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• Carlos Cuentas Paz

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2 2.1

CÁLCULOS Y GRÁFICOS Conexión RL

Tabla 1 f apr ox [KHz]

f [KHz]

2.0 3.0 5.0 7.0 10.0 15.0 20.0 25.0

2.018 2.997 5.014 7.010 10.000 15.020 20.080 25.000

VR pp

T

[V]

5.76 5.56 5.16 4.64 3.92 2.96 2.36 1.92

[µs]

495 333 199 143 100 66.44 49.70 40.00

∆t

[µs]

20 19 18 17 12.8 10.8 9.2 7.6

Mediciones Vpp = 6.00 [V] R = 1.77 [KΩ] L = 33.9 [mH] R L = 20 [Ω]

1. Con los resultados experimentales para f apr ox = 10 [KHz] , determinar numéricamente v = v(t ) , i = (t ) y p = p(t ) , Dibujar estas tres funciones en forma correlativa.

Para el voltaje tiene: v

= Vm sin (ωt )

v

=

v v

Vpp

¡ ¢ sin 2π f t

2 6 = sin (2π (10) t ) 2 = 3 sin (20πt )

(1)

y la intensidad es: i

=

i

=

i

=

i

µ ¶ ¡ ¢ ∆t I m sin ωt − φ = I m sin ωt − · 360° T µ ¶ VR pp 12.8 sin 2π f t − · 360° 2R 100

3.92 sin (20πt − 46.08°) 2 · 1.77 = 1.107 sin (20πt − 0.804rad)

donde: Vm , Vpp , VRpp : estan en volts [V] R : esta en [KΩ] f : esta en [KHz] T , ∆t y t : estan en [ms] I m , esta en [mA]

(2)

Para la potencia se tiene: p p p

¡ ¢ 1 1 Vm I m cos φ − Vm I m cos 2ω − φ 2 2 1 1 = (3) (1.107) cos 46.08° − (3) (1.107) cos (2 · 20πt − 46.08°) 2 2 = 1.152 − 1.661 cos (40πt − 0.804)

= iv =

(3)

3

v [V]

2

0

−2 v = 3 sin (20πt )

−3 0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

i [mA]

1

0

−1 i = 1.107 sin (20πt ) − 0.804 −2

0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

3

p [mW]

2 1 0 −1

p = 1.152 − 1.661 cos (40πt − 0.804) 0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

2 2. Para el caso del punto anterior, comparar el valor de P obtenido con la ecuación P = 1/2 I m R (tomando 1 en cuenta R L ) con la ecuación P = /2Vm I m cos φ . Además, anotar el valor del factor de potencia.

1 2 R P = Im 2 ¢2 ¡ ¢ 1¡ P = 1.107 × 10−3 1.77 × 103 2

1 P 0 = Vm I m cos φ 2 ¡ ¢ 1 P 0 = (3) 1.107 × 10−3 cos 46.08° 2

P = 1.084 × 10−3 [W]

P 0 = 1.151 × 10−3 [W]

%dif (P ) = %dif (P ) =

¯ ¯ ¯P − P 0 ¯

× 100 P ¯ ¯ ¯1.084 × 10−3 − 1.151 × 10−3 ¯ 1.084 × 10−3

× 100

%dif (P ) = 6.2 % El factor de potencia es: fp = cos φ = cos 46.08° fp = 0.69 3. A partir de la Tabla 1, elaborar una tabla ω − Zexp − Z t eo calculando Zexp y Z t eo . Dibujar la curva Z t eo vs ω , y , en el mismo gráfico ubicar los puntos correspondientes a Zexp .

Zexp = Zexp =

Vpp /2 Vm = I m VR pp /2R Vpp R VR pp

Z t eo =

p R 2 + ω2 L 2

Z t eo =

q R 2 + 4π2 f 2 L 2

Zexp =

(6) (1.77 + 0.02) VR pp

Z t eo =

q (1.77 + 0.02)2 + 4π2 f 2 (0.0339)2

Zexp =

10.74 VR pp

Z t eo =

q 3.204 + 4.537 × 10−2 f 2

Con estas ecuaciones se realiza la siguiente tabla. Tabla ω − Zexp − Z t eo

Datos f [KHz] 2.018 2.997 5.014 7.010 10.000 15.020 20.080 25.000

VR pp 5.76 5.56 5.16 4.64 3.92 2.96 2.36 1.92

[V]

ω = 2π f K[rad/s] 12.679 18.831 31.504 44.045 62.832 94.373 126.166 157.080

Zexp

[KΩ]

1.865 1.932 2.081 2.315 2.740 3.628 4.551 5.594

Z t eo [KΩ] 1.841 1.900 2.084 2.331 2.782 3.666 4.636 5.618

Para la gráfica la ecuacion teorica de los puntos Z t eo − ω es: p R 2 + ω2 L 2 Z t eo = p Z t eo = 3.204 + 1.149 × 10−3 ω2

6

Z [KΩ]

5 4 3 Z t eo =

2 0

20

40

60

80 100 ω K[rad/s]

p 3.204 + 1.149 × 10−3 ω2 Datos ω − Zexp 120

140

160

180

4. Elaborar una tabla ω − φexp − φt eo calculando φexp y φt eo . Dibujar la curva φt eo vs ω , y , en el mismo gráfico ubicar los puntos correspondientes a φexp .

φexp =

∆t · 360° T

φt eo = arctan

∆t φexp = · 360° T ∆t φexp = · 360° T

φt eo = arctan

ωL R ¡ ¢ 2π f 33.9 × 10−3

1.77 + 0.02

φt eo = arctan 0.11899 f

Con estas ecuaciones se realiza la siguiente tabla. Tabla ω − φexp − φt eo

Datos f [KHz] 2.018 2.997 5.014 7.010 10.000 15.020 20.080 25.000

T

[µs]

495 333 199 143 100 66.44 49.70 40.00

∆t

ω = 2π f K[rad/s]

[µs]

20 19 18 17 12.8 10.8 9.2 7.6

12.679 18.831 31.504 44.045 62.832 94.373 126.166 157.080

Para la gráfica la ecuacion teorica de los puntos φt eo − ω es: φt eo φt eo

ωL 0.0339ω = arctan R 1.77 + 0.02 = arctan 0.01894ω

= arctan

φexp

[°]

14.54 20.54 32.56 42.80 46.08 58.52 66.64 68.40

φt eo [°] 13.5 19.62 30.82 39.83 49.96 60.77 67.29 71.42

80

φ [.o ]

60

40

20 φt eo = arctan 0.01894ω Datos ω − φexp

0 0

20

40

60

80 100 ω K[rad/s]

120

140

160

180

2 2 = . Mediante un análisis de regresión, determinar y dibujar la relación Zexp 5. Elaborar una tabla ω2 −Zexp ¡ 2¢ f ω . Por comparación con la relación teórica, determinar los valores de R + R L y L , y compararlos con los valores esperados. 2 Tabla ω2 − Zexp

ω2

2 Zexp

160.77 354.60 992.49 1939.97 3947.84 8906.35 15917.95 24674.01

3.477 3.731 4.332 5.358 7.506 13.165 20.710 31.290

2 Realizando la regresión : y = a + bx a la tabla ω2 − Zexp se tiene: 2 Zexp

=

a + bω2

2 Zexp

= 3.181 + 1.127 × 10−3 ω2

Z2

30

20

10 2 Zexp = 3.181 + 1.127 × 10−3 ω2 2 Datos Tabla ω2 − Zexp

0 −0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 2

ω

1.6

1.8

2

2.2

2.4 ·10

4

2.6

donde: 2 R exp = 3.181

L 2exp = 1.127 × 10−3

R exp = 1.78

L exp = 0.0336

Ahora comparamos con los valores esperados ¯ ¯ ¯R − R exp ¯ %Dif (R) = × 100 R |(1.77 + 0.02) − 1.78| × 100 %Dif (R) = 1.77 + 0.02

%Dif (L) =

× 100 L |0.0339 − 0.0336| %Dif (L) = × 100 0.0339

%Dif (R) = 0.6 %

2.2

¯ ¯ ¯L − L exp ¯

%Dif (L) = 0.9 %

Conexión RC Tabla 2 f apr ox [KHz]

f [KHz]

2.0 3.0 5.0 7.0 10.0 15.0 20.0 25.0

2.01 3.07 5.00 7.04 10.03 15.01 20.02 25.03

VR pp

T

[V]

1.70 2.46 3.46 4.20 4.84 5.08 5.08 5.08

[µs]

∆t

498 324 200 142 99.7 66.6 49.9 39.9

[µs] 98 62 31 18 8.8 4.6 2.4 2.0

Mediciones Vpp = 6.00 [V] R = 1.77 [KΩ] C = 10.36 [nF]

6. Con los resultados experimentales para f apr ox = 10 [KHz] , determinar numéricamente v = v(t ) , i = (t ) y p = p(t ) , Dibujar estas tres funciones en forma correlativa. Para el voltaje tiene: v

= Vm sin (ωt )

v

=

v v

Vpp

¡ ¢ sin 2π f t

2 6 = sin (2π (10) t ) 2 = 3 sin (20πt )

(4)

y la intensidad es: i

=

i

=

i

=

i

µ ¶ ¡ ¢ ∆t I m sin ωt − φ = I m sin ωt + · 360° T µ ¶ VR pp 8.8 sin 2π f t + · 360° 2R 99.7

4.84 sin (20πt + 31.77°) 2 · 1.77 = 1.367 sin (20πt + 0.554rad)

(5)

Para la potencia se tiene: p p p

¡ ¢ 1 1 Vm I m cos φ − Vm I m cos 2ω + φ 2 2 1 1 = (3) (1.367) cos 31.77° − (3) (367) cos (2 · 20πt + 31.77°) 2 2 = 1.744 − 2.051 cos (40πt + 0.554)

= iv =

(6)

3

v [V]

2

0

−2 v = 3 sin (20πt )

−3 0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

i [mA]

1

0

−1 i = 1.367 sin (20πt ) + 0.554 −2

0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

4

p [mW]

3 2 1 0 p = 1.744 − 2.051 cos (40πt + 0.554)

−1 0

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2 8 · 10−2 t [ms]

0.1

0.12

0.14

2 7. Para el caso del punto anterior, comparar el valor de P obtenido con la ecuación P = 1/2 I m R con la 1 ecuación P = /2Vm I m cos φ . Además, anotar el valor del factor de potencia.

1 2 P = Im R 2 ¢2 ¡ ¢ 1¡ P = 1.367 × 10−3 1.77 × 103 2

1 P 0 = Vm I m cos φ 2 ¡ ¢ 1 P 0 = (3) 1.367 × 10−3 cos 31.77° 2

P = 1.654 × 10−3 [W]

P 0 = 1.743 × 10−3 [W]

%dif (P ) = %dif (P ) =

¯ ¯ ¯P − P 0 ¯

× 100 P ¯ ¯ ¯1.654 × 10−3 − 1.743 × 10−3 ¯ 1.654 × 10−3

× 100

%dif (P ) = 5.4 % El factor de potencia es: fp = cos φ = cos 31.77° fp = 0.85 8. A partir de la Tabla 2, elaborar una tabla ω − Zexp − Z t eo calculando Zexp y Z t eo . Dibujar la curva Z t eo vs ω , y , en el mismo gráfico ubicar los puntos correspondientes a Zexp .

Vpp /2 Vm Zexp = = I m VR pp /2R Zexp =

Vpp R

r

Z t eo =

VR pp

(6) (1.77) Zexp = VR pp

R2 +

Z t eo = q

1 ω2C 2

R 2 + 0.25π−2 f −2C −2

q ¡ ¢2 ¡ ¢−2 Z t eo = 1.77 × 103 + 0.25π−2 f −2 10.36 × 10−9 s

10.62 Zexp = VR pp

Z t eo = 10

3

3.133 +

236.005 f2

Con estas ecuaciones se realiza la siguiente tabla. Tabla ω − Zexp − Z t eo

Datos f [KHz] 2.01 3.07 5.00 7.04 10.03 15.01 20.02 25.03

VR pp 1.70 2.46 3.46 4.20 4.84 5.08 5.08 5.08

[V]

ω = 2π f K[rad/s] 12.63 19.29 31.42 44.23 63.02 94.31 125.79 157.27

Zexp

[KΩ]

6.25 4.32 3.07 2.53 2.19 2.09 2.09 2.09

Z t eo [KΩ] 7.84 5.31 3.54 2.81 2.34 2.04 1.92 1.87

Para la gráfica la ecuacion teorica de los puntos Z t eo − ω es: p R 2 + ω−2C −2 Z t eo = r 9317.09 Z t eo = 3.133 + ω2 10 q Z t eo = 3.133 + 9317.09 ω2 Datos ω − Zexp

Z [KΩ]

8 6 4 2 0

20

40

60

80 100 ω K[rad/s]

120

140

160

180

9. Elaborar una tabla ω − φexp − φt eo calculando φexp y φt eo . Dibujar la curva φt eo vs ω , y , en el mismo gráfico ubicar los puntos correspondientes a φexp . ∆t · 360° T ∆t φexp = · 360° T

φexp =

φexp =

∆t · 360° T

φt eo = arctan

1 ωRC

φt eo = arctan

1 2π f (1.77) (10.36) × 10−3

φt eo = arctan

8.6793 f

Con estas ecuaciones se realiza la siguiente tabla. Tabla ω − φexp − φt eo

Datos f [KHz] 2.01 3.07 5.00 7.04 10.03 15.01 20.02 25.03

T

[µs]

∆t

498 324 200 142 99.7 66.6 49.9 39.9

[µs]

ω = 2π f K[rad/s]

98 62 31 18 8.8 4.6 2.4 2.0

φexp

12.63 19.29 31.42 44.23 63.02 94.31 125.79 157.27

Para la gráfica la ecuacion teorica de los puntos φt eo − ω es: φt eo φt eo

1 1 = arctan ωRC ω (1.77) (10.36) × 10−3 54.534 = arctan ω

= arctan

[°]

70.84 68.88 55.80 45.63 31.77 24.86 17.31 18.04

φt eo [°] 76.96 70.52 60.05 50.95 40.87 30.03 23.44 19.12

80 φt eo = arctan 54.534 ω Datos ω − φexp

φ [.o ]

60

40

20 0

20

40

60

80 100 ω K[rad/s]

120

140

160

180

2 5. Elaborar una tabla (1/ω)2 − Zexp . Mediante un análisis de regresión, determinar y dibujar la relación ¡ ¢ 2 2 Zexp = f (1/ω) . Por comparación con la relación teórica, determinar los valores de R y C , y compararlos con los valores esperados. 2 Tabla1/ω2 − Zexp

ω2

2 Zexp

6.269×10−3 2.687×10−3 1.013×10−3 5.112×10−4 2.518×10−4 1.124×10−4 6.320×10−5 4.043×10−5

39.06 18.66 9.42 6.40 4.80 4.37 4.37 4.37

2 Realizando la regresión : y = a + bx a la tabla 1/ω2 − Zexp se tiene: ¡ ¢ 2 Zexp = a + b 1/ω2 ¡ ¢ 2 = 3.745 + 5616.53 1/ω2 Zexp

40

Z2

30 20 10

2 Zexp = 3.745 + 5616.53 ω12 2 Datos Tabla ω12 − Zexp

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 1 ω2

4

4.5

5

5.5

6 ·10−3

6.5

donde: 2 R exp = 3.745

R exp = 1.93 [KΩ] Ahora comparamos con los valores esperados ¯ ¯ ¯R − R exp ¯ × 100 %Dif (R) = R |1.77 − 1.93| %Dif (R) = × 100 1.77 %Dif (R) = 9 %

1 2 C exp

= 5616.53

C exp = 13.3 [nF]

%Dif (L) =

¯ ¯ ¯C −C exp ¯

× 100 C |10.36 − 13.3| %Dif (L) = × 100 10.36

%Dif (L) = 28 %