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Sistema de coordenadas cartesianas en el plano Un sistema de coordenadas cartesianas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

Ejes de coordenadas Al sistema de coordenadas también se le llama ejes de coordenadas o ejes cartesianos. El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas. Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto. La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

Signos Abscisa Ordenada 1er cuadrante

+ 2º cuadrante − 3er cuadrante − 4º cuadrante +

+ + − −

El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.

A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)

Distancia entre dos puntos La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas. Con la geometría analítica se puede encontrar y determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Uno muy importante y fundamental es: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

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Distancia entre dos puntos en un espacio tridimensional Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y un grupo de ordenadas de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes x e y: el eje z. Resultando una única ecuación lineal del tipo: ax + by + cz = 0 Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:

Si bien, por el momento se ha trabajado únicamente con dos variables, el incluir una variable más (z), implica la ampliación del sistema de coordenadas y el establecimiento de ciertas reglas para la graficación tridimensional. El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se forma a partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera que existe un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se "sale" del papel. Al igual que en el dibujo tridimensional, los ejes se pueden trazar como una vista en isométrico o axonométrico.

Para la representación de puntos y elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala. Si la representación se hace en un sistema isométrico, las unidades tendrán la misma longitud en los tres ejes, sin embargo, cuando se utilice el sistema axonométrico se recomienda entonces que la unidad que representa el eje "x", es decir, la que se "proyecta" hacia el observador, debe tener aproximadamente 0.7 unidades de longitud.

La utilidad del uso de la distancia entre dos puntos Es importante la aplicación y la gran importancia de conocer este concepto, esto debido a que se puede ocupar para diversas tareas de la vida cotidiana. Algunos ejemplos son los siguientes:

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Para conocer la medidas de un lote en venta, es muy útil para saber las medidas de dicho lote el gasto para cercarlo etc.



Conocer la distancia que hay entre una ciudad a otra ó entre un país y otro, esto para determinar el tiempo estimado para llegar a dicho lugar, los costos de transporte (en este caso si es un automóvil propio la cantidad de gasolina que se utilizará etc).

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Para las personas que les gustan practicar deportes extremos como escalar montañas, descender de una a gran velocidad etc. Les podría servir para conocer la distancia que hay desde el inicio hasta el final de la pista para conocer el tiempo que les llevaría recorrer esa distancia, para mejoras y poder ser más veloces.

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También se puede utilizar en el espacio exterior para conocer las distancia que hay entre un planeta a otro, un sistema solar a otro entre otras cosas.

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Al igual como conocer las distancias y el tiempo que tarda un cometa en llegar a un determinado lugar para ser observado.

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Y para un futuro porque no para conocer los gastos para poder viajar por el espacio, conociendo la distancia.

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Para cálculos en ciencias, un ejemplo de distancias en el espacio es en la química o mineralogía, para saber las dimensiones de las estructuras cristalinas de los minerales o cristales, en ellos se usa el plano isométrico. O en la física para el cálculo de vectores.

Nos intereso demostrar este porque a parte de ser un principio muy básico y útil para la vida, es importante que las personas que se interesen y las que tengan problemas con algo relacionado con esto, consideren los principios que se necesitan para comprender el cómo funcionan las cosas a nuestro, considerando siempre la importancia que ejerce la geometría a lo largo de la vida y el valor como una ciencia indispensable para el ser humano.

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio? Supongamos que tenemos dos puntos sobre el mismo eje, ya sea x o y.

Para medir la distancia, en este caso de los ejes x lo que hacemos es asignar los nombres a cada punto (x1 y x2). Luego tomamos los valores y hacemos una resta. Así x1 – x2 = dx Lo mismo ocurre con y

Y2 - Y1 = dy Ahora, supongamos que tenemos 2 puntos sobre el plano llamados (x1 y1) y (x2 y2), respectivamente. Si nos damos cuenta al trazar dos rectas, una con respecto al eje x y otra al eje y que pasen por nuestros puntos, tenemos un triángulo rectángulo, donde la línea que forman nuestros puntos es la hipotenusa. Así usando la fórmula del teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos tenemos que

Donde a y b son los dx y dy por lo que

Despejando la fórmula queda así

Ahora tomando en cuenta otra dimensión (z)

Ahora ponemos dos puntos en este espacio. Cada punto ahora constara de tres dimensiones (x, y, z).

¿Cómo medir la distancia de P1 a P2 ?

Observemos que al trazar una recta que se paralelo a cualquiera de los ejes, intercepta con un plano. Lo mismo ocurre con el otro punto.

Y ahora veamos que al unirlo con otro punto tenemos un triángulo rectángulo.

Ahora medimos la distancia de esos puntos, con la formula de distancia en el plano que es

Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la

distancia, de P1 a P2. Esto puede abreviarse con la fórmula siguiente

Despejando

Donde (X2-X1)2+(Y2-Y1)2, representa lo primero que hicimos, con la fórmula de distancia, y +(Z2Z1)2 es la siguiente dimensión, y la segunda vez que utilizamos la fórmula, se vuelve una dimensión ya que (X2-X1)2+(Y2-Y1)2 es otro eje (como x o y).

Coordenadas polares

Localización de un punto en coordenadas polares.

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia, ampliamente utilizados en física y trigonometría. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

Tres dimensiones El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada angular.

Aplicaciones Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.