nivel por la escalera eléctrica, mientras que Milagros la espera al pie de esta. Se sabe que la distancia horizontal del pie de la escalera a la proyección del punto más alto de la escalera mide 7 metros. Además, al llegar al segundo nivel, Sandra alcanza una altura de 5 metros con respecto al primer nivel. ¿Cuál será la longitud de la escalera eléctrica?

Manos a la obra ¿Qué medidas se identifican en la escalera eléctrica? ¿Cómo podríamos representar los datos de manera gráfica? ¿Habrá algún recurso gráfico en Internet que sirva para ubicar los datos y resolver el problema?

ACCIÓN REAL 1. Accede a http://web.geogebra.org/app y haz clic en “Geometría”. Explora previamente las diferentes herramientas para que identifiques sus usos.

5 4 Haz clic en cada botón para que observes las diferentes herramientas que podrás usar.

Haz clic derecho en el centro de la pantalla y elige las opciones “Ejes” y “Cuadrícula”.

3 2 1 0

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

0

1

2

3

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5

6

7

8

9

Vista Gráfica Ejes Cuadrícula Barra de Navegación Zoom EjeX : EjeY Encuadre de todos los objetos Vista estándar Vista Gráfica…

CONEXIÓN

16

2. Activa la herramienta ¿Qué se obtiene?

y marca los puntos A(0; 0), B(7; 0) y C(7; 5).

_______________________________________________________________ 3. Activa la herramienta y traza la circunferencia con centro en A y radio AC (figura 1). Luego, marca D en la intersección con el eje X.

© Santillana S. A.

Los enunciados relacionados con las características del triángulo formado por la escalera te permitirán su representación gráfica.

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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Laboratorio de Matemática

4. Activa la herramienta

y une los puntos A y D haciendo clic en cada uno

de ellos. Luego, activa la herramienta y haz clic en cualquier parte del segmento AD (figura 2). ¿Qué valor se obtiene? _______________________ 5

5 1 * π Supón que la altura

x 24 β ① 19

de la escalera midiera 1 metro menos. ¿Cuánto menos sería su longitud?

5. ¿Cuánto vale la hipotenusa? ¿Cómo representas su valor en la recta numérica?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

6. ¿A qué conjunto numérico pertenece dicho valor? ¿Cuál es su valor aproximado? ¿Qué representa en el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ RELATO

¿Cómo explicas el procedimiento para elegir la mejor aproximación____ al centésimo de √ ​  113 ​  ?

7. Si por equivocación se marca B(8; 0) y C(8; 7), ¿cuáles serían las medidas de la proyección de la escalera sobre el piso del primer nivel y la altura de la escalera eléctrica? _______________________________________________ 8. En el caso anterior, expresa de manera exacta y aproximada al centésimo la medida de la longitud de la escalera. _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 9. Representa en tu cuaderno la escalera sobre un plano cartesiano y utiliza el compás para determinar la longitud de la hipotenusa. Luego, verifica utilizando el teorema de Pitágoras.

Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje. 1. ¿Tuve dificultades para el uso de las herramientas de GeoGebra?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué nuevas herramientas de GeoGebra conocí en esta actividad? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿Qué situaciones de la vida diaria puedo resolver con GeoGebra?

Heteroevaluación Resuelve con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas por correo a tu profesor(a). 1. Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices A(1; 1), B(6; 6) y C(6; 1).

2. Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 u y 5 u. 3. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos __ ​  3 ​ u. midan 2 u y √

17

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EN PARES

Taller matemático 1

Medida de llaves Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En su taller de mecánica, Andrés tiene un juego de llaves para tuercas con medidas que van desde __ ​  1 ​  pulgada hasta 1 __ ​  1 ​  pulgada. Además, 2 2 ​  1  ​ de pulgada cada vez. las llaves van variando de medida ___ 16 1. ¿Cuántas llaves tiene Andrés en total? 2. Para ajustar cierta tuerca, la llave de 1 __ ​  1 ​  de pulgada es 4 demasiado grande y la de 1 __ ​  1 ​  de pulgada es demasiado 8 chica. ¿Qué tamaño de llave se necesita? 3. Julio y Pedro tienen que ajustar tuercas de diferente tamaño. Se sabe que para la tuerca de Julio, la llave de __ ​  1 ​  pulgada es demasiado pequeña y la de __ ​  5 ​  de pulgada es 2 8 demasiado grande. Además, para la tuerca de Pedro, la llave de __ ​  3 ​  de pulgada es 4 demasiado pequeña y la de __ ​ 7 ​  es demasiado grande. ¿Cuál es la diferencia entre la 8 medida de la tuerca de Julio y la medida de la tuerca de Pedro? Nos familiarizamos con la situación ¿Cuáles serán las medidas de las tres llaves más pequeñas? ¿Qué medidas de tuercas podrán ser ajustadas por las llaves de Andrés?

¿Cómo expresarías las medidas de las llaves con fracciones del mismo denominador?

1. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad? 18

Autoevaluación 1. Averigua en qué ocupaciones o actividades profesionales se utilizan llaves para tuercas y cuáles son las medidas más utilizadas.

© Santillana S. A.

Metacognición

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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EN EQUIPO

Taller matemático 2

Diseño del parque Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En una maqueta de un proyecto de urbanización, Valeria observa un parque circular cuyo contorno mide 125,6 metros de longitud y en cuyo centro hay un piso en forma de cuadrado. Se sabe que el perímetro del piso estará cercado por una reja, mientras que el resto del parque estará cubierto de césped. Considera la aproximación π = 3,14. 1. ¿Cuál es el área de la superficie que ocupa el parque? 2. 3.

¿Cuál es la longitud de la reja que rodeará el cuadrado central? ¿Cuál es la diferencia entre el área de la superficie del piso y el área de la superficie que estará cubierta de césped? Nos familiarizamos con la situación

¿Qué figuras identificas en la maqueta? ¿Qué elementos de las figuras aparecen como dato?

CONEXIÓN

Observa que todos los vértices del cuadrado inscrito pertenecen a la circunferencia circunscrita al cuadrado.

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender. 1. ¿Qué conocimientos que ya tenía pude profundizar?

© Santillana S. A.

2. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

3. ¿Qué dificultades tuve en el desarrollo de esta actividad? ¿Cómo las superé?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Calcula la longitud de la diagonal de__un cuadrado de 24 cm de perímetro. (​√ 2 ​ = 1,41)

2. Calcula el perímetro de un cuadrado cuyo lado coincide con la diagonal de otro cuadrado de 20 cm de perímetro. 3. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. ¿Cuál es la diferencia entre el área del círculo y el área de la región limitada por el hexágono?

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Shutterstock

EN PARES

Puntos en serie Un equipo de ingenieros prepara un proyecto de un circuito de cámaras de seguridad para un condominio. Un dibujante técnico será el encargado de representar en un plano la ubicación de las cámaras en un circuito en serie. Se sabe que la exactitud del trazo de los puntos garantizará que el circuito funcione correctamente. Además, las cámaras deberán estar ubicadas en los puntos __ __   ;  __ ​  4 ​  y ​√3 ​    + 1 u correspondientes a la longitud del pasadizo 1; ​√2 ​ 3 principal del condominio. ¿Cómo se conseguirá dibujar la ubicación de los puntos con precisión? En un futuro, ¿será posible incluir una cámara más? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Por qué es necesario elaborar un dibujo técnico? ¿Alguna vez has elaborado un dibujo que represente un objeto de tu entorno? ¿En qué orden irían los puntos que se mencionan?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿En qué consiste el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ La precisión de trazos y exactitud de medidas son muy importantes en trabajos de dibujo técnico.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué estrategia usarás para representar con precisión los puntos en el plano? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

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© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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Modelación matemática

HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR CONEXIÓN

Las características de los triángulos mencionados te permitirán representarlos y calcular lo que se indica.

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

6. Si se tiene un triángulo rectángulo con catetos de 1 u, ¿cuánto medirá su hipotenusa? ____________________________________________________ __

7. ¿Y si sus catetos midieran 1 u y ​√ 2 ​ u? ______________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 8. Indica el orden de los puntos correspondientes a las cuatro cámaras de seguridad. ¿Qué expresión permitirá ordenarlas con facilidad? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

SITIO WEB

9. Representa en la recta numérica los puntos del circuito.

Accede a http://goo.gl/Yf1Bj9 y selecciona “Play”. Observa cómo se representan números irracionales de manera gráfica.

▶ TEN EN CUENTA

Si entre dos puntos de una recta hay infinitos puntos, también se cumple que entre dos números reales hay infinitos números reales.

10. En relación con la recta numérica, ¿será posible incluir un número más entre dos números? Justifica con ejemplos o conocimientos matemáticos. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 11. ¿Cómo validarías el orden y la proximidad de la ubicación de los puntos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver el problema?

2. ¿Tuve dificultades al determinar el orden de los puntos o al representarlos de manera gráfica? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué situaciones de la vida diaria puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

Coevaluación 1. Supón que se desea incluir dos cámaras más: una al punto __ quinta cámara correspondiente __ ​√ 5 ​ y una sexta cámara a ​√ 6 ​ u de distancia de la anterior. Ubícalas en la recta.

2. Representa en la recta numérica el número ​ __ √ 8 ​ de dos maneras distintas. ¿Coinciden los puntos? Explica tus procedimientos. 21

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INDIVIDUAL

Columnas en el terreno Sobre un terreno rectangular, se han levantado seis columnas. Cuatro de ellas, A, B, C y D, están ubicadas en las esquinas, y otras dos, E y F, en los lados del terreno comprendidos entre las columnas A-B y A-D, respectivamente, cada una a 10 m de la columna A. Además, se sabe que la distancia entre las columnas E y F es la misma que entre las columnas E y B. Si el terreno tiene un área de 600 m2, ¿cuáles son las medidas de su largo y ancho? Expresa dichas medidas aproximadas al centésimo. Resolvemos paso a paso ¿Qué información se tiene? ¿Cómo representarías gráficamente la ubicación y las distancias de las columnas? ¿Qué datos adicionales necesitas para responder las preguntas? ¿Qué concepto o fórmula matemática debes utilizar?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Cómo podrías representar la información del problema? ¿Qué datos debes considerar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué nuevos datos puedes obtener a partir de la información inicial? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Qué estrategia te permitirá resolver este problema? a) Particularizar. 22

b) Utilizar el ensayo y error.

c) Hacer un gráfico.

© Santillana S. A.

Elabora un gráfico y representa cada uno de los puntos con sus respectivas distancias.

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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Resolución de problemas

EJECUTA  ESTRATEGIA

Hacer un gráfico Te facilita comprender la relación entre los datos de la situación para poder decidir qué propiedad geométrica aplicar. ¿Qué propiedad será?

7. Representa en un gráfico el terreno y los datos de las columnas.

8. Calcula la longitud de los lados AB y CD, y aproxímalas al centésimo. Luego, calcula la longitud del largo y ancho del terreno.

COMPRUEBA 9. ¿Cómo comprobarías la respuesta obtenida?

CONCLUYE Y APLICA Recuerda que trabajamos con aproximaciones de los números irracionales. Así, si queremos hallar (8,36125…)2 con aproximación al centésimo, en la calculadora ingresamos (8,36)2 = 69,8896 ≈ 69,89

10. ¿Cuántas cifras decimales tiene un número irracional? ¿Cómo aproximo un número irracional? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 11. A partir de los datos del problema, ¿cuál debería ser el área del terreno para que el cuadrilátero ABCD sea un cuadrado? Usa la calculadora y aproxima tus resultados al centésimo. ________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje.

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

2. Supón que en el problema inicial el área del terreno se reduce a la mitad. ¿En cuánto disminuirá su perímetro?

1. ¿Qué dificultades tuve al determinar las operaciones necesarias para responder las preguntas? ¿Cómo las superé? © Santillana S. A.

Coevaluación

3. ¿En qué situaciones de la vida diaria necesitaré operar con números racionales e irracionales?

1. Calcula la distancia entre los puntos E-C, B-D y C-F. Aproxima al centésimo las medidas de los lados.

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Al llegar a Marcahuasi, Andrés, Bruno y César se ubican en un mismo punto para conversar y deciden armar sus carpas en lugares distintos. Andrés instala su carpa en dicho punto, mientras que Bruno avanza 300 metros al norte y, luego, 200 metros al este para acampar. Por su parte, César avanza 500 metros al este e instala allí su carpa. En la mañana siguiente, Andrés decide visitar las carpas de sus dos amigos, pero no se decide si ir primero a la carpa de Bruno y de ahí a la carpa de César o viceversa. ¿En cuál de las dos opciones recorrerá una menor distancia? ¿Cuánto menos recorrerá?

Carlos Sala

INDIVIDUAL

Acampando en Marcahuasi

Marcahuasi, provincia de Huarochirí, región Lima.

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Cómo podrías representar los datos de manera gráfica? ¿Qué sentido describe un desplazamiento al norte, sur, este y oeste? ¿Cómo calcularías la distancia entre las dos carpas?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Observa que Bruno y César parten desde la carpa de Andrés.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Los desplazamientos descritos según los puntos cardinales permiten precisar las distancias recorridas.

3. ¿Qué estrategia usarás? ¿Qué conocimiento te ayudará a obtener los datos que faltan? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR 4. Si Andrés parte de su carpa y avanza 20 metros al norte y luego 15 metros al oeste, ¿a qué distancia de su carpa se encuentra? _______________________________________________________________

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© Santillana S. A.

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

UNIDAD 1 / NÚMEROS REALES. TRIÁNGULOS

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6/10/16 12:42 PM

Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA CONEXIÓN

Las características de los desplazamientos te permitirán representar triángulos rectángulos y aplicar propiedades.

5 *1 Una vez instaladas π

x 24 β ① 19

las tres carpas, Bruno decide trasladar la suya hacia el este para que Andrés

7. Sean tres triángulos semejantes cuyos lados correspondientes coinciden con los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo. Comprueba y comenta si se cumple el teorema de Pitágoras. Luego, anota tus observaciones. 8. ¿Se puede afirmar que el teorema de Pitágoras es una propiedad de todo triangulo rectángulo? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

▶ TEN EN CUENTA

Si construimos figuras semejantes sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, se verifica que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos.

9. Utiliza los desglosables 4 y 5 de las páginas 359 y 361. Coloca uno de los cuadrados sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo y, con las piezas que forman el otro cuadrado, demuestra geométricamente el teorema de Pitágoras a través de la composición de áreas. 10. Lee la información del margen y resuelve la situación inicial. ¿Cuántos kilogramos de abono se necesitarán para los tres jardines?

11. ¿Podemos decir que hay varias formas de demostrar el teorema de Pitágoras? Justifica tu respuesta. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultad al manipular material concreto y representar las figuras asignadas? 2. ¿Qué estrategia apliqué para realizar las demostraciones gráficas?

3. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar los conocimientos revisados en esta actividad?

Heteroevaluación Realiza las siguientes actividades en hojas A4 y luego entrégaselas a tu profesor(a).

1. Utiliza el desglosable 5 de la página 361 y demuestra el teorema de Pitágoras de manera geométrica con áreas de trapecios. 2. Elabora un organizador gráfico que resuma las relaciones que representa el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos.

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4/8/16 3:48 PM

EN EQUIPO

Faro que ilumina A 27 metros sobre el nivel del mar, se ha ubicado un faro para iluminar a los navegantes. Si la distancia desde un barco a la parte superior del faro es de 123 metros, ¿a qué distancia de la base del faro se encuentra el barco?

Manos a la obra ¿A qué distancias se hace referencia en el enunciado del problema? ¿Cómo podrás representar esas distancias a través de un modelo geométrico?

INTERROGACIÓN ▶ VOCABULARIO

Nivel del mar:

__________________ __________________ __________________ __________________ __________________

1. ¿Qué información presenta el problema? ¿Mediante qué elementos matemáticos se puede representar de manera gráfica dicha información? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué figura forman los puntos y segmentos representados? ¿Recuerdas alguna característica de esta figura? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA

▶ TEN EN CUENTA

En un triángulo rectángulo se cumplen las relaciones métricas siguientes:

3. ¿En cuáles de los triángulos se cumplen alguna de las relaciones métricas? ¿Qué clase de triángulo serían? ① ② C ③ C

C

b A

a

h

m

A

c

n

a2 + b2 = c2 b2 = mc a2 = nc h2 = mn

5

A

B

20

④

B

26

C

6

B C

⑤

A 4

6 9

B

6

7 A

C

24

10

9

8

B

A

3

12

B

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué puedes afirmar del ángulo C de cada triángulo? 5. ¿Qué conocimientos usarías para demostrar estas relaciones? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

108 UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Modelo de Van Hiele

6. Representa mediante un gráfico la situación inicial. Luego, aplica la propiedad de los triángulos rectángulos que te permita resolver el problema.

5

*1 π x 24 β ① 19

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 52 cm. Halla las medidas de sus catetos si están + < 5 representados por 73 Ω números enteros.

> 5 *1 π

EXPLICACIÓN 7. ¿Qué relación se cumple en los triángulos rectángulos con respecto a la medida de sus lados? _____________________________________________ 8. Explica los procedimientos realizados. ¿Cómo reconoces a un triángulo rectángulo?

x 24 β ① 19

ORIENTACIÓN LIBRE

HECHOS HISTÓRICOS

El filosófo y matemático griego Pitágoras (582-500 a.C.) es considerado el primer matemático puro. Formuló el teorema que lleva su nombre. Sus discípulos crearon la llamada Orden de Pitágoras, adoptando como emblema la estrella pentagonal al considerarla un símbolo de salud y hermandad. En http://www.ugr. es/~eaznar/pitagoras.htm

9. Desde un mismo punto de una ciudad, dos ciclistas parten en dirección recta, uno hacia el este y el otro hacia el norte. Determina la distancia que separa a los ciclistas después de dos horas si sus velocidades son de 30 km/h y 45 km/h, respectivamente.

INTEGRACIÓN 10. ¿Qué propiedad has empleado? ¿En qué casos se usa? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades para comprender y resolver el problema? ¿Cómo las superé? 2. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

3. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar el teorema de Pitágoras?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1) Supón que el barco se acerca 84 metros hacia la base del faro. ¿A qué distancia se encontrará de la parte superior del faro? 2) Si la parte superior de una escalera de 6,5 m se apoya en la pared a una altura de 5,2 m, ¿a qué distancia de la pared se encuentra el pie de la escalera?

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EN EQUIPO

Maqueta y construcción Andrés va a elaborar una maqueta de una construcción colonial y va a incluir en ella un patio en forma de triángulo rectángulo con ángulos de 30° y 60°. ¿Cómo dibujará exactamente dicho patio triangular si no cuenta con un transportador?

Manos a la obra ¿Qué características del triángulo rectángulo debes considerar? ¿Qué estrategia puedes utilizar si no cuentas con un transportador?

INTERROGACIÓN ▶ TEN EN CUENTA

La papiroflexia es el arte de hacer figuras de papel. Aunque está prohibido usar tijera, nosotros sí la utilizaremos para poder entender mejor la geometría.

1. Imagínate el patio. Luego, realiza la construcción empleando palitos de chupete o sorbetes. 2. ¿Qué figura podrías construir mediante dobleces de modo que te permitan obtener ángulos de 30° y 60°? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA Construye un triángulo equilátero mediante dobleces. Sigue estos pasos:

– Ubica la hoja en forma vertical, dóblala por la mitad y traza la mediatriz obtenida en el lado menor de la hoja (figura 1).

– Denota los vértices inferiores por A y B. Luego, lleva el vértice B a la mediatriz, marca un doblez que pase por A y determina el punto C (figura 2). ___ ___ ​  y CB​ ​  , así obtendrás el triángulo – Desdobla y traza una recta por CA​ equilátero ABC (figura 3). – Finalmente, corta en dos el triángulo ABC y obtendrás dos triángulos rectángulos notables de 30° y 60° (figura 4).

– 2 hojas de papel tamaño A4 – Regla graduada – Lápices – Tijeras – Transportador (para verificar los resultados)



A

Figura 1

B

A

Figura 2

C

A

Figura 3

C

B

A

Figura 4

B

EXPLICACIÓN 3. ¿Qué función cumple el primer doblez que se realiza a la hoja? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

C B

MATERIALES

110 UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Modelo de Van Hiele - Plegado de papel

4. ¿Qué se busca con el doblez descrito en la figura 2? _______________________________________________________________ ___ ___ 5. Al trazar el triángulo ABC, ¿cómo serán las medidas de BC​ ​  y AC​ ​ ? 

RECUERDA

La relación de los lados de un triángulo notable de 37° y 53° es 3k, 4k y 5k.

_______________________________________________________________ 6. Cuando un triángulo equilátero es cortado por una de sus mediatrices, ¿en qué figuras se descompone? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE 7. ¿Cómo construirías mediante dobleces un triángulo rectángulo de 37° y 53°? Dibuja tus procedimientos y evalúa su efectividad.

CONEXIÓN

El uso de la constante de proporcionalidad de los triángulos rectángulos notables te permitirá dibujar el triángulo indicado.

Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

INTEGRACIÓN 8. Completa con el nombre del elemento geométrico que corresponda. − La _______________________ es una línea perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes de igual medida.

− Un triángulo rectángulo isósceles tiene sus __________________________ de igual medida. Sus ángulos miden _______________________________. 9. En equipo evalúen la efectividad del plan desarrollado con relación a cada integrante.

Metacognición 1. ¿Qué recursos utilicé para resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Tuve dificultades al manipular material concreto? ¿Cómo las superé? 3. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

4. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar el teorema de Pitágoras?

Heteroevaluación Realiza la actividad siguiendo las instrucciones y luego entrégasela a tu profesor(a).

1. Utiliza una hoja de papel de 16 cm × 22 cm y construye a través de dobleces un triángulo de 37° y 53°. ¿Cuál es el perímetro del triángulo construido? 111

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Andrea y Elías van de paseo por el Parque Universitario de Lima, que tiene como uno de sus atractivos la Torre Alemana, también llamada Torre del Reloj. Dicha torre despertó, en ambos, la curiosidad de querer saber cuál era su altura. Para saberlo, ellos se situaron en dos puntos colineales a la torre para observar su parte más alta. Elías, desde su posición, la observa con un ángulo de 45°, mientras que Andrea se ubica 20 metros detrás de él y la observa con un ángulo de 30°. Si la estatura de ambos es 1,60 metros, ¿cuánto mide la Torre del Reloj?

Carlos Sala

EN EQUIPO

La altura de la torre

Parque Universitario, Lima Metropolitana.

Manos a la obra ¿Qué relación encuentras entre la distancia de Elías a la torre y la de Andrea a la torre? ¿Qué sucederá con el ángulo de observación de Elías si se acerca a la torre?

INTERROGACIÓN ¿Cuándo decimos que hay un ángulo de elevación y de depresión?

1. Representa la situación utilizando paliglobos y limpiatipos. Puedes apoyarte con otros recursos. 2. En cada una de las observaciones, ¿qué figura forma la distancia del observador al pie de la torre, la altura de la torre y la distancia desde la cabeza del observador a la parte más alta de la torre? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA 3. Grafica la situación planteada inicialmente. Ayúdate de los triángulos notables.

VIII IX X



VI

V

IIV

II III IV

XI XII I

RECUERDA

Triángulos rectángulos notables __ ​√2    ​k 

45°

k

45° k 2k

k

4. Realiza las operaciones que te permitan calcular la altura de la torre. © Santillana S. A.

30° __ √ ​ 3    ​ k

60°

112 UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN

SITIO WEB

Accede a https://goo.gl/FVpNg Luego, escribe Triángulos rectángulos especiales en el buscador y explora.

5. ¿Qué elemento geométrico representa la distancia de la persona a la parte superior de la torre? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Es relevante el dato sobre la estatura de Andrea y Elías? ¿Por qué? _______________________________________________________________ 7. ¿Fue efectivo el procedimiento que usaste? ¿Cuál es la altura de la torre? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE 8. Resuelve el siguiente problema:

CONEXIÓN

El uso de la constante de proporcionalidad de los triángulos rectángulos notables te permitirá calcular las dimensiones necesarias para la solución del problema.



RECUERDA

Este es el triángulo notable de 16° y 74°: 25k 16° 24k

74° 7k

Ernesto sabe que cuando se coloca a 12 metros de la base del asta de una bandera, puede observar la parte superior con un ángulo de 16°. Si sus ojos están a 1,63 metros sobre el piso, ¿a qué altura está la parte superior del asta?

INTEGRACIÓN 9. En un triángulo rectángulo se tiene la hipotenusa c, el cateto a que se opone al ángulo de 25°, y el cateto b que se opone al ángulo de 65°. ¿Qué relación de orden hay entre las medidas de a, b y c? ___________________________ 10. Expresa el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 15 cm. Aproxima al centésimo. ________________________________

Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje.

1. ¿En qué medida la aplicación de estos conocimientos me permiten calcular distancias inaccesibles?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades tuve para resolver el problema? ¿Cómo las superé?

3. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

4. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar el teorema de Pitágoras?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones. 1. Supón que Andrea quiere observar la parte más alta de la torre con un ángulo de 37°. ¿Deberá acercarse o alejarse de la torre? ¿Cuántos metros? 2. Andrés se encuentra parado a 36 m de la base de un edificio. Si observa la cima del edificio con un ángulo de 37°, ¿qué altura tiene el edificio?

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EN EQUIPO

El poder del viento Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Villazed está contemplando construir varias centrales de energía eólica para producir electricidad. El Ayuntamiento de Villazed recogió información sobre el siguiente modelo. Modelo: E-82 Altura de la torre: 138 metros Número de palas del rotor: 3 Longitud de una pala del rotor: 40 metros Velocidad máxima de rotación: 20 vueltas por minuto Precio de construcción: 3 200 000 zeds Facturación: 0,10 zeds por kWh generado Coste de mantenimiento: 0,01 zeds por kWh generado Rendimiento: Operativa el 97 % del año Nota: El kilovatio-hora (kWh) es una unidad de medida de la energía eléctrica. Nos familiarizamos con la situación ¿Qué es la energía eólica? ¿Qué características físicas tiene? ¿Sabes a qué distancia se coloca una central de energía eólica de otra?

Indica si los siguientes enunciados sobre la central de energía eólica E-82 pueden deducirse de la información facilitada. Rodea con un círculo Sí o No según corresponda a cada enunciado.

Conoce más sobre la situación inicial

Enunciado

Se aplicó a nivel internacional en el año 2012 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

La construcción de tres de las centrales de energía costará más de 8 000 000 de zeds en total.

Los costes de mantenimiento de la central de energía corresponden, aproximadamente, al 5 % de su facturación. Los costes de mantenimiento de la central de energía eólica dependen de la cantidad de kWh generados.

Tuvo como finalidad evaluar el valor numérico de fórmulas y la distancia entre puntos.

Exactamente durante 97 días al año, la central de energía eólica no está operativa.

2.



¿Puede este enunciado deducirse de la información facilitada? Sí / No Sí / No Sí / No Sí / No

Villazed desea calcular los costes y el beneficio que generaría la construcción de esta central de energía eólica.

El alcalde de Villazed propone la siguiente fórmula para calcular el beneficio económico E (en zeds) durante una serie de años a si construye el modelo E-82.

E = 400 000 a – 3 200 000 Beneficio de la producción anual de electricidad

Costes de construcción de la central de energía eólica

Según la fórmula del alcalde, ¿cuál es el número mínimo de años de funcionamiento requeridos para cubrir los costes de construcción de la central de energía eólica?

a) 6 años

b) 8 años

c) 10 años

d) 12 años

© Santillana S. A.

1.

114 UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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4/8/16 3:48 PM

Taller matemático 9 (problema liberado PISA)

3.

▶ TEN EN CUENTA

La distancia entre dos postes está determinada por segmentos en sentido horizontal, vertical y diagonal.







Villazed ha decidido erigir varias centrales de energía eólica E-82 en un terreno cuadrado (longitud = anchura = 500 m).

250 m

250 m

Según las normas de construcción, la distancia mínima entre las torres de dos centrales de energía eólica de este modelo debe ser igual a cinco veces la longitud de una pala del rotor.

El alcalde de la villa ha realizado = Torre de una central de energía eólica Nota: El dibujo no está a escala. una propuesta para distribuir las centrales de energía eólica sobre el terreno. Dicha propuesta se muestra en el dibujo de la derecha.

Explica por qué la propuesta del alcalde no cumple las normas de construcción. Justifica tu razonamiento por medio de cálculos.

CONEXIÓN

La aplicación del teorema de Pitágoras te permitirá calcular la distancia entre las torres y resolver la situación.

4.

¿Cuál es la velocidad máxima a la que se mueven los extremos de las palas del rotor de la central de energía eólica? Desarrolla el proceso para hallar la solución y expresa el resultado en kilómetros por hora (km/h). Consulta la información anterior sobre el modelo E-82.

Velocidad máxima: _____________________ km/h. Metacognición 1. ¿Tuve dificultades al leer la información acerca de la central de energía descrita?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué conocimiento utilicé para resolver el problema? 3. ¿En qué medida la interpretación de información me permite comprender los beneficios de un proyecto de desarrollo en mi comunidad?

Heteroevaluación 1. Si el alcalde de Villazed te pide una propuesta para distribuir las centrales de energía eólica sobre el mismo terreno, ¿qué gráfica propondrías? 2. ¿Cuánto será el beneficio económico que generaría durante 15 años la construcción de la central de energía eólica?

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Los niveles de CO2 Traducción compleja

Porcentaje de cambio en los niveles de emisión desde 1990 a 1998

Tuvo la finalidad de comparar los porcentajes de cambio en los niveles de emisión de CO2 entre 1990 y 1998.

4208 4041

Porcentaje de cambio en los niveles +11% de emisión

–35%

Japón

Canadá

1209 1020 Australia

218 236 Unión Alemania Europea –4%

+10%

+13%

+15%

Países Bajos

–16% +8%

1.

En el diagrama se puede leer que el aumento de emisiones de CO2 en Estados Unidos del año 1990 al año 1998 fue del 11 %. Escribe los cálculos para demostrar cómo se obtiene ese porcentaje.

2.

Luisa y Antonio discuten sobre qué país (o región) tuvo el mayor aumento en emisiones de CO2. Cada uno llega a conclusiones diferentes basándose en el diagrama. Da dos posibles respuestas correctas a esta pregunta y explica cómo se puede obtener cada una.

Conoce más sobre la situación inicial Se aplicó a nivel internacional en el año 2003 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

Rusia

Metacognición 1. ¿Para qué me servirá lo que aprendí?

2. ¿En qué medida la interpretación adecuada de las cantidades porcentuales me permite realizar una correcta lectura de la información en tablas y gráficos? 3. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. ¿De cuántos millones de toneladas fue el aumento de CO2 en Japón desde 1990 hasta 1998? 2. Demuestra cómo se obtuvo el –35 % de nivel de emisión de CO2 desde 1990 hasta 1998.

© Santillana S. A.

¿Qué representan las barras de color blanco y negro? ¿Qué indican las flechas? ¿Qué porcentaje de nivel de CO2 ha aumentado o descendido en cada país?

Estados Unidos

423 485

El siguiente diagrama muestra los niveles de emisión de CO2 en 1990 en varios países o regiones (barras claras), los niveles de emisión en 1998 (barras oscuras) y el porcentaje de cambio en los niveles de emisión entre 1990 y 1998 (flechas con porcentajes).

Emisiones en 1990 (millones de toneladas de CO2) Emisiones en 1998 (millones de toneladas de CO2)

612 692

7 000 6 500 6 000 5 500 5 000 4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500

1213 1331

Muchos científicos temen que el aumento del nivel de gas CO2 en nuestra atmósfera esté causando un cambio climático.

Nos familiarizamos con la situación

Interpretación, aplicación y valoración

3040

Traducción simple

1962

Familiarización

6049 6727

EN EQUIPO

Taller matemático 10 (problema liberado PISA)

116 UNIDAD 2 / PROPORCIONALIDAD. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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Encuestas y variables. Progresiones Carlos Sala

3

Gestión de datos e incertidumbre Regularidad, equivalencia y cambio

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Matematizar situaciones • Organizar datos en variables cuantitativas (discreta y continua) y cualitativas, datos provenientes de variadas fuentes de información y determinar una muestra representativa en un modelo basado en gráficos estadísticos. • Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. Comunicar y representar ideas matemáticas • Redactar preguntas cerradas y abiertas respecto de la variable estadística de estudio para los ítems de la encuesta. Elaborar y usar estrategias • Determinar la muestra representativa de un conjunto de datos, usando criterios aleatorios y pertinentes a la población al resolver problemas. • Recopilar datos provenientes de su comunidad referidos a variables cualitativas o cuantitativas usando una encuesta de preguntas cerradas o abiertas. • Diseñar y ejecutar un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. • Juzgar la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar las tendencias observadas en un conjunto de variables relacionadas. • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.

Matematizar situaciones • Determinar relaciones no explícitas en fuentes de información sobre regularidades, y expresar la regla de formación de sucesiones crecientes y decrecientes, y de una progresión geométrica. • Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. • Contrastar reglas de formación de una sucesión creciente y decreciente, y de una progresión geométrica, de acuerdo con situaciones afines. Comunicar y representar ideas matemáticas • Relacionar representaciones tabulares, gráficas y simbólicas de una misma progresión geométrica, sucesión creciente y decreciente. • Interpolar términos formados por una progresión geométrica, sucesión creciente y decreciente. Elaborar y usar estrategias • Calcular la suma de n términos de una progresión geométrica. • Hallar el valor de un término de una sucesión creciente, decreciente y progresión geométrica, con recursos gráficos y otros. • Juzgar la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Generalizar características de una sucesión creciente y decreciente. • Proponer conjeturas basadas en casos particulares para generalizar la suma de una progresión geométrica. • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos. 117

117_137 CTU3M4_lici.indd 117

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EN PARES

Aprendiendo a preguntar Los estudiantes de cuarto grado de Secundaria harán un estudio sobre las edades, el color favorito, el deporte que practican y el número de hermanos de los estudiantes de los distintos grados de su institución. Inicialmente quieren conocer el tipo de variable y luego proponer preguntas para la elaboración de una encuesta. Nos preguntamos previamente ¿Qué es una variable? ¿Qué es una encuesta? ¿Qué tipos de variables conoces? ¿Qué tipos de variables existen en la situación? ¿Qué es una pregunta abierta? ¿Y una pregunta cerrada? ¿Qué interrogantes propondrías para cada variable?

ACCIÓN 1. ¿Qué actividad van a realizar los estudiantes de cuarto grado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué será más conveniente: aplicar la encuesta a toda la población o a una muestra? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ¿Qué ventaja tiene aplicar una encuesta a toda la población?

FORMULACIÓN 3. ¿Cómo se clasifican las variables? Explica. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué es lo primero que harás? ¿Y luego? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

5. ¿Qué características tienen las preguntas abiertas? ¿Y las preguntas cerradas?

118 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 6. Completa la tabla según las características de las variables. SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/KFmgXi y amplía tus conocimientos sobre la historia de la estadística.

1

Variable

Tipo de variable

2 3 4

7. Redacta una pregunta abierta y una cerrada para cada caso. Variable 1

Organízate con algunos compañeros y elaboren un organizador visual que resuma los tipos de variables estadísticas, así como los tipos de preguntas que se pueden emplear en una encuesta.

Variable 2

Variable 3

Variable 4

INSTITUCIONALIZACIÓN 8. Compara tus propuestas con las de tus compañeros(as). ¿Qué semejanzas hay? ¿Y qué diferencias? 9. Justifica por qué en algunos casos conviene utilizar preguntas abiertas.

© Santillana S. A.

Metacognición

Autoevaluación

1. ¿Qué dificultades tuve al resolver la situación? ¿Cómo las superé?

1. Menciona las semejanzas y diferencias entre los diferentes tipos de variables.

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. Explica en qué situaciones son convenientes las preguntas cerradas en una encuesta.

2. ¿En qué medida el trabajo en pareja me ayudó a intercambiar y comprobar mis respuestas?

2. ¿Qué gráfico será apropiado para representar los datos de cada uno de los tipos de variables?

119

117_137 CTU3M4_lici.indd 119

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La lista que se muestra contiene la preferencia de dos grupos de estudiantes de la promoción por algún animal de la zona andina.

Shutterstock

EN PARES

Animal preferido

Lista 2: 4.° B

1. Zorro

11. Zorro

21. Cuy

31. Zorro

41. Cuy

2. Cuy

12. Zorro

22. Zorro

32. Zorro

42. Zorro

3. Zorro

13. Zorro

23. Zorro

33. Zorro

43. Zorro

4. Zorro

14. Alpaca

24. Zorro

34. Cuy

44. Cuy

5. Zorro

15. Zorro

25. Zorro

35. Cuy

45. Alpaca

6. Alpaca

16. Zorro

26. Cuy

36. Cuy

46. Zorro

7. Trucha

17. Alpaca

27. Cuy

37. Zorro

47. Zorro

8. Zorro

18. Trucha

28. Cuy

38. Zorro

48. Zorro

9. Cuy

19. Trucha

29. Alpaca

39. Alpaca

49. Cuy

10. Zorro

20. Cuy

30. Alpaca

40. Alpaca

50. Trucha

Shutterstock

Lista 1: 4.° A

Shutterstock

Para escoger una muestra representativa, se pide la opinión a dos estudiantes: Adriana piensa que se debe escoger al 20 % de cada lista cuyo número de orden sea un múltiplo de 5. Bruno considera que se seleccione a 20 estudiantes, 10 de cada sección, porque así se incluiría a casi la mitad del total.

¿Cuál de las muestras reflejará un resultado más cercano al de toda la población: la de Adriana o la de Bruno?

Resolvemos paso a paso ¿Conoces a todos los animales mencionados? ¿Qué tienen en común? ¿Cómo obtienes el 20 % de una cantidad? ¿Qué significa que una muestra sea representativa?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué estrategia te permitirá analizar las muestras y resolver la situación? a) Hacer un gráfico.

b) Buscar patrones.

c) Hacer una lista sistemática.

4. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

120 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Resolución de problemas

EJECUTA  ESTRATEGIA

Hacer una lista sistemática Determinar todos los elementos de las muestras te permitirá compararlas entre sí y con la población para sacar conclusiones.

¿De qué tamaño es la muestra de Adriana?

5. Completa las listas con las consideraciones de cada muestra. Luego, determina las preferencias indicando la cantidad y el porcentaje. Muestra de Adriana 

Preferencias:

Muestra de Bruno 

Preferencias:

COMPRUEBA 6. Determina las preferencias de toda la población de estudiantes. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

HECHOS HISTÓRICOS

El estadista británico Francis Galton (18221911) estudió las diferencias individuales de las capacidades humanas. Al tener gran cantidad de datos, empezó a utilizar los primeros análisis estadísticos. En http://goo.gl/Dc09hQ

7. ¿Cuál de las muestras refleja un resultado más parecido al de la población? ¿Por qué? ______________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 8. ¿Qué ventajas tenía la muestra de Bruno respecto de la muestra de Adriana? _______________________________________________________________ 9. Supón que Bruno mantiene el tamaño de su muestra, pero la determina escogiendo los 10 primeros números pares de cada lista. ¿Cómo varían sus resultados? ______________________________________________________

Metacognición

Heteroevaluación Respondo estas preguntas y analizo mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué recursos y estrategias apliqué para resolver el problema?

2. ¿Cómo superé las dificultades que se me presentaron en la resolución de las preguntas? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a). 1. ¿Cuál es la diferencia entre un muestreo aleatorio simple y uno sistemático?

2. Se tiene una población de 450 individuos. Si se dispone de recursos suficientes para trabajar con una muestra mayor al 12 %, pero menor al 18 %, ¿cuál es el posible tamaño de la muestra? 121

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Flor Ruíz

EN EQUIPO

Para conocernos más La percepción de los roles que desempeñan los hombres y las mujeres tiene un gran impacto en la forma de organización y desarrollo de nuestra sociedad. En la actualidad existe una serie de esfuerzos organizados para erradicar los estereotipos, pero ¿qué tan consciente de estas desigualdades se encuentra la generación que está a puertas de la edad adulta? A través de una encuesta, realiza un pequeño diagnóstico de la existencia del sesgo de género en tu institución educativa. Indagamos ¿Qué es un estereotipo de género? ¿Cuáles son los estereotipos que existen en tu comunidad? ¿Qué opinas acerca de ellos?

DESARROLLO DEL PLAN 1. ¿Sobre qué tema vas a investigar? ¿Qué es lo primero que tienes que hacer? ▶ TEN EN CUENTA

Un estereotipo es una idea con carácter inmutable aceptada comúnmente por un grupo o sociedad.

_______________________________________________________________ 2. Determina las características de la muestra y completa. Tamaño: ________ N.° de varones: ________ N.° de mujeres: ________

Grado: _______________ Edad: _____________

3. Elabora la encuesta en consenso con tu equipo de trabajo. Para ello, luego de los datos generales, propón otras preguntas como las sugeridas (agrupar las preguntas te ayudará en la evaluación y a sacar conclusiones). A. Concepción de los géneros Considera preguntas cerradas y abiertas. Además, utiliza un muestreo estratificado para que un mismo estudiante no sea entrevistado dos veces.

• Marca las actividades según sean propias de varones (V), mujeres (M) o de ambos (A). Cocinar

(

_____________ (

)

Estudiar

)

(

)

_____________ (

)

• Coloca V, M o A según corresponda. Son más sensibles (

)

Cocinan mejor (

)

_____________ (

)

_____________ (

)

_____________ (

)

B. Uso de redes sociales • ¿Cuál de las redes siguientes utilizas más? Facebook Pinterest

(

(

)

)

Instagram

WhatsApp

(

(

)

)

Twitter (

)

• ¿Son importantes las redes sociales? ¿Por qué? ___________________ C. Percepción del futuro • ¿Cuáles son las profesiones preferidas por las mujeres? __________________________________________________________

© Santillana S. A.

__________________________________________________________

122 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Investigación escolar

• ¿Cuáles son las profesiones preferidas por los varones?

Si deseas, agrega otras preguntas o considera otros aspectos, pero no te excedas en el número de preguntas abiertas.

__________________________________________________________ • Completa las expresiones según tu opinión. El cuidado de los hijos es responsabilidad de ___________________. Las tareas del hogar corresponden a __________________________. _____________________________

_______________________.

_____________________________

_______________________.

RECOLECCIÓN Y MANEJO DE DATOS 4. Completa la ficha y aplica la encuesta según las instrucciones de tu profesor(a). Algunas fichas puedes aplicarlas durante la clase, y el resto, durante el recreo. Organiza las respuestas de cada pregunta en una tabla de frecuencias. 5. En cada tabla de frecuencias debes considerar ________________________,

________________________________ y ________________________________.

6. Luego, las tablas las puedes representar mediante ______________________. ANÁLISIS DE DATOS ▶ TEN EN CUENTA

Necesitas una ficha de encuesta para cada persona. Por ello, fotocopia la ficha según la cantidad de estudiantes a los que encuestarás.

7. Identifica las respuestas con mayor preferencia y exprésalas como porcentaje. Por ejemplo: • El _______ % de los encuestados piensa que la profesión preferida por



las mujeres es ____________________________.

• El _______ % de los varones considera que el cuidado de los hijos es tarea

de ____________________________.

CONCLUSIONES Expresa como mínimo dos conclusiones de cada aspecto investigado.

8. ¿Qué estereotipos de género encontraste? _____________________________ _______________________________________________________________ Metacognición Respondo las preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué rol asumí en el trabajo en equipo?

© Santillana S. A.

2. ¿Cómo nos organizamos las tareas al interior del equipo? ¿Cumplimos con nuestra responsabilidad? 3. ¿En cuál de los momentos el equipo tuvo mayor dificultad? ¿Cómo la resolvimos?

4. ¿Qué otras situaciones puedo estudiar a partir de esta investigación?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Escoge uno de los aspectos de la investigación, elabora una tabla o un gráfico estadístico con los datos de las encuestas que aplicaste y saca conclusiones. Luego, compara tus resultados con los obtenidos por lo demás miembros del equipo. ¿Qué semejanzas y diferencias encuentras? ¿A qué conclusión llegas? 123

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Se quiere determinar cuánto tiempo dedican al deporte los adolescentes de una localidad. Se sabe que el 98 % de ellos proviene de uno de estos barrios: América, Bellavista, Concordia y Dominicos. Se decide estratificar la muestra clasificando a los adolescentes entre 13 y 16 años por sexo y barrio de procedencia. Para ello, se cuenta con gráficos extraídos de estudios descriptivos de la municipalidad de la localidad. Se sabe que solo se dispone de recursos para entrevistar al 20 % de los adolescentes. ¿Qué tipo de muestreo se aplicó? ¿Por qué? ¿Cuántos varones se considerarán en la muestra? ¿Cuántas mujeres que provienen de Bellavista se considerarán en la muestra?

58,33 %

73,58 % A

350 300 250 200 150 100 50 0

Adolescentes entre 13 y 16 años 304

156 105 53 A

B

80,95 %

B

C D Barrio de procedencia

15,46 %

19,05 %

26,42 %

41,67 %

Número de adolescentes

EN EQUIPO

Deporte y tiempo libre

Masculino Femenino

84,54 % C

D

Resolvemos paso a paso ¿Cuántas horas semanales dedicas al deporte? ¿Cómo está presentada la información? ¿En qué barrio hay más varones? ¿Y más mujeres?

COMPRENDE 1. Resume el problema dado. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué estrategia te permitirá analizar las muestras y resolver la situación? a) Generalizar

b) Hacer un gráfico

c) Usar una tabla

4. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

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_______________________________________________________________

124 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Resolución de problemas

EJECUTA  ESTRATEGIA

Usar una tabla Representar los datos de los gráficos estadísticos en una tabla te permitirá relacionar las dos variables y facilitará los cálculos.

¿Cómo calculas el 20 % de una cantidad?

5. Calcula el total de adolescentes entre 13 y 16 años de la localidad.

6. Según los recursos con los que se cuenta, ¿a cuántos adolescentes se podrán entrevistar en total? ¿A cuántos adolescentes de cada barrio se entrevistarán?

7. Completa la tabla con la composición de la muestra. Luego, responde las preguntas de la situación inicial. Masculino

América

Bellavista

Concordia

Dominicos

Femenino Total

_______________________________________________________________ COMPRUEBA 8. Plantea operaciones combinadas y verifica tus respuestas.

CONEXIÓN

Observa que la composición de la muestra se obtiene del cálculo porcentual de los componentes de la población por institución educativa y por sexo en cada caso.

CONCLUYE Y APLICA 9. ¿La muestra es representativa? Justifica. _______________________________________________________________ 10. Si los recursos aumentan para entrevistar, aproximadamente, al 30 %, ¿cuántos varones se entrevistarán en Concordia? _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué dificultades tuve al realizar la composición de la muestra? ¿Cómo las superé? 2. ¿Cómo puede contribuir lo que aprendí en la composición de grupos que sean objeto de estudio? 3. ¿Qué ventajas tiene usar una tabla para organizar los datos?

Heteroevaluación 1. Supón que se incluye a otro barrio en el que los adolescentes entre 13 y 16 años corresponden al 80 % de los adolescentes de Dominicos. Además, se incrementan los recursos para entrevistar al 35 % de la población. ¿Cuál será el tamaño de la muestra? 125

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EN EQUIPO

Muestras y preferencias PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Uno de los temas de interés de los estudiantes de los últimos años de Secundaria está vinculado con la elección de la profesión que les gustaría seguir. Al informarse sobre la demanda de las carreras, los estudiantes van encontrando diferencias según el género: masculino y femenino. Los estudiantes realizarán una investigación con adolescentes que cursan el tercer y cuarto grado de Secundaria para conocer las profesiones preferidas por varones y mujeres. Como no se entrevistará a todos los estudiantes, se realizará un muestreo estratificado utilizando una hoja de cálculo. Además, se cuenta con las listas de los estudiantes de tercer y cuarto grado con su género y edad respectiva. Por lo tanto, se determinará una muestra aleatoria estratificada por edades y género. Indagamos ¿Cuál es el objetivo de esta investigación? ¿Qué materiales necesitas? ¿Qué es un muestreo estratificado? ¿Qué variables debes considerar para la estratificación?

DESARROLLO DEL PLAN 1. A partir de las listas de estudiantes, realiza un conteo por edad. Identifica la cantidad de varones y de mujeres. 2. Sigue las instrucciones con los datos que obtuviste. RECOLECCIÓN Y MANEJO DE DATOS

Para orientar el texto,

ab

utiliza

.

5. Coloca el resultado del conteo de los estudiantes en cada una de las celdas correspondientes. Observa este ejemplo con datos supuestos. A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C

D

E

F

G H

I

J

Datos de estudiantes 14 15 16 Total

Masculino Femenino 27 15 46 36 18 28

K

– Listas de los estudiantes de tercero y cuarto grado, indicando género y edad.

M

N

Datos de la muestra Total

14 15 16 Total

Masculino Femenino

6. Selecciona las celdas horizontales y verticales y haz clic en MATERIALES (para cada equipo)

L

Total

Autosuma

para hallar el total. Luego, determina el tamaño deseado de la muestra y colócalo en la celda M8 (total de muestra).

ANÁLISIS DE DATOS 7. Determina en la muestra los valores de los totales en cada sexo. En la celda K8 =D8*M8/F8

En la celda L8 =E8*M8/F8

© Santillana S. A.

Combinar y centrar .

4. A la derecha crea otra tabla idéntica titulada “Datos de la muestra”.

Edad

Para combinar dos o más celdas, selecciónalas y haz clic en

3. En una hoja de cálculo, crea una tabla de doble entrada titulada “Datos de estudiantes” con las variables que se tomarán en cuenta para la estratificación.

Edad

▶ TEN EN CUENTA

126 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

117_137 CTU3M4_lici.indd 126

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Investigación escolar

=D5*K8/D8 En la celda K5 _______________

En la celda K6 _______________

En la celda L6 _______________

En la celda L7 _______________

En la celda K7 _______________

En la celda L5 _______________

9. Selecciona todas las celdas de la tabla “Datos de la muestra” y haz clic en 000 para aproximar los números al entero más cercano. La tabla quedará de la siguiente manera: A B

C

D

E

F

G H

I

J

Datos de estudiantes 14 15 16 Total

Edad

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Masculino Femenino 27 15 46 36 18 28 91 79

K

L

M

N

Datos de la muestra Total 42 82 46 170

14 15 16 Total

Edad

Debido a que se utilizan aproximaciones, en ocasiones será necesario que realices algunos ajustes de manera manual.

8. Determina en la muestra los valores para cada edad según el género. Completa los que faltan.

Masculino Femenino 7 4 12 10 5 7 24 21

Total 11 22 12 45

10. En otra hoja de cálculo, elabora una lista de los estudiantes que pertenecen a cada estrato. A continuación, te presentamos un ejemplo con los 18 estudiantes de 16 años. Observa parte de la tabla: A

Solo debes escoger la cantidad de datos para tu muestra, en este caso, los cinco primeros estudiantes.

B

1 2 3 4 5 6 7

C

D

Aleatorio N.° 1 2 3 4

E

Nombre Mario Castro Edgar Castillo Lucas Pérez Luis Dávila

F

G

Género Masculino Masculino Masculino Masculino

Edad 16 16 16 16

En la celda B3, escribe =aleatorio(). Luego, arrastra el cursor desde la celda B3 hasta la B20 para copiar la misma fórmula. 11. Selecciona el rango B3:B20 y haz clic en “Copiar”. Coloca el cursor en la celda C3 y luego selecciona “Pegar valores”. 12. Selecciona el rango A C3:E20 y haz clic en Z Observa que la lista que se genera está ordenada aleatoriamente.

.

Aleatorio 0,0219051 0,0380842 0,0386042 0,0389942 0,0988001

N.° 10 6 5 18 3

Nombre Matías Flores Tomás Campos Fabián Luna Brian Ponte Lucas Pérez

Género Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino

Edad

CONCLUSIONES 13. Determina la muestra y elabora una lista de los estudiantes que pertenecen a ella. Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué ventajas y desventajas encontré al usar una hoja de cálculo? 2. ¿Tuve dificultades al manipular las herramientas de la hoja de cálculo? ¿Cómo las superé?

Autoevaluación Realiza una lista de las funciones utilizadas en la hoja de cálculo y descríbelas.

1. ¿Cuál es la ventaja de utilizar funciones y cálculos entre celdas para obtener la cantidad de elementos en cada estrato? 127

117_137 CTU3M4_lici.indd 127

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Control de calidad Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración Shutterstock

EN EQUIPO

Taller matemático 1

El dueño de una fábrica de bolsas de plástico desea conocer la calidad de su producción. Para ello, prueba las bolsas hasta que se rompan y anota el peso que pueden sostener sin romperse. 1.

¿Es imprescindible realizar dicha prueba a toda la producción de bolsas o es suficiente hacerla a una muestra de ellas? ¿Por qué?

2.

¿Cómo obtendrías una muestra de manera aleatoria?

3.

Si al dueño se le propone seleccionar una muestra del 3 %, 10 %, 50 % u 80 % del total de bolsas, ¿cuál sería la muestra más representativa? ¿Es la más conveniente? Fundamenta tus respuestas.

4.

De una producción de 200 000 bolsas, se sabe que 47 000 se fabricaron el lunes, 67 800 el martes y 85 200 el miércoles. Si se selecciona una muestra de 250 bolsas, ¿cuál sería el procedimiento de muestreo que permita contar con bolsas fabricadas en los tres días? Nos familiarizamos con la situación

¿Cuál es la diferencia entre población y muestra? ¿En qué situaciones no es necesario seleccionar una muestra? ¿Cuál es la variable de estudio?

CONEXIÓN

Observa que para obtener una muestra con cantidades representativas de los tres días de producción es necesario aplicar la regla de tres.

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver la situación presentada? 2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. ¿En qué situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

Heteroevaluación 1. ¿Cuál es la diferencia entre un muestreo aleatorio simple y uno sistemático?

2. Una fábrica de baterías desea hacer un control de calidad. Para ello, selecciona 2 de cada 100 baterías fabricadas y las analiza. ¿El conjunto de las baterías analizadas es población o muestra?

© Santillana S. A.

Metacognición

128 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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EN PARES

Taller matemático 2

Uso del correo electrónico Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En una provincia arequipeña, hay cuatro instituciones educativas que tienen en total 4320 estudiantes de Secundaria. De ellos, 1512 pertenecen a la I.E. Miguel Grau; 648 a la I.E. Santa Catalina y 864 a la I.E. Los Triunfadores. Se quiere hacer una investigación sobre la utilidad y la frecuencia de uso del correo electrónico. Para ello, se aplicará una encuesta a una muestra conformada por 600 estudiantes. 1.

Redacta una pregunta abierta y una cerrada.

2.

Corrige la formulación de las siguientes preguntas:

– No debe permitirse el uso de correo electrónico a niños menores de 8 años. – ¿Usted tiene correo electrónico? ¿En qué cuenta? – La cuenta de correo Hotmail tiene muchos usuarios. ¿Sabes por qué? 3. Explica el procedimiento para determinar una muestra representativa. Nos familiarizamos con la situación ¿Qué diferencia hay entre una pregunta cerrada y una abierta? ¿Cuántos estudiantes hay en la cuarta institución educativa? ¿De cuál institución educativa debería haber más estudiantes en la muestra?

CONEXIÓN

Observa que para determinar la composición de una muestra se puede emplear el reparto proporcional.

Metacognición 1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver la situación presentada?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

Heteroevaluación 1. Supón que la investigación se realiza a una muestra de 150 personas. ¿Cuántos estudiantes de cada institución conformarán la muestra?

2. Elige un tema y elabora una encuesta con dos preguntas cerradas y dos preguntas abiertas. Luego, aplícala a un grupo de 10 compañeros. 129

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EN PARES

Ahorro solidario Los estudiantes de cuarto grado de Secundaria de un colegio deciden juntar mensualmente una parte de sus propinas a fin de comprar una computadora para donarla a un colegio de menores recursos. Este último mes ahorraron S/ 121 y se sabe que todos los meses ahorraron, cada vez, S/ 3 más que el mes anterior. Si en el primer mes ahorraron S/ 67, ¿cuántos meses han transcurrido desde que empezaron a ahorrar? ¿Cómo puedes representar algebraicamente la regla de formación del ahorro mensual? Si quisieras hacer una encuesta sobre los hábitos de ahorro de tus compañeros, ¿qué preguntas harías? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Cuál fue el ahorro de los estudiantes en los tres últimos meses? ¿Y en los tres primeros meses? ¿Qué variación tiene el dinero ahorrado mes a mes?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos identificas en el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? ▶ ¿SABÍAS QUE…?

Cuando a un ahorro se le incrementa una cantidad constante, los resultados obtenidos forman una sucesión lineal conocida como progresión aritmética.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué estrategia usarás para determinar el número de meses transcurridos desde que los estudiantes empezaron a ahorrar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

4. Si en el primer mes ahorraron S/ 67, y en cada mes siguiente, S/ 3 más que el mes anterior, ¿cuánto ahorraron en cada uno de los cuatro primeros meses? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

_______________________________________________________________

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 784-786).

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

130 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Modelación matemática

5. Anota en una tabla las cantidades obtenidas. ¿Cómo podrías generalizar? Mes La notación a10 representa al término décimo, y la notación an representa al término enésimo, es decir, al término de la posición n.

Dinero ahorrado

1

2

67 70 67 + 3 · 0 67 + 3 · 1

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. Representa algebraicamente la regla de formación del ahorro mensual. Luego, representa el ahorro en un mes cualquiera.

7. ¿Cuántos meses han transcurrido desde que los estudiantes empezaron a ahorrar?

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN CONEXIÓN

La aplicación de encuestas te permitirá una mejor comprensión de situaciones relacionadas con la economía, como el ahorro, en las cuales se presentan regularidades matemáticas.

8. Comprueba tus resultados. Para ello, reemplaza en la expresión del término general el ahorro del primer y último mes. ¿Fue efectivo el plan que usaste para la solución del problema?

9. Propón dos preguntas para una encuesta sobre los hábitos de ahorro. a) _____________________________________________________________ b) _____________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver el problema?

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

2. Uno de los estudiantes dice que si el primer mes hubieran ahorrado S/ 70 en vez de S/ 67, ya tendrían S/ 2000. ¿Es cierto? Compruébalo.

2. ¿Tuve dificultades al crear un modelo algebraico para generalizar el dinero ahorrado? ¿Cómo las superé?

© Santillana S. A.

Heteroevaluación

4. ¿En qué medida el uso de modelos algebraicos me permite determinar la regularidad de un conjunto de datos?

1. Si los estudiantes ahorraron S/ 1786 hasta el 19.º mes, ¿cuántos meses más tendrían que ahorrar para completar S/ 2030?

131

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INDIVIDUAL

Bote y rebote Desde una altura de 625 cm, César suelta una pelota. Se sabe que esta cae verticalmente sobre el piso y rebota elevándose dos quintos de la altura desde la que cayó. Si esto se repite en cada nueva caída y en cada nuevo rebote, ¿a qué altura se eleva la pelota después del cuarto rebote? ¿Qué longitud recorre la pelota hasta tocar el piso por cuarta vez? ¿Cuál será la expresión matemática que generalizará la altura alcanzada por la pelota en n rebotes? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Desde qué altura cae la pelota por primera vez? ¿A qué altura se elevará la pelota en el primer rebote? ¿Las alturas que alcanza la pelota forman alguna sucesión?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. Describe la situación con tus palabras. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos se conocen? ▶ TEN EN CUENTA

Si la altura que alcanza la pelota en cada rebote es 2/5 de la altura desde la que cayó, entonces: ​  2 ​de 625 1.er rebote: __ 5 2 __ ​   ​· 625 = 250 5

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia usarás para determinar la relación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR 5. Si una pelota cae desde una altura de 160 cm y en cada rebote alcanza una altura de 3/4 de la altura desde la cual cayó, ¿qué altura alcanza en el primer rebote? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

132 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Modelación matemática

6. ¿Qué altura alcanza la pelota en el segundo rebote? _______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Aplica el procedimiento propuesto para calcular la altura que alcanza la pelota después del cuarto rebote. ▶ TEN EN CUENTA

Al determinar el recorrido que realiza la pelota, considera que en cada rebote la pelota sube y baja, es decir, recorre dos veces la altura a la que alcanza elevarse.

8. ¿Qué longitud recorre la pelota hasta tocar el piso por cuarta vez?

Las expresiones algebraicas permiten representar formas generales de un conjunto de términos de una sucesión.

9. ¿Qué expresión matemática permitirá determinar la altura alcanzada en n rebotes?

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Comprueba tus respuestas utilizando la expresión matemática que generaliza la altura alcanzada en cada rebote. ¿Las condiciones que estableciste te ayudaron a resolver el problema?

© Santillana S. A.

Metacognición ¿Qué dificultades tuve para generalizar el valor de la altura?

Heteroevaluación ¿Cómo aplico a nuevas situaciones? Aprendizaje logrado

1. Supón que desde una altura de 180 cm se deja caer una pelota, la cual rebota elevándose el 30 % de la altura desde la que cayó. ¿Cuál será la expresión matemática que generaliza la altura alcanzada luego de n rebotes? ¿Qué tipo de sucesión se ha formado? 133

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Walter Wust

EN PARES

Protegiendo la fauna latinoamericana El zorro andino habita en la región de los Andes desde el Ecuador hasta la Patagonia. Se lo encuentra también con frecuencia en la costa y selva del Perú. Se ha estimado que la población de zorros 100(6n2 + 3) alrededor de un pastizal se rige por la fórmula an = ​  ____________     ​   , 2 + n2 donde n es el tiempo en meses. Conforme transcurran los meses, ¿qué ocurrirá con el tamaño de la población de zorros? Organizamos la información ¿Cuál será la población de zorros alrededor de un pastizal en los tres primeros meses? ¿La población de zorros crece o decrece con el transcurrir de los meses? ¿Es constante la variación de la población?

TEMA DE ESTUDIO 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ El estudio de las sucesiones se aplica en ramas de la economía y biología, entre otras ciencias.

INTERROGANTES DE ESTUDIO 2. ¿Qué interrogantes puedes plantear a partir de la situación presentada? ¿Cuál de ellas será la pregunta central? _______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Cuáles son los conceptos que debes conocer para guiar tu razonamiento?



RECUERDA

Sucesión convergente es la que tiene un límite finito. Por ejemplo: ​  1  ​;  ____ ​  1   ​; _____ ​  1     ​; … 1; ___ 10 100 1000 Su límite es 0. Se representa: ​  lim ​an = b, en este     n→∞

caso b sería 0.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES 4. ¿Qué necesitas realizar para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Accede a https://es.khanacademy. org/

PROCESOS BÁSICOS 5. ¿Qué definiciones, leyes o fórmulas debes tener en cuenta para resolver la situación problemática?

Haz clic en “Temas”. Luego, escribe sucesiones convergentes en el buscador y explora.

© Santillana S. A.

SITIO WEB

134 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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V de Gowin

Completa en un esquema como el que se muestra (llamado V de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores. Dibuja en tu cuaderno la V de Gowin que se muestra. Hazla lo suficientemente amplia para que puedas anotar directamente en ella.

CONCEPTUALIZACIÓN 7. MARCO TEÓRICO

PREGUNTA CENTRAL 2. INTERROGANTE(S)

5. PROCESOS BÁSICOS

METODOLOGÍA 8. JUICIOS Y CONCLUSIONES 6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS

1. TEMA DE ESTUDIO

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES

DATOS QUE SE TIENEN 6. ¿Con qué datos cuentas para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________

¿Cómo representas los datos, registros y observaciones para facilitar las respuestas a tus interrogantes?

Anota en la V de Gowin las respuestas de las preguntas 4 a la 8 según corresponda.

MARCO TEÓRICO 7. ¿Cómo queda resumida la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones propuestas? _______________________________ _______________________________________________________________ Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver el problema?

2. ¿En qué medida el uso de modelos algebraicos me permite obtener términos de un conjunto de datos?

JUICIOS Y CONCLUSIONES 8. ¿Puedes afirmar que el tamaño de la población de zorros andinos crece indefinidamente conforme transcurre el tiempo? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. ¿Cuáles son las características de las sucesiones convergentes? ¿Y las características de las sucesiones divergentes? 135

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EN EQUIPO

¿Cuántas veces doblarán un papel? La profesora Lorena invita a sus estudiantes para que doblen una hoja de papel bond A4 por la mitad, luego la vuelven a doblar por la mitad, y así sucesivamente. Lorena los reta a ver quién hace el mayor número de dobleces. Les da la opción de que si quieren pueden tratar con un papel más grande. ¿Qué razones hay por las que no puedes doblar más? ¿Qué relación puedes encontrar cada vez que doblas? ¿Qué puedes afirmar del grosor final? Manos a la obra ¿Has tratado alguna vez hacer esta actividad? ¿Has visto a alguien hacerla? ¿Qué conceptos matemáticos puedes trabajar?

ACCIÓN REAL 1. Mide las dimensiones del papel. _______________________________________________________________ MATERIALES

– Una hoja A4 de papel bond. – Regla graduada.

_______________________________________________________________ 2. Dobla la hoja por la mitad. No interesa la forma que elijas. Repite el procedimiento todas las veces que puedas. ¿Cuántas veces has podido hacerlo? _______________________________________________________________ 3. Si quieres vuelve a intentarlo con el mismo papel u otro que tú decidas. ¿Qué has logrado? _______________________________________________________________ 4. Compara con tus compañeros. 5. ¿Qué figuras geométricas se han ido formando?

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/pctRSl Analiza el número de veces que se puede doblar un papel.

_______________________________________________________________ ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 6. ¿Qué ocurre con el grosor del papel? _________________________________ 7. Completa el cuadro siguiente: N.° de doblez

Grosor (mm)

0

0,1

1

2

3

4

5

6

7

8. ¿Qué relación encuentras entre el grosor que resulta en el primer doblez respecto al grosor inicial? ¿Y entre el segundo doblez respecto al primero? 9. ¿Qué se puede afirmar de la secuencia de números obtenidos en el grosor de los dobleces? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

136 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Laboratorio de Matemática

RELATO 10. Explica la regla de formación de la sucesión resultante. Luego, representa algebraicamente y generaliza para obtener la fórmula del término enésimo.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA 11. ¿Cómo harías la representación gráfica de los términos?

12. ¿Cuál sería la expresión para cualquier grosor resultante de un papel que inicialmente tiene un grosor a1?

13. Si te fuera posible hacer un noveno doblez en tu hoja, ¿cuál sería el grosor que se obtendría?

14. ¿Por qué crees que no has podido doblar más el papel? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

Coevaluación

© Santillana S. A.

Respondo estas preguntas para identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver esta situación?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Resuelve la situación considerando la cantidad de rectángulos que se van formando en cada doblez. ¿Cuál sería la regla de formación? ¿Cuál sería la fórmula del enésimo término?

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 137

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EN PARES

Cuyes peruanos El cuy es una de las especies más consumidas por los pobladores andinos. Constituye una importante fuente de proteína, y tiene un alto valor biológico y bajo contenido de grasa. Si en un criadero la población de 200 cuyes aumenta 120 % en promedio cada trimestre, ¿cuántos cuyes habrá al cabo de un año? Deduce la fórmula para determinar el número de cuyes en n trimestres. Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Qué quiere decir un aumento del 120 %? ¿Cuántos aumentos de cuyes se darán en un año?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿De qué trata la situación?

RECUERDA

En un año hay cuatro trimestres.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 800-801).

4. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué estrategia usarás para determinar la fórmula que exprese el número de cuyes en n años? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Si un número aumenta en un 50 %, quiere decir que se tendrá el 150 % de esa cantidad.

HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

6. Una población de 100 cuyes aumenta en promedio 50 % cada trimestre. Expresa la cantidad de cuyes que habrá durante los tres primeros trimestres. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

138 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Modelación matemática

7. ¿Qué tipo de sucesión o progresión refleja el aumento de los cuyes? Para calcular el número entero de cuyes, aproxima por truncamiento.

_______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 8. Determina la cantidad de cuyes al cabo de un año.

9. Expresa la fórmula para determinar el número de cuyes al cabo de n trimestres.

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Comprueba tus resultados para los cuatro primeros trimestres. Para ello, reemplaza el valor de n en la fórmula hallada. ¿Fue efectivo el plan que usaste para la solución del problema? Reemplaza los valores obtenidos para comprobar tu respuesta.

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Me fue difícil crear un modelo matemático para representar los datos del problema?

2. ¿En qué medida el uso de modelos algebraicos me permite obtener términos de un conjunto de datos? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. ¿Qué diferencia hay entre una progresión geométrica y una progresión aritmética?

2. Sea la fórmula an = 400 · 1,5n – 1. ¿Cómo interpretarías el valor 400? ¿Qué significa el valor 1,5 en porcentaje?

3. Supón que en un criadero hay 360 cuyes, los cuales aumentan en un 125 % cada trimestre. ¿Cuántos cuyes habrá al cabo de un año y medio? 139

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Science Photo Library

EN PARES

Reproducción de bacterias La salmonelosis es una enfermedad causada por la bacteria Salmonella typhimurium. Se sabe que este tipo de bacterias crecen hasta un tamaño fijo y luego se dividen en células hijas. Supongamos que en un laboratorio se aísla una bacteria Salmonella typhimurium y se observa que, con intervalos de un minuto, cada bacteria se divide en dos. ¿Cómo expresarías el número de bacterias que habrá luego de una hora? ¿Luego de cuántos minutos habrá más de 20 000 bacterias? Resolvemos paso a paso ¿Qué sucede con el número de bacterias con el transcurrir de los minutos? ¿El número de bacterias obtenidas forma alguna sucesión? ¿De qué tipo?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _________________________________________ Si una bacteria se divide en dos cada minuto, ¿cuál será la razón?

2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. Registra en una tabla el número de bacterias que habrá al cabo de 1; 2; …; 8 minutos. Tiempo transcurrido (minutos)

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de bacterias

5. ¿Qué relación encuentras entre el tiempo y el número de bacterias en cada caso? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ EJECUTA

© Santillana S. A.

6. Utiliza la estrategia elegida para representar el número de bacterias que se obtienen luego de un tiempo determinado:

140 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Resolución de problemas

7. ¿Cómo expresas el número de bacterias luego de una hora? _______________________________________________________________

 ESTRATEGIA

Buscar patrones La comparación de un término con el anterior y el posterior te permitirá establecer relaciones para encontrar regularidades o patrones.

El valor de t (en minutos) no es igual al valor de n (número de términos).

8. Se descubrió un fármaco contra estas bacterias que, al aplicarse, destruye la mitad de las bacterias existentes, y así sucesivamente. Se sabe que a un paciente se le inyectó el fármaco cuando habían pasado 12 minutos de la reproducción bacterial. Describe en un cuadro la disminución de las bacterias. t (min) N.° bacterias

1

2

3

4

5

6

7

8

256

9. ¿Qué relación guarda el número de bacterias con el tiempo de aplicación del fármaco? ________________________________________________________ 10. Contrasta matemáticamente la reproducción bacterial con los efectos del fármaco. ________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ COMPRUEBA 11. ¿Cómo compruebas numéricamente que las expresiones resultantes corresponden a la regla de formación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

 USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Para calcular 29, ingresa en tu calculadora: 2 x□

9

=

512

CONCLUYE Y APLICA 12. A partir del valor obtenido en el octavo minuto del paso 4, utiliza la regla de formación para hallar la cantidad de bacterias en el décimo minuto. Luego, aplica la fórmula del enésimo término, que en este caso será el décimo término de una progresión geométrica. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué estrategias apliqué? ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

2. ¿En qué situaciones cotidianas puedo utilizar los nuevos conocimientos adquiridos?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. 1. Supón que otra bacteria se cuadruplica cada minuto. ¿Habrá el doble de bacterias por minuto que en el caso de la bacteria Salmonella typhimurium? 2. Silvia recorre en su auto 60 km la primera hora. Si cada hora siguiente recorre las tres cuartas partes de lo que recorrió la hora anterior, ¿cuánto recorrió la cuarta hora? 141

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EN EQUIPO

El lirio de los incas El lirio peruano o lirio de los incas es una hermosa flor muy resistente y de colores brillantes. Crece principalmente en regiones frescas y montañosas de los Andes. Se sabe que en parcelas rectangulares de un vivero, se plantaron lirios distribuyéndolos de las siguientes formas:

¿Cuántos lirios peruanos habrá en la séptima parcela? Nos preguntamos previamente ¿Cuántos lirios hay a lo largo de las tres primeras parcelas? ¿Observas algún patrón en esas cantidades? ¿Podrías deducir cuántos lirios habrá a lo largo de una cuarta parcela?

ACCIÓN 1. ¿De qué datos dispones? ▶ TEN EN CUENTA

Las progresiones geométricas permiten generalizar situaciones expresadas gráficamente.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué figura forman las flores de cada parcela? ¿Cómo puedes calcular el número de flores que hay en cada parcela? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN

¿Qué tipo de secuencia o sucesión forman los números de cada fila?

3. Completa la siguiente tabla: Parcelas 1

2

3

4

N.° de flores a lo largo N.° de flores a lo ancho

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

4. ¿Qué relación encuentras entre el número de flores que hay a lo largo y ancho de una parcela con respecto a la anterior? ¿Qué relación encuentras entre el total de flores de una parcela con respecto a la anterior?

142 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN ¿De qué otra forma puedes calcular el total de flores de la séptima parcela?

5. ¿Cómo expresas el término general del número de flores que hay a lo largo y ancho de n parcelas?

6. ¿Cuántos lirios habrá en el largo de la séptima parcela? ¿Y en el ancho? ¿Cuántos lirios habrá en la séptima parcela?

7. Compara tus procedimientos y resultados con los de tu compañero(a). ¿Coinciden? Si no es así, ¿a qué crees que se deba? Identifica el error y corrígelo o explica tu procedimiento. INSTITUCIONALIZACIÓN 8. Si se halla el total de flores de cada parcela, ¿cuál sería el término general? ¿Cuántas flores habrá en la octava parcela?

5

*1 π x 24 β ① 19

¿A partir de qué parcela se pueden contar más de 1 590 000 lirios?

5 *1 π

x 24 β ① 19

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________ Metacognición ¿Qué estrategias apliqué?

¿Utilicé procedimientos alternativos?

¿Contribuye la representación gráfica?

© Santillana S. A.

Autoevaluación

¿En qué otras situaciones puedo aplicar el conocimiento?

Resolver el problema

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. En el árbol genealógico que se muestra, se presenta la generación actual (tú) y tres generaciones anteriores, lo cual hace un total de 14 antecesores. Tú Si tuvieras que rastrear tu historia familiar 10 generaciones atrás, ¿cuántos antecesores habría?

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EN PARES

Criadero de truchas El criadero de truchas de Ingenio, en la región Junín, es un centro piscícola especializado en la crianza de la trucha asalmonada, también conocida como trucha arco iris. Este criadero cuenta con 75 pozas, las cuales son irrigadas por el río Chiapuquio. Si una de las pozas está poblada con una cantidad de truchas que aumentó en progresión geométrica de 50 000 en enero a 73 205 en mayo, ¿cuántas truchas había en febrero, marzo y abril?

¿Cuál era la población de truchas en enero? ¿Y en mayo? Si la población aumentó en progresión geométrica de enero a mayo, ¿qué términos de la progresión representa cada uno de los meses?

Carlos Sala

Resolvemos paso a paso

Centro piscícola de Ingenio, región Junín.

COMPRENDE 1. Resume la situación. _______________________________________________________________

RECUERDA

La interpolación de términos de una progresión geométrica es útil para hallar términos comprendidos entre otros dos.

2. ¿Qué te piden en la situación? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué datos son importantes para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué términos de la progresión representan aquellos datos que debes averiguar? _______________________________________________________________ 6. ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación? a) Plantear una ecuación.

b) Generalizar.

c) Empezar por el final. d) Particularizar.

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

144 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Resolución de problemas  ESTRATEGIA

Empezar por el final Conocer el último término de una progresión geométrica te permitirá establecer relaciones con el primero y, mediante la cantidad de valores intermedios, podrás calcular la razón geométrica.

Si en una progresión se interpolan x términos, ¿cuántos términos tendrá la progresión?

EJECUTA 7. Halla los valores de a2; a3 y a4 de la progresión geométrica aplicando la estrategia elegida.

8. Determina el número de truchas en febrero, marzo y abril. _______________________________________________________________ COMPRUEBA 9. ¿Qué procedimiento te ayudará a comprobar tu respuesta? _______________________________________________________________ 10. ¿De qué otra forma puedes hallar la razón?

¿Fue efectivo el plan que usaste para la solución del problema?

CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema? _______________________________________________________________ 12. ¿Por qué es importante hallar la razón de la progresión? _______________________________________________________________

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué conocimientos aprendidos utilicé para resolver el problema? 2. ¿Qué estrategias apliqué? ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué otras situaciones reales puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Supón que un río está poblado con una especie de peces que en cinco años aumentó de 8000 a 40 500. Si se asume que el crecimiento responde a una progresión geométrica, ¿cuántos peces hubo el tercer año? 2. Elabora un organizador visual que resuma el cálculo de términos e interpolación de una progresión geométrica.

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EN PARES

Espárragos de exportación Rita se ha informado que nuestro país es uno de los principales exportadores de espárragos frescos a nivel global. Según los datos que ha conseguido, se sabe que un determinado año, en el mes de enero, la exportación de espárragos fue de 8000 toneladas y, cada mes siguiente, la exportación aumentó en 20 % con respecto al mes anterior. ¿Cuántas toneladas de espárragos se exportaron en total durante los seis primeros meses de aquel año?

Resolvemos paso a paso ¿Qué tipo de sucesión forman las cantidades que representan la producción de espárragos durante los seis primeros meses? ¿La variación es constante? ¿Puede determinarse la razón de a sucesión?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? Si la exportación de espárragos aumenta 20 % cada mes, ¿qué porcentaje representa la exportación de un mes con respecto al mes anterior?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué datos son importantes para resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/DCvJIr y resuelve los problemas propuestos sobre progresión geométrica.

_______________________________________________________________ 5. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Qué estrategia te facilitará resolver el problema? a) Hacer una lista sistemática. b) Generalizar.

c) Particularizar. d) Utilizar el ensayo y error.

© Santillana S. A.

SITIO WEB

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Resolución de problemas

EJECUTA 7. Calcula la exportación total de espárragos de los seis primeros meses utilizando la estrategia elegida.

 ESTRATEGIA

Hacer una lista sistemática El registro ordenado de las exportaciones mensuales te facilitará el cálculo de la exportación total indicada.

COMPRUEBA 8. ¿Qué procedimiento te ayudará a comprobar tu respuesta?

¿Te convendrá utilizar alguna fórmula para simplificar tu desarrollo?

CONCLUYE Y APLICA 9. ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema? ¿Fue efectivo el plan que usaste para la solución del problema? _______________________________________________________________ Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades para comprender y resolver el problema? ¿Cómo las superé?

2. ¿Qué estrategias apliqué al resolver el problema? ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar esta estrategia?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Supón que en enero se exportan 6000 toneladas de espárragos envasados y que cada mes siguiente la exportación aumenta en un 5 %. ¿Cuántas toneladas de espárragos se exportarán en los primeros 5 meses?

2. Determina la suma en cada caso. 1 b) S si a = 35 y r = __ 1 a) S6 si a1 = 9 y r = __ 5 1 2 5 3. Halla S8 de una PG si a8 = 8748 y r = 3.

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La provincia de San Antonio de Putina, en la región Puno, es el segundo productor nacional de fibra de alpaca. Hace ocho años, un grupo de alpaqueros de ese lugar decidió ahorrar cada año el doble de lo ahorrado el año anterior con el fin de invertirlo en su futura producción. Si en el octavo año registraron un ahorro de S/ 16 384, ¿cuánto ahorraron en total durante los ocho años? Si transcurre un año más, ¿el ahorro durante ese año será, aproximadamente, igual al ahorro total de los ocho años?

Carlos Sala

EN PARES

Alpacas y lanas

Resolvemos paso a paso ¿En qué año el ahorro fue menor? ¿Y en qué año fue mayor? ¿Cuál es la variación de lo ahorrado año a año?

COMPRENDE 1. Haz una breve descripción de la situación. _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? La generalización de la suma de una progresión geométrica de casos particulares ayuda a resolver situaciones financieras.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Las cantidades de dinero ahorradas cada año forman alguna sucesión? ¿De qué tipo? ___________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué datos tienes?

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 135-137).

_______________________________________________________________ 6. Si fueran 3 años y conocieras el ahorro del primer año, ¿qué harías para hallar el ahorro total? ¿Y para 5 años? Y si fueran 20 años, ¿qué harías? _______________________________________________________________ 7. ¿Qué estrategia te permitirá resolver el problema? a) Plantear una ecuación.

b) Generalizar.

c) Empezar por el final. d) Particularizar.

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

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Resolución de problemas

EJECUTA  ESTRATEGIA

Empezar por el final Permite usar el pensamiento regresivo tomando en cuenta la información de una situación final.

8. Calcula las cantidades ahorradas por los alpaqueros durante los ocho años utilizando la estrategia elegida. 16 384 ÷2

÷2

9. Calcula cuánto ahorrarían en un año más. Luego, responde la última pregunta de la situación inicial. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ COMPRUEBA

 TEN EN CUENTA

Demostración de Sn de una progresión geométrica

10. Utiliza las fórmulas estudiadas para comprobar la respuesta del problema.

Sea Sn la suma de términos: Sn = a1 + a2 + … + an − 1 + an Multiplicamos Sn por la razón r: r · S n = r · a1 + r · a2 + … + r · an − 1 + r · a n Restamos: r · Sn − Sn

r · Sn − Sn = r · an − a1 Despejamos Sn:

Sn(r − 1) = r · an − a1 an · r – a1 Sn = __________ r–1

CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema? _______________________________________________________________ 12. ¿A qué conclusiones llegaste? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades para comprender y resolver el problema? ¿Cómo las superé?

2. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

3. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Una empresa generó S/ 5 904 900 de ganancias en el décimo año. Si se sabe que desde su creación las ganancias se triplicaron año a año, ¿cuánto se acumuló en los diez años?

2. Calcula el valor de S12 de la siguiente PG: – 4; 8; –16; 32; –64; …

3. Halla la suma de los ocho primeros términos 1 ; __ 1 ; __ 1 ; 1; … de la PG ___ 27 9 3 149

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EN EQUIPO

Taller matemático 3

Distancia entre planetas Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

La sucesión de Bode, a1 = 0,4 y an = 0,1(3 ∙ 2n − 2 + 4), n ≥ 2, se puede emplear para calcular distancias del Sol a los planetas. Dichas distancias se miden en unidades astronómicas (UA), donde 1 UA equivale a 150 millones de kilómetros. Se sabe que el tercer término de esta sucesión le corresponde a la Tierra, y el quinto termino, al planetoide Ceres. 1.

Calcula los cuatro primeros términos de esta sucesión.

2.

¿Cuál es la distancia que separa al planeta Tierra del planetoide Ceres? Expresa la distancia en kilómetros.

3.

Se sabe que el satélite Neso, ubicado al exterior del planeta Neptuno, es el más lejano y se sitúa, aproximadamente, a 50 millones de kilómetros de dicho planeta. Además, la distancia máxima de la Tierra a la Luna es de 406 700 km y la mínima es de 356 400 km. ¿Cuál es la distancia máxima que existe entre los satélites Luna y Neso? Nos familiarizamos con la situación

¿De qué información dispones? ¿Cuál es el término enésimo? ¿Qué valores puede tener n? ¿Se trata de una sucesión creciente o decreciente?

▶ TEN EN CUENTA

Neptuno ocupa el noveno lugar.

CONEXIÓN

El uso de la notación científica te permitirá expresar tus resultados de manera simplificada.

1. ¿Qué dificultades tuve al realizar los cálculos de las distancias? ¿Cómo las superé? 2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

Heteroevaluación 1. ¿En qué tipo de sucesión se observa que un término se obtiene sumándole al anterior una constante? 2. ¿Qué indica el límite de una sucesión?

3. ¿Cuáles son las características de las sucesiones convergentes y divergentes?

© Santillana S. A.

Metacognición

150 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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EN PARES

Taller matemático 4

Planes de ahorro Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Sebastián dispone de S/ 20 000 y quiere depositarlos en algún banco durante 5 años. El banco Los Andes le ofrece dos planes: un 9 % de interés anual simple y un 8 % de interés anual compuesto. 1. 2. 3.

¿Qué plan representa una progresión aritmética? ¿Y una progresión geométrica? ¿Cuánto dinero tendría Sebastián en 5 años en cada uno de los planes? ¿Cuál de los dos planes le conviene en un plazo de 5 años? ¿En qué caso le conviene tener un ahorro a una tasa de interés simple? Justifica. Nos familiarizamos con la situación

¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica? ¿En qué consiste el interés simple? ¿Y el interés compuesto? ¿Cómo hallas el porcentaje de un número?

CONEXIÓN

Recuerda que en el interés simple, el interés obtenido es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

Metacognición 1. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo repasado en esta actividad?

2. ¿Cómo tiene que ser la razón de una progresión geométrica para que todos sus términos vayan cambiando alternadamente de signo?

2. ¿Qué utilidad tienen estos conocimientos matemáticos? © Santillana S. A.

Coevaluación

1. ¿Puede existir alguna progresión geométrica que tenga todos sus términos negativos?

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EN EQUIPO

Taller matemático 5 (problema liberado PISA)

Manzanos Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Un agricultor planta manzanos en un terreno cuadrado. Con objeto de proteger los manzanos del viento, planta coníferas alrededor de la totalidad del huerto. Aquí ves un esquema de esta situación donde se puede apreciar la colocación de los manzanos y de las coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos.

n=1

xxx x x xxx

n=2

xxxxx x x x x x x xxxxx

x = conífera

n=3

xxxxxxx x x x x x x x x x x xxxxxxx

= manzano

n=4

xxxxxxxxx x x x x x x x x x x x x x x xxxxxxxxx

Nos familiarizamos con la situación Según el número de filas, ¿cuál es la variación del número de manzanos? ¿Y del número de coníferas?

1.

Completa la tabla. Número de manzanos

2

4

1

Conoce más sobre la situación inicial Se aplicó a nivel internacional en el año 2000 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

n

3

1

Número de coníferas 8

4 5

2.

Tuvo como finalidad evaluar el reconocimiento de patrones partiendo de situaciones de orden.

En el planteamiento descrito anteriormente, se pueden utilizar dos fórmulas para calcular el número de manzanos y el de coníferas: número de manzanos = n2; número de coníferas = 8n, donde n es el número de filas de manzanos. Existe un valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de coníferas. Halla este valor de n y muestra el método que has usado para calcularlo. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

3.

Supongamos que el agricultor quiere plantar un huerto mucho mayor, con muchas filas de árboles. A medida que el agricultor vaya aumentando el tamaño del huerto, ¿qué se incrementará más rápidamente: el número de manzanos o el de coníferas? Explica cómo has hallado la respuesta. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

1. Determina los 5 primeros términos de la sucesión de números que representa el área de cada figura interior formada.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver la situación presentada?

Heteroevaluación

100 m

Metacognición

152 UNIDAD 3 / ENCUESTAS Y VARIABLES. PROGRESIONES

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Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones. Relaciones métricas En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

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4

Matematizar situaciones • Organizar datos a partir de fuentes de información, en situaciones de equivalencias al expresar modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales. • Reconocer la pertinencia de modelos referidos a sistemas de ecuaciones lineales en determinados problemas. • Examinar modelos referidos a inecuaciones lineales que expresen situaciones de restricción.

Regularidad, equivalencia y cambio

• Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. Comunicar y representar ideas matemáticas • Describir la naturaleza de las soluciones (no tiene solución; una solución; infinitas soluciones) en un sistema de ecuaciones lineales. • Relacionar representaciones gráficas, simbólicas y el conjunto solución de un mismo sistema de ecuaciones lineales. • Expresar el conjunto solución de una inecuación lineal de forma gráfica y simbólica vinculando la relación entre ellos. • Describir las transformaciones que pueden realizarse en una inecuación lineal. Elaborar y usar estrategias • Plantear un problema que se expresa a partir de unas soluciones o de un sistema de ecuaciones lineales dado. • Aplicar los diferentes métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. • Emplear transformaciones de equivalencias en problemas de inecuaciones (ax + b < cx + d y con expresiones >, ≤, ≥), a, c ≠ 0. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar conexiones entre la representación gráfica y la representación simbólica de un sistema de ecuaciones lineales. • Probar sus conjeturas sobre los posibles conjuntos solución de un sistema de ecuaciones lineales. • Evaluar el conjunto de valores que cumplen una condición de desigualdad en una inecuación lineal. • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos. Matematizar situaciones

Forma, movimiento y localización

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

• Examinar modelos referidos a ecuaciones cuadráticas en problemas afines.

• Seleccionar información para obtener datos relevantes en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos y de superficies, para expresar un modelo referido a las relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y los ángulos de elevación y depresión. • Examinar propuestas de modelos referidos a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y los ángulos de elevación y depresión al plantear y resolver problemas. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar las relaciones métricas en un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras). Elaborar y usar estrategias • Diseñar y ejecutar un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Juzgar la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema. • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades matemáticas. 153

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EN EQUIPO

Medidas de una cisterna En una institución educativa, se ha construido una cisterna para abastecer de agua en caso de emergencia. Dicha cisterna tiene la forma de un prisma rectangular, y la medida de su altura equivale al cuadrado de la tercera parte del valor numérico de su volumen, disminuido en 1 m. Además, la medida del largo de su base está representada por la razón formada por el valor de la tercera parte de su volumen y su consecutivo. Si su volumen es un número entero, ¿con qué expresión puedes representar la longitud del ancho de la base? Si se sabe que dicha longitud es un valor entero, ¿cuánto puede medir el ancho de la base de la cisterna? Resolvemos paso a paso ¿Cómo representas una cantidad desconocida? ¿Para qué se utiliza una cisterna? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver la situación? ¿Qué forma tiene la cisterna? ¿Cómo expresarías sus dimensiones?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 331-332).

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

▶ ESTRATEGIA

Ensayo y error

_______________________________________________________________ EJECUTA 5. Si el valor numérico del volumen del prisma fuera 3x, ¿cómo expresarías la altura y el área de la base? ¿Y el largo de la base?

© Santillana S. A.

Probar diferentes valores, considerando las propiedades de los números, te permitirá hallar aquellos que cumplan con las condiciones indicadas.

4. ¿Qué estrategia complementa a la estrategia sugerida?

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Resolución de problemas

6. Con las expresiones obtenidas en la pregunta anterior, ¿cómo representarás la medida del ancho de la base? Para dividir dos fracciones algebraicas, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

 TEN EN CUENTA

7. Realiza las operaciones con fracciones algebraicas y escribe la expresión simplificada que representa el ancho de la base del prisma.

8. Aplica la estrategia elegida y determina las medidas que puede tener el ancho de la base.

0 = 0, Fracción definida: __ a para todo a ≠ 0 a Fracción no definida: __ 0

COMPRUEBA RECUERDA

9. Reemplaza las expresiones en la fórmula del volumen y verifica tu respuesta.

Igualdades notables: Diferencia de cuadrados a2 − b2 = (a + b)(a − b)

CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Las condiciones que estableciste te ayudaron a resolver el problema? _______________________________________________________________ 11. Si el ancho de la base mide 3 m, ¿cuánto medirá el volumen de la cisterna? _______________________________________________________________ Metacognición Reflexiono sobre las estrategias y procesos que he desarrollado en esta sesión.

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

2. ¿Me fue difícil representar de manera algebraica las cantidades propuestas? ¿Por qué?

2. ¿En qué parte de la fracción algebraica identificas las restricciones? ¿Por qué?

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver el problema?

© Santillana S. A.

Autoevaluación

3. ¿Encontré otra forma de resolver el problema? 4. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

1. ¿Qué diferencias encuentras entre los procesos para resolver fracciones numéricas y fracciones algebraicas?

3. ¿Qué procesos debes realizar para simplificar las fracciones algebraicas? 155

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INDIVIDUAL

Cajas recicladas para quequitos Delia ha iniciado un negocio de venta de quequitos. Para ofrecer sus productos, debe colocarlos en cajas de cartón de forma de prisma rectangular. En una fábrica de reciclaje, ella ha comprado cartones rectangulares cuyos lados están en relación de 2 a 3 y se sabe que el largo excede al ancho en 10 cm. A fin de elaborar las cajas, a dichos cartones se les cortará cuadrados de x centímetros de lado por las esquinas. ¿Cuánto miden los lados de un cartón? ¿Qué expresión algebraica representará el perímetro de la base de las cajas? ¿Y el área de la base? Resolvemos paso a paso ¿Podrás resolver el problema utilizando letras u otras expresiones algebraicas? ¿Qué modelo matemático puedes plantear?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _________________________________________ El uso de expresiones algebraicas permite generalizar situaciones de cantidad de nuestro entorno.

2. ¿Qué debes hallar? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué datos proporciona la situación? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. Representa en un sistema de ecuaciones los lados del cartón.

6. ¿Qué estrategia complementa a la estrategia sugerida? _______________________________________________________________ Hacer un gráfico La representación gráfica del cartón y de los cortes que se harán en él te permitirá establecer relaciones entre los elementos geométricos para expresarlos algebraicamente.

EJECUTA 7. Calcula las medidas de los lados del cartón.

8. Dibuja el cartón y los cortes de las esquinas. Luego, expresa algebraicamente el perímetro de la base de la caja. © Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

156 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Resolución de problemas

9. Expresa algebraicamente el área de la base de la caja.

10. Responde las preguntas del problema. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Reemplaza los valores obtenidos y comprueba tu respuesta.

COMPRUEBA 11. ¿Cómo compruebas numéricamente que las expresiones resultantes corresponden al perímetro y área de la base de la caja?

CONCLUYE Y APLICA 12. ¿Qué estrategias fueron útiles para resolver el problema? _______________________________________________________________

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/sql7Da para ampliar tus conocimientos sobre modelos algebraicos.

13. Supón que el cuadrado que se corta en las esquinas mide 4 cm de lado. ¿Cuál es el área lateral de la caja?

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategias apliqué? ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 2. ¿Para qué me servirán los conocimientos adquiridos?

3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. Expresa las respuestas algebraicamente. 1. Delia decide vender cajas más grandes que contengan mayor cantidad de quequitos. Para ello cuenta con cartones rectangulares de 40 cm por 50 centímetros, a los cuales les cortará cuadrados de x centímetros de lado por las esquinas. Expresa algebraicamente el perímetro y el área de la base de la caja.

2. ¿Cómo expresas algebraicamente el área lateral de la caja anterior? 157

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EN PARES

De visita a la fábrica de cartones Los estudiantes de cuarto grado de Secundaria ganaron el concurso “Reciclar es mejorar nuestro planeta”. Por ello, obtuvieron como premio una visita a una fábrica de cartones. Allí recibieron una charla sobre el proceso de reciclaje. A la mitad de la charla, se retiraron 10 mujeres y se observó que el número de varones era el doble que el de mujeres. Luego, casi al final de la charla, se retiraron 45 varones y se observó que el número de mujeres era el doble que el de varones. ¿Cuántos estudiantes asistieron a la charla? Organizamos la información ¿Cómo representarías el número de mujeres y varones que asistieron a la charla? ¿Cuántos estudiantes se retiraron en cada uno de los dos momentos? ¿Cómo expresarías estas variaciones utilizando un modelo algebraico?

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Completa en un esquema como el que se muestra (llamado cruz demostrativa) los espacios 1 y 2 con tus respuestas anteriores.

2. Análisis de la información.

1. Presentación de la situación.

ARGUMENTACIÓN 4. Conclusiones.

3. Demostración de la validez.

© Santillana S. A.

Dibuja en tu cuaderno la cruz demostrativa que se muestra. Hazla lo suficientemente amplia para que vayas anotando directamente en ella.

2. Sea m el número de mujeres, y v, el número de varones. ¿Cómo representarás la cantidad de mujeres y varones luego de cada uno de los retiros? Hazlo mediante un modelo algebraico.

158 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Cruz demostrativa

• Resuelve el sistema de ecuaciones y explica. Anota en la cruz demostrativa las respuestas de las preguntas 3 y 4. También incluye los argumentos que sustentan tu respuesta y tus conclusiones.

• ¿Qué cantidad de mujeres y varones asistieron a la charla? ¿Y en total? _______________________________________________________________ • ¿Son los únicos valores que satisfacen a ambas ecuaciones del sistema? ¿Cómo lo podrías sustentar? Haz el desarrollo en tu cuaderno. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ 3. ¿Cómo verificas tu solución? ¿Podrás obtener el mismo conjunto solución a través de otro procedimiento?

HECHOS HISTÓRICOS

El matemático francés François Viète (15401603) se dedicó al estudio de los fundamentos del álgebra. En su obra In artem analyticam isagoge (1591), introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las fórmulas algebraicas. En http://goo.gl/lSg6nr

CONCLUSIONES 4. ¿A qué conclusiones llegaste? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Qué estrategias utilicé para validar las soluciones al sistema de ecuaciones?

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2. ¿Para qué me servirá lo que aprendí?

3. ¿Qué dificultades encontré en el aprendizaje? 4. A partir de la situación planteada, ¿a qué conclusión puedo llegar?

Heteroevaluación 1. Redacta un problema que involucre dos cantidades desconocidas y dos relaciones entre ellas que permitan plantear un sistema de ecuaciones.

2. Elabora un organizador visual que resuma los tipos de sistemas de ecuaciones en cuanto al número de soluciones. 159

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EN EQUIPO

Caños ahorradores Una tienda dedicada a la comercialización de sanitarios y grifería ha puesto a la venta un caño ahorrador que reduce en 30 % el consumo de agua. Este mes la tienda ha recaudado S/ 1000 por la venta de 15 caños entre ahorradores y no ahorradores. Además, se sabe que cada caño ahorrador se vendió a S/ 80, y cada caño no ahorrador, a S/ 40. ¿Cuántos caños ahorradores se vendieron en la tienda? ¿Y cuántos no ahorradores? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Por qué es importante el uso de caños ahorradores? ¿En tu casa o escuela utilizan caños ahorradores? ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué quieres averiguar? El empleo de los sistemas de ecuaciones en determinadas situaciones permite generalizar la relación que existe entre las cantidades propuestas.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia usarás para determinar el número de caños ahorradores y no ahorradores vendidos en la tienda? _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

5. Si se vendieron 15 caños entre ahorradores y no ahorradores, ¿cómo lo expresarías algebraicamente?

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 634-635).

6. ¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes a la ecuación anterior? Justifica tu respuesta. 8x + 6y = 120 ① 30x + 30y = 450 ② _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

160 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Si x representa el número de caños ahorradores, e y, el número de caños no ahorradores, expresa mediante un sistema la situación inicial.

8. Identifica la gráfica que corresponde al sistema planteado. Justifica tu respuesta.

▶ TEN EN CUENTA

El fin del método gráfico es reconocer la intersección de los posibles valores que podría tomar la incógnita, representándose como resultado un punto que relaciona los valores x e y.

Y

Y

30 25 20 15 10 5

60

0

40 20 5 10 15 20 25 30

X

–40

Gráfica 1

–20

0

20

X

Gráfica 2

_______________________________________________________________ ▶ USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Utiliza un graficador en línea. • Accede, por ejemplo, a la página Desmos Calculator. • Escribe en el lado izquierdo las ecuaciones del sistema.

_______________________________________________________________ 9. Marca la expresión que representa el conjunto solución del sistema de ecuaciones. a) C.S. = {(5; 10)}

10. ¿Cuántos caños ahorradores se vendieron en la tienda? ¿Y cuántos caños no ahorradores?

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 11. ¿Cómo compruebas la respuesta obtenida gráficamente?

¿Qué representa la intersección de ambas rectas?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

Coevaluación

Respondo para identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

c) C.S. = {(10; 5)}

_______________________________________________________________

• Cada recta representa una ecuación.

¿Qué aprendí?

b) C.S. = {(15; 25)}

Mis dificultades

Mis estrategias

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Supón que se duplica el precio de los caños y, por consiguiente, el monto recaudado en un mes. ¿Varía el número de caños ahorradores y no ahorradores vendidos? ¿Por qué? 2. Representa gráficamente el sistema de ecuaciones. Explica tus procedimientos.

161

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4/11/16 10:26 AM

EN PARES

Consumo responsable del agua Las familias Pérez, Quispe y Salas comentan algunas acciones que permiten reducir el consumo de agua: cerrar el caño al enjabonarse y al cepillarse los dientes, revisar que no haya caños que goteen, tomar una ducha corta, etc. Las familias han calculado que tomando en cuenta estas acciones logran ahorrar un promedio S/ 32 al mes. Si los Pérez y Quispe ahorran en conjunto la misma cantidad que los Salas, y la mitad de lo que ahorran los Pérez y los Salas juntos es S/ 1 más de lo que ahorran los Quispe, ¿cuánto dinero ahorra cada familia?

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Qué entiendes por ahorro promedio? ¿Qué relaciones de ahorro se mencionan entre las familias? ¿De qué manera podrías expresar simbólicamente estas relaciones?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ▶ ¿SABÍAS QUE…?

La cantidad de agua que consume un inodoro en cada descarga es de 7 a 9 litros. En la actualidad se ofrecen equipos ahorradores de agua que permiten un ahorro de hasta el 50 % por descarga.

2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia usarás para determinar el ahorro en soles de cada familia? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

5. Si las familias Pérez y Quispe ahorran juntas S/ 15, ¿cuánto ahorraría la familia Salas? 6. Si las familias Pérez y Salas ahorran juntas S/ 20, ¿cuánto ahorraría la familia Quispe? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

162 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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4/8/16 3:55 PM

Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Expresa el ahorro de cada familia mediante una variable. Luego, representa las relaciones entre sus ahorros a través de un sistema ecuaciones.

El método de igualación consiste en despejar una misma incógnita en las ecuaciones.

8. Resuelve el sistema de ecuaciones mediante el método de igualación. Luego, responde la pregunta del problema.

9. En tu cuaderno, resuelve el sistema por otro método. VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Reemplaza los valores de las incógnitas del conjunto solución en el sistema de ecuaciones y comprueba tus resultados.

▶ IMPORTANTE

Otra forma de validar tus resultados consiste en resolver el sistema mediante otro método de resolución.

11. ¿Las condiciones que estableciste te ayudaron a resolver el problema?

Metacognición

Autoevaluación

Describo cómo es mi proceso de aprendizaje. Estrategias utilizadas

Utilidad de lo aprendido

© Santillana S. A.

Mi proceso de aprendizaje Dificultades y logros

Contribución en situaciones de mi entorno

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Supón que el siguiente mes las tres familias han ahorrado S/ 43. Además, el doble de lo ahorrado por la familia Pérez más el quíntuple de lo ahorrado por la familia Quispe hacen un total de S/ 113, y la quinta parte de lo que ahorran los Quispe y los Salas juntos es S/ 13,60 menos de los que ahorran los Pérez. ¿Cuánto dinero ahorra cada familia? 163

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4/8/16 3:55 PM

Alfombra de flores Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Una comunidad campesina dedicada a la producción de albahaca, utiliza como abono orgánico los residuos de flores. Para abaratar sus costos, dicha comunidad solicita recoger, después de las celebraciones, las alfombras de flores que se elaboran en Semana Santa. Se observó que Úrsula y sus amigos elaboraron con pétalos de flores una alfombra rectangular cuyo largo mide el doble que el ancho, más 4 metros; además, la diferencia entre sus lados es 6 metros. Frente a una iglesia vecina, Ricardo y sus amigos elaboraron una alfombra cuadrada cuyo lado mide 2 metros más que el ancho de la Semana Santa, región Ayacucho. alfombra anterior. Se sabe que Ricardo y sus amigos gastaron S/ 60 en una cinta de protección que colocaron en el contorno de su alfombra. 1. Representa como un sistema de ecuaciones las relaciones entre los lados de la alfombra de Úrsula. 2.

Úrsula y sus amigos deciden colocar cinta de protección en todo el contorno de su alfombra. Si compran la cinta en el mismo lugar que Ricardo, ¿cuánto gastarán?

3.

Úrsula decide hacer una segunda alfombra cuyos lados estén en relación de 3 a 4 y cuya diferencia entre sus lados sea 2 metros. Ella afirma que por la cinta protectora pagará la misma cantidad que pagó por la cinta de la primera alfombra. ¿Es cierta su afirmación? Justifica tu respuesta.

Ernesto Jiménez

EN EQUIPO

Taller matemático 1

Nos familiarizamos con la situación ¿Cómo calculas el perímetro de un rectángulo? ¿Cómo determinas la superficie de un rectángulo? Si x representa el ancho de la alfombra, ¿cuál es la expresión algebraica de “el largo mide el doble que el ancho, más 4 metros”?

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver la situación presentada?

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿Qué conocimientos he integrado en este taller?

Heteroevaluación 1. Supón que Ricardo también decide hacer una segunda alfombra cuyo ancho mide 1 m menos que su largo. Además, el triple de la mitad del ancho es igual al largo más 2 m. ¿Cuánto gastará en la cinta de protección del contorno?

© Santillana S. A.

Metacognición

164 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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4/8/16 3:55 PM

EN EQUIPO

Taller matemático 2

Un concurso singular Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En un concurso de Matemática, Adriana y Enrique estaban empatados. La pregunta decisiva para el desempate pedía simplificar P(x) cuando tenga k términos y hallar el numerador de P(x) cuando tenga 8 términos. 1    1    1  P(x) = ______ ​  2 1     ​ + __________ ​   ​ + __________ ​   ​+ … + ____________________ ​     ​ x + x x2 + 3x + 2 x2 + 5x + 6 x2 + (2k – 1)x + k2 – k (x + k) − Adriana comentó: “Es _______ ​     ​  ” y el numerador es x + 8”. x(x – k) − Enrique dijo: “Es _______ ​  k   ​  y el numerador es 8”. x(x + k) 1.

Simplifica el primer sumando de P(x).

2.

Calcula la expresión reducida de P(x).

3.

¿Quién ganó el concurso? Justifica tu respuesta. Nos familiarizamos con la situación

¿Qué son fracciones algebraicas? ¿Qué procesos realizas para operar con fracciones algebraicas? ¿Qué restricciones debe tener el denominador?

CONEXIÓN

Observa que las fracciones algebraicas tienen diferente denominador. Recuerda que para operar fracciones heterogéneas, se deben homogeneizar expresándolas con el mismo denominador. ¿Cómo hallarás el común denominador en fracciones homogéneas? En http://goo.gl/5nxfOF

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver la situación? 2. ¿Tuve dificultades para efectuar las operaciones? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Coevaluación 1. Describe los procesos para realizar la multiplicación y división con polinomios.

2. Al operar con fracciones algebraicas, ¿en qué casos debes calcular el mínimo común múltiplo? 165

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4/8/16 3:55 PM

Shutterstock

EN PARES

Recolección de botellas Una institución educativa organizó una campaña de reciclaje de botellas de plástico, para lo cual colocó dos contenedores de diferente tamaño. Se sabe que al término de la campaña se recolectaron un total de 400 kilogramos de plástico. Además, al traspasar 50 kilogramos de un contenedor a otro, este quedó con el triple de peso que el anterior. ¿Cuántos kilogramos de plástico había inicialmente en cada contenedor? ¿Existe una única solución?

Manos a la obra ¿Qué te piden hallar? ¿Qué estrategia podrías aplicar? ¿Cómo podrías representar los datos de manera gráfica? ¿Habrá algún recurso gráfico en Internet que sirva para ubicar los datos y resolver la situación?

ACCIÓN REAL El uso de un graficador permite interpretar y analizar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones.

1. Accede a http://web.geogebra.org/app y selecciona “Álgebra”. Luego, haz clic izquierdo y, sin soltar, desplaza el cursor y observa. ¿Qué ocurre? 700 600 500 400 300 200 100 0 –200 –100 0 –100

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

–200 Input

_______________________________________________________________ Explora las diferentes herramientas e identifica sus usos.

2. Explora con la herramienta. Por ejemplo, construye un segmento. Para ello, haz clic en la flecha y, sin soltar, desplaza el cursor. ¿Qué ves? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

_______________________________________________________________ 4. ¿Cómo podrías darle solución a la situación planteada? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

3. Haz clic izquierdo en un extremo del segmento y, sin soltar, mueve el cursor. ¿Qué sucede con el segmento?

166 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

153_175 CTU4M4_lici.indd 166

4/8/16 3:55 PM

Laboratorio de Matemática

Para dar color a la recta, haz clic sobre ella y, luego, en “Propiedades”. Finalmente, presiona “Color” y escoge el color deseado.

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 5. Representa mediante ecuaciones las situaciones planteadas. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. Utiliza GeoGebra y grafica, por ejemplo, las ecuaciones x + y = 400 y 2x – y = 50. Para ello, digítalas en la barra de entrada. Luego, selecciona y haz clic en cada recta de modo que se obtenga el punto de intersección, cuyas coordenadas son los valores de x e y que satisfacen la ecuación. 700

Recta

600

a: x + y = 400 b: 2x - y = 50

500 400

Punto

300

A = (150, 250)

200 100

Entrada...

0

–200 –100 0 –100

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

procedimiento para resolver el problema planteado. • Ahora, realiza el mismo –200 Input

RELATO

RECUERDA

Para comprobar el resultado obtenido, resuelve el sistema de ecuaciones mediante otro de los métodos estudiados.

7. ¿Qué se interpreta del gráfico de ambas ecuaciones del problema planteado? _______________________________________________________________ 8. ¿Cuántos kilogramos había al inicio en cada contenedor? _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 9. ¿Cómo piensas que es el conjunto solución de los siguientes sistemas? Resuélvelos y verifica tus conjeturas. a)

b)

5x + 2y = 29 4x – 18 = –y

© Santillana S. A.

Metacognición Respondo estas preguntas y analizo mi proceso de aprendizaje. 1. ¿Qué recursos y estrategias apliqué para resolver la situación? 2. ¿En qué medida me fue útil la representación gráfica para resolver el problema? 3. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? ¿Para qué me servirá lo que aprendí?

c)

2x + 7y = 5

–6x – 21y = –15

3x + 5y = 8

12x + 20y = 1

Heteroevaluación Determina el conjunto solución de cada sistema con GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a). 1.

2x + 3y = 5

3.

3x + y = 2



3x – 2y = 1

6x + 2y = 4

2.

2x + y = 0

4.

5x + y = 16



4x + 2y = 7 9x – 8y = 19 167

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6/10/16 12:38 PM

EN PARES

Reciclaje creativo Adela organiza una exposición de manualidades elaboradas con botellas recicladas con el objetivo de crear conciencia de que el reciclaje es una opción que contribuye a un mundo más limpio y ecológico. Para elaborar las manualidades, Adela utilizó botellas de gaseosas, jugos y perfumes. Se sabe que la décima parte de las botellas de gaseosa más la quinta parte de las botellas de perfume suman 16. Además, las botellas de perfume y las de jugo suman 80. Si utilizó 120 botellas en total, ¿cuántas fueron de cada tipo? Resolvemos paso a paso ¿Qué información se tiene? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Qué modelo matemático podrías plantear para resolver el problema?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata el problema? _______________________________________________________________ 2. ¿De qué datos dispones? ▶ ¿SABÍAS QUE…?

Cada tonelada de desechos de vidrio que se recicla evita que 315 kilogramos de dióxido de carbono se liberen a la atmósfera durante la fabricación de vidrio.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Cómo expresas algebraicamente la cantidad de botellas de cada tipo? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué estrategia te permitirá resolver el problema? a) Generalizar.

c) Utilizar el ensayo y error.

b) Plantear una ecuación.

6. Expresa mediante ecuaciones los datos representados. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 7. ¿Qué procedimiento debes seguir? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

168 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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1

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Resolución de problemas

EJECUTA 8. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones. Aplica el método de sustitución.

 ESTRATEGIA

Plantear una ecuación La organización de las relaciones entre dos o más variables desconocidas en un sistema de ecuaciones te permitirá hallar sus respectivos valores.

COMPRUEBA  TEN EN CUENTA

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones para luego sustituirla en las otras dos ecuaciones.

9. ¿Cómo verificas tu resultado? _______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema? ¿Fue efectivo el plan que ejecutaste? _______________________________________________________________

Comprueba tu respuesta reemplazando los valores obtenidos.

11. En una segunda exposición de artículos reciclados, se utilizaron 50 botellas. Se sabe que el triple de las botellas de gaseosa menos el quíntuple de las botellas de jugo equivale a 35 más que el doble de botellas de perfume. Si el número de botellas de gaseosa equivale al triple de botellas de jugo más las botellas de perfume, ¿cuántas botellas de cada tipo se utilizaron?

Metacognición

Autoevaluación

Analizo mi aprendizaje y respondo las preguntas.

© Santillana S. A.

¿Qué estrategia apliqué al resolver el problema?

¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

¿Cómo puedo contribuir en el cuidado del medioambiente?

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de sustitución. b) –x + 2y – 3z = 9 a) 3x + 2y + z = 1 5x + 3y + 4z = 2

x+y–z=1

4x + 3y – 6z = 64 2x – y = 6

2. Crea un problema relacionado con el reciclaje cuya solución demande el uso de un sistema de ecuaciones con tres variables. 169

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4/8/16 3:55 PM

Los nutricionistas recomiendan la ingesta diaria de 2 L de agua, aproximadamente, y de minerales y vitamina C. La tabla muestra la cantidad de calcio, fósforo y vitamina C que contiene cada unidad de fresa, guayaba y naranja. Según el nutricionista, Jorge debe consumir 3,26 g de calcio, 3,24 g de fósforo y 8,05 g de vitamina C, entre otros minerales y vitaminas. ¿Cuántas unidades de cada fruta debe consumir? Frutas

Calcio (g)

Fósforo (g)

Vitamina C (g)

Fresa

0,22

0,23

0,7

Guayaba

0,2

0,35

0,75

Naranja

0,4

0,2

0,55

Shutterstock

EN EQUIPO

Frutas y agua para una buena nutrición

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Por qué es importante consumir frutas? ¿En tu casa o escuela te alimentas sanamente? ¿Cuántas veces al día consumes frutas? ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ▶ IMPORTANTE

Es recomendable comer diariamente frutas y verduras, ya que contienen antioxidantes que previenen enfermedades del corazón y diversos tipos de cáncer. Además, contienen fibra, que favorece la digestión y ayuda a eliminar el colesterol de la sangre.

2. ¿Qué quieres averiguar? ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué estrategia usarás para determinar el número de unidades de cada fruta que debe consumir Jorge? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR 4. Supón que x representa el número de fresas; y, el número de guayabas, y z, el número de naranjas. Si Jorge debe consumir 4,50 g de fósforo, ¿cómo lo expresarías algebraicamente?

© Santillana S. A.

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

170 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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4/8/16 3:55 PM

Modelación matemática

5. ¿Las siguientes ecuaciones son equivalentes? Justifica tu respuesta. 0,24x + 0,4y + 0,80 = 2,48 ① 24x + 40y + 80z = 248 ② 3x + 5y + 10z = 31 ③ _______________________________________________________________

RECUERDA

_______________________________________________________________

Método de igualación Consiste en despejar una misma incógnita en las tres ecuaciones y, luego, igualar sus valores dos a dos, quedando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. Si x representa el número de fresas; y, el número de guayabas, y z, el número de naranjas, expresa algebraicamente la situación presentada al inicio.

Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y, luego, sustituirla en las otras dos ecuaciones.

¿Las condiciones que estableciste te ayudaron a resolver el problema?

7. Resuelve el sistema de ecuaciones mediante el método de igualación o sustitución. ¿Cuántas unidades de cada fruta debe consumir Jorge?

8. En tu cuaderno, resuelve el sistema de ecuaciones por el otro método. VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 9. ¿Cómo compruebas tu respuesta? _______________________________________________________________ 10. Supón que posteriormente el nutricionista le dice a Jorge que debe duplicar el consumo de calcio, fósforo y vitamina C. ¿Es suficiente que duplique las porciones calculadas de cada fruta? Justifica tu respuesta. _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver la situación?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿Cómo puede contribuir lo que aprendí en el logro de una alimentación más sana?

Heteroevaluación 1. La compañía Aló TV cobra S/ 60 por la instalación de cables y S/ 50 mensuales por el servicio de programación. La compañía HDTV cobra S/ 120 por la instalación de cables y S/ 40 mensuales por el servicio de programación. Si quieres contar con el servicio de programación durante 5 meses, ¿qué empresa te conviene? 171

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4/8/16 3:55 PM

EN EQUIPO

Campaña de reciclaje Tres distritos de una ciudad han iniciado una campaña de reciclaje. Para ello, se han colocado tachos especiales destinados a papel, vidrio y plástico. La siguiente tabla muestra el número de tachos de cada tipo que se colocaron en cada distrito. Distrito

Papel

Vidrio

Plástico

Álamos

15

25

20

Buendía

25

20

5

Cipreses

20

15

35

Se sabe que en el distrito Álamos se recolectaron 3,45 toneladas de material reciclable; en el distrito Buendía, 2,60 toneladas, y en el distrito Cipreses, 3,55 toneladas. Suponiendo que todos los tachos donde se deposita papel contienen el mismo peso de material, y que lo mismo sucede con los tachos donde se depositan los otros materiales, ¿cuántos kilogramos de cada material se recolectan en cada tipo de tacho? Nos preguntamos previamente ¿Cómo representas una cantidad desconocida? ¿Por qué es importante clasificar los desechos? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver la situación?

ACCIÓN Recuerda que 1 tonelada (1 t) equivale a 1000 kg.

1. ¿Qué elementos matemáticos se mencionan en el enunciado del problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 3. Expresa en kilogramos el total de material reciclable que recolectó cada distrito. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/q0vfZg para profundizar tus conocimientos sobre sistema de ecuaciones.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

SITIO WEB

4. Supón que el peso, en kilogramos, del contenido del tacho en donde se deposita papel es a, el peso del contenido del tacho en donde se deposita vidrio es b, y el peso del contenido del tacho donde se almacena plástico es c. ¿Cómo expresarías algebraicamente la cantidad de cada tipo de material recolectado en cada distrito?

172 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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4/8/16 3:55 PM

Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 5. ¿Se pueden simplificar las ecuaciones planteadas? Escríbelas.

▶ TEN EN CUENTA

El método de reducción consiste en hacer opuestos los coeficientes de una incógnita en dos pares de ecuaciones, eliminar dicha incógnita al sumar las ecuaciones de cada par y formar un nuevo sistema de dos incógnitas con las dos ecuaciones resultantes.

6. Resuelve el sistema de ecuaciones mediante el método de reducción.

7. Marca la expresión que representa el conjunto solución del sistema. a) C. S. = {(30; 60; 75)}

5 *1 π Redacta una situación

x 24 β ① 19

de tu vida cotidiana cuyo planteamiento esté relacionado con el sistema de

5 *1 π

8. ¿Cuántos kilos de cada material contiene cada tacho? ¿Cuántos kilos de cada material se recolectaron en total? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. Usa GeoGebra para resolver el sistema de ecuaciones de la pregunta 5.

10. ¿Qué procedimiento o estrategia de tus compañeros te pareció interesante? ¿Por qué? 11. ¿A qué conclusiones puedes llegar?

Metacognición

Reflexiono sobre las estrategias y procesos que he desarrollado en esta sesión.

1. ¿Qué estrategias y recursos apliqué para resolver el problema?

© Santillana S. A.

c) C. S. = {(20; 80; 50)}

INSTITUCIONALIZACIÓN

x 24 β ① 19

73 Ω

b) C. S. = {(30; 80; 50)}

2. ¿Qué dificultades tuve para plantear de manera algebraica las relaciones entre las cantidades? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Autoevaluación 1. Observa la cantidad de tachos reciclados en los siguientes distritos: Distrito

Papel

B

7

A

C

4

5

Plástico Vidrio Total (kg) 120

2

326

180

3

469

200

4

552

¿Cuál es la cantidad de papel y plástico recolectado en cada distrito? 173

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INDIVIDUAL

Muebles de aglomerado Germán fabrica mesas, sillas y tachos de aglomerado, que es un material similar a la madera y que se produce a partir de envases tetrabrik reciclados. Se sabe que la semana pasada vendió 2 tachos y una silla por S/ 40, una silla y 3 mesas por S/ 110, y un tacho y 2 mesas por S/ 70.

Organizamos la información ¿Qué vendió Germán por S/ 110? ¿Y por S/ 70? ¿Qué información se tiene? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Qué modelo matemático puedes plantear?

TEMA DE ESTUDIO 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ▶ ¿SABÍAS QUE…?

En el distrito de Surco (Lima), se ha creado el Programa “En Surco la Basura Sirve”, que impulsa el reciclaje de envases, los cuales son procesados y convertidos en tachos de basura. Estos tachos se colocan en los colegios a fin de crear conciencia sobre la importancia del reciclaje.

_______________________________________________________________ INTERROGANTES DE ESTUDIO 2. ¿Qué interrogante podría ser la pregunta central? _______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Cuáles son los conceptos que debes conocer para guiar tu razonamiento? _______________________________________________________________ REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES 4. ¿Qué necesitas realizar, fundamentalmente, para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

5. ¿Qué definiciones, propiedades o métodos debes tener en cuenta para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

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PROCESOS BÁSICOS

174 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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V de Gowin

Dibuja en tu cuaderno la V de Gowin que se muestra. Hazla lo suficientemente amplia para que puedas anotar directamente en ella.

Completa en un esquema como el que se muestra (llamado V de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores. CONCEPTUALIZACIÓN

PREGUNTA(S) CENTRAL(ES)

7. MARCO TEÓRICO

5. PROCESOS BÁSICOS

2. INTERROGANTE(S) DE ESTUDIO

METODOLOGÍA 8. JUICIOS Y CONCLUSIONES 6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS CLAVES

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES 1. TEMA DE ESTUDIO

DATOS QUE SE TIENEN 6. ¿Con qué datos cuentas para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ¿Cómo representas los datos, registros y observaciones para facilitar las respuestas a tus interrogantes? Resuelve.

5

*1 π x 24 β ① 19

Plantea una situación problemática que se resuelva mediante el siguiente sistema de ecuaciones: 2a + 2b – c = 7

5

*1 π x 24 β ① 19

1. ¿Me fue difícil crear un modelo matemático para representar los datos del problema? ¿Cómo resolví esas dificultades? 2. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar métodos algebraicos como estrategia de solución?

7. ¿Cómo queda resumida la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones propuestas? JUICIOS Y CONCLUSIONES 8. ¿Qué puedes afirmar sobre multiplicar por una misma cantidad los productos de cada compra? ________________________________________ ¿Cuál es el precio de cada artículo?

_______________________________________________________________ Coevaluación 1. Supón que la suma del número de sillas y de mesas es 5, y la suma del número de sillas y de tachos es 9. Si la suma del número de mesas y de tachos es 10, ¿cuántas sillas, mesas y tachos se fabricaron, respectivamente? 175

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EN PARES

Pequeños empresarios del reciclaje Tres amigos se dedican a reciclar fierros en desuso, cartón y tapas de plástico para venderlos a una empresa. Esta semana Germán vendió 45 kg de fierro, 21 kg de cartón y 17 kg de tapas de plástico, por lo cual recibió S/ 74,20. Carlos vendió 50 kg de fierro, 9 kg de tapas y 27 kg de cartón, por lo cual obtuvo S/ 63,40. Además, Juan vendió 7 kg de tapas, 30 kg de fierro y 16 kg de cartón, por lo cual le pagaron S/ 41,20. ¿Cuánto paga la empresa por cada kilogramo de fierro, cartón y tapas?

Manos a la obra ¿Puedes representar las cantidades desconocidas mediante una expresión algebraica? ¿Se podrá plantear el problema a través de un sistema de ecuaciones y resolverlo de forma rápida? ¿Habrá algún recurso en Internet que sirva para hallar los datos y resolver el problema?

ACCIÓN REAL ▶ ¿SABÍAS QUE…?

En el Perú existe la Ley 29419 que regula la actividad de los recicladores. Es la primera ley de este tipo en el mundo. Esto significa que los peruanos somos pioneros en la regulación del trabajo formal de más de 108 000 familias de recicladores.

1. Plantea las ventas de Germán, Carlos y Juan a través de ecuaciones y forma un sistema con ellas. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Accede a http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/combinedequations/

2. ¿Qué observas? ¿Qué representan x1, x2 y x3?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Selecciona el número de magnitudes incógnitas 3 . Luego, ingresa en las casillas el valor de los coeficientes del sistema de ecuaciones planteado. Finalmente, haz clic en “Resolver el sistema de ecuaciones lineales”. En el método de resolución por sustitución, el sistema debe estar ordenado.

3. ¿Qué información observas? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

Resolver el sistema de ecuaciones lineales.

176 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Laboratorio de Matemática

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 4. ¿Qué procedimiento se observa en la resolución? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 640-643).

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. Marca la expresión que representa el conjunto solución del sistema. a) C. S. = {(0,4; 0,5; 2)}

b) C. S. = {(8; 0,5; 2)}

c) C. S. = {(0,8; 0,2; 2)} 6. Interpreta el conjunto solución y responde la pregunta del problema. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ RELATO 7. En la calculadora online, ¿qué procesos realizas para resolver el sistema mediante el método de sustitución? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Conviene trabajar con decimales porque las incógnitas representan dinero.

_______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 8. Resuelve este sistema con GeoGebra.

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué recursos y estrategias apliqué para resolver la situación? ¿Cuál de las estrategias que usé me resultó más sencilla? © Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

2x + y + 2z = –10 6x – 5y = 44 –8x – 6y – 4z = 64

Heteroevaluación Plantea un sistema de ecuaciones para el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de la calculadora online.

1. Luis pagó S/ 47 por 6 latas de leche, 3 latas de duraznos y 5 botellas de yogur, mientras que Doris pagó S/ 28 por 5 latas de leche, 2 latas de duraznos y 2 botellas de yogur. Si Carmen pagó S/ 86 por 3 latas de leche, 8 latas de duraznos y 10 botellas de yogur, ¿cuánto cuesta cada producto? 177

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EN EQUIPO

Taller matemático 3

Papeles que ayudan Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Durante los meses de abril, mayo y junio, los estudiantes de una institución educativa realizaron una campaña de reciclaje de papel con el objetivo de donar lo recaudado a un asilo de ancianos. Se sabe que: – Entre abril y mayo se recolectaron en total 50 kg más de papel que en junio. – Entre mayo y junio se recolectaron en total 130 kg más de papel que en abril. – En abril y junio se recolectaron en total 70 kg más de papel que en mayo. 1. Expresa en forma algebraica el total de kilogramos de papel recolectado por mes. 2. 3.

¿Cuántos kilogramos de papel se recolectaron en total en los tres meses? Compara la recolección de los meses de julio y agosto con la siguiente información y determina en qué mes fue mayor. – En julio se recolectó el doble de lo recolectado en abril, más la mitad de lo recolectado en mayo y el triple de lo recolectado en junio. – En agosto se recolectó la mitad de lo recolectado en julio, más el doble de lo recolectado en mayo. Nos familiarizamos con la situación

¿En tu casa o colegio reciclan papel? ¿De qué manera podrás representar las cantidades que se han recolectado? ¿Podrás formar alguna ecuación?

Puedes utilizar dos métodos de resolución para validar tus resultados.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver la situación? 2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

3. ¿En qué nuevas situaciones puedo aplicar los conocimientos repasados en este taller?

Heteroevaluación 1. ¿Qué características de un sistema de ecuaciones te permite elegir el método de resolución?

2. ¿Qué ayuda te brinda el método gráfico al representar las ecuaciones que forman parte del sistema?

© Santillana S. A.

Metacognición

178 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Venta de compactadoras de plástico Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración Shutterstock

EN EQUIPO

Taller matemático 4

En la tabla se muestra el número de compactadoras vendidas por tres tiendas durante una feria industrial. Mediana Grande Polifunción

Tritón 4 5 8

Plasticón 9 14 12

Compactita 7 11 15

Se sabe que la tienda Tritón facturó un total de 335 000 dólares; la tienda Plasticón, 651 000 dólares, y la tienda Compactita, 644 000 dólares. 1. 2.

3.

Si la tienda Tritón triplica sus ventas, ¿cuánto facturará? Si la tienda Plasticón reduce sus ventas a la mitad, ¿cuántas compactadoras de cada tipo venderá? ¿Variará el valor de las compactadoras? ¿Cuál es el costo de cada compactadora? Nos familiarizamos con la situación

¿De qué depende el total de dinero facturado por cada tienda? ¿Qué método de resolución de ecuaciones te será más fácil de emplear? ¿Qué procesos realizarás?

Utiliza otro método de resolución para validar tus resultados.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver la situación? 2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Coevaluación 1. Si las tres balanzas están en equilibrio, ¿cuál es el peso de cada cuerpo geométrico? 23g

3. ¿En qué nuevas situaciones puedo aplicar los conocimientos repasados en este taller? 179

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INDIVIDUAL

Agua para la pecera Miguel tiene una pecera en forma de prisma rectangular cuyo largo de su base mide 4 cm más que su ancho. Se sabe también que el perímetro de su base mide menos de 90 cm y el volumen de la pecera es menor que 8800 cm3. ¿Cuál es el mayor valor entero que puede medir el ancho de su base? ¿Y su largo? ¿Cuál es el mayor valor entero que puede medir su altura? Si se sabe que la altura que alcanza el agua de la pecera dista 3 cm del borde superior de la pecera, ¿cuál es el mayor volumen del agua de la pecera?

Resolvemos paso a paso ¿Cómo se relacionan los datos del problema? ¿Qué modelo matemático podemos plantear a partir de este problema?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ Si expresaras el largo de la base de la pecera por x, ¿cómo expresarías el ancho?

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ 3. ¿Con qué datos cuentas? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué pasos seguirás para la resolución del problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Modificar el problema Dividir el problema en dos partes y trabajar solo con la información de la base de la pecera te facilitará llegar a la solución.

EJECUTA 5. Calcula los mayores valores enteros que pueden medir el ancho y el largo de la pecera. © Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

180 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Resolución de problemas

6. Calcula el mayor valor entero que puede medir la altura de la pecera.

RECUERDA

h l

a

7. Calcula el volumen del agua de la pecera.

Volumen de un prisma:

V=l·a·h

COMPRUEBA

 TEN EN CUENTA

8. Representa gráficamente la pecera y las dimensiones calculadas. Luego, verifica tus respuestas a partir de las restricciones dadas en la situación inicial.

La altura de la pecera no es igual a la altura que alcanza a cubrir el agua.

CONCLUYE Y APLICA 9. ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema? _______________________________________________________________ 10. ¿Fue efectivo el plan que usaste para la solución del problema? _______________________________________________________________ 11. Supón que Miguel tiene otra pecera cuyo largo de su base mide 8 cm menos que el doble de su ancho. Si el perímetro de su base mide menos de 60 cm, ¿cuáles son los mayores valores enteros que pueden medir el ancho y el largo de dicha pecera?

Metacognición 1. ¿Me fue difícil resolver el problema? ¿Por qué?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué métodos algebraicos apliqué en la resolución del problema? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿Cómo puede contribuir lo aprendido en situaciones de mi entorno?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones. 1. Si se duplican las dimensiones de la pecera inicial y la superficie de agua dista 6 cm de la altura de la pecera, ¿también se duplicará el volumen del agua de la pecera?

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EN PARES

Huertos ecológicos Los estudiantes de cuarto grado de Secundaria de una institución educativa trabajan en el Proyecto Huertos Ecológicos, que consiste en elaborar, a partir de material reciclado, macetas, regaderas y otros objetos para el cuidado y arreglo de huertos. Se sabe que la institución cuenta con un huerto de forma rectangular cuyo perímetro más el triple del largo no es más de 193 metros disminuido en la suma del largo más 3. Si el ancho mide un quinto del largo y ambos son los mayores enteros posibles, ¿cuánto mide el ancho y el largo del huerto? ¿Cuánto mide su área? Resolvemos paso a paso ¿Podrás resolver el problema utilizando alguna expresión algebraica? ¿Qué modelo matemático puedes plantear? ¿Qué te piden hallar?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? Al decir que el perímetro no es más que 193, se asume que puede ser igual o menor a dicho número.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué pasos seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Plantear una inecuación Representar con una inecuación las condiciones de desigualdad de la situación inicial te permitirá calcular las medidas de los lados.

5. ¿Cómo expresas algebraicamente las dimensiones del huerto? _______________________________________________________________ EJECUTA 6. Expresa algebraicamente el planteamiento del problema.

© Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

182 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Resolución de problemas

7. Resuelve la inecuación y describe tus procedimientos. CONEXIÓN

Área y perímetro de un rectángulo de lados a y b: P = 2(a + b) A = ab

8. Calcula la medida del largo y ancho del huerto. Luego, calcula su área.  TEN EN CUENTA

El largo y el ancho del jardín son los mayores valores enteros posibles.

¿Las condiciones que estableciste te ayudaron a resolver el problema?

COMPRUEBA 9. ¿Cómo compruebas si los resultados cumplen la condición del problema?

CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué procedimiento algebraico fue útil para resolver el problema? _______________________________________________________________ 11. Supón que el perímetro más el triple del largo es más de 193 m disminuido en la suma del largo más 3. Si el ancho es la octava parte del largo y se sabe que son los menores enteros posibles, ¿cuánto miden el ancho y el largo del huerto?

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver la situación?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

Autoevaluación Resuelve las siguientes situaciones:

1. El perímetro del borde de una piscina de forma rectangular no es más de 216 m. ¿Cuánto miden el ancho y el largo de la piscina si el ancho es la sexta parte del largo y son los mayores enteros posibles? 2. Se desea construir otro huerto de forma rectangular cuyo largo sea 4 m más que su ancho y su perímetro no sea mayor de 45 m. ¿Cuáles son las posibles dimensiones del huerto si son números enteros máximos?

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EN EQUIPO

Fertilizante orgánico En la agricultura ecológica, se da gran importancia al empleo de fertilizante orgánico que se obtiene mediante el reciclaje de materia orgánica en descomposición. Una empresa que produce y distribuye fertilizante orgánico registra en una tabla la producción de tres días. Martes

El doble de la producción del lunes, más seis toneladas.

Miércoles

El triple de la producción del lunes.

Jueves

Nueve toneladas más que la producción del lunes.

Al hacer un análisis de la producción, se supo que la cuarta parte de la producción del martes, más la producción del miércoles, no es mayor que la mitad de la producción del jueves. ¿Entre qué valores puede oscilar la cantidad de fertilizante producido el lunes? Si esta cantidad es el mayor entero posible, ¿cuál fue la producción de los tres días? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Por qué es importante reciclar la materia orgánica? ¿En tu casa reciclan las cáscaras de frutas? ¿Cómo representas una cantidad desconocida? ¿Cómo podrías expresar matemáticamente estos datos?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA Recuerda que 1 tonelada (1 t) equivale a 1000 kg.

1. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué estrategia usarás para calcular los valores entre los que se encuentra la producción de fertilizante del lunes? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR

Accede a http://goo.gl/3j9L X para ampliar tus conocimientos sobre inecuaciones.

Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

4. Si la producción del lunes fuera de 10 t, ¿cuál sería la producción del martes? ¿Cuál sería la producción del miércoles y del jueves? © Santillana S. A.

SITIO WEB

184 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Modelación matemática

5. Si la producción en los tres días no es mayor que 70 t, represéntala gráficamente y como intervalo.

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA

▶ TEN EN CUENTA

La solución de una inecuación está formada por todos los valores que hacen que la desigualdad numérica sea cierta. Expresa la solución como intervalo.

6. Sea x la cantidad de fertilizante producida el lunes. Representa algebraicamente la producción del martes, miércoles y jueves. _______________________________________________________________ 7. Plantea y resuelve la inecuación de la situación inicial.

8. Representa como intervalo y gráficamente el conjunto solución de la inecuación.

9. Resuelve y responde la última pregunta de la situación inicial.

CONEXIÓN

Observa que el conjunto solución de una inecuación es un subconjunto del conjunto IR y se representa por un intervalo.

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Reemplaza la incógnita en la inecuación y verifica tus resultados.

Metacognición

Heteroevaluación

Reflexiono sobre las estrategias y procesos que desarrollé para aprender. ¿Qué estrategias utilicé?

© Santillana S. A.

¿Qué logré?

¿Qué dificultades tuve?

Mi aprendizaje

¿Cómo aplicaré lo aprendido?

Resuelve la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Dos compañías telefónicas, A y B, han lanzado una oferta para captar clientes. La compañía A ofrece un plan fijo de S/ 10 más un cargo de S/ 0,05 por cada minuto adicional al mes, mientras que la compañía B ofrece un plan fijo de S/ 20 más un cargo de S/ 0,03 por cada minuto adicional al mes. ¿Cuántos minutos se deben consumir al mes para que convenga la oferta de la compañía B? ¿Cuánto se pagará en ese mes? 185

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EN PARES

Campaña solidaria Como parte del Programa “Reciclar para Abrigar” realizado por una comisión de colegios de los distritos de Tana y Licha (provincia de Yauyos, región Lima) se recolectó cierto número de frazadas elaboradas con plástico reciclable. Se sabe que de un lote de frazadas, unos voluntarios repartieron 35 y quedaron más de la mitad. Al día siguiente le devolvieron 6 a la comisión, pero luego repartieron 36 y quedaron menos de 42. Expresa en forma gráfica y simbólica el conjunto solución. ¿Cuántas frazadas había como máximo en el lote?

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Para qué se utilizan las botellas de plástico recicladas? ¿Conoces las frazadas de polar? ¿Sabes de qué material se hacen? ¿Qué modelo matemático puedes plantear para resolver el problema?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué datos se conocen? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué estrategia usarás para determinar el número máximo de frazadas que había en el lote? ▶ ¿SABÍAS QUE…?

Para fabricar una frazada polar se utilizan, aproximadamente, 30 kg de botellas de plástico.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

4. Si del lote de frazadas se repartieron 50 y quedaron más de la mitad, ¿cuántas frazadas como mínimo había en el lote? 5. Si del lote de frazadas se repartieron 40 y quedaron menos de la mitad, ¿cuántas frazadas como máximo había en el lote? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

186 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Modelación matemática

Si un número x cumple las desigualdades x ≤ b y x ≥ a, significa que está comprendido entre a y b. Por lo tanto, se puede escribir así: a ≤ x ≤ b

6. Expresa las respuestas de las actividades 5 y 6 en forma simbólica. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Plantea inecuaciones que representen las situaciones de entrega y residuo de frazadas en cada día. Luego, resuélvelas y describe tus procesos.

8. Representa el conjunto solución en forma gráfica y simbólica.

9. ¿Cuál es el número máximo de frazadas que puede contener el lote?

SITIO WEB

_______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/dSwVkG y resuelve las inecuaciones propuestas.

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Reemplaza la incógnita en la inecuación planteada y comprueba tus resultados.

Metacognición

Heteroevaluación

Analizo mi aprendizaje y respondo las preguntas.

© Santillana S. A.

¿Qué estrategia apliqué al resolver la situación?

¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Se sabe que el costo del metro de tela polar varía entre S/ 8,50 y S/ 12,40. Si se compraron 5 m, ¿entre qué cantidades estará el costo de dicha compra? 2. Paula tiene que subir rollos de tela de 18 kg por un ascensor cuya carga máxima es de 350 kg. Si ella pesa 55 kg, ¿cuál es el mayor número de rollos que puede subir?

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EN EQUIPO

Cajas de cartón reciclado Un fabricante recibió un pedido para elaborar cajas de cartón reciclado de base rectangular con medidas de 32 cm por 50 cm. Al día siguiente, le comunican que las cajas ya no serán de base rectangular, sino cuadrada, pero manteniendo la misma área de la base. Si ya cuenta con la plantilla de la base rectangular, ¿cómo podrá elaborar la plantilla de la nueva base utilizando únicamente regla y compás?

Manos a la obra ¿Será útil usar regla y compás? ¿Necesitas conocer las dimensiones de la base de la caja del primer pedido? ¿Qué conocimiento matemático te permitirá crear una estrategia de solución?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS 1. ¿Qué forma tiene la base de la caja del primer pedido? ¿Cuáles son sus dimensiones?

RECUERDA

La relación métrica en el triángulo rectángulo es útil para determinar la correspondencia de áreas.

_______________________________________________________________ 2. En el segundo pedido, se indica que la base será un cuadrado, pero de la misma área que la base del primer pedido. ¿Cuál será esa área? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué conceptos geométricos utilizan el producto de dimensiones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS

El uso del compás y el juego de escuadras requieren precisión.

4. Tomando en cuenta el rectángulo ABCD, realiza las siguientes indicaciones para dibujar un cuadrado de igual área.

D

C

A

B

– Traza un segmento A'B' de igual medida que el lado mayor del rectángulo. Luego, traza una semicircunferencia de diámetro A'B'. ____

– Lleva sobre A'B' ​   ​un segmento A'D' de igual medida al lado menor del rectángulo dado.

– Toma el segmento A'P como el lado del cuadrado y traza los demás lados utilizando tus instrumentos de dibujo y medida. Recuerda verificar midiendo sus lados congruentes y ángulos rectos.

© Santillana S. A.

____

– Desde el punto D' traza un segmento perpendicular a A'B' ​   ​que corte a la semicircunferencia en P.

188 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Dibujo y construcción

CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS ▶ TEN EN CUENTA

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia tiene un ángulo recto.

5. Dibuja un cuadrado cuya área sea igual a la del rectángulo ABCD. Utiliza regla y compás, y sigue los pasos descritos anteriormente.

B

A

O

C

6. Verifica utilizando las medidas del problema. Si A'B' = 50 cm y A'D' = 32 cm, ¿cómo hallarías A'P? ¿Qué propiedad o teorema aplicarías?

7. El cuadrado y el rectángulo que dibujaste tienen la misma área. ¿Tendrán también el mismo perímetro? Justifica tu respuesta. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición 1. ¿Qué estrategia me permitió resolver la problemática?

2. ¿Tuve dificultades en el desarrollo? ¿Cómo las superé?

© Santillana S. A.

3. ¿Cuál es la utilidad de aprender relaciones métricas en el triángulo rectángulo?

4. ¿Cómo contribuyen las relaciones métricas en situaciones de diseño?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Construye un rectángulo de 8 cm de base y cuya área sea igual a la de un cuadrado de 10 cm de lado.

2. Construye dos cajas, una de base rectangular y otra de base cuadrada, que tengan igual altura e igual área en sus bases. Luego, compara sus volúmenes. 189

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INDIVIDUAL

Módulo de equilibrio Una guardería recibió como donación un módulo de equilibrio que fue fabricado con tecnopor reciclado, el cual está conformado por 5 piezas para favorecer la motricidad de los niños y las niñas. Dentro de su caja se encontró un catálogo en el que se indican las dimensiones de las piezas expresadas en pulgadas (in). Según dicho catálogo, la altura del módulo armado es de 24 in y su profundidad es de 40 in. Además, se indica que al unir la escalera (asumiéndola como un triángulo) con la rampa, se debe formar un triángulo con un ángulo recto y un lado mayor de 50 in de longitud. ¿Cuál es la longitud de las bases de cada pieza triangular? Resolvemos paso a paso ¿Se podrá resolver el problema con ayuda de un esquema? ¿Son suficientes los datos para calcular la longitud de las bases? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver esta situación?

COMPRENDE El plano frontal es una de las formas de observar nuestra realidad. Así, obtenemos su altura y su ancho.

1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Con qué datos cuentas? _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué datos son importantes para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. Subraya la estrategia que complementa a la estrategia sugerida. a) Hacer una lista sistemática.

c) Plantear una ecuación.

b) Ensayo y error.

EJECUTA ▶ ESTRATEGIA

6. Aplica la estrategia y realiza la representación gráfica de las partes del módulo.

Dividir el módulo en partes te permitirá tomar solo aquellas que necesitas.

© Santillana S. A.

Modificar el problema

190 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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Resolución de problemas

7. Une las piezas triangulares para calcular la base de cada una si se sabe que los ángulos superiores forman un ángulo recto y su altura mide 24 in. Simboliza los nuevos catetos con c y b, la hipotenusa con a, y sus proyecciones respectivas con m y n. CONEXIÓN

Observa el desarrollo de una ecuación cuadrática: x(4 – x) = 22 4x – x2 = 4 0 = x2 – 4x + 4 x1 = –2 x2 = –2

8. Tomando en cuenta la gráfica realizada, calcula m y n.

9. A partir de los valores de m y n, calcula los de b y c. Luego, responde la pregunta del problema.

COMPRUEBA 10. Verifica que la rampa y la escalera sean triángulos rectángulos.

CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema?

RECUERDA

Semejanza de triángulos

12. Resuelve el siguiente problema:

a x

_______________________________________________________________

y m

b n

a + b = ______ m + n = __ x ______ n y b

Para sostener los asientos de una tribuna, se han colocado por debajo las columnas a y b, y las vigas c y d. Calcula la altura de cada columna si las vigas forman entre sí un ángulo recto. _________________________

Metacognición 1. ¿Qué estrategias y recursos apliqué para resolver el problema?

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

© Santillana S. A.

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

4. ¿Qué contribución aporta en mi desarrollo personal los conocimientos repasados en esta ficha?

A

a

c 3m

d b 4m

4,5 m

Heteroevaluación Resuelve la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a). 1. Halla la longitud de cada uno de los cables que sostienen la antena si entre ellos forman un 9m 16 m ángulo recto. 191

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INDIVIDUAL

Taller matemático 5

Repartiendo agua Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Casa Lili

En el asentamiento humano Villa Hermosa, el repartidor de agua hace un recorrido muy singular. Inicia en la casa de Patty, pasa por la casa de Fabi y finaliza en la casa de Lili. Considerando los datos de la figura, ¿a qué distancia de la casa de Patty se encuentra el punto más cercano de la casa de Lili a la carretera? Si el aguatero se encuentra en la casa de Lili, ¿cuál es la ruta más corta que debe tomar? ¿Cuál es la distancia que se recorre en esta ruta?

24 km

Casa Fabi

30 km

18 km

Casa Patty

Nos familiarizamos con la situación Conociendo las distancias entre los puntos, ¿qué tipo de triángulo se describe? ¿Existe alguna relación entre las longitudes de las distancias de los puntos descritos?

1.

_______________________________________________________________ 2.

Representa gráficamente la ubicación de los puntos y distancias entre ellos.

3.

¿Habrá alguna relación entre las medidas de los lados del triángulo que permita calcular la distancia de la casa de Patty al punto más cercano de la casa de Lili a la carretera?

Metacognición

Heteroevaluación

1. ¿Qué recurso o estrategia me sirvió para resolver el problema?

1. ¿Qué relaciones métricas se cumplen en un triángulo rectángulo?

3. ¿Qué influencia tiene en mi desarrollo personal lo que aprendí?

3. Del problema inicial, ¿cuál es la distancia más corta de la casa de Lili a la carretera?

2. ¿Qué inconvenientes tuve al resolver el problema? ¿Cómo pude superarlos?

2. ¿El teorema de Pitágoras es una relación métrica? ¿Por qué?

© Santillana S. A.

La menor distancia de un punto a una recta la determina la longitud del segmento perpendicular que los une.

¿La figura que se forma al unir las casas de Patty, Fabi y Lili es un triángulo rectángulo? Justifica tu respuesta.

192 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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INDIVIDUAL

Taller matemático 6

Lo más cerca del río Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Todos los días José se abastece de agua en el río. Además, se sabe que su casa está ubicada en una de las esquinas de un terreno rectangular de 100 m × 250 m. Ahora, desea colocar un puente sobre un punto de un río que cruza diagonalmente el terreno. ¿Cuál será la menor distancia que podrá existir entre la casa y el puente? Si desea ubicar el puente lo más cerca posible de su casa, ¿sobre qué punto del río se debe construir dicho puente? Nos familiarizamos con la situación Si por la diagonal del terreno cruza un río, ¿qué figuras se obtienen sobre el terreno? ¿A qué hace referencia la distancia más corta de la casa al puente que se construirá sobre el río?

1.

¿Qué figura se podrá formar a partir del cruce del río? Indica sus elementos a través de un gráfico.

2.

¿Habrá alguna relación que se cumpla entre las distancias sobre el terreno?

3.

¿Cuánto mide la distancia de la casa al punto medio de la diagonal?

▶ TEN EN CUENTA

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa lo divide en dos triángulos rectángulos que son semejantes al primero. Al ser los tres triángulos semejantes, sus lados son proporcionales.

Metacognición 1. ¿Qué conocimientos matemáticos apliqué para resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades se me presentaron al resolver el problema? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué contribuye lo que aprendí al cálculo de distancias de un punto a una superficie?

Heteroevaluación Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. De la situación propuesta, ¿cuál es la distancia más larga del puente a una esquina del terreno rectangular? 2. ¿Qué otras relaciones métricas conoces? Enúncialas.

193

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EN EQUIPO

Taller matemático 7 (problema liberado PISA)

Frecuencia de goteo Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Las infusiones intravenosas (goteo) se utilizan para administrar líquidos y fármacos a los pacientes. Las enfermeras tienen que calcular la frecuencia de goteo G de las infusiones intravenosas en gotas por minuto. gv ​    ​ donde: Utilizan la fórmula G = ____ 60n g es el factor de goteo expresado en gotas por mililitro (mL);

v es el volumen de la infusión intravenosa en mL;

n es el número de horas que ha de durar la infusión intravenosa. Nos familiarizamos con la situación ¿Es lo mismo factor de goteo y frecuencia de goteo? ¿Qué datos necesitas para calcular la frecuencia de goteo? ¿Cómo la calculas? ¿Qué valores puede tener n?

Se aplicó a nivel internacional en el año 2012 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

1.

Una enfermera quiere duplicar la duración de una infusión intravenosa. Explica exactamente cómo varía G si se duplica n pero sin variar g y v.

2.

Las enfermeras también tienen que calcular el volumen de la infusión intravenosa v a partir de la frecuencia de goteo G. Una infusión intravenosa, con una frecuencia de goteo de 50 gotas por minuto, ha de administrarse a un paciente durante 3 horas. El factor de goteo de esta infusión intravenosa es de 25 gotas por mililitro. ¿Cuál es el volumen de la infusión intravenosa expresado en mL?

3.

Si el factor de goteo g se incrementa en un 20 % y se mantienen las otras condiciones de la actividad 2, ¿podemos decir que el nuevo volumen v2 de la infusión es menor que el volumen anterior v menos 60 ml?

Tuvo como finalidad conocer la capacidad de transformar una ecuación y sustituir dos variables por los valores dados.

Resuelve, además, la actividad 3.

Metacognición 1. ¿Por qué es importante representar distintas relaciones a través de un modelo algebraico? 2. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

Coevaluación 1. Si la frecuencia de goteo es de 40 gotas por minuto, el factor de goteo de esta infusión intravenosa es de 20 gotas por mililitro y el volumen es 60 mL. ¿Cuántas horas debe administrarse a un paciente?

© Santillana S. A.

Conoce más sobre la situación inicial

194 UNIDAD 4 / SISTEMAS DE ECUACIONES. INECUACIONES. RELACIONES MÉTRICAS

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5

Ecuación y función cuadrática. Circunferencia En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Plaza de Armas de Lima.

Matematizar situaciones • Examinar modelos referidos a ecuaciones cuadráticas en problemas afines.

Regularidad, equivalencia y cambio

• Organizar datos en dos variables de fuentes de información al expresar un modelo referido a funciones cuadráticas. • Seleccionar un modelo referido a funciones cuadráticas al plantear o resolver un problema Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar de forma gráfica y simbólica el conjunto solución de una ecuación cuadrática. • Expresar que la gráfica de una función cuadrática se describe como una parábola. • Describir la relación entre los elementos que componen una función cuadrática. Elaborar y usar estrategias • Aplicar los diferentes métodos de resolución de las ecuaciones cuadráticas. • Resolver problemas de ecuación cuadrática dado un gráfico, una descripción o un conjunto solución. • Hallar el dominio y rango de funciones cuadráticas al resolver problemas. • Resolver problemas de función cuadrática dado un gráfico, una descripción de una relación, o dos pares de entrada-salida (incluye lectura de estos de una tabla). Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Explicar la obtención del conjunto solución de ecuaciones cuadráticas con procesos algebraicos. • Plantear conjeturas respecto al valor de p al comparar las gráficas de un conjunto de funciones de la forma f(x) = ax 2 + p y f(x) = ax 2, a ≠ 0. • Justificar por qué una determinada función de la forma f(x) = a(x – p)2 + p, a ≠ 0, es cuadrática.

Forma, movimiento y localización

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

• Determinar relaciones no explícitas en situaciones de equivalencia al expresar un modelo referido a ecuaciones cuadráticas.

Matematizar situaciones • Evaluar si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar las relaciones métricas en un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras). Elaborar y usar estrategias • Usar instrumentos para realizar trazos, rectas paralelas, perpendiculares, transversales relacionadas con la circunferencia. • Emplear procedimientos con líneas y puntos notables del triángulo y de la circunferencia al resolver problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Explicar las relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. • Demostrar que todos los círculos son semejantes. • Explicar las relaciones entre el ángulo central y polígonos inscritos y circunscritos. 195

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La canchita de vóley del barrio está construida sobre un terreno de forma cuadrada. Para ampliarla, los dirigentes vecinales lograron que la municipalidad comprara un terreno vecino de 100 m2, con lo cual ahora la canchita tiene un área de 500 m2. Los vecinos han decidido cercar todo el terreno con un muro de ladrillos y, para ello, han contratado a un albañil que les cobrará S/ 120 por cada metro lineal de cerco.

100 m2

INDIVIDUAL

Ampliación de la cancha de vóley

x

x

Organizamos la información ¿Qué datos te proporciona el enunciado del problema? ¿Qué modelo algebraico representará la relación de las áreas? ¿Qué conocimientos matemáticos debes utilizar?

TEMA DE ESTUDIO 1. ¿Cuál es el hecho o acontecimiento? _______________________________________________________________

RECUERDA

Área del cuadrado: A = l2 Área del rectángulo: A=b ·h

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ INTERROGANTES DE ESTUDIO 2. ¿Qué interrogantes puedes extraer del hecho dado? ¿Cuál de ellas sería la pregunta central? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

No se sabe con exactitud cuándo vivió Diofanto, pero se asume que alrededor del 250 d.C. Pasaron unos 1500 años desde el inicio del estudio de las ecuaciones hasta que Diofanto diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones cuadráticas. En Babilonia se conocieron un conjunto de instrucciones, reglas bien definidas para resolver dichas ecuaciones, pero no la fórmula general.

_______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Cuáles son los conceptos que debes conocer para guiar tu razonamiento? _______________________________________________________________ Completa en un esquema como el que se muestra (llamado uve de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores. CONCEPTUALIZACIÓN

PREGUNTA(S) CENTRAL(ES)

7. MARCO TEÓRICO

5. PROCESOS BÁSICOS

2. INTERROGANTE(S) DE ESTUDIO

8. JUICIOS Y CONCLUSIONES

6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS CLAVES

En http://www.biografiasy vidas.com/biografia/d/ diofanto.htm

METODOLOGÍA

1. TEMA DE ESTUDIO

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES

© Santillana S. A.

HECHOS HISTÓRICOS

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V de Gowin

REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES ▶ TEN EN CUENTA

Si resuelves aplicando la raíz cuadrada, puedes estar suprimiendo una solución. x = 400 2

____

  ​  = 20 x = ​√ 400 

4. ¿Qué necesitas determinar, principalmente, para avanzar en la resolución de la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ En relación con las áreas y perímetros, ¿cuál es la diferencia entre ambos?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PROCESOS BÁSICOS 5. ¿Qué principios o fórmulas deberías considerar para llegar a la solución?

CONEXIÓN

Resolvemos ecuaciones cuadráticas en relación con el área del cuadrado y del rectángulo.

Anota en la V de Gowin las respuestas de las preguntas 4 a la 8 según corresponda.

_______________________________________________________________ DATOS QUE SE TIENEN 6. ¿Cómo ayudaron los datos, registros y observaciones para facilitar la respuesta a tus interrogantes?

MARCO TEÓRICO 7. ¿Cómo queda resumida la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones propuestas?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ JUICIOS Y CONCLUSIONES

8. ¿Cuáles son las respuestas del problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

2. ¿Qué procedimientos algebraicos recordé con facilidad? ¿Tuve dificultades? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué nuevas situaciones puedo aplicar lo aprendido?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. 4 ​ x2 + __ ​  5 ​ x = 0 1. 4x2 – 5x = 0 2. ​ __ 3 5 2 2 ​ x2 − __ 3. 3x + 2x = 0 ​  3 ​ x = 0 4. ​ __ 3 2 2 5. x2 – 70 = 155 6. x + 80 = 980 197

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EN PARES

Mezcla de edades Dos grupos de primos son integrantes del equipo atlético de una institución educativa. Después del entrenamiento se reúnen a compartir. Alan y su mellizo César conversan con su prima Brenda, mientras que Diana escucha lo que comentan sus primas mayores, Elena y Flor, sobre sus edades. Durante el diálogo, se dieron cuenta de que César y Flor nacieron el mismo año y que el producto de las edades de cada grupo de primos es el mismo. Si se sabe que Brenda tiene 12 años y, además, que el producto de las edades de Diana y Elena es 192, ¿qué edad tiene cada uno? Resolvemos paso a paso ¿De qué información dispones? ¿Cómo puedes relacionar la información brindada? ¿Cómo comprobarás la respuesta?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación propuesta? _______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos conoces para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Cómo expresarías algebraicamente las relaciones entre las edades? Utiliza incógnitas para expresar cantidades iguales que sean desconocidas.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué igualdad algebraica se ha formado? ¿Cómo se desarrolla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación? a) Razonar lógicamente.

c) Empezar por el final.

b) Plantear una ecuación.

d) Modificar el problema.

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

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Resolución de problemas

EJECUTA 7. Plantea y resuelve la ecuación obtenida. Describe tus procedimientos.

 ESTRATEGIA

Plantear una ecuación La representación de las relaciones entre las edades permite el planteamiento y resolución de una ecuación.

 TEN EN CUENTA

La ecuación incompleta es de la forma ax2 + bx = 0.

8. Responde la pregunta de la situación.

COMPRUEBA 9. ¿Cómo compruebas tus resultados? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué estrategia utilizaste para resolver la situación propuesta? _______________________________________________________________

SITIO WEB

_______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/YFfIC6 y desarrolla las actividades sobre ecuaciones cuadráticas incompletas.

11. ¿Por qué es importante factorizar una ecuación cuadrática? _______________________________________________________________ 12. El cuadrado de la cantidad de ruedas que hay en un taller de bicicletas equivale a treinta y siete veces la cantidad de ruedas que hay. ¿Cuántas ruedas de bicicleta hay en dicho taller? ________________________________________

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿En qué me ayuda crear un modelo algebraico para plantear un problema? 2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿Qué conocimientos he podido aplicar en esta actividad?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Supón que el producto de las edades de Diana y Elena es 40, y que Brenda tiene 5 años. ¿Qué edad tendría cada uno? 2. La tercera parte del cuadrado de un número aumentado en su doble es cero. ¿Cuál es el mayor número entero? 3. Halla un número cuyo cuadrado es igual a diez veces dicho número.

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Shutterstock

INDIVIDUAL

Uniformes para el equipo Una institución educativa invirtió S/ 720 en la compra de uniformes para su selección de fútbol. Además, se sabe que aunque fueron de tallas diferentes, el costo de cada uniforme fue el mismo. Cuando se repartieron los uniformes, el entrenador comentó: “Si cada uniforme hubiera costado S/ 6 menos, se habrían podido comprar 4 más”. ¿Cuántos uniformes se compraron? ¿Cuál fue el costo de cada uno? Resolvemos paso a paso ¿Qué información se tiene? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Qué modelo matemático puedes plantear para resolver el problema?

COMPRENDE SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/iChFOH y resuelve los problemas sobre ecuaciones cuadráticas.

1. ¿De qué trata la situación propuesta? _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ 3. ¿Con qué datos cuentas para resolver la situación? _______________________________________________________________

▶ TEN EN CUENTA

Si el monto pagado por los uniformes comprados se mantiene, la cantidad de uniformes y el precio de cada uno son magnitudes inversamente proporcionales, pues a menor precio, mayor número de uniformes adquiridos.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Cómo puedes relacionar los datos para calcular el número de uniformes que se compraron? ¿Cómo expresarías algebraicamente dicha relación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ EJECUTA

Plantear una ecuación Cuando expresamos algebraicamente las variables y establecemos las relaciones entre ellas, podemos representarlas por medio de ecuaciones y luego resolverlas.

5. Crea un modelo matemático que represente la relación entre el número de uniformes comprados y el número de uniformes que se hubieran podido comprar si se hubiese optado por unos de menor precio. Simplifica dicha expresión. © Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

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Resolución de problemas

6. Resuelve la expresión obtenida. Luego, describe el procedimiento de resolución. RECUERDA

Una ecuación cuadrática completa se puede resolver por: 1. Factorización 2. Fórmula general 3. Método gráfico Evalúa el método que sea más conveniente en cada caso.

7. Completa el procedimiento necesario para responder ambas preguntas. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ COMPRUEBA 8. ¿La respuesta es coherente con los datos de la situación propuesta? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

5

*1 › x 24 β { 19

5 *1 ›

x 24 β { 19

Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si se desplazara a 20 km más por hora, tardaría 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿Cuál es el tiempo empleado por el tren?

CONCLUYE Y APLICA 9. ¿Qué estrategia fue útil para resolver la situación propuesta? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. Supón que se invierten S/ 600 en la compra de una cantidad de buzos a igual costo por unidad. Se sabe que si se hubieran comprado otros buzos de mayor calidad, hubiesen costado S/ 5 más cada uno, pero se habrían podido comprar 4 buzos menos. ¿Cuántos buzos se compraron?

Metacognición Reflexiono sobre las estrategias y procesos que he desarrollado en esta sesión.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades al crear un modelo matemático para representar los datos del problema? ¿Cómo las superé?

2. ¿Utilicé los métodos algebraicos como estrategias para resolver problemas? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Las edades de dos hermanos se diferencian en 4 años. Si el cuadrado de la edad del menor menos diez veces la edad del mayor es igual al cuadrado de la diferencia de sus edades, ¿qué edad tiene el hermano mayor? 2. Halla el número que sumado con su inverso es 26/5.

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INDIVIDUAL

Un regalo para la mejor velocista Andrea es una destacada atleta que logró romper el récord nacional de los 100 m planos, por lo cual obtuvo la medalla de oro. Sus amigos se suman a la celebración y le han comprado un regalo especial. La caja en la que colocarán el obsequio tiene una base cuadrada y una altura de 10 cm. Si se necesita como mínimo 0,225 m² de papel de regalo para forrar la caja, ¿cuánto mide el lado de su base? Resolvemos paso a paso ¿Podrías representar el problema con un modelo gráfico y otro algebraico? ¿Qué conceptos matemáticos utilizarás?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación propuesta? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 46-49).

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué te piden calcular en la situación propuesta? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA



RECUERDA

1 m = 100 cm 1 m2 = 10 000 cm2 Al relacionar las medidas, asegúrate de que todas estén expresadas en las mismas unidades.

4. ¿Cómo expresas las medidas desconocidas de la caja? _______________________________________________________________ 5. ¿Cómo se relacionan las dimensiones de la caja y la cantidad de papel que se requiere para forrarla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Con qué estrategia complementarías la estrategia sugerida?

_______________________________________________________________ EJECUTA

Hacer un gráfico Representar gráficamente las dimensiones nos facilita representarlas y establecer las relaciones entre ellas.

7. Representa gráficamente la situación y expresa el área total de la caja mediante una ecuación cuadrática. 0,1 m x

x

© Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

202 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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Resolución de problemas

8. Desarrolla la ecuación cuadrática aplicando algún método algebraico. Describe tu procedimiento.

 TEN EN CUENTA

Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver aplicando la fórmula general:

________

± ȼ b2 – 4ac ______________ x = –b 2a

9. Responde la pregunta de la situación. _______________________________________________________________

SITIO WEB

_______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/eDYCH0

COMPRUEBA

Comprueba tus actividades con el solucionador de ecuaciones cuadráticas.

10. ¿Cómo puedes verificar los valores de las raíces utilizando un gráfico?

Algunos de los softwares de Internet que te permiten graficar parábolas son GeoGebra, Graphmatica, Desmos Calculator, entre otros.

CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Qué estrategia fue útil para resolver la situación? _______________________________________________________________ 12. Supón que se quiere forrar otra caja en forma de prisma rectangular con la misma cantidad de papel. ¿Qué dimensiones puede tener dicha caja? Dibújala e indica sus medidas.

Metacognición

Heteroevaluación

© Santillana S. A.

Reflexiono sobre los procesos que he realizado e identifico cuál me ayudó a comprender la resolución de ecuaciones cuadráticas.

1. ¿Me resultó fácil o difícil crear un modelo matemático para representar la relación de datos? 2. ¿En qué medida el uso de un recurso tecnológico me ayudó a validar mis resultados?

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a). 1. 9x2 – 25 = 0

2. x2 + 2 = 6

3. 3x2 + 17x ï

4. 23x2 ïx2)

5. x2 = 2x – 1

6. 2x – 4 = x2 – 2x

7. x2 + (7 – x)2 = 25

8. x2 + (x + 2)2 = 580

5 –7 9. xï_____  2 = _____ x+1 x+1

–1 10. 16x – 8 = ___ x 203

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ADAPTACIÓN Los estudiantes de una institución educativa de la región Puno forman dos equipos en el aula. El docente orienta las acciones que realizarán con un grupo de números reales y les propone un juego. Luego, a cada equipo le entrega 12 tarjetas. Archivo diario El Comercio

EN EQUIPO

Jugando con ecuaciones

Proponemos nuestro juego ¿En qué consistirá el juego? ¿Qué nombre le pondrías a este juego? ¿Qué materiales se necesitan? ¿Qué reglas puedes establecer?

Colegio en Chipana, región Puno.

ESTRUCTURACIÓN HECHOS HISTÓRICOS

Tablas babilónicas El siguiente problema matemático fue encontrado en las tablas babilónicas de barro que tienen más de 4000 años de antigüedad. Descubre dos números cuya suma sea S y cuyo producto sea P. Los babilonios usaron el procedimiento de resolución de una ecuación cuadrática.

Número de participantes

– Equipos de tres estudiantes

Materiales

– 12 tarjetas rectangulares. En cada tarjeta los participantes escribirán un número real entero o fraccionario. No pueden haber números repetidos. – Hojas y lápices

Instrucciones

– Se mezclan las tarjetas y se colocan boca abajo sobre una mesa.

– Un integrante del equipo saca dos tarjetas. Luego, los tres integrantes del equipo construyen la ecuación cuadrática a partir de los valores de las tarjetas, los cuales serán las raíces de dicha ecuación.

– El primero que obtenga la respuesta correcta, se anota un punto. Continúa el juego de la misma manera, pero esta vez el encargado de sacar las dos tarjetas será otro integrante del equipo. – Se realiza el mismo procedimiento hasta que se acaben las tarjetas.

– Gana el estudiante con mayor puntaje. ABSTRACCIÓN En http://goo.gl/T8UUEN

1. ¿Por qué se toman dos respuestas? _______________________________________________________________ 2. ¿Qué se entiende por las raíces de una ecuación? ¿Qué forman? 3. ¿Qué características cumplen las raíces de una ecuación cuadrática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

204 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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Juego matemático

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DESCRIPCIÓN

RECUERDA

Para construir la ecuación cuadrática, puedes usar: x2 – Sx + P = 0 Donde: S: Suma de las raíces. P: Producto de las raíces.

4. Completa la tabla y compara tus resultados con los de tus compañeros. er

Números escogidos

1. número

2.° número

Suma de raíces

Producto de raíces

Ecuación cuadrática

5. ¿De qué otra forma puedes construir la ecuación de segundo grado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMALIZACIÓN 6. ¿Cuál es el orden en el que se ubican la suma y el producto de las raíces? _______________________________________________________________ 7. ¿Qué sucede si las raíces son números opuestos? _______________________________________________________________

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/rkH762 y halla las ecuaciones cuadráticas a partir de la suma y el producto de las raíces.

_______________________________________________________________ 8. ¿Qué sucede si las raíces son números iguales? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. ¿Qué tipo de ecuación se forma si uno de los números es cero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. ¿Qué debes considerar para poder ganar el juego? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Me fue fácil comprender las instrucciones del juego? 2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Las pude superar? ¿Cómo?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

3. ¿Cómo podría mejorar en el juego?

1. Piensa en 4 números reales diferentes y forma todas las parejas posibles. Luego, construye las ecuaciones cuadráticas.

5. ¿En qué medida el desarrollo de una actividad en equipo me ayudó a repasar los conocimientos adquiridos?

3. Verifica tus soluciones utilizando el método gráfico. Para ello, accede a un graficador en línea.

4. ¿Participé de manera democrática respetando las instrucciones seguidas por el equipo?

© Santillana S. A.

Coevaluación

2. ¿Qué ecuación te resultó más difícil de construir? ¿Por qué?

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EN PARES

Piscina en casa Jimena, en su época de estudiante, participó con éxito en los campeonatos interescolares de natación. Ahora, ya mamá de dos pequeños hijos, los motiva frecuentemente para que practiquen deportes. Se anima y fabrica una piscina pequeña utilizando una superficie de plástico de 3 m2. Esto lo hace retirando cuatro cuadraditos, uno en cada esquina, cuyos lados miden el inverso del lado de la superficie inicial. ¿Cuánto mide el lado de la superficie? ¿Cuánto mide el lado de los cuadraditos que se han retirado?

x

3 m2

__ ​  1 ​

x

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Se utiliza todo el material de las superficies? ¿Qué relación existe entre el área de la piscina y el área de los cuatro cuadraditos cortados? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA SITIO WEB

Accede a https://es.khanacademy. org/ Haz clic en “Temas”. Luego, escribe ecuaciones cuadráticas en el buscador y explora.

1. ¿De qué datos dispones para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Recuerda que, al elevar una fracción a una determinada potencia, tanto el numerador como el denominador quedan elevados a dicha potencia.

4. ¿Qué estrategia usarás para determinar la relación entre las cantidades? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

5. ¿Cómo puedes determinar la longitud del lado de la placa cuadrada?

206 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:01 PM

Modelación matemática

6. ¿Qué tipo de ecuación se ha formado? _______________________________________________________________

▶ TEN EN CUENTA

Las ecuaciones bicuadráticas también se pueden trabajar realizando un cambio de variable. Por ejemplo, se puede establecer que x2 = z. Así, la ecuación x4 – 3x2 – 4 = 0 se convierte en una ecuación cuadrática: z2 – 3z – 4 = 0

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Calcula la medida del lado de la placa cuadrada.

8. Calcula el área de los cuadraditos pequeños.

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 9. Realiza la sustracción de áreas con las medidas encontradas y comprueba que el resultado es 3 m2.

Metacognición

Autoevaluación Respondo estas preguntas e identifico mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

¿Cuánto aprendí? ¿Qué estrategia apliqué al resolver el problema?

¿Tuve dificultades? ¿Cómo las afronté?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. 1. Aldo planea construir una piscina rectangular en el jardín de su casa. Para ello, ha diseñado este esquema.

x x2 3x

2x 2

Si la diferencia entre el área del jardín y el área de la piscina es 135 m2, ¿cuáles son las dimensiones de la piscina? 207

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6/10/16 12:44 PM

Ciclismo infantil Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En un concurso de ciclismo infantil, Aníbal y Rosa parten a la vez de un punto P y se desplazan en línea recta con velocidades constantes y siguiendo trayectorias perpendiculares entre sí. Se sabe que la velocidad de Rosa es mayor que la de Aníbal en 7 km/h y que, después de 3 horas de haber partido, la distancia que los separa es de 39 km. ¿Con qué velocidad se desplazó cada uno?

Mylene d´Auriol

INDIVIDUAL

Taller matemático 1

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué trayectoria siguen los ciclistas? ¿Quién tiene la mayor velocidad? ¿Qué distancia se separarán Aníbal y Rosa cada hora?

Niños de Sibayo (Colca), región Arequipa.

Ayúdate de estas preguntas para dar solución a la situación. 1.

¿Cómo se determina la velocidad de un móvil que se desplaza a velocidad constante y en trayectoria recta? ¿Y cómo se calcula la distancia que recorre?

2.

Representa gráficamente el desplazamiento de los ciclistas y la distancia que se forma entre ellos.

CONEXIÓN

Observa que el teorema de Pitágoras se aplica a todo triángulo rectángulo. C a

b A

c

B

3.

¿Con qué velocidad se desplazó cada ciclista?

a2 = b2 + c2

Metacognición 2. ¿Tuve dificultad al representar la situación a través de un modelo algebraico?

3. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

1. Si las trayectorias que recorren los ciclistas son perpendiculares, ¿cómo determinas la distancia que los separa?

2. Si los ciclistas mantienen la misma velocidad y trayectoria, ¿qué distancia los separará después de 5 horas?

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

Heteroevaluación

208 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:01 PM

Llenado de piscina Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración Shutterstock

EN EQUIPO

Taller matemático 2

La piscina de una villa deportiva se puede llenar mediante dos cañerías en simultáneo en 1 __ ​  7 ​  horas, mientras que 8 una de ellas, por separado, puede llenar la piscina dos horas antes que la otra. Responde lo siguiente: 1. Si ambas cañerías tuvieran el doble de diámetro y se mantiene el mismo caudal, ¿en cuánto tiempo se llenaría la piscina? 2.

¿Qué tiempo tardaría cada cañería, por separado, en llenar la piscina? Nos familiarizamos con la situación

¿El diámetro de las dos cañerías es el mismo? ¿Qué ocurre si las cañerías fueran de menor diámetro?

▶ TEN EN CUENTA

El caudal es la cantidad de agua que pasa a través de una cañería o conducto en una unidad de tiempo.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿En qué otros casos puedo utilizar los conocimientos adquiridos para resolver problemas relacionados con el abastecimiento de servicios? 2. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

3. ¿En qué medida esta actividad me ayuda a tomar conciencia sobre el consumo responsable?

Heteroevaluación 1. Dos grifos llenan un tanque en 5/6 horas. Si cada grifo se abre por separado, la diferencia de los tiempos de llenado será de una hora. ¿Cuánto tiempo tardará cada grifo en llenar el tanque? 2. Averigua si en tu colegio existen cisternas para agua. ¿Qué tipo de cañería utilizan? ¿Cómo es el abastecimiento?

209

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EN EQUIPO

Juguemos fútbol Durante un partido de fútbol, un arquero ejecuta un saque de meta, el cual describe una trayectoria parabólica que responde a la función f (x) = –0,05x2 + 0,7x, donde y es la altura (en metros) que alcanza la pelota cuando se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto de lanzamiento. ¿Qué altura máxima alcanzó la pelota? ¿Cuál fue el alcance de la pelota sobre el campo?

Resolvemos paso a paso ¿Qué tipo de trayectoria describe el lanzamiento de la pelota? ¿Que representan las variables x e y? ¿Podrías crear un modelo matemático que permita representar los datos y dar solución al problema?

COMPRENDE

RECUERDA

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

1. ¿De qué trata la situación? ¿Qué se quiere hallar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿De qué datos dispones para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué características debe tener el modelo de la trayectoria parabólica? _______________________________________________________________

¿Qué características tiene una parábola? Menciónalas.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Cómo determinas los valores que puede tener la distancia horizontal? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué valor determinará la altura máxima de la pelota? 6. ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación? a) Hacer un gráfico. c) Buscar patrones.

b) Empezar por el final.

d) Utilizar ensayo y error.

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

210 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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Resolución de problemas

EJECUTA  ESTRATEGIA

7. Realiza el gráfico y determina los puntos de corte de la parábola con el eje X.

Hacer un gráfico Nos permitirá reconocer el tipo de curva y luego la ecuación con que se relaciona.

Interpreta la altura y la distancia horizontal de alcance.

8. ¿Cómo determinas la coordenada del vértice de la parábola en el eje X? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. ¿Qué altura alcanzó la pelota? ¿Y qué distancia horizontal? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Vi Ƨ

H máx. X máx.

COMPRUEBA 10. Completa la tabla y valida tus resultados. x

y

0

3

5

7

9

14

CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Qué estrategia fue útil para resolver la situación? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 224-227).

_______________________________________________________________ 12. Se lanza una pelota que describe una trayectoria parabólica desde el punto (0; 0). Si alcanza 10 metros de altura y cae a una distancia de 40 metros, ¿cuál es el dominio y el rango de la función que modela dicha trayectoria? _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿En qué medida el uso de un modelo algebraico y geométrico me ayudó a resolver el problema? 2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

Heteroevaluación Resuelve la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Se ejecuta un tiro libre cuya trayectoria parabólica responde a la función f (x) = ï 0,02x2 + 0,4x. Determina el alcance máximo y la altura máxima. 211

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EN PARES

Medicina deportiva Durante su preparación para los últimos Juegos Panamericanos, un atleta de la delegación deportiva contrajo una infección. El médico de la delegación debía tener cuidado con el medicamento que recetaría; por ello, estudió la bacteria. Así encontró que la resistencia de dicha bacteria a cierto antibiótico está dada por la función R(x) = x2 – 200x + 10 125, donde x es la dosis en miligramos de un antibiótico. ¿Cuál será la dosis de antibiótico que hace mínima la resistencia de la bacteria? ¿De cuánto será esa resistencia? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Cómo puedes relacionar la dosis del antibiótico y la cantidad de bacterias? ¿Será útil encontrar esta relación? ¿Qué representan x e y en la función? ¿Cómo podrías determinar los valores de x e y?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿De qué datos dispones para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué harás primero? ▶ TEN EN CUENTA

La expresión algebraica de la función cuadrática indica que es una parábola cuyo vértice (V) es su valor mínimo.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia usarás para determinar la relación entre las cantidades? _______________________________________________________________

k

V(h, k) h

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

5. Determina las coordenadas de la abscisa del vértice con la fórmula ___ ​  –b ​.  ¿Qué 2a dosis (en miligramos) del antibiótico hace mínima la cantidad de bacterias?

212 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:01 PM

Modelación matemática

6. ¿Cuál es la resistencia mínima de las bacterias? El dominio de una función lo ubicamos en el eje horizontal o de abscisas, y el rango, en el eje vertical o de ordenadas.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Calcula los valores que pueden tomar x e y. Luego, determina el dominio y el rango. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Otro graficador que puedes utilizar para validar tus soluciones es Graphmatica.

8. Determina el dominio y el rango de la función. _______________________________________________________________ VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 9. Comprueba tus respuestas. Para ello, completa la tabla con algunos valores a fin de verificar la relación entre la cantidad de miligramos (x) de antibiótico y la resistencia de la bacteria R(x). x

0

50

100

150

200

R(x)

10. Accede al recurso Desmos Calculator e ingresa la función R(x) = x2 – 200x + 10 125. Verifica la ubicación y las coordenadas del vértice. Metacognición

Coevaluación Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué estrategia y procedimiento apliqué para resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué medida los recursos tecnológicos me ayudaron a resolver o validar resultados? 4. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Dada una función cuadrática, ¿qué procedimiento debes seguir para determinar su valor máximo o mínimo? ¿Qué valores debes considerar para determinar su dominio y rango? 2. La resistencia de una bacteria a otro antibiótico está dada por la función T(x) = x2 − 100x + 2450, donde x es la cantidad de miligramos del antibiótico, e y, la resistencia de la bacteria. Determina la dosis mínima para que la bacteria ofrezca la menor resistencia. Luego, halla el dominio y el rango de la función.

213

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4/8/16 4:01 PM

INDIVIDUAL

Juego de vóley Durante un partido de vóley, Alicia se dispone a sacar desde el punto A con el objetivo de lanzar la pelota hacia la ubicación de Brenda (punto B). ¿Qué trayectoria describe la pelota si se sabe que su recorrido dura 2 segundos? ¿Habrá alguna función que describa dicha trayectoria? ¿Qué altura máxima alcanzará la pelota? Considera los ejes del sistema cartesiano dibujado sobre el plano de la cancha con sus respectivas medidas.

Y

X

A

B

9m

3m

3m

18 m

Resolvemos paso a paso ¿Qué te piden calcular? ¿Qué información te ofrece el problema? ¿Qué datos adicionales necesitas para responder las preguntas? ¿Qué concepto o fórmula matemática debes utilizar?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación propuesta? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 228-229).

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿De qué datos dispones? ¿Cuál es el sistema de referencia? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Cómo puedes representar la información del problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Para determinar la altura h que alcanza un cuerpo, puedes usar la fórmula ​  1 ​gt 2 = 5t 2, donde t h = __ 2 es el tiempo.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué nuevos datos puedes obtener a partir de la información inicial? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Qué estrategia te permitirá resolver la situación? a) Particularizar

b) Buscar patrones

c) Generalizar

© Santillana S. A.

▶ TEN EN CUENTA

214 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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Resolución de problemas

EJECUTA 7. Determina la ecuación de la parábola considerando las coordenadas de los puntos A y B.

 ESTRATEGIA

Generalizar La determinación de la ecuación de la parábola, considerando las coordenadas de dos puntos dados, te permitirá encontrar la función cuadrática.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 8. ¿Cuál es la altura que alcanza la pelota? _______________________________________________________________

 USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Recuerda que para elevar un número al cuadrado, debes digitar en la calculadora la tecla X2.

_______________________________________________________________ COMPRUEBA 9. Comprueba tus resultados. Para ello, elabora una tabla en tu cuaderno y tabula la altura que alcanza la pelota en intervalos de 0,5 segundos. CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

 IMPORTANTE

Varias funciones pueden pasar por los mismos puntos, pero existe una que cumple con el dato del tiempo.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 11. Si desde un punto A del campo de vóley se lanza la pelota a otro punto del mismo campo, ¿qué sucederá? ¿La función de la trayectoria de la pelota cambiará? _______________________________________________________________

B

A

_______________________________________________________________

Metacognición

Autoevaluación Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué sabía sobre el tema y qué nuevos conocimientos he adquirido?

2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué situaciones puedo aplicar lo aprendido?

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Lanza una pelota 5 veces y determina la altura que alcanza cada vez. Utiliza un cronómetro para medir el tiempo de recorrido de la pelota y aplica la fórmula respectiva.

2. Determina la función cuadrática de la parábola descrita por la trayectoria al lanzar la pelota en un partido de fútbol. Utiliza como sistema de referencia el plano cartesiano. 215

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EN PARES

Losa deportiva Esteban ha sido contratado para elaborar los planos de una losa deportiva, la cual debe tener la forma de un paralelogramo de ángulos rectos y un perímetro que mida 100 metros. Mientras piensa en las posibles medidas del largo y ancho del plano, también calcula las áreas que podrá obtener. Si Esteban elabora una función que represente los posibles valores de las áreas, ¿qué tipo de función obtendrá? Nos preguntamos previamente ¿Qué información se tiene? ¿Qué datos adicionales necesitas para responder la pregunta? ¿Qué concepto o fórmula matemática debes utilizar?

ACCIÓN ▶ TEN EN CUENTA

Recuerda que si los lados del rectángulo son a y b, el perímetro y el área son los siguientes: b a

P = 2(a + b)

A=a·b

_______________________________________________________________ 2. ¿Cómo determinas el perímetro y el área de un rectángulo? _______________________________________________________________

a b

1. ¿Qué es el perímetro de una figura?

_______________________________________________________________ 3. ¿Las medidas deben estar expresadas en las mismas unidades? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 4. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué plan o estrategia seguirás para resolver la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. Para resolver la situación, ¿será suficiente con lo que sabes o necesitas conocer algo más? 7. Representa algebraicamente la longitud del largo y el ancho de un rectángulo de 100 m de perímetro. _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

216 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN Toda función lineal se representa por una recta, y toda función cuadrática, por una parábola.

8. Determina la función relacionada con el perímetro y el área del rectángulo. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. Analiza la expresión de la función. ¿Qué figura describe su gráfica? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. Valida tu respuesta representando gráficamente la función. Puedes utilizar algún graficador en línea como Desmos Calculator o Graphmatica. 11. Responde la pregunta del problema. ¿Cuál es la gráfica que se obtendrá? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ INSTITUCIONALIZACIÓN 12. Luego de realizar las actividades, comparar los procedimientos y verificar las respuestas, ¿a qué conclusiones puedes llegar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/WUelyM para explorar las aplicaciones de la función cuadrática.

13. Supón que la longitud del perímetro del rectángulo fuera el doble. ¿La gráfica sería idéntica? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué estrategias o recursos utilicé para validar mis resultados? ¿Usé algún recurso tecnológico? 2. ¿Qué dificultades tuve al resolver el problema? ¿Cómo las superé?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Determina la gráfica de los rectángulos cuyos perímetros midan 40 cm. 2. Si se duplica la longitud del perímetro de un rectángulo, ¿se duplicará también su área?

3. Si se sabe que el área de un rectángulo es de 60 cm2, ¿se pueden determinar las longitudes de sus lados? 217

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EN EQUIPO

Lanzamiento de una pelota Bruno le muestra a Pedro la representación de tres curvas en la computadora. Este, que gusta mucho del fútbol, comenta que vistas al revés se parecen a las trayectorias que siguen las pelotas cuando el arquero realiza un saque. Pedro, impresionado, quiere reproducirlas en su computadora utlizando algún recurso tecnológico.

Conic

8 6 4 2 –8

–6

–4

–2

0

0

2

4

6

8

10

–2

Manos a la obra

–4

¿Qué recursos conoces? ¿Sabes el nombre de las curvas?

–6

ACCIÓN REAL

Perspectivas

Accede a http://web.geogebra.org/app, selecciona “Álgebra” y haz clic en para configurar la pantalla. Luego, en “Vistas” selecciona “Álgebra”, “Gráficos” y “Barra de entrada”.

Vistas

2

Álgebra Gráficos Gráficos 2 Gráficos en 3D Hoja de cálculo CAS Calculadora de Probabilidades Protocolo de Construcción Barra de Entrada Barra De Navegación Actualizar Vistas Recalcular todos los objetos

4

Vista algebraica

2

0 –4

Barra de entrada

–2

Vista gráfica

0

2

4

6

–2

Input

1. Digita y = x^2 en la barra de entrada y luego presiona “Enter” para expresar la función y = x2. Luego, digita y=-x^2 para expresar la función y = −x2. ¿Qué obtienes? Y en “Vista gráfica”, ¿qué forma tiene la gráfica? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. Haz clic en y ubícalo sobre la gráfica de la parábola. Cuando el cursor cambie a , mueve la gráfica horizontal o verticalmente ubicando su vértice en diferentes valores enteros sobre los ejes X e Y. ¿Qué observas? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

218 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Laboratorio de Matemática

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE Si x es positivo, ¿en qué sentido se trasladará la parábola? ¿Y si x es negativo?

3. Completa la tabla. Para ello, ubica el vértice de la parábola en los puntos del eje X que se indican y trasládala. Anota la ecuación que representa a la función cuadrática. Luego, factoriza la expresión. Valor de x

Función

x=3

Vértice (h; k)

x = −1 x = −5

4. Completa la tabla. Esta vez ubica el vértice en los puntos del eje Y que se indican. Valor de y

Función

y=4

Vértice (h; k)

y = −2 y = −3 Si y es positivo, ¿hacia dónde se trasladará la parábola? ¿Y si y es negativo?

5. ¿Cómo influye el cambio del término independiente en el desplazamiento de la parábola? ____________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. ¿Qué relación observas entre la expresión de la función y el desplazamiento de la parábola? __________________________________________________ _______________________________________________________________ RELATO 7. ¿Qué relación encuentras entre la expresión de la función y la ubicación de su vértice? Describe lo que sucede en cada caso. 8. ¿Cualquier trinomio que represente a una función puede expresarse de la forma y = (x ± k)2? REPRESENTACIÓN GRÁFICA 9. Luego de observar el gráfico de la situación inicial, interpreta cuál sería la expresión algebraica que corresponde a su función. Ingresa en GeoGebra dicha expresión algebraica y verifica su correspondencia.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades para establecer relaciones entre la expresión algebraica de una función y su gráfica? 2. ¿Me resultó fácil manipular las herramientas de GeoGebra necesarias para esta actividad?

3. ¿Participé de manera responsable en las actividades de grupo?

Heteroevaluación Resuelve con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1) Explora el desplazamiento de estas funciones: a) y = 3x2 b) y = __ ​  1 ​ x2 4 2 c) y = 2x + 3 d) y = −0,5x2 – 1 1 ​ x2 e) y = –​ __ f) y = __ ​  1 ​ x2 – 2 2 3

219

216_234 CTU5M4_lici.indd 219

6/10/16 12:38 PM

INDIVIDUAL

Rampa parabólica de skate Carlos y Ricardo se han inscrito en clases de skate que dan en un parque de su barrio. El instructor les ha informado que en la primera semana las clases se realizarán en la rampa 1, y la siguiente semana, en la rampa 2. Además, se sabe que la parábola que describe la trayectoria en la rampa 1 es y = (1/8)x2. Determina la expresión algebraica de la rampa 2 si el vértice de la parábola que describe su trayectoria se ubica en (4; 2).

6

e: x2 - 8x = 0

4

Entrada…

2 0 -6

-4

-2

2

4

6

–1 –2

Manos a la obra ¿Qué datos puedes extraer sobre las parábolas? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema? ¿Qué sucederá si analizas los mismos ejemplos, pero el coeficiente tiene signo negativo?

ACCIÓN REAL Accede a http://web.geogebra.org/app, selecciona “Álgebra” y haz clic en para configurar la pantalla. Luego, en “Vistas”, selecciona las opciones “Álgebra”, “Gráfica” y “Barra de entrada”. ¿Qué forma tiene la expresión algebraica de una función cuando su vértice se encuentra en el eje X? ¿Y en el eje Y?

1. Digita y=1/8x^2 en “Barra de entrada” y luego presiona “Enter” para expresar y ubícalo sobre la gráfica de la la función y = x2. A continuación, haz clic en parábola. Cuando el cursor cambie a , mueve la parábola ubicando su vértice en uno de los cuadrantes. ¿Qué sucede con la expresión algebraica de su función? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

2. Observa la expresión algebraica de cada función. ¿Alguna de ellas es un trinomio cuadrado perfecto? ________________________________________ _______________________________________________________________ ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 3. En “Barra de entrada”, ingresa las funciones cuadráticas que se indican e identifica sus vértices en el gráfico. Conic

8

c: y = x2 - 10x + 24 d: y = x2 - 6x + 10 e: y = x2 + 4x + 5 f: y = x2 + 4x + 2

6

2 0 –6

–4

–2 –2

220 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

0

2

4

6

8

10

12

© Santillana S. A.

4

–4 –6

216_234 CTU5M4_lici.indd 220

4/8/16 4:03 PM

Laboratorio de Matemática

4. Completa la tabla de la siguiente manera:

Descompón el término independiente del trinomio de modo que se forme un trinomio cuadrado perfecto sumado a un término independiente positivo o negativo. Función

Observa que el término independiente del trinomio se descompone en dos números.

y = x2 – 10x + 24

y = x2 – 10x + 25 − 1

Vértice (h; k) y = (x – 5)2 −1

(5; −1)

y = x2 – 6x + 10

(3; 1)

y = x2 + 4x + 5

(−2; 1)

y = x2 + 4x + 2

(−2; −2)

5. ¿Cómo expresas algebraicamente la función de una parábola que pasa por el punto V(h; k)? _______________________________________________________________ 6. ¿Cuál es la expresión algebraica de una parábola que pasa por V(3; 1)? _______________________________________________________________ RELATO 7. A partir de la expresión de la función, ¿cómo ubicas el vértice de una parábola? _______________________________________________________________ 8. A partir de la ubicación de las coordenadas del vértice de una parábola en cualquier cuadrante, ¿cómo podrías generalizar el movimiento de dicha parábola? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 9. Escribe la función cuadrática correspondiente a la parábola que da respuesta a la situación inicial. Luego, verifícala utilizando GeoGebra. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición Respondo estas preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia me resultó más sencilla al trabajar con GeoGebra?

2. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar lo que aprendí?

Heteroevaluación Resuelve con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1. Explora el desplazamiento de las siguientes funciones: a) y = x2 + 10x + 30

b) y = x2 – 6x + 18

c) y = x2 – 12x – 30

d) y = x2 + 8x – 20

e) y = x2 – 14x + 46

f) y = x2 + 16x + 69 221

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6/10/16 12:39 PM

Tenis de mesa Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración Shutterstock

INDIVIDUAL

Taller matemático 3

La altura h (en metros) que alcanzó una pelota de tenis de mesa al lanzarla hacia arriba, está dada por la expresión h(t) = –t 2 + 0,6t + 0,7, donde t es el tiempo en segundos. 1. ¿Qué características tiene la gráfica de la función cuadrática cuando el término cuadrático es negativo? 2. 3.

¿A los cuántos segundos la pelota estará a 0,3 metros de altura? ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire? Nos familiarizamos con la situación

¿Qué trayectoria describe la pelota de tenis de mesa cuando se hace un saque? ¿Qué características tiene la expresión matemática que describe la altura que alcanza la pelota de tenis? ¿Cómo podría representarse de manera gráfica?



RECUERDA

La trayectoria es el recorrido que describe un objeto en movimiento, en nuestro caso, la pelota de tenis de mesa.

Metacognición

2. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar un modelo algebraico para expresar una relación entre valores?

1. Del problema inicial, ¿qué altura alcanzará la pelota de tenis a los 0,5 s? ¿Y al segundo?

2. Elabora un organizador que resuma las características que tiene la función cuadrática en su representación algebraica y gráfica.

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades para analizar la representación algebraica? ¿Cómo las superé?

Heteroevaluación

222 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

EN PARES

Taller matemático 4

Cocina solar parabólica Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Con el fin de ahorrar energía, Carlos ha diseñado una cocina solar en forma similar a la de un plato de 3 m de diámetro, de modo que la curva que une los extremos del diámetro con el punto de mayor profundidad es una parábola cuyo lado recto coincide con dicho diámetro. Responde lo siguiente: 1. ¿Qué entiendes por diámetro de la cocina solar? 2.

Dibuja una vista lateral de la cocina solar.

3.

¿Qué datos adicionales necesitas calcular?

4.

¿A qué profundidad se debe ubicar el vértice de la cocina solar? Nos familiarizamos con la situación

¿Por qué es importante la energía solar? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Qué modelo matemático puedes plantear a partir de este problema?

▶ TEN EN CUENTA

La energía solar es aquella obtenida por la radiación electromagnética proveniente del Sol. Es una energía limpia, es decir, su uso no ocasiona contaminación.

CONEXIÓN

Calculamos el vértice de la parábola teniendo en cuenta sus propiedades.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultades al realizar el esquema o modelar el problema de manera algebraica? 2. ¿En qué medida el uso de las funciones me ayudó a establecer relaciones entre los datos?

3. ¿Qué otras situaciones cotidianas puedo representar mediante un modelo algebraico?

Heteroevaluación 1. Si la cocina solar que Carlos ha diseñado tuviera un diámetro de 2 m, ¿a qué profundidad se ubicaría el vértice? ¿Y si el diámetro fuera de 1 metro? 2. Investiga sobre las condiciones climáticas que se deben tener en cuenta para preparar una cocina solar.

223

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Shutterstock

EN EQUIPO

Preparándose para la competencia Wilmer quiere participar en una carrera de motocicleta. Por ello, ha llevado su moto a un mecánico a fin de que la revise. El mecánico observó que ambas ruedas estaban desgastadas y que se mostraban incompletas. ¿Es posible obtener el molde de la circunferencia de la rueda a partir del pedazo encontrado?

Manos a la obra ¿Será útil emplear un dibujo? ¿Qué elementos de la circunferencia necesitas conocer para reconstruir la rueda? ¿Qué estrategias aplicarás para resolver la situación? ¿Qué ventajas te representará resolver el problema con tus compañeros de aula?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS 1. ¿Qué forma tienen las ruedas? ______________________________________

RECUERDA



2. ¿Qué forma podría representar el pedazo de rueda encontrado? Dibújalo.

Elementos de la circunferencia H

C

T E

G

O F B

r

M

A

D

Centro: O

___ Cuerda: DE ​ ​ 

___ Flecha: MA​ ​   Arco: DE

Punto de tangencia: T ‹__› Recta tangente: ​T ​     

3. ¿Qué elemento de la circunferencia podría representar el pedazo de rueda? _______________________________________________________________ REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS Observa las tres cuerdas sobre la circunferencia. Luego, traza la mediatriz de cada una de ellas. 4. ¿Qué características tiene la B mediatriz de una cuerda? ___________________________ 5. ¿Existe algún punto de intersección de dos o tres mediatrices? ___________________________

C

A

F

D

___________________________ ___________________________

E

© Santillana S. A.

___

Radio: OA ​ ​  ___ Diámetro: BC​ ​  

224 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Dibujo y construcción

CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS 6. ¿Qué elemento de la circunferencia necesitas conocer para trazar el molde de la rueda? _______________________________________________________________ Utiliza escuadras y compás para realizar tus trazos con precisión.

7. ¿Qué estrategia utilizarás para reconstruir una circunferencia conociendo solo uno de sus arcos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 8. Representa gráficamente el pedazo de rueda. Luego, aplica la estrategia para trazar los elementos que permitan reconstruir la circunferencia de la rueda. Describe tus procedimientos.

5

*1 π x 24 β ① 19

Reproduce el siguiente gráfico.

_______________________________________________________________

73 Ω

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición ¿Qué estrategia me sirvió?

Heteroevaluación ¿Qué dificultades tuve?

1. Reproduce el gráfico utilizando instrumentos de dibujo. Luego, indica los elementos de la circunferencia que observas.

© Santillana S. A.

Reconstruir la circunferencia ¿Qué utilidad tiene?

¿Contribuye a mi expresión artística?

225

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4/8/16 4:03 PM

INDIVIDUAL

Formación integral En los juegos deportivos, los atletas tienen momentos de esparcimiento en donde muestran otras facetas de su formación integral. Algunos cantan, otros tocan un instrumento, cocinan, etc. El pasatiempo de la garrochista Mariana es pintar mandalas. Esta actividad le permite relajarse, concentrarse y ejercitar su creatividad. Como su mandala preferido se manchó accidentalmente con pintura, necesita uno que esté en blanco para pintarlo nuevamente. Mariana quiere reproducirlo manteniendo los mismos trazos y el mismo patrón gráfico. Para ello, necesita alguna herramienta tecnológica que la pueda ayudar. ¿Cómo podría rediseñar el mandala? Manos a la obra En la figura se observa que conforme se trazan hexágonos, se van formando triángulos. Si fuesen pentágonos, ¿se seguirían formando triángulos? Justifica tu razonamiento.

ACCIÓN REAL Accede a http://web.geogebra.org/app, haz clic en de trabajo. Luego, sigue estos pasos:

y personaliza la zona

1. Dibuja una circunferencia. Para ello, haz clic en y arrastra el cursor hasta el punto B (figura 1). Para borrar un punto o una acción, haz clic en .

, indica un punto A

2. Grafica doce ángulos centrales de 30° cada uno. Para ello, haz clic en y en los puntos B y A. Luego, en el recuadro “Ángulos”, digita 30° (figura 2). 3. Dibuja un hexágono regular. Para ello, haz clic en y en dos puntos de la parte inferior, por ejemplo, en D' y D''. Luego, en el recuadro “Vértices” digita el número 6 (figura 3). C

C

B'' B'

C' A

A

C'' B

B

Figura 1

D'

Figura 2

D''

C

B'' B'

C' B

D D



C

A

C''

B B

D D

D'

D''

Figura 3

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE

Accede a http://goo.gl/iVJDil y dibuja tus propios mandalas.

4. ¿Qué observas en la figura 3? _______________________________________________________________ 5. Haz clic en y une parejas de puntos opuestos (por ejemplo, C con D'') cuyos segmentos pasen por A. ¿Qué elemento de la circunferencia se ha trazado? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

SITIO WEB

226 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Laboratorio de Matemática

6. Dibuja un hexágono inscrito al primero y que, además, tenga el mismo centro. Luego, dibuja una circunferencia inscrita en el hexágono.

r R

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Dada la afirmación: “A mayor arco, el valor rdel ángulo central no varia, ¿qué agregarías para que sea verdadera? Explica.

RELATO

R

7. ¿Qué figura geométrica puedes formar si unes el centro con dos vértices consecutivos del hexágono? ¿Cuánto mide?

C' C''

C K

P

C''' L D C''

J

8. ¿Cómo son los arcos de las circunferencias inscrita y circunscrita al hexágono?

B''' B''

A C' D'

C''' L

B'

C K

P

J

D'' A

B''' D'''

B B'' B'

D

B D'

_______________________________________________________________

D'' Figura 4

D'''

Figura 5

_______________________________________________________________

9. ¿Qué te permite trazar ángulos inscritos, radios y cuerdas en tu figura?

_______________________________________________________________

REPRESENTACIÓN GRÁFICA 10. Sigue la secuencia de pasos para completar la figura. _____ a) Traza una recta paralela a C'B'''​ ​ _____  que pase por P. Para ello, selecciona y haz clic sobre un punto de C'B'''​ ​  a fin de ___ que se active una recta paralela. Luego, arrastra la recta hasta un punto de CA​ ​  y nómbralo como P. b) Dibuja un hexágono regular concéntrico a la circunferencia. Para y haz clic sobre los puntos K y J. En el recuadro ello, selecciona “Vértices”, digita el número 6 (ver figura 4). c) Dibuja otro hexágono. Para ello, selecciona y haz clic sobre los ___ ___ puntos medios de dos lados consecutivos (por ejemplo, de JK​ ​  y ​KL​) . Repite el proceso cinco veces más siguiendo el patrón (ver figura 4). d) Borra los puntos y rectas. Haz clic derecho sobre la figura y selecciona “Propiedades”. Al lado ). izquierdo observarás puntos azules ( Desactiva aquellos relacionados con vértices y con la recta (ver figura 5). e) Quita el color a los polígonos. Para ello, haz clic derecho en “Propiedades”, “Color”, “Opacidad (0)”. Ahora, colorea tu mandala.

Metacognición

Heteroevaluación Reflexiono sobre la utilidad de la tecnología en mi forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué recurso utilicé para construir el mandala?

Realiza los siguientes diseños con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a). 1. 2.

2. ¿Qué dificultades tuve al utilizar el programa GeoGebra? ¿Cómo pude afrontarlas? 3. ¿Para qué me será útil lo que aprendí hoy?

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EN EQUIPO

Bandera de los Juegos Panamericanos El Perú será la sede de los Juegos Panamericanos 2019. Por ello, se viene preparando toda la infraestructura necesaria para dicho evento. La bandera que identifica a estos juegos muestra una antorcha y figuras geométricas. Si observamos la antorcha, los lados del mango pueden modelarse a través de un ángulo exterior a una de las circunferencias. Además, si relacionamos dicho ángulo con el anillo central (el de color negro) del símbolo de los juegos olímpicos, veremos que sus lados son tangenciales y determinan arcos cuyas medidas están en la relación de 19 es a 21. ¿Cuál es la medida del ángulo citado?

Manos a la obra ¿Cuál es la importancia de la bandera? ¿Qué formas geométricas observas en la imagen?

INTERROGACIÓN 1. ¿De qué trata el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué figuras geométricas visualizas? ________________________________ 3. ¿Qué te piden hallar? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA

Luego de dibujar el modelo geométrico, vuelve a leer el enunciado del problema para verificar la correcta relación entre los elementos.

4. El modelo geométrico dibujado representa la ubicación del aro central y los bordes de la antorcha que tocan en un punto a dicho aro. Describe los elementos que observas. ____________________________________

B b C

D

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

a A

____________________________________ ____________________________________

_______________________________________________________________ ___ ‹__› ‹ › 6. ¿Qué tipo de ángulo forman ​n ​     y ​CD​    ?   _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

5. ¿Qué tipo de ángulo forman las rectas m y n respecto a la circunferencia?

228 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN 7. ¿Qué información proporciona la cuerda determinada por los puntos de tangencia y las tangentes? _______________________________________________________________

RECUERDA

La longitud de la circunferencia mide 360°.

8. ¿Qué características tienen los aros formados por los puntos de tangencia? _______________________________________________________________ 9. Nombra las medidas de los arcos y calcula la medida del ángulo exterior.

10. Indica la relación de la medida del ángulo exterior a y el semiinscrito b. _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE 11. Si el aro aumenta de tamaño y los bordes de la antorcha siguen siendo tangentes, pero el vértice se mantiene en el mismo lugar, ¿qué sucedería con el ángulo semiinscrito? ¿ Y con el ángulo exterior? HECHOS HISTÓRICOS

El matemático Euclides (330-275 a. C.) fue autor de diversos tratados. El más importante es Elementos, que consta de trece libros. Los seis primeros corresponden a la geometría plana, del séptimo al décimo tratan sobre cuestiones numéricas, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos. En https://goo.gl/UT3Rkn

_______________________________________________________________ 12. Si un borde no fuera tangente, sino secante, ¿qué tipo de ángulo se formaría? _______________________________________________________________ INTEGRACIÓN 13. ¿Cómo pueden ser las rectas que representan a los lados de un ángulo exterior a una circunferencia? _______________________________________________________________ 14. Si un ángulo exterior está formado por una secante con una tangente, ¿qué características tienen los arcos que se forman entre las rectas? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Qué recurso o estrategia utilicé para resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué inconvenientes se me presentaron? ¿Qué hice para superarlos? 3. ¿Será de utilidad lo que aprendí hoy?

4. ¿En qué medida contribuirá en mi desarrollo personal lo que aprendí?

Heteroevaluación Resuelve la actividad y entrégasela a tu profesor(a).

1. La pared y la madera, tangentes a la rueda, forman dos arcos que están en relación de 5 a 7. ¿Qué ángulo externo se forma en el punto de apoyo a la pared?

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4/8/16 4:03 PM

EN EQUIPO

Descanso del deportista Delia se encuentra dentro del centro de esparcimiento de la villa deportiva a la que ha acudido para participar en la final de los 400 m planos. Delia envía a su amiga Gabriela un mensaje de texto que dice: “Desde donde me encuentro, puedo ver la cafetería y la zona de recreo con un ángulo de 70°, y la cafetería y la zona de informes, con un ángulo de 45°”. Gabriela observa en un plano de ubicación la cafetería, la zona de recreo y la zona de informes. Con este dato y el mensaje de Delia, ¿cómo podría ubicarla?

ES

INFORM

San Andres

RÍA

ETE

CAF

Manos a la obra ¿Podrías emplear un gráfico para modelar la situación? ¿Qué elementos de geometría se mencionan? ¿Qué recurso tecnológico te ayudará a resolver el problema?

ACCIÓN REAL 1. Accede a http://web.geogebra.org/app y haz clic en “Geometría”. Observa que la distancia de los puntos A y B debe ser menor que la distancia entre B y C. ¿Por qué crees que debe ser así?

2. Haz clic en y crea los puntos A, B y C. Luego, haz clic en y escribe los nombres de los lugares.

C

ZONA DE RECREO

ZONA DE INFORMES A

B

CAFETERÍA

3. Sigue la secuencia de pasos para ubicar el arco capaz de 70° partiendo de B hacia C. a) Haz clic en

y une los puntos B y C.

b) Haz clic en

y traza la mediatriz del segmento BC.

d) Haz clic en

y traza la recta CB’.

c) Forma un ángulo de 70° partiendo de B a C. Para ello, haz clic en ‹___› y traza una recta perpendicular a ​CB’​     que pase por C.

f) Ubica el punto D como la intersección de la mediatriz con la perpendicular obtenidas en los pasos b) y e). Para ello, haz clic en g) Traza el arco de circunferencia de C hasta B, con D como centro de la circunferencia. Haz clic en

.

para hallar el arco capaz de 70°.

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 4. ¿Cómo están representados los lugares mencionados? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

e) Haz clic en

.

230 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

Laboratorio de Matemática

5. Ubica el arco capaz. _______________________________________________________________ 6. Traza un ángulo cuyo vértice esté en G y sus lados pasen por los puntos B y C. ¿Cómo se llama y cuánto mide? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 552-554).

_______________________________________________________________ RELATO 7. ¿Qué ocurre con cualquier ángulo que tenga su vértice en el arco BGC? ¿Por qué? _______________________________________________________________ 8. ¿Qué falta para ubicar a Delia? _______________________________________________________________ 9. ¿Dónde estará ubicada Delia?

Recuerda que un ángulo inscrito y uno semiinscrito comprendidos sobre un mismo arco son congruentes.

_______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 10. Repite los pasos de la actividad 3 y construye el arco capaz de 45° partiendo de A hacia B. La intersección de las circunferencias indica la ubicación de Delia.

C

F

Ubicación de Delia

E

A ZONA DE INFORMES

D

ZONA DE RECREO

α = 70°

B' A'

Metacognición 1. ¿Qué recurso utilicé para resolver la situación problemática?

© Santillana S. A.

2. ¿Se me presentaron inconvenientes al utilizar el programa GeoGebra? ¿Cuáles? ¿Cómo los afronté? 3. ¿Cuál es la utilidad de lo que aprendí?

4. ¿Qué contribución aporta en mi desarrollo lo que aprendí hoy?

β = 45°

B G CAFETERÍA

Heteroevaluación Resuelve la siguiente actividad con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1. Utiliza el mismo plano de la situación inicial y determina la ubicación de Delia si se sabe que ella observa con ángulos de 60° los mismos lugares en referencia al centro comercial. 231

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EN PARES

Taller matemático 5

Cuidando el material atlético Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En el depósito de material deportivo de la institución, los materiales deben estar guardados de modo seguro mientras no se usen. Para el caso de las jabalinas, se propuso reciclar unas piezas de madera en forma de prismas triangulares para proteger sus extremos. Cada pieza debía tener como base un triángulo rectángulo de lados 9 cm, 12 cm y 15 cm. Para lograr el objetivo, contratan a un carpintero, quien decide perforar un agujero circular de modo que quede tangencialmente a 2 mm de cada uno de los lados. ¿Cuánto medirá el diámetro del agujero? Nos familiarizamos con la situación ¿Qué desea hacer el carpintero? ¿A qué se refiere el término tangencialmente? ¿Qué le recomendarías al carpintero para que encuentre el diámetro del agujero?

Ayúdate de estas preguntas para dar solución a la situación. 1.

RECUERDA

El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo.

¿Qué requiere hacer el carpintero? _________________________________

_______________________________________________________________ 2.

¿Cómo se ubicará el círculo dentro del triángulo? ¿En qué forma influirá la precisión de los 2 mm? _____________________________________________ _______________________________________________________________

3.

Grafica el problema con los datos mencionados, y simboliza los lados y ángulos.

4.

Las brocas especiales que hacen grandes agujeros se les conoce como sierra de corona. ¿Cuánto medirá su diámetro? _________________________

I

Teorema de Poncelet: En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más el doble del inradio.

Metacognición 2. ¿Tuve dificultades para plantear el problema de manera gráfica? ¿Cómo las superé? 3. ¿En qué otras situaciones cotidianas podré aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones. 1. ¿Qué líneas y puntos notables existen en la circunferencia?

2. ¿Cuándo se dice que una circunferencia está inscrita en un polígono?

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

Coevaluación

232 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

EN PARES

Taller matemático 6

Carreras de antaño Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Muchas personas se apasionan por las carreras de automóviles. La primera carrera se realizó en 1894 entre las ciudades de París y Rouen, participando incluso automóviles con motor de vapor. Martín encontró en un libro una foto de uno de ellos. Ahora, utilizando los elementos y las propiedades de la circunferencia, quiere demostrar que las ruedas son dos círculos semejantes. Nos familiarizamos con la situación ¿Qué elementos geométricos observas en el automóvil con motor de vapor? ¿Qué desea hacer Martín? ¿Cómo podrá demostrar la semejanza? ¿Qué estrategia sugerirías?

Ayúdate de estas preguntas para dar solución a la situación. 1.

¿Cómo son las ruedas que observas en la imagen? ¿Cómo demostrarías la semejanza de dos círculos? _______________________________________________________________

▶ TEN EN CUENTA

2.

Una rueda sobre el piso puede representarse geométricamente como una circunferencia (rueda) y una recta tangente a ella (piso).

Metacognición 1. ¿Tuve dificultad para justificar con una propiedad la demostración solicitada?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí? 3. ¿En qué otras situaciones puedo justificar matemáticamente representaciones o modelos geométricos de la realidad?

3.

Grafica las ruedas en la posición en que se encuentran simbolizando lados y ángulos. Incluye, además, una línea recta que una sus centros y otra que represente al piso.

¿Cómo demostrarías que las circunferencias son semejantes? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Heteroevaluación

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a). 1. ¿Cuándo se dice que dos figuras geométricas son semejantes? 2. Menciona y describe los casos de semejanza de triángulos.

233

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EN PARES

Taller matemático 7 (problema liberado PISA)

La noria Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

A la orilla de un río se encuentra una noria gigante. Fíjate en el dibujo y en el diagrama que se muestran a continuación.

R

La noria tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto se encuentra a 150 metros sobre el cauce del río. Da vueltas en el sentido indicado por las flechas.

150 m

M

S

P 10 m

Plataforma de acceso

Cauce del río Támesis

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué es una noria? ¿A qué se refiere con un diámetro exterior? ¿Habrá un diámetro interior?

1.

_______________________________________________________________

Conoce más sobre la situación inicial

Se aplicó a nivel internacional en el año 2012 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA. Tuvo como finalidad evaluar las estrategias de los estudiantes para medir diámetros y la longitud en circunferencias.

La letra M del gráfico señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra el punto M? _______________________________________________________________ Respuesta: ____________________ m.

2.

La noria da vueltas a una velocidad constante. Tarda exactamente 40 minutos en dar una vuelta completa. Juan inicia su viaje en la noria en el punto de acceso P. ¿Dónde estará Juan después de media hora? S) En R

T) Entre R y S

U) En S

V) Entre S y P

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

2. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema? 3. ¿Para qué me servirá lo repasado en este taller? 4. ¿Qué otras situaciones cotidianas puedo resolver con estos conocimientos?

Resuelve las actividades en tu cuaderno. Luego, entrégaselo a tu profesor(a).

1. Si partimos del mismo punto, ¿cuánto tiempo tardaremos en llegar al punto R? 2. ¿Cuánto tiempo tarda ir del punto Q al punto S?

© Santillana S. A.

1. ¿Qué conocimientos pude integrar durante el desarrollo de esta actividad?

Heteroevaluación

234 UNIDAD 5 / ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA. CIRCUNFERENCIA

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4/8/16 4:03 PM

6

Semejanza. Transformaciones. Tablas y gráficos

Forma, movimiento y localización Gestión de datos e incertidumbre

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Matematizar situaciones • Discriminar información y organizar datos en situaciones de desplazamientos, altitud y relieves para expresar un mapa o plano a escala. • Seleccionar información para obtener datos relevantes en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos, y de superficies, para expresar un modelo referido a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y ángulos de elevación y depresión. • Examinar propuestas de modelos referidos a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, ángulos de elevación y de depresión al plantear y resolver problemas. • Reconocer relaciones geométricas al expresar modelos que combinan traslación, rotación y reflexión de figuras geométricas. • Examinar propuestas de modelos que combinan traslación, rotación y reflexión de figuras respecto a un eje de simetría. • Contrastar mapas o planos al vincularlos a situaciones que involucran decidir rutas. Comunicar y representar ideas matemáticas • Describir diseños de planos a escala con regiones y formas bidimensionales. • Describir características de transformaciones geométricas sucesivas de formas bidimensionales empleando terminologías matemáticas. • Expresar transformaciones que permitan cambiar las formas de triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos regulares en figuras de animales (pájaros, peces, reptiles y otros) para embaldosar un plano. Elaborar y usar estrategias • Adaptar y combinar estrategias heurísticas relacionadas con ángulos, razones trigonométricas con proporcionalidad al resolver problemas de mapas o planos con recursos gráficos y otros. • Realizar proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y de homotecia con segmentos, rectas y formas geométricas en el plano cartesiano al resolver problemas con recursos gráficos y otros. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Expresar los procedimientos de diseños de planos a escala con regiones y formas bidimensionales. • Explicar la relación entre semejanza de triángulos, el teorema de Tales y la proporcionalidad geométrica. • Justificar que una figura de dos dimensiones es similar o congruente a otra considerando el plano cartesiano y transformaciones. Matematizar situaciones • Comparar y contrastar modelos gráficos estadísticos al plantear y resolver problemas que expresan características o cualidades de una muestra representativa. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar predicciones a partir de datos en tablas y gráficos estadísticos. Elaborar y usar estrategias • Reconocer la pertinencia de un gráfico para representar variables cuantitativas discretas o continuas al resolver problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar o refutar basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista el uso de tablas y gráficos estadísticos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades de las estadísticas. 235

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4/8/16 4:06 PM

EN PARES

La lámpara rota Al llegar a su casa, Tomás encontró rota la pantalla de su lámpara. Enseguida hizo un dibujo de ella con las medidas reales y se fue a una vidriería. Allí le mostró a un vidriero su dibujo para que, a partir de los datos indicados en él, restaurara la pantalla de la lámpara. Si el vidriero observa que los segmentos FG, DE y AC son paralelos, ¿las medidas indicadas en el dibujo serán correctas? ¿Cuánto medirán los otros segmentos?

B

6 cm

9 cm

G F 3 cm 7 cm E D 10,5 cm 9 cm A

21 cm

C

Nos preguntamos previamente ¿Qué datos útiles te proporciona el dibujo? ¿Esos datos son suficientes? Justifica tu respuesta en base a tus conocimientos. ¿Por qué el vidriero debe verificar las medidas dadas?

ACCIÓN HECHOS HISTÓRICOS

El matemático griego Tales de Mileto (624-547 a.C.) realizó las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. En http://goo.gl/pj0bbe

1. ¿Cómo supo el vidriero que los segmentos FG, DE y AC son paralelos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué figuras geométricas se formaron? _______________________________ 3. ¿Qué conocimientos matemáticos te serán útiles para resolver el problema? _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 4. ¿Cómo relacionas el teorema de Tales con la proporcionalidad geométrica? ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

CONEXIÓN

5. ¿Cómo se denomina a los triángulos formados? _________________________________________ VALIDACIÓN 6. Utiliza tus respuestas del ejercicio 4 para escribir dos ejemplos que verifiquen la proporcionalidad de segmentos. © Santillana S. A.

La razón entre segmentos es el cociente de sus medidas. La proporcionalidad entre segmentos se obtiene al igualar dos pares de segmentos de igual razón.

___________________________________________

236 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Situación didáctica de Brousseau

7. Calcula la medida de los otros segmentos del dibujo. Aplica las relaciones geométricas de la respuesta 4.

8. Comprueba la proporcionalidad y calcula la razón de proporción entre los segmentos GE y EC.

INSTITUCIONALIZACIÓN 9. ¿Los segmentos FG, DE y AC son paralelos? ¿Por qué? ¿Por qué es importante buscar paralelas para conseguir proporcionalidad?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. ¿Eran correctas las medidas del dibujo de Tomás? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 11. ¿Cuántos segmentos como mínimo se deben medir para conocer la medida de uno de los segmentos desconocidos? _______________________________________________________________ 12. Si en el dibujo solo se hubiera indicado la medida de uno de los lados, ¿cómo se habría calculado las medidas restantes? Discute con tus compañeros. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición Hoy aprendimos más sobre la proporcionalidad de segmentos.

© Santillana S. A.

1. ¿Me fue útil elaborar un dibujo para resolver el problema?

2. ¿Tuve dificultades para determinar la longitud de segmentos proporcionales? ¿Cómo las superé? 3. ¿Para qué me servirá lo que aprendí hoy?

Heteroevaluación Realiza la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Supón que Tomás llama al vidriero y le indica que midió mal, pero que los segmentos FG, DE y AC siguen siendo ___ ___ ___ paralelos. Además, las medidas de BF​ ​ , FG​ ​  y ​BG​ son 5; 6 y 8 centímetros, respectivamente, y las proporciones geométricas obtenidas se mantienen. ¿Cuánto medirán los otros segmentos? 237

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INDIVIDUAL

Tiras de papel Sonia y Raúl están ayudando a decorar un salón para un cumpleaños. Ellos deben cortar cintas de papel cuyos anchos estén en proporción a 1; 2 y 3. Como primera tarea cada uno deberá preparar una plantilla utilizando un plumón, una hoja bond y tijeras. ¿Cómo la harán? Manos a la obra ¿Qué deben realizar Sonia y Raúl? ¿Qué características tienen las tiras de papel que deben cortar? ¿Qué estrategia emplearán para lograrlo? ¿Qué concepto necesitan saber?

ACCIÓN REAL 1. Si no se cuenta con un instrumento de medida, ¿cómo se podrán obtener las tiras? _______________________________________________________________ ▶ TEN EN CUENTA

Al hacer dobleces, se debe considerar el paralelismo de los trazos.

2. Como las tiras deben ser proporcionales a 1; 2 y 3, entonces habrá que dividir el ancho de la hoja en 6 partes iguales. En primer lugar hay que dividir el ancho de la hoja en 3 partes iguales. Para ello, realiza lo siguiente:

– Divide el lado mayor de la hoja en 4 partes iguales mediante dos dobleces consecutivos, siempre sobre la mitad del doblez anterior (ver figura 1).

– Desdobla la hoja que ha quedado marcada en 4 partes iguales. Toma 3 de esas 4 partes y realiza un doblez por su diagonal (ver figura 2). Marca con verde los 2 puntos de intersección de la diagonal con las líneas marcadas en el paso 1 y, por dichos puntos, realiza dobleces dividiendo la hoja en 3 (ver figura 3).



Figura 2

Figura 3

En segundo lugar hay que dividir cada una de las 3 partes obtenidas en otras 2, de modo que se obtengan en el ancho las 6 partes necesarias. ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE

3. ¿Cuántos rectángulos pequeños tiene cada tira? _______________________________________________________________ 4. De la figura 3, ¿podrías sacar otras plantillas que cumplan con la proporcionalidad? ¿Cómo? ________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

Utiliza una hoja de color y una tijera y sigue los pasos que se indican.

Figura 1

238 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Laboratorio de Matemática

RELATO

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (pág. 572).

5. Si para obtener 3 partes en el lado menor de la hoja se dividió mediante dobleces el lado mayor en 4 partes, ¿qué harías para obtener 7 partes en el lado menor? _______________________________________________________________ 6. ¿Cómo dividirías la hoja en 6 partes? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA

¿Qué procedimiento seguirías para dividir la hoja en tiras proporcionales a 3 y 4?

7. Dobla la hoja en las 3 partes señaladas en la figura 3. Luego, realiza un doblez paralelo al anterior, de modo que obtengas 6 partes (ver figura 4). De estas 6 partes, corta con la tijera una tira de 1, otra de 2 y otra de 3 partes (ver figuras 5 y 6).



Figura 4

Figura 5

Figura 6

8. Observa la representación gráfica de lo trabajado. ¿Por qué se asegura que las intersecciones de color verde trisecan al segmento de color rojo?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

Heteroevaluación Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

© Santillana S. A.

¿Cuánto aprendí?

¿Qué estrategias utilicé? ¿Qué dificultades encontré? ¿Cómo las superé?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

¿De qué manera contribuye en mí lo aprendido?

1. A Sonia le piden que haga dobleces a una hoja bond A4 de modo que obtenga 7 partes iguales. ¿Cómo lo hará?

2. A Raúl le piden obtener tiras de una hoja bond A4 que sean proporcionales a 2; 3 y 6. ¿Qué pasos tiene que realizar? 239

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6/10/16 12:40 PM

EN PARES

La foto del recuerdo Con una cámara ubicada de forma paralela al piso, se tomó una foto frontal y con ángulo normal a un pasajero que se encontraba en la escalera de un avión a 90 cm del suelo. Se sabe que el trayecto de bajada del pasajero generó una proyección de 3,60 m al piso. Si la escalera del avión proyecta una sombra de 4,80 m sobre el piso, ¿cuál es la altura de la escalera? ¿Cuántos metros logró bajar el pasajero?

h

0,9 m

3,6 m 4,8 m

Nos preguntamos previamente ¿De qué trata el problema? ¿Qué necesitas saber para resolverlo? ¿Qué estrategia seguirás? ¿Habrá otro método para resolver el problema? ¿Qué temas se relacionan con esta situación problemática?

ACCIÓN 1. Observa las alturas y las proyecciones de sombra que se describen en el problema. ¿Qué figuras se forman? _______________________________________________________________ SITIO WEB

Accede a https://goo.gl/Y5GD9I averigua qué usos tienen los triángulos en posición de Tales.

2. ¿Qué significa “su trayecto genera una proyección al piso”? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué temas matemáticos se relacionan con esta situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN

5. Indica todas las proporciones geométricas que se pueden encontrar en el gráfico que construiste.

6. En el gráfico de la escalera, ¿puedes observar triángulos en posición de Tales? Justifica. _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

Utiliza tus instrumentos de dibujo y medida para construir tus gráficos con mayor precisión.

4. Grafica la escalera con los datos mencionados en el problema. Expresa las medidas en una misma unidad.

240 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:06 PM

Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 7. Formula proporciones con las medidas de lados homólogos y calcula la altura.

8. Ahora que conoces la altura, calcula la longitud de la escalera.

RECUERDA

En los triángulos semejantes, los ángulos respectivamente congruentes se llaman ángulos homólogos, y los lados que se oponen a los ángulos homólogos se llaman lados homólogos o correspondientes. B

c b

C B'

c' A'

a' b'

INSTITUCIONALIZACIÓN 10. ¿Cuándo se dice que las medidas de dos pares de segmentos forman una proporción geométrica?

a

A

9. Calcula la distancia que logró bajar el pasajero.

_______________________________________________________________ 11. ¿Qué relación existe entre la proporcionalidad geométrica y la semejanza de triángulos? _______________________________________________________________

C'

_______________________________________________________________ 12. ¿Puede haber semejanza de triángulos en el teorema de Tales? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

Heteroevaluación Realiza la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Determina la altura a la que se encuentra el balcón.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué dificultades tuve para hallar la solución de la situación? ¿Cómo las superé?

C

2. ¿Qué estrategias me ayudaron a encontrar la relación entre las magnitudes?

3. ¿En qué situaciones cotidianas puedo aplicar estos conocimientos?

A

D

7,5 m 9m

E 1m

B 241

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4/8/16 4:06 PM

EN PARES

Una gran arquitectura La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 m de lado. En un instante, la pirámide proyecta una sombra de 85 metros sobre el piso. Además, sobre el punto en donde acaba la sombra, se coloca una estaca de 1,46 metros de altura. Si en el mismo instante la sombra que proyecta la estaca tiene 2 metros de longitud, ¿cuál es la altura de la pirámide? Manos a la obra ¿Qué me indica el problema? ¿Por qué se incluye como dato la expresión “En un instante”? ¿Qué relación hay entre la estaca y la altura de la pirámide?

▶ VOCABULARIO

Pirámide recta: _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

Triángulos semejantes: _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

INTERROGACIÓN 1. ¿Qué figura observas? _____________________________________________ 2. ¿Qué datos puedes extraer del enunciado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Cómo son las alturas de la pirámide y de la estaca? ¿Y las proyecciones de sus sombras? _______________________________________________________________ 4. ¿Por qué se menciona el momento de las mediciones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA 5. Representa gráficamente la pirámide y la estaca con los datos indicados.

6. Construye la representación gráfica con sorbetes. 7. ¿Qué relaciones se observan entre los datos del problema? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

¿Qué figura forman el rayo solar, la altura y la sombra proyectada de la pirámide?

242 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN Es importante registrar en una misma hora la longitud de las sombras que se quieren comparar.

Expón a tus compañeros.

8. ¿Por qué es necesario trazar la altura de la pirámide? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. ¿Cómo concluyes de que se trata de semejanza de triángulos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 10. A partir del gráfico de la actividad 5, ¿qué proporción encuentras entre las medidas de los lados de los triángulos?

ORIENTACIÓN LIBRE Calcula la razón entre la altura y la sombra del edificio más bajo. ¿Para qué te servirá este dato?

11. Calcula la altura de la pirámide.

12. Dos edificios vecinos de distinta altura proyectan, a la misma hora, sombras de 12 m y 9 m. Si el edificio más pequeño tiene una altura de 22,5 m, ¿cuál es la diferencia entre las alturas de los edificios?

Metacognición 1. ¿Qué estrategias apliqué para resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Tuve dificultades para relacionar medidas de segmentos proporcionales? 3. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar los conocimientos adquiridos?

4. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

INTEGRACIÓN 13. ¿Qué harías para se cumpla el teorema de Tales? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Heteroevaluación 1. Rosa mide 1,60 m. Un día de sol, midió la sombra de Miguel y la de ella, obteniendo 1,35 m y 1,20, respectivamente. ¿Qué estatura tiene Miguel? 2. Un ingeniero, que se encuentra ubicado en línea recta con dos postes, logra ver simultáneamente la parte más alta de estos, cuyas alturas son 13,6 m y 19,6 m, respectivamente. Además, se sabe que los postes están separados por 4 m. Determina la distancia entre el poste menos alto y el ingeniero si los ojos de él están a 1,60 m del suelo.

243

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EN PARES

Más de un triángulo ADAPTACIÓN El tangrama que se muestra está formado por figuras de tres, cuatro y seis lados. Además, componiendo las piezas se podrán obtener dos triángulos semejantes. Formen pares de jugadores e interactúen libremente con las piezas del tangrama. Luego, sigan las indicaciones que se detallan en la siguiente fase.

Proponemos nuestro juego ¿Para qué sirve el juego del tangrama? ¿Qué materiales se utilizarán? ¿Qué se puede realizar con las piezas del tangrama? ¿Qué nombre le pondrías al juego?

ESTRUCTURACIÓN Número de participantes – Dos jugadores

Materiales

– Tangrama triangular Utiliza el desglosable 6 de la página 363.

– Cartulina reciclada

– Tijera y colores

Instrucciones

– Pega el tangrama en cartulina y píntalo tal como se indica en el desglosable. – Recorta las 8 piezas del tangrama.

– Cada jugador, por turnos, formará con su tangrama triángulos semejantes al triángulo más pequeño según estas condiciones: con 2 piezas deberá obtener un triángulo semejante al triángulo pequeño de razón 1:2. Además, de todas las formas posibles buscará triángulos semejantes al pequeño, cuyas razones sean 1:3; 1:4 y 1:6.

– Gana el jugador que consigue formar todos los triángulos semejantes en el menor tiempo posible. ABSTRACCIÓN 1. ¿Cuándo se dice que dos triángulos son semejantes?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Cómo son las alturas y medianas de dos triángulos semejantes? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

244 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Juego matemático

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y DESCRIPCIÓN 3. Dibuja la composición de triángulos semejantes para cada caso. Utiliza las piezas respectivas del desglosable 6 de la página 363.

RECUERDA

Si dos triángulos son semejantes con razón 1:2, quiere decir que las medidas de los lados de uno de los triángulos son la mitad de las medidas de los lados del otro triángulo.

4. Indica, en cada caso, cuántas veces está contenido el triángulo pequeño en el grande. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Se puede decir que en cada dibujo existe una relación entre la semejanza de triángulos y el teorema de Tales? _______________________________________________________________ FORMALIZACIÓN Comenta qué estrategia utilizaste para obtener los triángulos semejantes en cada uno de los casos solicitados.

6. Para que dos triángulos sean semejantes, ¿qué criterios se deben tener en cuenta? Represéntalos gráficamente y justifica.

Metacognición 1. ¿Cuál de las tareas del juego me resultó más difícil de realizar? ¿Por qué? © Santillana S. A.

2. ¿Cumplí con las reglas del juego?

3. ¿Participé de manera responsable durante el desarrollo del juego?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Si el área del triángulo de 8 piezas es 108 cm2, ¿cuál es el área del triángulo pequeño? ¿Y el área de cada uno de los demás triángulos obtenidos? 245

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EN PARES

Taller matemático 1

Caminos que unen Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Dos carreteras paralelas se unen entre sí por dos caminos que, a su vez, se cortan en el punto O, tal como se muestra en la figura.

10,6 km x

6,5 k

km

m

¿Qué figuras geométricas han formado las carreteras? ¿Qué relación encuentras en los ángulos formados por los caminos y cada una de las carreteras?

1.

y

10 ,2

Nos familiarizamos con la situación

O

15,9 km

¿Qué relación existe entre los caminos que se cortan entre sí? _______________________________________________________________

¿Qué relación de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante has obtenido?

2.

¿Encuentras algún caso de proporcionalidad de segmentos? Represéntalos.

3.

¿Qué longitud tendrá cada uno de los caminos?

4.

¿Aplicaste algún teorema o propiedad geométrica? ¿Qué relación tiene con la proporcionalidad geométrica? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

1. ¿Qué estrategia me fue más útil para resolver el problema planteado? 2. ¿Tuve dificultades al plantear o establecer relaciones entre segmentos? ¿Cómo las superé? 3. ¿Para qué me servirá lo aprendido?

4. ¿En qué situaciones cotidianas podré aplicar lo aprendido en esta actividad?

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones. 1. ¿Qué es proporcionalidad geométrica? 2. ¿Qué contempla el teorema de Tales?

3. ¿Existe semejanza de triángulos en la gráfica mostrada? ¿Por qué?

4. ¿Qué relación existe entre el teorema de Tales y la semejanza de triángulos?

© Santillana S. A.

Metacognición

246 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

235_257 CTU6M4_lici.indd 246

4/8/16 4:06 PM

La altura del edificio Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración Shutterstock

EN PARES

Taller matemático 2

Un joven de 1,68 m de estatura observa un edificio que proyecta una sombra de 50 m. Además, se sabe que la sombra que proyecta el joven en ese instante es de 2,5 metros de longitud. 1. ¿Cómo influye que ambas sombras sean medidas en un mismo instante? 2.

Representa gráficamente la situación presentada en el problema.

3.

Aprovecha las proporciones geométricas de los lados homólogos y calcula la altura del edificio.

4.

¿Qué relación tiene la semejanza de triángulos con el teorema de Tales? Nos familiarizamos con la situación

¿Qué ángulo forman el edificio y el joven con respecto al piso? ¿Qué figura geométrica se forma al unir los extremos alejados de la sombra y el edificio? ¿Qué estrategia utilizarás para resolver el problema?

CONEXIÓN

Observa que la proporción geométrica se refleja en una proporción numérica de las longitudes de los segmentos que son proporcionales.

Metacognición 1. ¿Qué estrategia o recurso me fue más útil para resolver el problema?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

3. ¿En qué me será útil lo que aprendí?

2. Menciona algunas situaciones en la que puedes aplicar la semejanza de triángulos para encontrar medidas de longitudes inaccesibles.

2. ¿Qué dificultades encontré al resolver el problema? ¿Cómo las superé? © Santillana S. A.

Coevaluación

4. ¿En qué medida podré aplicar estos conocimientos en distintos contextos?

1. Define con tus propias palabras la semejanza de triángulos.

247

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UC

HI

E RA NT

S

SA YK AT OQ

ES AJ

QU

I

IPA

UR AR

2 cm

AL

DO

AR

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BE

250 m M

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Palacio arzobispal

A LIN TA A A C CH AN

Sta. Catalina

125

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La Compañía

La Z Cusco Merced Centro HistóricoEdel 25 U Escala: 1: 12 500ÁRQ M espacio público área verde 0

O

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H

Catedral

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Pza. ME Regocijo

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Pza. Nazarenas

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Casa Almirante

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7C

N

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IO OR AT RG PU

Convento Nazarenas

Plaza de Armas

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PL A.T ST S

E DIO

D UAN

A AD AN GR

DO

R TO

¿Qué sucede en el Centro Histórico del Cusco?EDUCAN ¿Qué utilidad tiene un plano? ¿Qué opciones de ruta tendrá Gabriel? ¿Cuál es la opción de ruta más corta? ¿Cuál hubiese sido un mejor punto de encuentro para los tres?

Municipalidad

SN. J

(S

O PR

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A

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E

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CA

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Sta. Teresa

S DA

CO

QUISCAPATA

G AR

S NE

NC

CO

San Cristóbal

AM

TO AR U C

Organizamos la información

EP

A UR

RO AT TE

7

C.E. Salesianos

O EC CS TE

Gabriel está de paseo por el Centro Histórico del Cusco y ha quedado en encontrarse con sus amigos Mateo y Julio. Al verse desorientado, consigue un plano para poder ubicarse y se da cuenta de que está en la esquina de la mansión Casa Almirante. En ese momento recibe una llamada de Mateo, quien le dice que lo espera en la esquina de la municipalidad, para luego ir juntos a reunirse con Julio, que se encuentra en la esquina de Colcampata y Huaynapata.

TAN DAP ATA

N

Ó CI

PU

EN PARES

Encuentro de amigos

TEMA DE ESTUDIO 1. ¿Cuál es el tema de estudio? ▶ TEN EN CUENTA

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ INTERROGANTES DE ESTUDIO 2. ¿Qué interrogantes se presentan en el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Qué conceptos debes conocer para guiar tu razonamiento? _______________________________________________________________

Accede a http://goo.gl/fLSQb y revisa la información acerca de las escalas gráficas y las normalizadas, así como los ejemplos prácticos.

CONCEPTUALIZACIÓN 7. MARCO TEÓRICO

5. PROCESOS BÁSICOS

PREGUNTA(S) CENTRAL(ES) 2. INTERROGANTE(S) DE ESTUDIO

METODOLOGÍA 8. JUICIOS Y CONCLUSIONES

6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS CLAVES 1. TEMA DE ESTUDIO

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES

© Santillana S. A.

SITIO WEB

Completa en un esquema como el que se muestra (llamado V de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores.

248 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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V de Gowin

REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES Mide con precisión. Recuerda que un milímetro menos en el plano implicaría 12,5 metros menos en la realidad.

4. ¿Qué necesitas determinar para dar solución al problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PROCESOS BÁSICOS 5. ¿Qué definición debes aplicar para resolver la situación problemática? _______________________________________________________________ DATOS QUE SE TIENEN 6. ¿De qué datos dispones para resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ MARCO TEÓRICO 7. ¿Cómo resumes la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones que se propongan? JUICIOS Y CONCLUSIONES 8. ¿Qué ruta le convendrá seguir a Gabriel para encontrarse con Mateo?

CONEXIÓN

Observa que para calcular la longitud real o en el mapa conociendo la escala, se puede aplicar la regla de tres.

Long. real (cm)

Long. mapa (cm)

12 500 cm 1 cm

x

4

Se sabe que Julio está en la esquina de Colcampata y Huaynapata. ¿A qué distancia de su amigo Gabriel se encuentra?

¿Cuál hubiese sido el mejor punto de encuentro?

_______________________________________________________________ Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia utilicé para leer un plano?

2. ¿Qué dificultades tuve al desarrollar la V de Gowin? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué situaciones cotidianas puedo aplicar lo repasado en esta actividad?

Coevaluación Responde en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus respuestas.

1. Según el plano mostrado, ¿cuál es el perímetro de la plaza de Armas del Cusco?

2. ¿Qué longitud tiene el convento de Las Nazarenas? 249

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EN PARES

El plano de una cancha de fulbito Carlos debe elaborar el plano de alguna de las instalaciones de su colegio. Él ha elegido la cancha de fútbol. Se sabe que para ello cuenta con un papelógrafo de 82 cm × 63 cm, reglas y escuadras. Además, deberá mantener la proporción de las medidas reales. Si la cancha de fútbol mide 70 metros de largo y 45 metros de ancho, ¿cuál será la escala que deberá utilizar Carlos para dibujar el plano con los materiales mencionados? Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿En qué consiste la tarea de Carlos? ¿Cómo deberá realizar las mediciones para que sean precisas? ¿Con qué materiales cuenta Carlos? ¿De qué manera se podrá mantener la proporción de las medidas reales?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué trabajo debe elaborar Carlos? __________________________________ 2. ¿Qué datos tiene el problema? _______________________________________________________________ ▶ ¿SABÍAS QUE…?

Los flexómetros son cintas métricas que sirven para medir distancias de mayor longitud. Las más usadas son de 10; 15; 20; 25; 30; 50 y 100 metros.

3. ¿Qué características debe tener el plano que elaborará Carlos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. Si Carlos no conociera las dimensiones de la cancha de fútbol, ¿cómo podría determinar estos datos? _______________________________________________________________ 5. ¿Cómo podrías obtener las medidas de tu colegio? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR

Mide las longitudes reales que se muestran en tu boceto y anótalas sobre él. Recuerda que debes medir con mucha precisión.

© Santillana S. A.

6. Dibuja un boceto de la cancha de fútbol. Luego, indica las medidas de sus dimensiones y otras que puedas añadir.

250 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Analiza el plano y responde las preguntas para recordar algunos conceptos.



RECUERDA

Para calcular la escala, las medidas reales y las del plano deben estar expresadas en la misma unidad.

a) Si el ancho real de la puerta externa del dibujo mide 80 cm, ¿cuál es la escala del plano?

Long. real (cm) Long. plano (cm)

____________________________________________________________ b) Teniendo en cuenta la escala, calcula el largo y ancho del departamento, así como las dimensiones de la cocina, el baño y la terraza. 8. Sigue las indicaciones para construir el plano de la cancha de fútbol. a) Define la escala que vas a usar a partir de la medida del largo de la cancha de fútbol.

Utiliza un valor de medida en el plano que te permita determinar con facilidad el valor de la escala. Este valor depende de las medidas del papel sobre el cual dibujes el plano.

Longitud real (en centímetros) del largo de la cancha de fútbol.

Longitud en el papelógrafo (en centímetros) del largo de la cancha de fútbol.

b) ¿Cuál es la escala? ____________________________________________

c) Elabora tu plano con medidas reales a escala. Hazlo en un papelógrafo. VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 9. Compara tu plano con los de tus compañeros e identifica las semejanzas y diferencias.

Metacognición

Heteroevaluación

© Santillana S. A.

¿Estrategia para comprender? Plano a escala

¿Utilidad? ¿Inconvenientes?

Resuelve la actividad y entrégasela a tu profesor(a).

1. Elabora en un papelógrafo el plano de un ambiente de tu casa (dormitorio, sala-comedor, patio, cocina, etc.) y determina la escala empleada. Luego, expresa las dimensiones de tres objetos que ocupan un lugar en ella. 251

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EN EQUIPO

Una fotografía peculiar Un fotógrafo tomó una foto de la vista que tenía a su alrededor. Al imprimirla, determinó, con ayuda de un transportador, que desde lo alto de un faro se podían divisar dos barcos con ángulos de depresión de 45° y 37°. Si el fotógrafo sabe que la altura del faro es de 108 m, ¿qué distancia separará a los dos barcos?

Resolvemos paso a paso ¿Qué información se tiene? ¿Cómo se podrá resolver esta situación problemática? ¿Se podrá elaborar un modelo gráfico con los datos que se dan?

COMPRENDE ▶ TEN EN CUENTA

La línea de mira y la horizontal son los lados de los ángulos de elevación y de depresión.

1. ¿De qué trata el problema? ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué nuevos elementos puedes añadir como datos a partir de la información del problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia complementa a la estrategia sugerida? _______________________________________________________________ EJECUTA

En el caso del triángulo de 3; 4 y 5, se le asignan valores aproximados de 37° y 53° a sus ángulos agudos.

© Santillana S. A.

Recuerda la relación entre la medida de lados y ángulos en triángulos rectángulos conocidos.

5. Grafica el problema y simboliza los lados y ángulos conocidos.

252 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Z_253.pdf

1

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Resolución de problemas

6. Calcula la distancia de separación entre los barcos. Luego, responde la pregunta del problema.

COMPRUEBA 7. ¿Cómo verificas tu resultado?

CONCLUYE Y APLICA 8. ¿Qué estrategia te fue útil para resolver el problema? _______________________________________________________________ RECUERDA

distancia Velocidad = __________ tiempo

d v = __ t

9. El piloto de un avión observa una casa con un ángulo de depresión de 37°. Veinte segundos después, vuelve a divisarla con un ángulo de 53°. Si el avión se desplaza horizontalmente a una velocidad de 720 km/h, ¿a qué altura se encuentra el avión?

Entonces: d = v · t

Metacognición

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 20 m. Si el ángulo de elevación es de 37°, ¿cuántos metros de altura alcanza la cometa?

© Santillana S. A.

¿Cuánto aprendí?

¿Qué estrategia utilicé para plantear el problema?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

¿Cómo contribuye en mí lo que aprendí?

2. Un avión vuela a 350 m de altura. El piloto de dicho avión observa con un ángulo de depresión de 30° un aeropuerto próximo. ¿Qué distancia separa al avión del aeropuerto en ese instante? 253

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EN EQUIPO

Pintemos la pared Un grupo de estudiantes ayudará a pintar la pared del patio de su colegio. Para ello, miden el largo de la pared, pero no pueden medir la altura, pues no tienen una escalera. Si solo cuentan con un transportador, un tubo delgado de plástico y una pieza de hilo con una pesa, ¿cómo harán para calcular la altura de dicha pared?

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Será posible calcular la altura de una pared? ¿Qué estrategias puedes usar para encontrar la altura? ¿Qué conceptos matemáticos necesitas conocer?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué inconvenientes deben enfrentar los estudiantes de la situación? Los ángulos de elevación y depresión medidos con un clinómetro te permitirán calcular longitudes que no puedas medir.

_______________________________________________________________ 2. ¿Será posible calcular la altura sin medirla directamente? ¿Qué estrategia podrás aplicar para encontrar la solución? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Además del transportador, ¿conoces algún otro instrumento para medir ángulos? _______________________________________________________________ HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR 4. Elabora un clinómetro casero uniendo los materiales como se indica.

El clinómetro es un instrumento que se utiliza para medir el ángulo desde la vertical de lugares poco accesibles.

© Santillana S. A.

▶ TEN EN CUENTA

254 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:07 PM

Modelación matemática

Practica con tus compañeros cómo medir ángulos de elevación en lugares de tu entorno.

5. Luego de elaborarlo, aprende cómo se usa. El ángulo que vas a medir es el complemento de lo que marque tu clinómetro casero. Observa: α = 90° – 55° = 35°

A α

55° α Observador 55°

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. Realiza la medición. Sigue estos pasos:

– Toma el clinómetro y sepárate de la pared de modo que obtengas un ángulo de elevación de 30°.

– Mide la distancia que hay desde donde estás hasta la pared. Supón que sea, por ejemplo, 4 metros.

El observador debe mirar por el orificio del tubo el punto más alto de la pared.

– Dibuja un modelo que comprenda la altura de la pared, la distancia al observador y la línea de mira.

– Considera la altura del observador. Para este ejemplo será 1,6 m.

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 7. Compara tus resultados con los que han obtenido tus compañeros a través de otros procedimientos. Realiza la verificación correspondiente. Metacognición 1. ¿Tuve inconvenientes para manipular y usar el clinómetro? ¿Cómo los superé?

© Santillana S. A.

2. ¿Me organicé de manera equitativa con mis compañeros de equipo? 3. ¿En qué otras situaciones podré utilizar el clinómetro para realizar mediciones angulares?

Heteroevaluación Resuelve la actividad y entrégasela a tu profesor(a).

1. Usa tu clinómetro casero y calcula lo que se pide. Considera la altura del observador. a) Altura del techo de tu casa.

b) Altura de la fachada de tu institución educativa. 255

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EN PARES

Taller matemático 3

Midiendo áreas Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Rebeca es una estudiante de Arquitectura y tiene como tarea calcular el área del departamento mostrado en el plano. Su compañera Inés le ha propuesto medir cada habitación, hallar el área de cada una y, luego, sumar dichas áreas. Rebeca le ha dicho que para determinar el área total, basta con medir 4 longitudes.

Interpretación, aplicación y valoración

Escala: 1 cm representa 1 m

Baño Cocina

Sala

Comedor

Nos familiarizamos con la situación

Dormitorio

¿Qué observas en el plano? ¿Dónde se ubica la puerta principal? ¿Qué significa “1 cm representa 1 m”?

Ayúdate de estas preguntas para dar solución a la situación. 1.

¿Qué figuras conocidas podrían ayudar a calcular el área total?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Señala otras ocho formas posibles de calcular el área de la figura conociendo cuatro longitudes. Luego, halla el valor de dicha área.

Metacognición 1. ¿Qué estrategias utilicé para calcular el área? 2. ¿Cómo superé las dificultades que se me presentaron?

Autoevaluación 1. ¿Qué dimensiones tiene la cama?

2. Sin considerar las paredes, ¿cuánto mide la superficie del dormitorio?

© Santillana S. A.

2.

256 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

235_257 CTU6M4_lici.indd 256

4/8/16 4:07 PM

EN PARES

Taller matemático 4 (problema liberado PISA)

Superficie de un continente Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

A continuación, se presenta un mapa de la Antártida. Estima el área de la Antártida utilizando la escala que acompaña al mapa. Muestra cómo has realizado los cálculos y explica cómo has hecho tu estimación. (Puedes dibujar sobre el mapa si te es útil para hacer la estimación).

AN TÁRT I DA

POLO SUR 2800

Nos familiarizamos con la situación

0 250 500

1000 km

¿A qué escala está dibujado el mapa? ¿Qué estrategia o recurso usarás para resolver el problema?

Ayúdate de estas preguntas para dar solución a la situación. 1. Conoce más sobre la situación inicial Se aplicó a nivel internacional en el año 2000 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

¿Qué escala se muestra en el mapa?

_______________________________________________________________ 2.

¿Qué figuras utilizarías para estimar el área del continente? _______________________________________________________________

3.

Estima de varias formas posibles el área de la Antártida.

Tuvo como finalidad conocer la aplicación de la proporcionalidad para calcular distancias.

© Santillana S. A.

Metacognición 1. ¿Qué estrategia utilicé para calcular el área?

2. ¿Qué dificultades tuve para calcular el área de la superficie? ¿Cómo las superé?

Coevaluación 1. ¿Qué son figuras compuestas?

2. Calcula el área de la Antártida sumando áreas de varias figuras geométricas. 257

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4/8/16 4:07 PM

EN PARES

Pedidos de logotipos especiales Benjamín debe diseñar logotipos de igual forma, pero de lados proporcionales a uno que le han dado como muestra. Él quiere usar algún recurso tecnológico que le permita mantener la forma y proporción de los lados con respecto a la muestra. ¿Qué recurso tendrá la opción de elegir: la ampliación o la reducción? Manos a la obra ¿Qué le pidieron a Benjamín? ¿Podrá cumplir con el pedido? ¿Qué estrategia tendrá que utilizar? ¿Habrá algún recurso gráfico en la computadora que le permita cumplir con su objetivo? ¿Cuál será ese recurso?

ACCIÓN REAL Aplicando tus conocimientos de proporcionalidad, ¿qué entiendes por figuras semejantes?

1. Ingresa a http://web.geogebra.org/app/ y haz clic en “Geometría”. 2. Selecciona

, haz clic en un punto o posición y cambia la letra a por k

3. Selecciona

para construir la figura que vas a escalar (ver figura 2).

4. Selecciona

y haz clic en

(ver figura 1).

k

. Luego, selecciona el polígono que

vas a escalar y ubica el centro de homotecia. Finalmente, coloca el valor de factor de escala (k) (ver figura 3). k=3

G

B

C

F

D

Figura 1

A

B' C'

E F'

B D

F

D' A

E

Figura 2 5. Haz clic en G “Segmento” y une el centro G con cada uno de los vértices de los dos polígonos (ver figura 4). Obtendrás la imagen que se muestra.

E'

Figura 3 B

C D

F

B'

A C'

E F'

A'

D'

Figura 4

E'

© Santillana S. A.

C

A'

258 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

258_284 CTU6M4_lici.indd 258

4/8/16 4:09 PM

Laboratorio de Matemática

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 6. ¿Qué sucede con la figura cuando manipulas el deslizador? ¿Qué observas al darle distintos valores como 0; 4 o −1? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 7. ¿Qué valor debe tomar k para que se mantenga el tamaño original? _______________________________________________________________ Puedes personalizar los colores y líneas haciendo clic derecho en la figura y luego en “Propiedades”.

RELATO 8. Describe cómo harías una ampliación. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. ¿Qué cambio harías si fuera una reducción? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 10. Obtén la imagen escalada según lo requerido en el problema. Original

Mitad

Metacognición

© Santillana S. A.

¿En qué me será útil aplicar estos conocimientos?

Triple

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

¿Cuánto aprendí?

¿Tuve dificultades al utilizar las herramientas de GeoGebra?

Doble

¿En qué nuevas situaciones podré aplicar homotecias?

1. Obtén la imagen escalada en mitad, triple y cuádruple de esta figura.

259

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6/10/16 12:40 PM

EN PARES

Recuerdos de la cultura moche Andrés ha conseguido la imagen de un guerrero de la cultura moche y ahora desea reproducirla al doble de su tamaño original. Él sabe que existen máquinas que hacen ampliaciones y reducciones de cualquier imagen, pero quiere hacerlo de manera manual. Si solo cuenta con instrumentos de dibujo y medida, ¿cómo lo podrá hacer?

Manos a la obra ¿Qué nuevas medidas tendrían los lados de la figura ampliada al doble? ¿Cómo se logró esto? Justifica tu respuesta. ¿Cómo se podrá realizar la ampliación utilizando instrumentos de dibujo y medición?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS La homotecia, llamada también dilatación, contracción, reescala, compresión o alargamiento, indica que una figura cambia de tamaño según un factor.

1. Mide los lados de cada figura. Luego, indica en qué relación se encuentran las figuras 1 y 3 con respecto a la figura 2.



Figura 1

Figura 2

Figura 3

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Cuál es el factor de dilatación en cada caso? _______________________________________________________________ 3. Ubica los puntos de coordenadas del hexágono que se muestra. Luego, genera una homotecia con factor de dilatación 3 con respecto al punto P (–1; –4). ¿Qué clase de triángulos forman las líneas proyectantes con las figuras? ¿Por que´? Y 8 6

Las líneas de proyección deben ser más delgadas que los segmentos de la figura obtenida.

4 2 0

2 F

A 4

B 6 C

–2 –4

8

E

D

10

12

14

16

18

20

X © Santillana S. A.

–2

260 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:09 PM

Dibujo y construcción

REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS Si eliges más puntos del guerrero moche, podrás mejorar la precisión al dibujar la imagen solicitada.

4. Utiliza tus instrumentos de dibujo y medida para hallar la imagen homotética con origen en el punto P(1; 3) y con factor de dilatación igual a 2. Como la figura original tiene muchos vértices, se recomienda usar 4 de ellos. Nómbralos y señala sus coordenadas para realizar la homotecia. Indica las coordenadas de cada punto obtenido. Y 8 6 4

C D

P

2 0

2

4

6 A 8

B 10

12

14

16

18

20

22

X

–2

5. ¿La figura obtenida es congruente o semejante? ¿Por qué?

5

*1 π x 24 β ① 19

5 *1 π

x 24 β ① 19

Reúnete con un(a) compañero(a). Preparen un diseño creativo (logo) que tenga al menos 5 vértices y dibújenlo en un plano cartesiano. Luego, determinen dos figuras homotéticas con factores 2 y 5 e indiquen las coordenadas de sus vértices correspondientes y justifiquen por qué son similares.

_______________________________________________________________

6. ¿Por cuánto multiplicaste las coordenadas elegidas? ____________________ 7. ¿Por cuánto se debe multiplicar para obtener una figura congruente? _______ 8. ¿En qué relación está la planta del pie derecho del personaje y su homotecia? ¿Por qué? _______________________________________________________________ CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS 9. Utiliza el desglosable 7 de la página 365 y recorta las tres figuras.

– Pega la más pequeña en un papelógrafo cuadriculado que cumpla la función de plano cartesiano, con origen en el punto (0; 0). Sobre la figura señala 4 puntos tal como en la actividad 4.

– Identifica y pega las otras imágenes homotéticas con factor de dilatación 3 y 4. Señala, en cada caso, las coordenadas de los puntos correspondientes a los indicados en la figura inicial.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Tuve dificultad al manipular la figura inicial y ubicar las coordenadas de sus puntos? ¿Y para ubicar las coordenadas de las figuras homotéticas?

2. ¿Qué estrategia utilicé para ubicar las figuras guardando el factor de dilatación? 3. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar los conocimientos revisados en esta actividad?

Heteroevaluación Realiza la siguiente actividad en un papelógrafo y luego entrégaselo a tu profesor(a) para que lo revise. 1. Supón que Andrés consigue la imagen de un sarcófago de Karajía de la cultura chachapoyas. Reproduce su imagen homotética con factor de dilatación 5. 261

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INDIVIDUAL

Nuestro logotipo de campaña Un grupo de estudiantes de Secundaria postulará al Consejo Estudiantil. Para su campaña, mandarán a elaborar un logotipo con tres estrellas, tal como se muestra en el gráfico. Enrique debe describir por teléfono la posición de las tres estrellas a quien hará el diseño. ¿Cómo podrá describir de manera precisa la ubicación de las estrellas del logotipo?

B

Manos a la obra

A

¿Cómo podrá indicar el movimiento de cada estrella? ¿Las tres estrellas son semejantes? ¿Qué estrategia utilizarás para describir la ubicación de las estrellas del logotipo?

C

INTERROGACIÓN ▶ VOCABULARIO

Traslación:

__________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ Vector guía de traslación:

__________________ __________________ __________________ __________________ __________________

1. ¿Qué figuras geométricas observas? _______________________________________________________________ 2. Construye, con brochetas y limpiatipos, las figuras geométricas del logotipo. Luego, ensaya cómo trasladarlas de lugar. ORIENTACIÓN DIRIGIDA Antes de informarle al diseñador, Enrique analiza la situación. 3. Observa una estrella A sobre un plano cartesiano e indica las coordenadas de cinco de sus esquinas marcadas.

________________________ ________________________ ________________________ 4. Al unir los cinco vértices referidos, ¿se podrá construir la estrella? _______________

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X

5. Describe la traslación de la estrella A hacia la posición de la estrella B. Verifica con el vector guía de traslación. _______________________________________________________________ 6. A partir de la respuesta anterior, ¿cuál es el vector guía de traslación de la estrella B hacia la posición de la estrella C?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

262 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:09 PM

Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN Expón a tus compañeros.

RECUERDA

Si un triángulo ABC se convierte en un triángulo A'B'C' según un vector guía, entonces los vectores que unen los puntos ABC con los puntos A'B'C' tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

7. ¿La estrella C puede trasladarse directamente desde A? De ser así, ¿qué vector lo hace posible? ____________________________________________ _______________________________________________________________ 8. Explica la relación existente entre los tres vectores guía de traslación obtenidos. _______________________________________________________________ 9. ¿Cómo podrá Enrique describir de manera precisa las características y ubicación de las estrellas del logotipo? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE

​__›

10. El vector guía del producto de dos traslaciones es w​ ​  ( 7; 10). Si el vector guía de ​_› una de las traslaciones es ​u  ​(  2; 3), ¿cuál es el vector guía de la otra traslación? _______________________________________________________________ 11. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3; 5), B(5; 7) y C(5; 2). Calcula las coordenadas del_triángulo_obtenido mediante las ​› ​› traslaciones sucesivas de los vectores ​u   ​(6; 2) y ​v   ​(7; −2).

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/z0Ryai Sigue las instrucciones para realizar traslaciones haciendo uso de GeoGebra.

INTEGRACIÓN 12. ¿Qué importancia tiene realizar traslaciones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 13. Elabora un organizador gráfico con los temas tratados.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Me fue fácil realizar traslaciones en el plano cartesiano? 2. ¿Tuve alguna dificultad para identificar las coordenadas del vector guía? ¿Cuál? ¿Cómo la superé? 3. ¿En qué situaciones me puede ser útil lo repasado en esta actividad?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Diseña cuatro piezas iguales, pégalas sobre cartulina y recórtalas. Luego, pégalas en un papelógrafo cuadriculado de modo que formen un diseño. Finalmente indica sus coordenadas y el vector guía. 263

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EN EQUIPO

Diseño de cenefas Diana diseña figuras a fin de elaborar cenefas autoadhesivas para decorar paredes de habitaciones y otros ambientes del hogar. Ella quiere reproducir el diseño que se muestra utilizando instrumentos de dibujo y medida. ¿Cómo lo hará?

Manos a la obra ¿Qué características tiene el diseño que quiere reproducir? ¿Con qué instrumentos cuenta? ¿Qué estrategia podrá emplear para reproducir el diseño?

INTERROGACIÓN ▶ VOCABULARIO

Congruencia de polígonos:

__________________ __________________ __________________ __________________ __________________ Rotación:

__________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________

1. ¿Qué figuras comprenden el diseño que se quiere reproducir? _______________________________________________________________ 2. ¿Identificas la aplicación de alguna transformación geométrica? ¿Cuál? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA 3. Construye dicha representación, luego experimenta cómo trasladarlas a diferentes posiciones.

4. Ubica un punto fijo O fuera del rombo, de modo que al unirlo con cada uno de sus 4 vértices se vea una rotación de ____ ​  360°  ​   = 45° y se obtenga otro rombo. 8 5. Colorea el dibujo como prefieras y coloca un círculo al centro para que quede conforme a lo solicitado.

La rotación puede ser en sentido horario o antihorario.

_______________________________________________________________ 7. ¿Se pudo haber realizado una traslación? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

6. ¿Era la única forma de hacer rotar la figura?

264 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:09 PM

Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN ¿Habría sido posible mover el rombo utilizando solo rotaciones de 180°?

Expón a tus compañeros.

8. ¿En qué casos se aplica una rotación? _______________________________________________________________ 9. ¿Cómo lograste realizar la rotación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE 10. Transforma el polígono de vértices A(0; 4), B(–4; 4), C(– 4; – 4), D(8; – 4), E(8; 0) y O(0; 0) mediante el giro R(O; 30°). Y B

4 A 2



RECUERDA

Sentido del giro:

–10

(+)

(–)

Antihorario

Horario

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8E

10

X

–2 C

–4

D

11. Dibuja en tu cuaderno un rectángulo y transfórmalo mediante la composición de los giros R1(P; 30°) y R2(P; 60°). INTEGRACIÓN 12. ¿A qué equivale la composición de dos giros respecto a un mismo centro? _______________________________________________________________ 13. En la actividad 11, si tuvieras que aplicar una sola rotación, ¿cuál sería? _______________________________________________________________ 14. Elabora un organizador sobre los temas tratados. Metacognición 1. ¿Qué recurso o estrategia utilicé?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué dificultades encontré al transformar una figura utilizando instrumentos de dibujo? ¿Cómo las superé? 3. ¿Para qué me será útil lo que aprendí?

4. ¿En qué objetos de mi entorno puedo observar la aplicación de rotaciones?

Heteroevaluación Realiza la siguiente actividad y entrégasela a tu profesor(a).

1. Dibuja en una hoja un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Luego, realiza tres giros a la figura: uno de 30°, otro de 60° y un tercero de 90°. A continuación, en otra hoja, dibuja otro triángulo equilátero y aplícale un giro de 180°. ¿Qué observas en común en ambas hojas? 265

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4/8/16 4:09 PM

EN PARES

Motivos de la cultura chancay Irene ha investigado sobre la textilería de la cultura chancay y ha encontrado algunos diseños que han llamado su atención. La figura que más le ha gustado es la que se muestra a la derecha. Ahora ella quiere dibujarla y aplicarle rotaciones, traslaciones, simetrías y, además, una homotecia. Si realizara su trabajo en un papelógrafo cuadriculado que hará la función de plano cartesiano, ¿qué figuras obtendrá al efectuar los movimientos y transformaciones que se mencionan? Manos a la obra ¿Qué movimientos y transformaciones se aplicará a la figura elegida? ¿Qué debes tener en cuenta al realizar cada uno de los movimientos y transformaciones en el plano cartesiano?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS ​_›

1. Traslada el rectángulo según ​v  ​( 6; 5).

Recuerda el significado de los componentes del ​_› vector v ​ ​   de traslación, así como del origen y ángulo de rotación.

2. Transforma el rectángulo original mediante la composición de los giros R1(O; 30°), R2(O; 60°) y R3(O; 150°). Y 4 2 –10

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

X

–2 –4

3. Realiza reflexiones del hexágono respecto a cada eje y al centro de origen en el plano cartesiano. 4. Aplica la homotecia H(P; 3) al trapecio cuyos vértices son A(1; 3), B(5; 3), C(4; 2) y D(2; 2).

–4

–2

Y

4

4

2

2

D

0

2

0

2

4

X

–2

–2

–2

–4

–4

A

B C 4

6

8

X © Santillana S. A.

¿Qué tipo de simetría observas?

Y

266 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

258_284 CTU6M4_lici.indd 266

4/8/16 4:09 PM

Dibujo y construcción

REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS

Investiga sobre los diferentes casos de composición de transformaciones geométricas y represéntalos a través de ejemplos en el plano cartesiano.

5. Utiliza la figura 1 del desglosable 8 de la página 367 y colócala sobre un papelógrafo cuadriculado (que hará el papel de plano cartesiano), de modo que a los puntos A, B, C, D y E le correspondan las coordenadas A(1; 3,5), B(1; 2,5), C(2; 3), D(2; 2) y E(4; 5). Y 8 6 4 2

E A B

0

C D 2

4

6

8

10

X

12

6. Utiliza las figuras 2; 3 y 4 del desglosable, según convenga, para realizar las siguientes transformaciones sobre la figura original. SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/9Yhg2O Haz clic en cada una de las transformaciones estudiadas para repasar y practicar.

a) Aplica la simetría axial a la figura original sobre el eje Y.

​_›

b) Traslada las coordenadas de la imagen original con vector ​v  ​(  5; 7). c) Transforma la imagen trasladada mediante el giro R(O; 30°) si se sabe que O es el origen del sistema de coordenadas. 7. Utiliza las figuras de los desglosables 8 y 9 de las páginas 367 y 369 y colócalas sobre un papelógrafo cuadriculado, de modo que a la imagen original (con las mismas coordenadas señaladas en la actividad 5) se le aplique la homotecia H(O; 2). Indica las coordenadas de los puntos A', B', C', D' y E' de la figura homotética, así como su factor de dilatación. CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS 8. Crea figuras o logos y realiza las transformaciones trabajadas (rotación, simetría y homotecia) de manera individual o realizando una composición de ellas. Luego, presenta tus productos a tus demás compañeros.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿De qué manera el uso de material concreto me ayudó a comprender la composición de transformaciones?

2. ¿En qué situaciones cotidianas puedo aplicar las transformaciones realizadas en esta actividad?

Coevaluación 1. Reproduce esta imagen en tu cuaderno de modo que encaje en las cuadrículas. Luego, realízale a la figura una traslación, reflexión, rotación y homotecia. Finalmente, comparte tu trabajo con un(a) compañero(a). 267

258_284 CTU6M4_lici.indd 267

4/8/16 4:09 PM

EN PARES

Incrementando la cultura En la mañana, Julia fue a la biblioteca; por la tarde, visitó un museo, y por la noche, se encontró con su mamá en el teatro para ver una obra que le habían recomendado. Los lugares recorridos (casa, biblioteca, museo y teatro) se representan con puntos en un plano y se trasladan siguiendo la trayectoria de vectores distintos. ¿Cómo se podría representar matemáticamente el encuentro de Julia con su mamá en el teatro?

Biblioteca

Museo

Casa de Julia Teatro

Manos a la obra ¿Qué recorrido realizó Julia? ¿Qué transformaciones geométricas se describen en los recorridos? ¿Cómo simbolizarías matemáticamente los movimientos realizados?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS 1. Sea el triángulo ABC de vértices A(2; 1), B(2; 3) y C(4; 4). Trasládalo ​_ ​​ › ​​ ° ​T​_​​s ​› ​)  (ABC) = A'''B'''C'''. mediante la composición (​T​_​​v › ​​ ° ​Tu 

Ten en cuenta que ​_› el vector u ​ ​   = (x; y) describe la traslación de x unidades en sentido horizontal e y unidades en sentido vertical.

Y 6 5 4 3 2 1 0

u

v

C'

C

C''

s

B''

B'

B

C'''

A'' A'

A

B'''

t

A''' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ​_› ​_›

​_›

X

2. ¿Qué traslación describen los vectores ​v  ​,  u  ​  ​ y ​s ​ ?  _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ​_›

​_› _ ​›

​_›

3. ¿Qué relación tiene el vector ​t ​  con los vectores ​v  ​,  u  ​  ​ y ​s ​ ?  _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ​_›

4. ¿Cómo simbolizas el resultado de la traslación del triángulo ABC con ​t ​ ?  _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

268 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

258_284 CTU6M4_lici.indd 268

4/8/16 4:09 PM

Dibujo y construcción

REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS Recuerda que el producto de dos o más traslaciones consecutivas equivale a una sola, que es igual a la suma de sus vectores.

5. Representa la casa, biblioteca, museo y teatro con cuatro puntos cualesquiera en un mismo plano cartesiano. Luego, traza con un color los vectores que señalan el recorrido de Julia, y con otro color, el vector que señala el recorrido de su mamá.

CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS 6. ¿Qué relación tienen los vectores que representan el recorrido de Julia con respecto al vector que representa el recorrido de su mamá? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 584-588).

_______________________________________________________________ 7. ¿Cómo podrías expresar matemáticamente lo sucedido? _______________________________________________________________ 8. Demuestra el cumplimiento de la siguiente composición de transformaciones: R1(O; 15°) ° R2(O; 45°) ° R3(O; 30°) = R(O; 90°). 9. Demuestra que la composición de simetrías axiales de un número par de ejes paralelos equivale a una traslación. 10. Demuestra que el producto de dos simetrías axiales, cuyos ejes son perpendiculares, resulta ser una simetría central cuyo centro es el origen del sistema de coordenadas.

Metacognición 1. ¿Qué estrategias utilicé para resolver las situaciones propuestas?

Demuestra en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

2. La composición de simetrías axiales da como resultado un número impar de una reflexión.

2. ¿Qué inconvenientes se me presentaron? ¿Cómo pude superarlos? ¿Alguien me ayudó?

© Santillana S. A.

Coevaluación

4. ¿Cómo puede contribuir lo que aprendí en mi desarrollo personal?

1. El producto de un número par de simetrías centrales da como resultado una traslación.

3. Una simetría axial es igual a una reflexión.

269

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6/10/16 12:44 PM

EN EQUIPO

Plantilla para un mosaico Unos de los pasatiempos de Jimena es diseñar mosaicos. En una revista de arquitectura, ella ha encontrado el diseño que se muestra a la derecha, el cual se ha obtenido cubriendo un plano con figuras que cumplen una regularidad o patrón. Lo que más le ha gustado a Jimena es que en el diseño no quedan espacios vacíos ni se superponen las figuras. ¿Cómo podrá generar su plantilla o tesela que le permita reproducir dicho mosaico? Nos preguntamos previamente ¿Qué desea hacer Jimena? ¿Qué le llamó más la atención del diseño encontrado? ¿En qué consiste la técnica del teselado? ¿Qué relación tiene la técnica del teselado con las transformaciones (traslación, rotación y reflexión) en el plano?

ACCIÓN 1. ¿Qué figuras observas en el mosaico? _______________________________________________________________

RECUERDA



Rotación de 180° A

2. ¿Qué tarea debe realizar Jimena? C

B

3. ¿Qué necesita Jimena para reproducir el mosaico?

O C'

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

B' A'

FORMULACIÓN 4. Grafica un cuadrilátero cualquiera, ya sea cóncavo o convexo (ver figura 1). Ese cuadrilátero será tu plantilla o tesela. 5. Reproduce tu plantilla 30 veces sobre una cartulina. Luego, recorta las figuras y pinta 15 de un color y 15 de otro color. Coloca la mitad de ellas en una posición definida y, luego, a la otra mitad aplícale una rotación de 180° (ver figura 2).

En 9 figuras se aplicó una traslación, y en las otras 9, una rotación de 180°.

Figura 1

Figura 2

_______________________________________________________________ 7. ¿Qué transformaciones aplicaste? ¿Por qué? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

6. ¿Encajan todas las figuras? ¿Por qué?

270 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:09 PM

Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 8. Jimena elabora, a partir de un cuadrado, una plantilla del caballo de Maurits Cornelis Escher y sigue estas indicaciones para reproducir el mosaico. Observa que a partir de un cuadrado se realizan cortes y desplazamientos de piezas de manera horizontal y vertical.

9. Utiliza el desglosable 10 de la página 371 y reproduce la cantidad suficiente de figuras para armar tu mosaico, de modo que cubra una hoja bond A3. Luego, coloréalo según se muestra al inicio o como tú prefieras.

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/4OxH3S Haz clic en cada uno de los modelos para la construcción de los mosaicos de Escher.

INSTITUCIONALIZACIÓN 10. ¿A qué se denominan transformaciones isométricas? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 11. ¿A qué conclusión puedes llegar? _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Me resultó difícil construir un teselado partiendo de una figura?

© Santillana S. A.

2. ¿De qué manera el uso de material concreto me ayudó a comprender la construcción y composición de un teselado?

3. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo hacer uso de los teselados para representarlos de manera gráfica?

Heteroevaluación Realiza las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Utiliza el desglosable 11 de la página 373. Observa el modelo que se muestra y construye el teselado de un fragmento del cuadro de los duendes de Escher, de modo que cubra una hoja bond A3. ¿Qué tipo de transformaciones isométricas aparecen en la teselación? 271

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4/8/16 4:09 PM

EN PARES

Un teselado especial Andrea es diseñadora y le encantan los animales. Por eso se le ha ocurrido elaborar un teselado de un pez y luego el de una ardilla. Si solo dispone de cartulinas, tijera y lápiz, ¿cómo podrá crearlos?

Manos a la obra ¿Qué desea construir Andrea? ¿Con qué materiales cuenta? ¿Cuál será el primer paso para construir un teselado? ¿Qué conceptos matemáticos intervienen en la construcción de un teselado?

REPRESENTACIÓN DE FIGURAS Y CUERPOS ▶ TEN EN CUENTA

Un teselado o embaldosado consiste en recubrir el plano con figuras que se repiten, de modo que al unirlas no queden espacios vacíos ni se superpongan.

1. A partir de un cuadrado, elabora una figura en forma de pez, tal como se muestra. 2. Una vez obtenido el pez, úsalo como plantilla para realizar el teselado.

3. ¿Qué transformación realizaste para lograr tu teselado? _______________________________________________________________ REPRODUCCIÓN A PARTIR DE MODELOS DADOS 4. Recorta en una cartulina un romboide compuesto de 4 triángulos equiláteros. Luego, corta, traslada o gira según corresponda. a) BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

b) © Santillana S. A.

Razones para enseñar geometría en la educación básica, de Ana María Bressan, Beatriz Bogisic y Karina Crego (págs. 99-104).

272 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

258_284 CTU6M4_lici.indd 272

4/8/16 4:09 PM

Dibujo y construcción

c)

d) El cuadrado es una figura muy utilizada para los teselados, como en este caso, que le hacemos cortes y desplazamientos de piezas de manera horizontal y vertical.

e)

f)

5. ¿Qué transformaciones utilizaste en la elaboración de la plantilla? _______________________________________________________________ CONSTRUCCIÓN SOBRE LA BASE DE DATOS DADOS 6. Reproduce en cartulinas de colores la plantilla creada. Luego, construye el embaldosado o teselado en una hoja A3 y muéstraselo a tus compañeros. Metacognición Reflexiono sobre mi aprendizaje y respondo.

© Santillana S. A.

1. ¿Seguí correctamente los pasos para obtener la figura de la ardilla? 2. ¿Tuve dificultades en el desarrollo de las actividades? ¿Cómo las superé?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. Investiga sobre otros diseños que puedan representarse mediante un teselado. Luego, elabora un diseño creativo partiendo de un cuadrado o de un triángulo equilátero. 273

258_284 CTU6M4_lici.indd 273

4/8/16 4:09 PM

EN PARES

El edificio retorcido Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

En la arquitectura moderna, los edificios a menudo tienen formas inusuales. La imagen siguiente muestra un modelo diseñado por ordenador de un “edificio retorcido” y un plano de la planta baja. Los puntos cardinales muestran la orientación del edificio.

N

N E O

O

S

E S

En la planta baja del edificio está la entrada principal y un espacio para tiendas. Por encima de la planta baja hay 20 plantas de viviendas. El plano de cada planta es similar al de la planta baja, pero la orientación de cada planta es ligeramente distinta a la de la planta inmediatamente inferior. En el cilindro se encuentran el hueco del ascensor y un rellano para cada planta. Nos familiarizamos con la situación ¿Logras distinguir las plantas del edificio? ¿Las plantas tienen la misma forma? ¿Identificas los puntos cardinales?

1. Haz un ensayo observando desde diferentes posiciones un objeto que esté sobre una mesa.

Calcula la altura total del edificio en metros. Explica cómo has hallado la respuesta.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Las imágenes siguientes son vistas laterales del edificio retorcido.

Vista lateral 1

Vista lateral 2

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

274 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Taller matemático 5 (problema liberado PISA)

2.

¿Desde qué dirección se ha obtenido la vista lateral 1?

a) Desde el norte. b) Desde el este.



c) Desde el oeste. d) Desde el sur.

RECUERDA

Sentido del giro: (+)

(–)

Antihorario

Horario

3. ¿Desde dónde se ha obtenido la vista lateral 2?

a) Desde el noroeste. c) Desde el noreste. b) Desde el suroeste. d) Desde el sureste.

Conoce más sobre la situación inicial Se aplicó a nivel internacional en el año 2003 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA.

4.

Cada planta de viviendas tiene cierta "torsión" con respecto a la planta baja. La última planta (la 20.ª por encima de la planta baja) forma un ángulo recto con la planta baja. La siguiente figura representa la planta baja. Dibuja en este mismo gráfico el plano de la décima planta. Muestra cómo queda situada con respecto a la planta baja.

Tuvo como finalidad evaluar la capacidad de abstracción de movimientos en el espacio.

Metacognición

Coevaluación Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

Aprendizaje logrado ¿Utilidad?

© Santillana S. A.

1 3

¿Dificultades?

¿Influencia en lo personal? ¿Estrategia?

2 4

1. Supón que cada planta tiene una torsión con respecto a la planta baja. Dibuja el plano de las plantas 5 y 15 por encima de la planta baja e indica, en cada caso, el ángulo que forma con la planta baja. 275

258_284 CTU6M4_lici.indd 275

4/8/16 4:09 PM

EN EQUIPO

Registrando edades En una fábrica de cajas elaboradas con cartón reciclado, decidieron realizar un estudio con relación a las edades de sus trabajadores (hombres y mujeres). Se recogieron los datos y se dispusieron en la tabla mostrada, de modo que las columnas rosadas indican las edades de las mujeres, y las celestes, las edades de los hombres.

22 44 30 38 35 41 40 49 43 44 41 40 26 51 37 41 26 34 33 38 39 35 35 62 33 42 80 32

Shutterstock

Evalúa la validez de la siguiente afirmación: “Existen diferencias importantes entre las edades en las que las mujeres y los hombres se encuentran trabajando”.

28 62 29 32 29 42 29 47 34 43 31 36 42 42 63 52 24 40 38 52 27 31 34 42 74 76 29 54 32 41 38 43 54 51 31 47 27 48 33 39 33 52 26 34 25 56 24 35 38 37 37 49 50 53 35 37 31 34 29 41 25 30 29 57 42 56 38 45 45 38 27 52 41 39 46 39 25 42 41 38 61 36 49 32 27 41 30 49 41 41 35 45 36 60 21 62 39 45 28 37 35 57 28 44 60 42

32 30 41 43 34 60

Nos preguntamos previamente ¿Cómo podrías organizar la información de las edades por sexo? ¿Puedes trabajar con todos sin considerar que sea hombre o mujer?

ACCIÓN

¿Qué tipo de variable estadística identificas?

1. En la tabla mostrada, ¿cuál es la menor y la mayor edad de una mujer? ¿Y de un hombre? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Es suficiente esta evidencia para validar la información? Justifica tu respuesta. _______________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué estrategia emplearás para organizar y presentar la información? _______________________________________________________________ FORMULACIÓN _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

4. Describe los pasos que seguirás para validar la información.

276 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 5. Determina los intervalos necesarios para hacer una tabla de frecuencias.

¿En qué intervalo de edad hay mayor número de hombres? ¿Y de mujeres?

6. Elabora en tu cuaderno la tabla comparativa y describe la distribución de la variable.

7. ¿Qué puedes comentar acerca de la afirmación inicial? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/cGLcxK para ampliar tus conocimientos sobre variables estadísticas.

INSTITUCIONALIZACIÓN 8. ¿A qué conclusiones puedes llegar acerca de la percepción que tiene la sociedad sobre el hombre y la mujer? ______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

© Santillana S. A.

Respondo en mi cuaderno estas preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender. 1. ¿Tuve dificultades para construir tablas de distribución de frecuencias? ¿Cómo las superé?

2. ¿Qué conocimientos de estadística puse en práctica para evaluar el análisis planteado?

Autoevaluación Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. ¿Qué debes considerar para comparar una variable cuantitativa continua de dos grupos de datos?

2. Haz un estudio comparativo sobre una variable cuantitativa de tu interés que involucre a varones y mujeres. 277

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Flor Ruíz

EN EQUIPO

Escolaridad por géneros Con la finalidad de otorgar un bono a los trabajadores de las compañías recicladoras de papel de la zona urbana de la costa, se va a realizar un estudio comparativo acerca del acceso a la educación de los hijos de estos trabajadores, cuyas edades van de 12 a 16 años.

Indagamos ¿Cuáles son las variables estadísticas que intervienen? ¿Cómo se componen los grupos que se van a comparar? ¿Qué edad tienen los integrantes de la población?

DESARROLLO DEL PLAN 1. ¿En qué consiste la investigación que debes realizar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Cuál es la población que será objeto de estudio? ▶ TEN EN CUENTA

Como complemento a la información que recojas, puedes considerar el primer informe sobre equidad de género del año 2015 publicado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI), que toma los datos de la Encuesta Nacional de Hogares (ENAHO).

_______________________________________________________________ 3. ¿Qué medio o estrategia emplearás para recoger información? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Cómo podrías determinar el tamaño y composición de una muestra representativa? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. Determina las posibles comparaciones que puedes realizar. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 6. Elabora una encuesta de tres preguntas que te permita recoger información sobre el tema de investigación.

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

278 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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Investigación escolar

RECOLECCIÓN Y MANEJO DE DATOS 7. ¿Cómo podrías registrar la información?

RECUERDA

Los gráficos de barras comparativas sirven para comparar las frecuencias de las categorías que componen cada variable de estudio. Pueden representarse de manera vertical u horizontal.

_______________________________________________________________ 8. Elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencia a partir de los datos de cada una de las comparaciones formuladas. 9. Representa mediante un gráfico de barras comparativas la información de cada una de las tablas realizadas. ANÁLISIS DE DATOS 10. ¿Qué frecuencias convendría comparar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 11. ¿Qué entiendes por variación porcentual? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 12. Interpreta los datos (frecuencias o porcentajes). Puedes incluir la variación porcentual para sustentar tu análisis. CONCLUSIONES 13. A nivel general, ¿qué puedes decir de los jóvenes que asisten a la secundaria en los dos últimos años? ¿Y a nivel de cada área de residencia? _______________________________________________________________

Metacognición

Autoevaluación Respondo las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

1. ¿Qué conceptos estadísticos pude integrar en esta investigación?

© Santillana S. A.

2. ¿Tuve dificultades para recoger información? ¿Cómo las superé? 3. ¿Logré relacionar convenientemente la información para realizar la interpretación comparativa? 4. ¿Para qué me servirá lo que aprendí hoy?

Elabora un gráfico comparativo con estos datos. Perú: Tasa neta de asistencia a educación Secundaria, según área de residencia y sexo. Trimestre: Octubre-Noviembre-Diciembre: 2013 y 2014 (Porcentaje del total de la población de 12 a 16 años de edad) Área de Residencia / Sexo Total Mujer Hombre Urbana Mujer Hombre Rural Mujer Hombre P/ Preliminar.

Oct-Nov-Dic 2013 79,8 80,8 78,8 89,7 91,0 88,4 69,3 69,4 69,1

Oct-Nov-Dic 2014 P/ 81,8 83,0 80,5 86,3 88,4 84,1 72,0 71,2 72,9

Fuente: INEI - Encuesta Nacional de Hogares. 279

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EN EQUIPO

Acceso a Internet Un grupo de estudiantes de cuarto grado de Secundaria realizó un estudio acerca de los lugares desde los cuales acceden a Internet los habitantes de la ciudad de Arequipa. La muestra elegida para dicho estudio fue de 300 mujeres y 500 varones de 15 años a más. A continuación, se presentan los gráficos con los resultados obtenidos. Elabora una tabla de frecuencias absolutas y responde: ¿Qué diferencias hay entre los lugares desde los cuales los hombres y las mujeres acceden a Internet? Población de 15 años a más según el lugar de acceso a Internet Mujeres 26,67 %

28,67 %

Hombres 29,60 %

22,60 % 3,60 %

11,67 %

3,00 % 2,32 %

1,80 % 10,60 %

27,67 %

Hogar Trabajo Establecimiento educativo Cabina pública Otro lugar Dos o más lugares

31,80 %

Nos preguntamos previamente ¿Cuál es la población de estudio? ¿Y la muestra? ¿Es una muestra representativa? ¿Por qué se utiliza un gráfico de sectores para representar los resultados?

ACCIÓN 1. ¿Cuál es la variable en estudio? ¿De qué tipo es? _______________________________________________________________ 2. ¿Cuáles son los tres lugares de acceso con mayor porcentaje en el caso de los hombres? ¿Y en el caso de las mujeres? Los gráficos de sectores circulares sirven para representar cantidades porcentuales.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 3. ¿Qué tarea debes cumplir? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué plan o estrategia seguirás? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

280 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

258_284 CTU6M4_lici.indd 280

4/8/16 4:09 PM

Situación didáctica de Brousseau

5. Realiza los cálculos en una hoja aparte y completa la tabla. Lugar de acceso

Hogar

f

Mujeres

%

f

Hombres

%

Total

f

%

Trabajo

Establecimiento educativo Cabina pública Otro lugar

Dos o más lugares Total

100

100

100

VALIDACIÓN ¿Qué fórmulas utilizarías para completar los porcentajes de mujeres y hombres?

6. Utiliza una hoja de cálculo para comprobar tus respuestas. Para ello, reproduce la tabla que se muestra. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A Lugar de acceso Hogar Trabajo Establecimiento educativo Cabina pública Otro lugar Dos o más lugares Total

B C Mujeres fi % 28,67 3 2,32 27,67 11,67 26,67 300 100

D E Hombres fi % 22,6 3,6 1,8 31,8 10,6 29,6 500 100

F fi

Total

800

G %

100

7. Para calcular las frecuencias, ingresa las siguientes fórmulas:

En B3 =$B$9*C3/100. Luego, copia la celda B3 hacia abajo hasta B8.

En D3 =$D$9*E3/100. Luego, copia la celda D3 hacia abajo hasta D8. En F3 =B3+D3. Luego, copia la celda F3 hacia abajo hasta F8.

▶ TEN EN CUENTA

Utiliza

00 (“Disminuir 0

decimales”) para aproximar al entero los rangos B3:B8 y F3:F8. También para que el rango G3:G8 tenga solo dos decimales.

8. Para completar los porcentajes del total, ingresa la fórmula =F3*100/$F$9 en G3. Luego, copia esa celda hacia abajo hasta G8. INSTITUCIONALIZACIÓN 9. ¿Existen diferencias entre los lugares en que los hombres y las mujeres acceden a Internet? 10. En este caso, ¿por qué es preferible trabajar con valores porcentuales en lugar de las frecuencias absolutas?

Metacognición

© Santillana S. A.

¿Cómo lo hago?

Autoevaluación ¿Con qué?

1. ¿Cuáles son los pasos para construir un diagrama de sectores circulares?

Organizar la información ¿Con quiénes?

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

¿Para qué?

2. ¿Qué debes tener en cuenta cuando comparas muestras de diferente tamaño? 281

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Shutterstock

INDIVIDUAL

Ingreso mensual Un equipo de investigación realiza un estudio comparativo del ingreso mensual promedio de un grupo de hombres y mujeres cuyas edades fluctúan entre los 14 y los 44 años. A continuación, se presentan los datos de personas cuyos ingresos son mayores o iguales a S/ 500 y menores a S/ 2000. 746 1493 800 1556 1449

937 1151 570 1023 669

1185 839 607 837 982

780 1915 977 933 616

1063 847 536 1549 1043

1366 738 1295 1381 1155

681 962 1357 957 1400

1181 1123 1163 1441 937

921 814 1117 611 763

1051 1527 1163 1360 1096

1580 1464 1258 1100 1202

1273 1766 1093 1685 1875

1637 1000 1055 1827 1645

1479 1570 1843 680 1684

982 1392 1593 1969 1356

1729 1496 921 860 1229

985 1817 1215 1882 1928

1264 1368 1831 896 1588

Flor Ruíz

Mujeres

Hombres 1456 1429 1795 1697 1331

1025 1316 1103 1652 550

Representa los datos en un gráfico adecuado. ¿Cuál es la conclusión sobre los ingresos mensuales de nuestra sociedad? Nos preguntamos previamente ¿Qué significa hacer un estudio comparativo? ¿Qué características tiene la muestra tomada? ¿Cuál es el rango de los datos?

ACCIÓN

RECUERDA

Hay dos tipos de variables: – Cuantitativas (cantidad) – Cualitativas (características)

1. ¿Cuál es la variable en estudio? ¿De qué tipo es? _______________________________________________________________ 2. ¿Cuál es el menor y el mayor dato en cada uno de los grupos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 3. ¿Qué producto debes presentar? ¿Cómo planeas realizarlo?

¿De qué manera la variable determina el tipo de organización y la representación de los datos?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué necesitas para construir la representación gráfica que solicitan? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

282 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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4/8/16 4:09 PM

Situación didáctica de Brousseau

VALIDACIÓN 5. Realiza las tareas previas a la construcción del gráfico. 6. Elabora una tabla comparativa considerando seis intervalos. Luego, haz algunas interpretaciones. 7. Representa gráficamente, por separado, los datos de los ingresos de hombres y mujeres. Ingreso mensual promedio de las mujeres entre 14 y 44 años. 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Ingreso mensual promedio de los hombres entre 14 y 44 años 16 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 626 y 627).

14 12 10 8 6 4 2 0

8. Compara tus resultados con los de tus compañeros. ¿Son similares? Si no lo son, ¿a qué crees que se debe? INSTITUCIONALIZACIÓN 9. Los datos presentados en la situación problemática son reales. ¿Qué puedes concluir acerca de los ingresos mensuales de nuestra sociedad? 10. Elabora un gráfico de barras comparativas con todos los datos mostrados. Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Logré organizar y representar un grupo de datos según el tipo de variable de la investigación?

2. ¿Cuál de las tareas me pareció más difícil de ejecutar? ¿Cómo la realicé? 3. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Autoevaluación 1. ¿Cuál es la diferencia entre un histograma y un gráfico de barras?

2. Discute en tu aula acerca de las formas de generar ingresos. ¿Habrá algunos trabajos o labores que solo puedan desempeñar los hombres o solo las mujeres? 283

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EN EQUIPO

Taller matemático 6

Afición por los deportes Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

El gráfico muestra la afición por los deportes de un grupo de estudiantes de cuarto de Secundaria de un colegio. 1. ¿Qué deporte tiene mayor número de aficionados entre los estudiantes? 2.

Si 165 jóvenes son aficionados al básquet, ¿cuántos son aficionados al vóley?

3.

Elabora una tabla. Si cada año el 2 % de jóvenes dejan el básquet por el fútbol, ¿cuántos jóvenes más tendrán afición por el fútbol el próximo año?

Aficiones deportivas de un grupo de estudiantes Vóley 10 %

Fútbol 20 %

Atletismo 25 %

Básquet 30 %

Tenis 15 %

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué porcentaje de los estudiantes son aficionados al fútbol? ¿Cómo determinas el número de aficionados que corresponde a cada sector de la gráfica circular? ¿Qué frecuencias debe tener la tabla?

CONEXIÓN

Observa que para obtener una frecuencia desconocida utilizamos dos cantidades porcentuales y una frecuencia conocida. Con ellas aplicamos la regla de tres simple.

2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé? 3. ¿En qué otra situación de la vida cotidiana puedo aplicar lo aprendido?

1. Observa la gráfica. ¿Qué aula tuvo una mayor cantidad de notas superiores a 15?

12 10 8 6 4 2 0

3.° A

3.° B

13 14 15 16 17 18 19 20 Notas

© Santillana S. A.

1. ¿Qué estrategia apliqué para resolver la situación presentada?

Heteroevaluación N.° de estudiantes

Metacognición

284 UNIDAD 6 / SEMEJANZA. TRANSFORMACIONES. TABLAS Y GRÁFICOS

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7

Trigonometría

En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Cultivos de Huaraz, región Áncash.

Forma, movimiento y localización

• Seleccionar información para obtener datos relevantes en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos, y de superficies, para expresar un modelo referido a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y ángulos de elevación y depresión. Elaborar y usar estrategias • Seleccionar y utilizar la unidad de medida apropiada para determinar las medidas de ángulos, perímetros y áreas en figuras compuestas. • Adaptar y combinar estrategias heurísticas relacionadas con ángulos, razones trigonométricas y proporcionalidad al resolver problemas con mapas o planos, con recursos gráficos y otros. • Usar coordenadas para calcular perímetros y áreas de polígonos. Comunicar y representar ideas matemáticas • Diseñar y ejecutar un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar sus conjeturas o refutarlas basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos.

Regularidad, equivalencia y cambio

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

Matematizar situaciones

Matematizar situaciones • Examinar modelos referidos a funciones trigonométricas que expresen una situación de cambio periódico. Elaborar y usar estrategias • Desarrollar y aplicar la definición de las funciones seno y coseno para resolver problemas de triángulos. • Emplear procedimientos con datos de amplitud, periodo y rango para resolver problemas que involucran construir la gráfica de una función trigonométrica. Comunicar y representar ideas matemáticas • Representar de forma gráfica una función trigonométrica de seno y coseno. • Expresar las características principales de la función trigonométrica seno y coseno. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar sus conjeturas o refutarlas basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos.

285

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INDIVIDUAL

El jardín de Doris Doris desea colocar césped en la parte delantera de su casa. En la figura se aprecian los ángulos α y β formados sobre las tejas y el techo de la casa. Además, se ​  3 ​  y sec β = __ ​  5 ​ . sabe que sen α = __ 5 4 Si el ancho de donde se quiere sembrar césped mide 4 metros, y el metro cuadrado de césped cuesta S/ 25, ¿cuánto gastará Doris?

10 m

15 m

α

2m

β

L

3,5 m

Organizamos la información ¿Cómo podrías esquematizar la situación? ¿Qué necesitas saber para resolver el problema?

TEMA DE ESTUDIO 1. ¿Cuál es el hecho o acontecimiento? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ INTERROGANTES DE ESTUDIO 2. ¿Qué interrogantes puedes extraer del hecho presentado? ¿Cuál de ellas sería la pregunta central? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Qué conceptos debes conocer para guiar tu razonamiento? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Completa en un esquema como el que se muestra (llamado V de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores. CONCEPTUALIZACIÓN 7. MARCO TEÓRICO

5. PROCESOS BÁSICOS

PREGUNTA(S) CENTRAL(ES) 2. INTERROGANTE(S) DE ESTUDIO

METODOLOGÍA 8. JUICIOS Y CONCLUSIONES 6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS CLAVES 1. TEMA DE ESTUDIO

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES

© Santillana S. A.

Dibuja en tu cuaderno la V de Gowin que se muestra. Hazla lo suficientemente amplia para que vayas anotando directamente en ella.

286 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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V de Gowin

REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES 4. ¿Qué necesitas determinar, principalmente, para avanzar en la resolución de la situación problemática? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PROCESOS BÁSICOS 5. ¿Qué fórmulas debes tener en cuenta para resolver el problema? _______________________________________________________________ DATOS QUE SE TIENEN 6. ¿Cómo representas los datos, registros y observaciones para llegar a las respuestas de las interrogantes? A 10 m E

α c

a

15 m

D

β

C L

b

B

MARCO TEÓRICO 7. ¿Cómo resumes la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones propuestas? ________________________________________ JUICIOS Y CONCLUSIONES Comparte con tus compañeros otra forma de resolver el problema.

8. ¿Qué conocimientos matemáticos te ayudaron a resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Tuve dificultades para plantear el proceso empleando los datos del problema? ¿Cómo las superé?

© Santillana S. A.

2. ¿En qué otras situaciones puedo aplicar la estrategia utilizada?

Autoevaluación 1. Dos personas se ubican a los lados de un poste de 25 metros de altura. Si tan α = ___ ​  24 ​ y 7 cot β = __ ​  4 ​ , ¿qué distancia separa a las personas? 3

3. ¿En qué medida el uso del dibujo me permite recrear situaciones de la realidad? 4. ¿Qué utilidad tiene lo que aprendí en esta actividad?

α

β

287

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EN PARES

Inclusión en lugares públicos Según la norma A.120 del Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento, todas las edificaciones donde se presten servicios de atención al público deberán contar con rampas de acceso para personas con discapacidad. A fin de que estas rampas sean útiles, es necesario que el ángulo respecto del piso sea de 15°. Si en una institución educativa se quiere instalar una rampa de acceso para un desnivel de 60 cm de altura, ¿cuál debe ser la longitud de la rampa? (sen15° ≈ 0,259). Resolvemos paso a paso ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Qué modelo matemático podrías plantear a partir de este problema?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata la situación? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ ▶ TEN EN CUENTA

Las razones trigonométricas se determinan en un triángulo rectángulo.

3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué estrategia te permitirá resolver el problema. a) Hacer un gráfico.

b) Generalizar.

c) Plantear una ecuación.

5. ¿Cómo puedes esquematizar la situación? BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 529-531).

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

6. ¿Existe alguna relación que permita realizar el cálculo de forma directa?

288 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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1

3/08/16

20:49

Resolución de problemas

EJECUTA

 ESTRATEGIA

Hacer un gráfico Representar la realidad con formas geométricas nos permite aplicar sus propiedades para resolver el problema.

7. ¿Qué expresión matemática se ha formado? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 8. Resuelve la situación pedida.

 USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Utiliza tu calculadora para determinar las razones trigonométricas. Por ejemplo, para calcular sen 15, teclea: sin

1

5

COMPRUEBA 9. ¿Qué otro conocimiento matemático aplicaste para comprobar tus procedimientos y resultados?

=

Asegúrate de que esté configurada en grados sexagesimales.

CONCLUYE Y APLICA SITIO WEB

10. Si se consideran desniveles y longitudes de la rampa múltiplos del original, ¿a qué valor se aproxima el ángulo de la longitud de la rampa y la horizontal?

Accede a http://goo.gl/ nGRsOg para conocer y practicar sobre razones trigonométricas.

Metacognición Reflexiono sobre las estrategias y procesos que desarrollé en esta ficha.

Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

2. ¿Utilicé los métodos algebraicos como estrategias para resolver problemas?

1. ¿Cuántas rampas hay? ¿En qué estado se encuentran?

1. ¿Me fue difícil crear un modelo matemático para representar los datos del problema?

© Santillana S. A.

Heteroevaluación

3. ¿Qué acciones debo realizar para ser más eficiente en la resolución de problemas?

Observa en tu institución educativa si existen rampas de acceso para personas con discapacidad.

2. ¿Cumplen con las especificaciones técnicas? Justifica realizando los cálculos pertinentes. 289

285_299 CTU7M4_lici.indd 289

4/8/16 4:11 PM

Sacsayhuamán

QUISCAPATA

SA YK UC HI

ES

LL

CA

O RC

RA

ATA MP LCA CO

Cristóbal

O

ILL

S

O

IT A EL AT IP NG

AT OQ

E

NC

CO

H

A

A AC CH UE

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A) S CI RE UE DO (S RA

O PR

D AÚ AT

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S

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TIN US AG

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PA

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S ITO

LA

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S

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M PA

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Palacio de Justicia

M RO

M

TO RE

AR

M.

M

AL

UI

RO AG

LO

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M

RA

La Merced

BE

A

ÁR

N

S SA RO

DE

LA

A AD

HE

DO

AN

O RD TO

E QU

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad A CL

N SA

A. ST STA GO

AN

BIL

GR

ES

CA

ON AR

Z

Pza. San Fco.

San Francisco

OQ CH

A

O AT RG PU

L IE UR

CH O EC CS TE

DR NC 7 GU En la ciudad del Cusco, se realizarán LA AR CA CA C M Q instalaciones telefónicas con cables RM A O TA RI A P D CA EN A Convento subterráneos. Los lugares por donde YN LL A E Nazarenas HU se harán dichas instalaciones se S RA EB UL muestran en el plano. Se sabe que E 7C R G Casa AS Pza. TI Sta. Teresa de la Casa Garcilaso (A) hasta el BL Almirante Nazarenas N SA Palacio arzobispal (B) hay 6 km; ÁN C UM IYO C   M además, mBAC = 37°, mADC = 53° S TU RU H NE Palacio Catedral TO y mABC = mDAB = 90°. ¿Cuántos R arzobispal A O B S NF kilómetros de cable de teléfono se 7 CU IU NA OS Plaza TR UI R Municipalidad R emplearán para las instalaciones DE A de IOS A PA DE D IO NIC IN UAN planificadas? En caso de que el ES Armas ED SN. J MÓ AL A . Pza. T M A AS ST CA tendido de cable fuera recto, CH ND Regocijo CA AN DU E ¿cuántos kilómetros se emplearían O La AS desde el Palacio arzobispal (B) Sta. CILCasa Compañía R I GA Garcilaso Catalina hasta Amargura (D)? UR OS CÍ BAL R RES GA

EN PARES

TAN DAP ATA

ÓN

I PC

CU MA PU

Redes telefónicas San C.E. Salesianos

AP AY

CH

LU

PU

CH O

O

AN AY

R AR

LL

I ST CA

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DR

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LA

EL

OC AY ID

EB

TÚ

AY AC U

L

DE

TR ES

NC

CO

Sta. Clara

N SA

¿Conoces la ciudad del Cusco? ¿Qué tiposTAde . ángulos se formarán al realizar el cableado? ¿Cómo S determinarás las longitudes del cableado? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema?

Sto. Domingo

Z

CR U

U AR

1. ¿De qué trata el problema?

TE

CT

IO

RO SAR

VE

AM

RD

E

C PA

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA E

0

30 60

120 km

_______________________________________________________________ 2. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿Qué tienes que averiguar? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué estrategia usarás para determinar la relación entre las cantidades? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ RECUERDA

HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

5. ¿Cómo utilizaste los ángulos notables de 37° y 53° y sus razones trigonométricas para determinar las longitudes pedidas? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.



Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. En un triángulo de 3; 4 y 5, los ángulos agudos miden, aproximadamente, 37° y 53°.

290 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Modelación matemática

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. Calcula las longitudes de los lados del triángulo rectángulo ABC. Puedes calcular el valor de las razones trigonométricas con la calculadora.

7. Calcula las longitudes de los lados del triángulo ACD.

8. ¿Cuál es la longitud total de cable empleado en las instalaciones planificadas?

Para hallar la distancia de B a D, ¿por qué es importante indicar que el tendido es recto?

9. ¿Cuántos kilómetros se emplearían desde el Palacio arzobispal (B) hasta Amargura (D) en caso de que el tendido fuera recto?

VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 10. Verifica tu respuesta. Para ello, emplea las medidas de los ángulos notables que se presentan en el esquema. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

Autoevaluación 1. Completa en cada caso la medida del ángulo para que se cumplan las igualdades.

¿Cuánto aprendí?

• tan

© Santillana S. A.

• sec 60° = csc ¿Pude resolver el problema?

¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

• cos

• sen 37° = cos

= cot 70° = sen 60°

• sen(x – 30°) = cos • tan

= cot(70° – 3x) 291

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4/8/16 4:11 PM

EN PARES

Estructuras de vigas Miguel, que tiene un negocio de estructuras de fierro, ha recibido el encargo de instalar vigas metálicas en el techo de un almacén. En la figura se muestra el modelo de viga que empleará. Si AB = 12 metros y mBDC = 50°, ¿qué longitud de fierro empleará en cada viga? E

Resolvemos paso a paso ¿Puedes representar el problema con un modelo gráfico? ¿Qué conceptos matemáticos vas a utilizar?

A

D

C B

COMPRENDE Recuerda que en las estructuras metálicas se emplean patrones de construcción.

1. ¿De qué trata el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________

HECHOS HISTÓRICOS

El matemático griego Hiparco de Nicea, quien vivió, aproximadamente, entre los años 190 y 120 a. C., es considerado el padre de la trigonometría. Construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.

PLANIFICA 4. Con la estrategia sugerida, ¿cómo podrías plantear el problema? _______________________________________________________________ 5. ¿Existe algún patrón que se repita en el modelo de viga? _______________________________________________________________ 6. ¿Cómo puedes determinar la medida de un lado del patrón? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

En http://goo.gl/giR6bA

EJECUTA Modificar el problema

7. Representa gráficamente los datos de las medidas de la viga.

Consiste en convertir el problema en uno más sencillo para que, a partir de la resolución de este, podamos avanzar en la solución del problema dado.

© Santillana S. A.

▶ ESTRATEGIA

292 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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1

3/08/16

20:50

Resolución de problemas

8. Calcula las longitudes de las partes de la viga. Usa la calculadora para obtener los valores de las razones trigonométricas necesarias.

9. ¿Cuál es la longitud que representa el patrón de la viga? _______________________________________________________________ COMPRUEBA 10. ¿Cómo puedes verificar los valores a partir de un gráfico? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 11. ¿Cuánto mide la longitud total de la viga? _______________________________________________________________ SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/4viSnC para practicar sobre razones trigonométricas complementarias.

12. Supón que se quiere realizar una baranda para un puente con un diseño como el que se muestra. ¿Cuántos metros de fierro se necesitarán? 7

16°

Metacognición

Autoevaluación

© Santillana S. A.

Reflexiono sobre los procesos que seguí e identifico cuál me ayudó a comprender la resolución del problema.

1. ¿Me resultó fácil o difícil crear un modelo matemático para representar la relación de datos?

2. ¿En qué medida el uso de un recurso tecnológico me ayudó a validar mis resultados?

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

1. ¿Cuál es la relación entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

2. Si solo se cuenta con la medida de un ángulo agudo y uno de los catetos, ¿cómo se obtienen las medidas de los otros lados de un triángulo? ¿Qué conocimiento te ayuda a realizar los cálculos? 293

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INDIVIDUAL

Taller matemático 1

Águila pescadora Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Desde la rama de un árbol, a 15 m del suelo, un águila pescadora observa un pez en el río con un ángulo de depresión de 30°. 1.

Realiza un modelo que represente la situación. Considera los elementos que intervienen.

2.

¿Qué trayectoria debe seguir el águila para atrapar al pez, de modo que el recorrido sea el mínimo?

3.

Si el águila vuela en picada, ¿cuál es la distancia mínima que debe recorrer para atrapar al pez? Nos familiarizamos con la situación

¿El ángulo con el que el águila mira al pez es de elevación o de depresión? ¿Por qué? ¿Cuántos grados mide este ángulo? ¿A qué altura se encuentra el águila?



RECUERDA

La trayectoria es el recorrido que sigue un objeto en movimiento.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 533-535).

1. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo utilizar mis conocimientos sobre ángulos de elevación y depresión? 2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

Heteroevaluación 1. Considera que el pez está sumergido 1 m y que el águila lo ve con un ángulo de 45°. ¿Qué distancia debe recorrer el águila para atraparlo?

© Santillana S. A.

Metacognición

294 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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4/8/16 4:11 PM

INDIVIDUAL

Taller matemático 2

Construcción de cercos de protección Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

x+5 La municipalidad proyecta colocar cercas a los lados de B β una vereda que pasa por un parque (lados AC y EF). Se Jardín x–1 a sabe que la colocación de cada metro de cerca tiene un F costo de S/ 200. Observa el esquema. β 1. Determina si los triángulos EBF y ADC son semejantes. A

2.

Expresa algebraicamente la inversión total para realizar los cercos de los lados AC y EF.

3.

¿Qué razón trigonométrica relaciona los datos con el ángulo β?

4.

¿Cuánto dinero invertirá la municipalidad en esta obra?

E b

C x

Jardín

x + 12

D

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué forma tienen los jardines de la figura? ¿Cuál de las longitudes es mayor: AC o EF?



RECUERDA

Para que dos triángulos rectángulos sean semejantes, es suficiente con que tengan un ángulo agudo congruente. A A'

B

C B'

ABC ~

C'

A'B'C'

Metacognición 1. ¿Por qué es importante lo que aprendí?

© Santillana S. A.

2. ¿Tuve dificultades para aplicar mis conocimientos de trigonometría?

3. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados en esta actividad?

Heteroevaluación 1. En la situación inicial, ¿cuál será la diferencia de costo al cercar todo el jardín grande y todo el jardín pequeño? 2. Elabora un organizador visual que resuma las razones trigonométricas e identidades fundamentales.

295

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4/8/16 4:11 PM

El entrenador de básquet le dice a Juana lo siguiente: “El aro de la canasta se encuentra a una altura de 3,05 m”. Ella comenta: “Es el doble de la altura de Rosa”. A continuación, Juana coloca un espejo de forma horizontal en el piso, en un punto (A). Enseguida, Rosa mira en el reflejo del espejo la parte superior del poste (E) formando un ángulo de reflexión de 30°.

Rosa C B

E

Juana α

A

30°

3,05 m

EN PARES

Cancha de básquet

D

Organizamos la información Con esa información, ¿qué distancia se puede calcular? ¿Cuál es la medida del ángulo α? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema?

TEMA DE ESTUDIO

1. ¿Cuál es el tema de estudio?

RECUERDA

_______________________________________________________________

El ángulo de incidencia es el mismo que el ángulo de reflexión. α

Espejo

_______________________________________________________________ INTERROGANTES DE ESTUDIO

β

Se cumple que α = β.

2. ¿Qué interrogantes puedes extraer del hecho dado? ¿Cuál de ellas sería la pregunta central? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ CONCEPTOS CLAVES 3. ¿Qué conceptos debes conocer para guiar tu razonamiento? Completa en un esquema como el que se muestra (llamado V de Gowin) los espacios 1; 2 y 3 con tus respuestas anteriores.

Anota en la V de Gowin las respuestas a las preguntas 1; 2 y 3 según corresponda.

7. MARCO TEÓRICO

5. PROCESOS BÁSICOS

PREGUNTA(S) CENTRAL(ES) 2. INTERROGANTE(S) DE ESTUDIO

METODOLOGÍA 8. JUICIOS Y CONCLUSIONES

6. DATOS QUE SE TIENEN

3. CONCEPTOS CLAVES 1. TEMA DE ESTUDIO

4. REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES

REGISTRO DE MEDIDAS Y OBSERVACIONES 4. ¿Qué necesitas determinar, principalmente, para avanzar en la resolución de la situación problemática?

© Santillana S. A.

CONCEPTUALIZACIÓN

296 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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V de Gowin

PROCESOS BÁSICOS 5. ¿Qué definiciones o fórmulas debes tener en cuenta para resolver la situación problemática?

_______________________________________________________________

RECUERDA

Los ángulos de 30° y 60° son notables. La relación de sus lados es: 2k 30°

60°

1k

__

​√ 3 ​k 

¿Cómo calcularías estas distancias usando solo ángulos notables?

_______________________________________________________________ DATOS QUE SE TIENEN 6. Calcula la medida de los catetos de los triángulos que forman la distancia de Rosa al pie del aro de la canasta.

Calcula la distancia de separación que hay entre los pies de Rosa y la base del poste del aro de la canasta.

Calcula la distancia que hay de la cabeza de Rosa al espejo.

MARCO TEÓRICO 7. ¿Cómo resumes la teoría que necesitas para relacionar los datos y resolver las operaciones propuestas? ________________________________________ JUICIOS Y CONCLUSIONES 8. ¿Qué puedes afirmar sobre las distancias pedidas? ¿A qué otras conclusiones puedes llegar? __________________________________________________ _______________________________________________________________ Metacognición

Autoevaluación

© Santillana S. A.

¿Cuánto aprendí? ¿Qué estrategias y procedimientos apliqué para resolver el problema?

¿Por qué es importante lo que aprendí?

¿Qué más necesito aprender para mejorar?

1. Las velas de la embarcación que se muestra tienen forma de triángulos rectángulos con ángulos de 30° y 60°, cuyo lado menor mide 2,5 m. ¿Cuánta tela se utilizó en la confección de las velas?

297

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EN PARES

Altura de semáforos Bruno debe inspeccionar la correcta ubicación de los semáforos de la localidad guiándose de la siguiente tabla: Altura libre de la cara del semáforo Altura (metros)

Tipo de soporte

Mínima

Máxima

Semáforos con poste o ménsula corta

3,70

5,70

Semáforos con ménsula larga

5,70

7,70

Semáforos suspendido por cables

5,70

7,70

Desde dos autos separados por una distancia de 1,5 m, se observa el semáforo de ménsula larga con ángulos de elevación de 37° y 45°. Si los ojos de los observadores están a 1,20 m de la pista, ¿es correcta la altura a la que se encuentra el semáforo? ¿Qué distancia separa el auto más lejano de la base del semáforo? Manos a la obra ¿Cómo se puede determinar si la ubicación del semáforo cumple con la norma? ¿En qué lugares se colocan los semáforos? ¿Qué es una ménsula?

INTERROGACIÓN 1. ¿Qué figuras observas? ¿Qué relación existe entre los lados y ángulos de 37° y 45° en triángulos rectángulos?

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué datos puedes extraer del enunciado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA 3. Construye una representación con sorbetes. 4. Elabora un modelo geométrico que represente la observación del semáforo de ménsula larga desde dos autos separados por una distancia determinada. Luego, describe los elementos que observas.

_______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________

5. ¿Cómo te ayudan los ángulos de elevación para relacionar las cantidades? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________

298 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Modelo de Van Hiele

EXPLICACIÓN

¿Cómo resolverías el problema hallando las razones trigonométricas con la calculadora?

6. ¿Cómo determinarías la altura del semáforo?¿Y la distancia del auto más alejado de la base?

ORIENTACIÓN LIBRE 7. Si los autos estuvieran separados por 3 m y se observara el semáforo con los mismos ángulos de elevación, ¿sería correcta la altura a la que se encuentra el semáforo?

CONEXIÓN

Resolvemos ángulos de elevación y depresión usando proporcionalidad.

INTEGRACIÓN 8. ¿Cuál es la mínima distancia que deben estar separados los autos para que la altura del semáforo sea correcta?

9. Elabora un organizador gráfico con los temas tratados. Metacognición

Coevaluación Respondo en mi cuaderno las siguientes preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

1. ¿Qué conocimientos integré en esta actividad? 2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué medida los recursos tecnológicos me ayudaron a resolver o validar resultados?

Resuelve en tu cuaderno. Luego, intercámbialo con un(a) compañero(a) y revisa sus soluciones.

1. Estás a cierta distancia de un edificio y miras la parte más alta. ¿Qué ocurre con el ángulo de elevación si te alejas? ¿Y con la razón trigonométrica cotangente?

2. Supón que el edificio anterior tiene un altura de 50 m y lo miras con un ángulo de elevación de 60°. ¿A qué distancia del edificio te encuentras si tus ojos están a 1,70 m del suelo? 299

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EN PARES

Nuestra distancia al castillo Durante su estadía en un campamento, Roxana y Wilder observan un castillo a la otra orilla del río. Se sabe que Roxana se encuentra a 100 metros de Wilder y a 111 metros del castillo. Además, los segmentos que representan las distancias de Wilder a Roxana y de Wilder al castillo son perpendiculares. Si los puntos que representan las ubicaciones de Roxana, Wilder y el castillo forman los vértices de un triángulo, ¿cuáles son las medidas de esos ángulos? ¿A qué distancia del castillo se encuentra Wilder?

Roxana

Castillo

Wilder

Resolvemos paso a paso ¿Será de utilidad el gráfico del problema? ¿Por qué se forma un triángulo? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema?

COMPRENDE 1. ¿De qué trata el problema? Utiliza tu calculadora científica para realizar los cálculos con cantidades decimales.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué te piden calcular? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 3. ¿Qué datos son importantes para resolver el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Con qué complementas la estrategia sugerida?

_______________________________________________________________ EJECUTA

5. Calcula la distancia de Wilder al castillo. ▶ ESTRATEGIA

Nos va a permitir representar el problema en forma geométrica para reconocer los elementos y aplicar propiedades.

© Santillana S. A.

Hacer un gráfico

300 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Resolución de problemas

6. Calcula los ángulos agudos formados.  USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Observa cómo se obtiene la medida de un 1: ángulo cuyo seno es __ 3 SHIFT SIN

1

÷

3

=

COMPRUEBA 7. ¿Cómo verificas tus resultados? Explica.

CONCLUYE Y APLICA

5 1 * › Una persona ubicada

x 24 β { 19

5 *1 ›

x 24 β { 19

Metacognición

Heteroevaluación

Respondo estas preguntas, las cuales me ayudarán a identificar mi mejor forma de aprender.

© Santillana S. A.

¿Cuánto aprendí? ¿Pude resolver el problema?

¿Encontré otra forma de resolver el problema?

¿Qué utilidad tiene lo que aprendí?

Resuelve la actividad en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Manuel debe calcular el ancho de un río y la altura de un árbol inaccesible que está en la orilla opuesta. Para ello, se sitúa en la orilla del río y observa la copa del árbol con un ángulo de 41°. Luego, retrocede 25 m y ve nuevamente la copa del árbol, pero esta vez con un ángulo de 23°. ¿Cuánto mide el ancho del río? ¿Y la altura del árbol? 301

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EN PARES

Seguridad en casa Rogelio colocará una baranda de seguridad en un tramo de la escalera de su casa que tiene 12 escalones. Si cada paso mide 29 cm y el ángulo de inclinación de la escalera es 25°, ¿qué longitud tendrá la baranda de seguridad Contrapaso para que abarque todos los escalones?

Paso

Resolvemos paso a paso ¿Puedes representar el problema con un modelo gráfico? ¿Qué conceptos matemáticos podrías utilizar para resolver el problema?

COMPRENDE Ten en cuenta que existen normas técnicas para la construcción de escaleras en las viviendas.

1. ¿De qué trata el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué debes calcular? _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ PLANIFICA 4. ¿Qué harás primero? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué estrategia te permitirá resolver el problema? a) Generalizar.

b) Hacer un gráfico.

c) Plantear una ecuación.

EJECUTA El paso de una escalera es la superficie del escalón donde el transeúnte pone el pie.

© Santillana S. A.

6. ¿Cómo puedes determinar la medida de uno de los catetos?

302 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Resolución de problemas

7. Utiliza la estrategia para representar la relación de los datos conocidos y los que debes hallar.

 USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

COMPRUEBA

Utiliza tu calculadora científica para determinar cos 25°. Para ello, teclea: COS

2

5

8. Comprueba tu resultado utilizando la razón seno y el teorema de Pitágoras.

=

9. ¿Qué conocimientos matemáticos empleaste para comprobar tus procedimientos y resultados?

HECHOS HISTÓRICOS

El matemático húngaro Georges Joachim (1514-1576) introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas. Además, el matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo, planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos. En http://goo.gl/giR6bA

_______________________________________________________________ CONCLUYE Y APLICA 10. ¿Qué estrategia fue útil para resolver el problema? _______________________________________________________________ 11. Supón que se quiere colocar una baranda de seguridad en un puente peatonal y sus respectivas escaleras laterales. ¿Cómo harías para determinar la longitud de tubos de fierro que se necesitan? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Metacognición

Autoevaluación

© Santillana S. A.

Reflexiono sobre los procesos que seguí e identifico cuál me ayudó a comprender la resolución del problema.

1. ¿Me resultó fácil crear un modelo matemático para representar la relación de datos?

2. ¿En qué medida el uso de un recurso tecnológico me ayudó a validar mis resultados?

Resuelve y luego reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje. 1. ¿Cómo determinas la relación entre los lados y ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

2. Mediante razones trigonométricas, ¿cómo obtienes la medida de un ángulo agudo y de uno de los catetos? ¿Cómo obtienes las medidas de los otros lados de un triángulo? 303

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4/8/16 4:13 PM

EN EQUIPO

Ondas eléctricas Diego es electricista y está realizando mediciones con su osciloscopio en las instalaciones industriales de una fábrica. Él ha revisado varias gráficas que luego analizará en su computadora. ¿Qué función representan las ondas eléctricas? ¿Cómo se pueden obtener las variaciones de las diferentes gráficas? ¿Qué características poseen estas gráficas? Manos a la obra ¿Qué función tiene la forma de la gráfica que aparece en el osciloscopio de Diego? ¿Qué conocimientos te ayudarán a resolver este problema? ¿Qué sucede si varías los diferentes elementos de la gráfica?

ACCIÓN REAL



RECUERDA

El dominio lo forman los valores de x, y el rango, los valores de y.

Accede a http://web.geogebra.org/app y selecciona “Álgebra”. Luego, para , en “Vistas” y selecciona las opciones configurar la pantalla, haz clic en “Álgebra, “Vista gráfica” y “Barra de entrada”.

1. Digita y=sin(x) en la barra de entrada para expresar la función y = sen x. y ubica el cursor en el primer cuadrante. Arrastra Luego, haz clic en la gráfica centrándola en la pantalla. ¿Qué obtienes en la sección “Vista algebraica”? ¿Y en la sección “Vista gráfica”?

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Cuál es el dominio y rango de la función seno? ¿Es una gráfica continua? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Haz clic en y en . Luego, selecciona “Eje X” y activa “Distancia π/2”. ¿Qué observas en el eje X? _______________________________________________________________ 4. ¿En qué puntos la gráfica se intercepta con el eje de abscisas? ¿En qué periodo se repite la gráfica? _______________________________________________________________ SITIO WEB

https://es.khanacademy. org/

5. Escribe en la barra de entrada las siguientes funciones. Luego, completa la tabla.

Haz clic en “Temas”. Luego, escribe funciones trigonométricas en el buscador y explora.

Función

y = sen(x)

y = sen(x) + 2 y = sen(x) – 3

Dominio

Rango

Periodo © Santillana S. A.

Accede a

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE

304 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

300_314 CTU7M4_lici.indd 304

4/8/16 4:13 PM

Laboratorio de Matemática

6. ¿Qué relación observas entre la expresión de la función y la variación de su dominio y rango? ¿La figura se desplaza? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 386-388).

7. En una nueva ventana, digita las siguientes funciones y completa la tabla. Función

y = sen(x)

Dominio

Rango

Periodo

y = 2sen(x) y = 3sen(x) y = sen(4x) y = sen(x/2)

¿Qué relación observas entre la expresión de la función y la variación del rango y el periodo? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ¿Cuál será el coeficiente de la función seno? ¿Deberá trasladarse la gráfica?

RELATO 8. ¿Qué puedes concluir respecto al dominio de la función seno? _______________________________________________________________ 9. Determina una función seno cuyo rango sea [–1; 7]. _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 10. Luego de observar el gráfico de la situación inicial, interpreta cuál sería la expresión algebraica que corresponde a su función. Ingresa en GeoGebra dicha expresión algebraica y verifica su correspondencia.

Metacognición 1. ¿Tuve dificultades para establecer relaciones entre la expresión algebraica de una función y su gráfica?

© Santillana S. A.

2. ¿Me resultó fácil manipular las herramientas de GeoGebra necesarias para esta actividad? 3. ¿Participé de manera responsable en las actividades de grupo?

Heteroevaluación Resuelve las actividades con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1. Explora el desplazamiento de estas funciones: a) y = 5 sen (4x)

c) y = 2 sen (0,5x)

b) y = 0,75 sen (2x) d) y = 0,5 sen (8x)

2. Averigua qué sucede si el signo de la función o el signo del ángulo es negativo. 305

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6/10/16 12:41 PM

EN EQUIPO

Análisis de ondas con la función coseno Daniel investiga sobre las diferentes variaciones de ondas en el espectro electromagnético y desea obtener gráficas similares empleando la función coseno. ¿Qué forma tiene la función coseno? ¿Qué características poseen estas gráficas? ¿Cómo se pueden realizar variaciones en la gráfica de la función coseno?

Microondas

Ondas de radio y TV

Luz visible

Infrarrojos

Longitud 5 000 000 000 de onda

Rayos gamma Rayos Ultravioleta cósmicos

Rayos X

10 000 780 - 380 250

0,5

0,0005 nanómetros (nm)

Manos a la obra ¿La gráfica de la función coseno es similar a la que aparece en la imagen? ¿Qué elementos tiene una onda? ¿Qué sucede si varías los diferentes elementos de la función? ¿Qué aplicaciones tiene el espectro electromagnético?

ACCIÓN REAL Accede a http://web.geogebra.org/app y selecciona “Álgebra”. Luego, para , en “Vistas”y selecciona las opciones configurar la pantalla, haz clic en “Álgebra”, “Gráficos” y “Barra de entrada”.

El dominio se observa en el eje de las abscisas, y el rango, en el eje de las ordenadas.

1. Digita y=cos(x) en la barra de entrada para expresar la función y = cos x. y ubica el cursor en el primer cuadrante. Arrastra Luego, haz clic en la gráfica centrándola en la pantalla. ¿Qué obtienes en la sección “Vista algebraica”? ¿Y en la sección “Vista gráfica”? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Cuál es el dominio y rango de la función coseno? ¿La gráfica es continua? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Haz clic en y en . Luego, selecciona “Eje X” y activa “Distancia π/2”. ¿Qué observas en el eje X? _______________________________________________________________ 4. ¿En qué puntos la gráfica se intercepta con el eje de abscisas? ¿En qué periodo se repite la gráfica? _______________________________________________________________ ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 5. Escribe en la barra de entrada las siguientes funciones. Luego, completa la tabla. y = cos(x)

y = cos(x) + 2 y = cos(x) – 3

Dominio

Rango

Periodo © Santillana S. A.

Función

306 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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4/8/16 4:13 PM

Laboratorio de Matemática

6. ¿Qué relación observas entre la expresión de la función y la variación de su dominio y rango? ¿La figura se desplaza? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 7. En una nueva ventana, digita las siguientes funciones y completa la tabla. ¿Qué relación encuentras entre las gráficas de la función seno y la función coseno?

Función

y = cos (x)

Dominio

Rango

Periodo

y = 2 cos (x) y = 3 cos (x) y = cos (4x)

y = cos (x/2)

8. ¿De qué depende la amplitud del rango de la gráfica de la función? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 9. ¿En qué casos el periodo es mayor que 2π? ¿En qué casos es menor que 2π? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 388-393).

RELATO 10. ¿Qué puedes concluir con respecto al dominio de la función coseno? _______________________________________________________________ 11. Escribe una función coseno cuyo rango sea [2; 8] y cuyo periodo sea π. _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 12. Para que la gráfica de la función coseno pase por el tercer y cuarto cuadrante, ¿qué expresión debes ingresar en GeoGeobra? Explora.

Metacognición 1. ¿Tuve dificultades para establecer relaciones entre la expresión algebraica de una función y su representación gráfica?

© Santillana S. A.

2. ¿Qué vistas de GeoGebra fueron las que más utilicé en esta actividad? 3. ¿Realicé aportes significativos en las actividades en equipo?

4. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo aplicar los conocimientos repasados?

Heteroevaluación Resuelve las actividades con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1. Explora el desplazamiento de estas funciones: a) y = 5 cos (4x)

c) y = 2 cos (0,5x)

b) y = 0,75 cos (2x) d) y = 0,5 cos (8x)

2. Averigua qué sucede si el signo de la función o el signo del ángulo es negativo. 307

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Las mareas y la función seno Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

La oceanografía es la ciencia que estudia los océanos y mares. Juan recibe cotidianamente el reporte de las mareas en gráficas como la que se muestra. Él desea analizar el comportamiento de la gráfica y ha determinado que ​  6  ​x  ​. corresponde a f(x) = sen​ ___ 25

(  )

Interpretación, aplicación y valoración

1 Altura de la marea

INDIVIDUAL

Taller matemático 3

0

6,5

13

19,5

26

32,5

39

45,5

–1

52

Hora del día

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué sistema de referencia se está utilizando? ¿En qué unidades se presenta la altura de la marea? ¿Qué función representa el comportamiento de la marea?

1.

¿Cuál es el rango que se observa en la gráfica mostrada? _______________________________________________________________

▶ USO DE DISPOSITIVOS

TECNOLÓGICOS

Grafica la función f (x) = sen ​ ___ ​  6  ​x  ​. ¿La gráfica obtenida corresponde a la 25 entregada en el reporte a Juan? ¿Cuál es el área del triángulo?

3.

¿Cuál sería la gráfica de la función que representa a una marea cuyo rango sea de 0 a 1 y tenga un periodo de π?

Puedes realizar la gráfica con ayuda de algún graficador en línea como Graphmatica, Desmos Calculator, GeoGebra u otro.

SITIO WEB

(  )

2.

Accede a http://goo.gl/gUpwxp para conocer y practicar sobre gráficas de funciones trigonométricas.

1. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo utilizar mis conocimientos sobre la función seno? 2. ¿Dónde puedo apreciar comúnmente este tipo de función?

Heteroevaluación 1. Considerando la función de la situación inicial, determina una función cuyo rango sea de –1 a 0 y tenga un periodo de 4π.

© Santillana S. A.

Metacognición

308 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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4/8/16 4:13 PM

INDIVIDUAL

Taller matemático 4

Música y ondas Familiarización

Traducción simple

Traducción compleja

Interpretación, aplicación y valoración

Rosa recibe un folleto con información sobre los sonidos y su intensidad. En él se muestran la descripción de los diferentes niveles acústicos y el gráfico de ondas para sonidos agudos y graves. También se registra el umbral para el ser humano según la Organización Mundial de Salud (OMS), que es de 65 decibeles (dB). 1. ¿Cuál es la diferencia de las ondas que representan los sonidos agudo y grave?

azf dzfixg

Biblioteca

30

Conversación suave

40

Lluvia

50

Charla

60

Tránsito moderado

70

2.

¿Qué sonidos no son recomendados o exceden el umbral de sonido permitido para el ser humano?

Despertador

80

3.

¿Qué función trigonométrica puede modelar mejor las ondas de sonido mostradas? ¿Por qué?

Motociclista

90

Camión de basura

100

Discoteca

110

Avión despegando

120

4.

Obtén las funciones que representen a las gráficas de las ondas sonoras cosinusoidales mostradas. Nos familiarizamos con la situación

¿Qué medio de transporte emite una mayor cantidad de decibeles? ¿Cuántos decibeles emite el ser humano en una conversación normal? ¿Por qué es importante cuidar nuestra audición?



Mayor frecuencia = más agudo

Menor frecuencia = más grave

RECUERDA

Si f(x) = A cos kx, entonces: A = amplitud 2π   ​  y periodo = T = ​ ___ k Y A

X

___ ​  2π   ​ 

0 –A periodo

k

© Santillana S. A.

Metacognición 1. ¿En qué otras situaciones cotidianas puedo utilizar mis conocimientos sobre la función coseno?

Heteroevaluación 1. Considerando la situación inicial, determina una función cuyo rango sea de 1 a 3 y tenga un periodo de π/2. 309

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INDIVIDUAL

Remodelemos el parque Con el objetivo de mejorar la calidad de vida de los habitantes de una comunidad, Beatriz y sus vecinos se han organizado para remodelar un parque que se encuentra bastante descuidado. Ellos han conseguido un croquis del parque donde se indican sus dimensiones y, además, se han informado sobre el costo del abono para un metro cuadrado de tierra. ¿Cuánto costaría abonar toda la superficie del parque?

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Crees que para los habitantes de la comunidad es importante que se remodele el parque? ¿Por qué? ¿Qué datos se requieren para poder presupuestar los costos de remodelación? ¿Qué conceptos matemáticos necesitas conocer?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué problema se describe en la situación propuesta? _______________________________________________________________

SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/YXhZBM para ampliar tus conocimientos sobre figuras compuestas.

_______________________________________________________________ 2. ¿Qué acciones podrías añadir a la tarea de remodelar el parque? Nómbralas y coméntalas con tus compañeros. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. En el croquis del parque que se muestra, se observa que un cuadradito representa a un metro cuadrado. ¿Cómo podrías determinar el valor del área y perímetro del parque? Explica.

Descompón la figura en otras cuyas áreas sean fáciles de calcular.

_______________________________________________________________ 4. ¿Para qué te servirá calcular el área? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

310 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Modelación matemática

HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR 5. ¿De qué forma puedes descomponer la figura para calcular su área? Explica. _______________________________________________________________

REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 6. ¿Cuál es el área y el perímetro del parque? Recuerda que el área de una figura irregular es igual a la suma de las áreas de sus partes.

7. Se sabe que el abono orgánico se vende en paquetes de S/ 6. Si cada paquete alcanza para cubrir un metro cuadrado, ¿cuánto costará abonar todo el parque? _______________________________________________________________ VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 8. Compara tus resultados con los de tus compañeros a través de otros procedimientos. Realiza la verificación correspondiente. 9. Supón que se quiere colocar una reja en el perímetro del parque. Si el metro lineal de reja colocada cuesta S/ 250, ¿cuánto se gastará? (Usa un número entero de metros). _______________________________________________________________ Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Encontré diversos procedimientos para llegar a la respuesta? 2. ¿Qué dificultades se me presentaron? ¿Cómo las superé?

3. ¿Para qué me sirve saber determinar ángulos, perímetros y áreas de figuras compuestas?

Heteroevaluación Resuelve y entrégaselo a tu profesor(a).

1. Sigue el ejemplo de Beatriz y averigua en tu comunidad sobre algún jardín o parque que necesita renovar sus áreas verdes. Luego, propón un estimado de la inversión que se necesitaría. Utiliza costos reales. 311

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4/8/16 4:13 PM

EN PARES

El terreno en coordenadas Para vender su chacra, Pedro necesita conocer su perímetro y área a fin de determinar un precio de venta justo. Con ese propósito, en una hoja cuadriculada ha elaborado un bosquejo de la chacra considerando que el lado de una cuadrícula mide 10 metros. Además, ha trazado un sistema de coordenadas de modo que la chacra ha quedado delimitada por los puntos A(–4; 5), B(1; 6), C(5; 1), D(2; –2) y E(–6; –1). Con esta información, ¿podrá calcular el perímetro y el área? Cultivos de Huaraz, región Áncash.

Manos a la obra

¿Qué estrategia o recurso se podrá utilizar para realizar estos cálculos? ¿Será útil el uso de un recurso tecnológico? ¿Qué pasos seguirás para calcular el perímetro y el área de una región poligonal?

ACCIÓN REAL Accede a http://web.geogebra.org/app e ingresa a BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Precálculo, de James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (págs. 388-393).

.

Haz clic en , accede a “Vista” y desactiva la opción “Vista gráfica”. Luego, activa “Vista gráfica 2” y “Barra de entrada”.

1. Haz clic en y ubica un punto. Luego, haz clic derecho en el punto y selecciona la opción “Propiedades”. ¿Qué observas en el recuadro “Definición”? _______________________________________________________________

5 *1 π Señala en el plano

2. Ubica cinco puntos al azar y modifica sus coordenadas de modo que coincidan con las coordenadas del dibujo de la chacra. Luego, haz clic en y une los vértices obtenidos.

x 24 β ① 19

cuatro puntos al azar y luego modifica sus coordenadas de modo que se forme + < 5 un rectángulo. 3 7

6 A

B

5 4 3 2

0 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 E –2

Ω

>

C

1 0

2

3

4

5

D

ACCIÓN ACOMPAÑADA DEL LENGUAJE 3. ¿Cómo se escribe el número decimal? ¿Y las coordenadas? _______________________________________________________________ 4. ¿Qué sucede si cambias los datos del recuadro “Definición”? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________________________________________________

312 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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4/8/16 4:13 PM

Laboratorio de Matemática

RELATO 5. ¿Qué polígono se ha formado? Nómbralo. _______________________________________________________________ SITIO WEB

Accede a http://goo.gl/qRC4j7 para conocer sobre el plano cartesiano.

6. Explora la barra de herramientas e indica cuáles de ellas te permitirán hallar el perímetro y área de una región poligonal. Además, explica cómo puedes hallar la medida de los ángulos del pentágono.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REPRESENTACIÓN GRÁFICA 7. Haz clic en y forma los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA y EAB. Luego, escribe sus medidas. _______________________________________________________________ 8. Haz clic en para saber la medida del lado. Luego, haz clic al interior de la figura. ¿Qué valor obtuviste? ______________________

Explica la diferencia entre hallar ángulos, perímetros y áreas de un polígono irregular a través de un software y mediante descomposición de figuras.

9. Ubica el cursor al interior de la región poligonal y haz clic en para saber su área. ¿Qué valor obtuviste? ______________________

A

5.1

6

B

5 α = 117.35° 4 6.4 3 6.32 Perímetro de ABCDE = 30.13 2 β = 96,34° C 1 Área de ABCDE = 59 0 0 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 δ = 78.69° –1 γ = 127.87° 4.24 E 8.06 –2 D ε = 119.74°

10. Calcula el área y el perímetro de la chacra. Como el lado de una cuadrícula representa 10 metros, considera estas equivalencias: 1 cuadrícula: P = 4 u, que equivale a 4 · 10 m = 40 m.

A = 1 u2, que equivale a 102 = 100 m2.

El perímetro de la chacra es ______________________________________.

El área de la chacra es ___________________________________________.

Metacognición

© Santillana S. A.

1. ¿Qué nuevas herramientas de GeoGebra utilicé para resolver la situación problemática?

2. ¿Para qué me servirá saber usar coordenadas y calcular perímetros y áreas?

3. ¿Contribuye en mi desarrollo personal lo que aprendí con GeoGebra?

Heteroevaluación Resuelve la siguiente actividad con ayuda de GeoGebra. Luego, captura las imágenes y envíaselas al correo de tu profesor(a).

1. En forma libre, establece las coordenadas de un decágono irregular y halla las medidas de sus ángulos internos, perímetro y área. 313

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EN EQUIPO

Taller matemático 5 (problema liberado PISA)

Las figuras Familiarización

Traducción simple

1.

¿Cuál de las figuras tiene mayor área? Muestra tu razonamiento.

2.

Describe un método para hallar el área de la figura C.

3.

Describe un método para hallar el perímetro de la figura C.

Traducción compleja

A

Interpretación, aplicación y valoración

B

C

Nos familiarizamos con la situación ¿Qué figura o figuras tienen forma irregular? ¿Cuál es la diferencia entre área y perímetro? ¿Cómo calculas el área de la figura B? ¿Cómo puedes calcular el área de una figura irregular?

Conoce más sobre la situación inicial Se aplicó a nivel internacional en el año 2012 a algunos estudiantes de Secundaria como parte de la evaluación PISA. Tuvo como finalidad conocer la capacidad de evaluar las estrategias de los estudiantes para medir áreas y perímetros de formas irregulares.

1. ¿Qué estrategias apliqué para estimar el perímetro y el área de las figuras propuestas? 2. ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué otros casos puedo aplicar estas mismas estrategias de resolución?

Heteroevaluación 1. Determina el área aproximada de la región sombreada. © Santillana S. A.

Metacognición

314 UNIDAD 7 / TRIGONOMETRÍA

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Cuerpos geométricos. Probabilidad Mylene d´Auriol

8

En esta unidad lograrás los siguientes aprendizajes esperados.

Forma, movimiento y localización

Matematizar situaciones • Examinar modelos basados en cuerpos geométricos compuestos y de revolución al plantear y resolver problemas. • Relacionar elementos y propiedades geométricas de fuentes de información, y expresar modelos de cuerpos geométricos compuestos basados en poliedros, prismas y de revolución. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar las propiedades y relaciones de poliedros y de cuerpos de revolución. • Expresar enunciados generales relacionados con las propiedades del poliedro, pirámide, cono y esfera. Elaborar y usar estrategias • Seleccionar y combinar estrategias para resolver problemas de área y volumen de cuerpos geométricos compuestos, poliedros y cuerpos de revolución. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Justificar objetos tridimensionales generados por las relaciones en objetos de dos dimensiones. • Justificar las relaciones de inclusión y diferencia entre poliedros y prismas.

Gestión de datos e incertidumbre

Matematizar situaciones • Organizar datos relativos a sucesos compuestos considerando el contexto proveniente de variadas fuentes de información y las condiciones y restricciones para la determinación de su espacio muestral, y plantear un modelo referido a operaciones con sucesos. • Examinar propuestas de modelos al plantear y resolver situaciones de sucesos compuestos. Comunicar y representar ideas matemáticas • Expresar relaciones entre las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión (varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango). • Representar las características de un conjunto de datos con medidas de localización (cuartiles) y coeficiente de variación. • Expresar operaciones con eventos al organizar datos y sucesos en diagramas de Venn, árboles, entre otros. • Expresar conceptos sobre probabilidad condicional y probabilidad de eventos independientes usando terminologías y fórmulas. Elaborar y usar estrategias • Determinar el espacio muestral de sucesos compuestos al resolver problemas. • Formular una situación aleatoria considerando el contexto, las condiciones y restricciones. • Determinar cuartiles como medidas de localización para caracterizar un conjunto de datos al resolver problemas. Razonar y argumentar generando ideas matemáticas • Plantear conjeturas relacionadas con la determinación de su espacio muestral y de sus sucesos. • Justificar el desarrollo de una distribución de probabilidad de una variable aleatoria definida por un espacio de muestra. • Justificar las tendencias observadas en un conjunto de variables relacionadas. • Argumentar procedimientos para hallar la medida de localización de un conjunto de datos.

© Santillana S. A.

Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de…

Pobladores nativos de Pacaya, región Loreto.

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INDIVIDUAL

Moldes de forma singular Ricardo recibe el encargo de preparar 1000 moldes en forma de pirámide recta hexagonal regular de 10 cm de lado y 30 cm de altura. Además, le han pedido barnizar cada uno de los moldes por dentro y por fuera. Si el galón de barniz rinde para 45 m2, ¿cuántos galones se requerirán para barnizar los moldes? ¿Cuál será la capacidad en litros de cada molde? Nos preguntamos previamente ¿Qué forma tiene el cuerpo geométrico? ¿Qué debes calcular para saber cuánto de pintura se necesitará? ¿Qué entiendes por capacidad? ¿En qué unidades convendrá expresar las medidas del molde?

ACCIÓN 1. ¿Qué son pirámides rectas hexagonales regulares? A las pirámides se las conoce según la ubicación de su altura y por las características de su base.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 2. ¿Qué te pide el problema? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. ¿De qué datos dispones? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ FORMULACIÓN 4. ¿Qué dimensiones de las pirámides debes calcular? ¿Cómo efectuarás estos cálculos? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Qué fórmula te permite calcular el volumen de la pirámide? _______________________________________________________________ VALIDACIÓN 6. Realiza el procedimiento para calcular la apotema de la pirámide.

© Santillana S. A.

¿Qué figuras componen un hexágono regular? ¿Qué características tienen sus lados? ¿Y sus ángulos?

316 UNIDAD 8 / CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROBABILIDAD

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Situación didáctica de Brousseau

7. Calcula la superficie de uno de los moldes.

RECUERDA

1 m = 100 cm 1 m2 = 10 000 cm2 1 dm3 = 1 L 1 cm3 = 0,001 L

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

8. Expresa en metros cuadrados la superficie por dentro y por fuera que se debe barnizar en uno de los moldes.

9. Si el barniz se vende en envases de 1; __ ​  1 ​ ; __ ​  1  ​ y __ ​  1 ​  de galón, ¿cuántos galones 2 4 8 se necesitarán para barnizar 1000 moldes?

El mentor de matemáticas (págs. 508-510).

10. Calcula la capacidad en litros de uno de los moldes.

Aproxima tus respuestas al décimo.

INSTITUCIONALIZACIÓN 11. Aproximadamente, ¿cuál será la capacidad de los 1000 moldes?

12. ¿De qué otras formas, que no se hayan visto antes, podrías hacer moldes para velas? Metacognición 1. ¿Qué recurso o estrategia me ayudó a resolver el problema?

© Santillana S. A.

2. ¿Tuve dificultades? ¿Cómo las superé?

3. ¿En qué medida me es útil calcular el área o el volumen de cuerpos geométricos compuestos?

4. ¿Cómo contribuye en mí lo que logré aprender?

Coevaluación 1. Supón que a Ricardo le encargan preparar 12 cm el molde con las medidas que se muestran en la A figura. Halla el área M externa del molde y el volumen.

h O 8 cm

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EN PARES

Una caja especial Carmen elaborará una caja decorativa como la que se muestra en la figura. Si recubrirá la caja por fuera con un papel especial, ¿qué superficie forrará? ¿Cuál será el volumen de la caja?

5 cm

ap = 3,5 cm

17 cm

Reconocemos un problema muy vinculado a la realidad ¿Qué conceptos matemáticos necesitas conocer? ¿Qué formas tienen las bases de un prisma? ¿Todo prisma es un poliedro?

CONCRETAR UNA FINALIDAD PROBLEMÁTICA Y RECONOCER CÓMO RESOLVERLA 1. ¿Qué debe elaborar Carmen? _______________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

El mentor de matemáticas (págs. 482-484).

2. ¿Qué forma tiene la caja? _______________________________________________________________ 3. Para saber cuánto papel se requiere para forrar la caja por fuera, ¿qué dato necesitas saber? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 4. ¿Qué ecuación te permitirá calcular el área total? ¿Y el volumen?

HACER SUPOSICIONES O EXPERIMENTAR Resuelve y comenta con un(a) compañero(a) cómo lo hiciste.

5. Calcula el área total y el volumen de la caja. Apóyate de un gráfico donde se indiquen las medidas de los lados.

© Santillana S. A.

Desarrollo de un prisma pentagonal

318 UNIDAD 8 / CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROBABILIDAD

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4/8/16 4:15 PM

Modelación matemática

6. ¿Todo prisma es un poliedro? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ REALIZAR LA FORMULACIÓN MATEMÁTICA 7. Supón que Carmen decide cambiar de diseño y prepara una caja en forma de pirámide cuya base y altura son iguales a las del diseño anterior. ¿Cuál sería el área total y el volumen de la nueva caja? Desarrollo de una pirámide pentagonal

Ap

ap

▶ TEN EN CUENTA

Al operar con números decimales, puedes optar por aproximar tus resultados al orden de los centésimos.

8. ¿Toda pirámide es un poliedro? ¿Por qué? ¿Podemos afirmar que todas las pirámides son poliedros irregulares? ¿Por qué? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN 9. Compara tus resultados con los que han obtenido tus compañeros a través de otros procedimientos. Realiza la verificación correspondiente. _______________________________________________________________

Metacognición 1. ¿Qué estrategia utilicé para resolver el problema?

2. ¿Qué dificultad se me presentó? ¿Cómo la superé? 3. ¿Me será útil lo que aprendí?

© Santillana S. A.

4. ¿Realicé una distribución de tareas de manera justa y equitativa? 5. ¿En qué situaciones cotidianas podré aplicar los conocimientos aprendidos en esta actividad?

Heteroevaluación Resuelve las actividades en tu cuaderno y luego entrégaselo a tu profesor(a).

1. Teresa quiere forrar con papel de regalo una caja cuyas dimensiones son 75 cm, 50 cm y 20 cm. Si las dimensiones del pliego de papel de regalo son 60 cm × 75 cm, ¿cuántos pliegos de papel como mínimo necesitará? 2. Elabora un organizador que resuma la información sobre prismas y pirámides. Incluye el cálculo de sus áreas y volumen.

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Shutterstock

EN PARES

Velas decorativas Elena se dedica a elaborar velas decorativas de parafina. Para el mes de octubre, con motivo de las festividades del Señor de los Milagros, recibió un pedido de 30 velas cilíndricas de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro. Luego de preparar el molde con las medidas solicitadas, el cliente hizo un cambio de pedido, por lo cual ahora Elena debe elaborar velas en forma de cono conservando la misma altura y diámetro de la base de las velas del pedido anterior. Si ya tenía lista la parafina para preparar las velas del primer pedido, ¿cuántas velas en forma de cono podrá elaborar con la misma cantidad de parafina? Manos a la obra ¿Qué forma y medidas tienen las velas decorativas del primer pedido? ¿Qué características tienen las velas del segundo pedido? ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las velas de ambos pedidos?

INTERROGACIÓN 1. ¿Qué elementos tienen los cuerpos geométricos mencionados? ▶ VOCABULARIO

_______________________________________________________________

Cilindro recto:

_______________________________________________________________

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

Cono recto: _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

2. ¿Con qué otros objetos relacionas estas figuras? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN DIRIGIDA 3. Utiliza los desglosables 12 y 13 de las páginas 375 y 377 para armar el cilindro y el cono. Luego, mide la altura y el diámetro de la base de cada figura. 4. Retira una de las bases del cilindro y del cono. Luego, llena con arena el cono y vacía su contenido en el cilindro.

r

Generatriz:

r h

1/3 1/3 1/3

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

5. ¿Qué parte del cilindro se ha llenado? _______________________________________________________________ 6. ¿Qué relación existe entre los volúmenes del cilindro y del cono? _______________________________________________________________ EXPLICACIÓN 7. ¿Qué puedes concluir sobre el volumen del cono? _______________________________________________________________

© Santillana S. A.

_______________________

320 UNIDAD 8 / CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROBABILIDAD

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Modelo de Van Hiele

8. Considera que en el primer pedido Elena tenía parafina para elaborar 30 velas cilíndricas. Si ahora le piden elaborar velas cónicas, ¿cuántas velas podrá preparar con la misma cantidad de parafina? _______________________________________________________________ ORIENTACIÓN LIBRE 9. Utiliza los desglosables 14 y 15 de las páginas 379 y 381 para armar la pirámide y el prisma. Luego, mide la altura y el lado de la base de cada figura. ¿Qué semejanza encuentras entre el cono y la pirámide? ¿Y entre el cilindro y el prisma?

10. Retira una de las bases del prisma y de la pirámide. Luego, llena con arena la pirámide y vacía su contenido en el prisma.

1/3 1/3 1/3

h

11. ¿Qué parte del prisma se ha llenado?

5

*1 π x 24 β ① 19

Observa el cilindro, la semiesfera y el cono. ¿Qué relación encuentras entre sus volúmenes? + < 5 73 R Ω

> 5 1 * π

> 5 *1 π

R

13. ¿Qué relación hay entre la altura del cilindro y el radio de la semiesfera? ¿Y entre sus volúmenes? ____________________________

R

____________________________ R

x 24 β ① 19

____________________________ ____________________________

2r

2r

14. Elabora un mapa conceptual que resuma las características de los poliedros y cuerpos de revolución tratados en esta sesión.

73 Ω

Metacognición

1. ¿Tuve dificultad al manipular material concreto y realizar las demostraciones pedidas?

2. ¿En qué medida el trabajo experimental me permitió construir nuevos aprendizajes? © Santillana S. A.

2r

____________________________

_______________________________________________________________

Analiza la figura y responde.