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Universidad Técnica de Oruro Facultad Nacional de Ingeniería Ingeniería Civil

CALCULO DE DISTANCIA ENTRE DOS CIUDADES Conversión De Coordenadas Geográficas a Cartesianas Docente: U.S.A. M.E. Ing Tejerina Rivera Juan. CIV 3308 -A CIV 3327 -A

CALCULO DE COORDENADAS GEOGRAFICAS

Coordenadas Geográficas ¿Qué son las coordenadas Geográficas? Es un conjunto de valores que permiten definir de manera única e irrepetible la posición de cualquier punto en un espacio sobre la superficie de la corteza terrestre.

El Sistema de Coordenadas Geográficas consta de: Longitud y latitud , los cuales forman una retícula que envuelve a la Tierra para poder ubicar y localizar cualquier punto en su superficie.

LATITUD

Distancia desde un punto de la superficie terrestre al ecuador, contada en grados del meridiano. -Se mide desde 0° hasta 90° latitud Norte -Se mide desde 0° hasta 90° latitud Sur

LATITUD 90°

NORTE

NORTE 0°

SUR

SUR 90°

LONGITUD

Distancia angular medida en grados sobre el ecuador entre el meridiano de un punto y otro de referencia, actualmente el que pasa por Greenwich.

-Se mide desde 0ºhasta 180º longitud Este -Se mide desde 0ºhasta 180º longitud Oeste

LONGITUD

OESTE 180°

OESTE

ESTE 180°

0°

ESTE

RECUERDA

1. Buscamos el punto del cual deseamos saber sus coordenadas geográficas. 2. Hallamos los ejes principales. • Línea del Ecuador • Meridiano de Greenwich

3. Calculamos la Latitud. • LATITUD NORTE si el punto que buscamos está por encima del Ecuador. • LATITUD SUR si el punto que buscamos está por debajo del Ecuador.

4. Calculamos la Longitud. (Este-Oeste / 0°-180°)

CALCULO DE COORDENADAS GEOGRAFICAS

• LONGITUD ESTE si el punto buscamos está a la derecha Meridiano de Greenwich. • LONGITUD OESTE si el punto buscamos está a la izquierda Meridiano de Greenwich.

que del que del

EJ. 1 Hallar las coordenadas de SUCRE-BOLIVIA 1. Buscamos en el planisferio el punto del cual deseamos saber sus coordenadas geográficas. 2. Buscamos los ejes principales. • •

Línea del Ecuador Meridiano de Greenwich

3. Calculamos la Latitud. •

LATITUD SUR 19° 2′ 34″ Sur

4. Calculamos la Longitud. • LONGITUD OESTE 65° 15′ 19″ Oeste

Latitud Sur

EJ. 2 Hallar las coordenadas de PORTLAND-OR-USA 1. Buscamos en el planisferio el punto del cual deseamos saber sus coordenadas geográficas. 2. Buscamos los ejes principales. • •

Línea del Ecuador Meridiano de Greenwich

3. Calculamos la Latitud. •

LATITUD NORTE 45°31′24″Norte

4. Calculamos la Longitud. • LONGITUD OESTE 122°40′34″ Oeste

Latitud Norte

CONVERSIÓN DE COORDENADAS

Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas de un punto P, están dadas por las ordenadas(ρ,φ,θ). Donde ρ es la distancia del origen a P. φ es el ángulo entre z positivo y el vector 𝑂𝑃, y θ es el ángulo medido desde el eje x positivo hasta la proyección del vector 𝑂𝑄 de 𝑂𝑃.

Conversión de Coordenadas Geográficas a Esféricas Latitud

Φ = 90° - Latitud geográfica Norte Φ = 90°+ Latitud geográfica Sur Longitud

Θ = Longitud geográfica Este Θ = 360°- Longitud geográfica Oeste

Diam. aprox. 12800 km

Radio de la Tierra

ρ = Radio de la tierra (6400 Km aprox. ) RECUERDA

EJ. 3 Convertir coordenadas de SUCRE-BOLIVIA Datos Calculamos la Latitud. •

Latitud Sur 19° 2′ 34″ Sur

Calculamos la Longitud. • Longitud Oeste 65° 15′ 19″ Oeste

Solución Φ = 90°+ Latitud geográfica Sur Φ = 90°+ 19° 2′ 34″ Φ = 109° 2′ 34″ Θ = 360° - Longitud geográfica Oeste Θ = 360° - 65° 15′ 19″ Θ = 294° 44′ 41″ ρ = 6400 Km

Respuesta Φ = 109° 2′ 34″ Θ = 294° 44′ 41″ ρ = 6400 Km

EJ. 3 Convertir coordenadas de PORTLAND-OR-USA Datos Calculamos la Latitud. •

Latitud Norte 45°31′24″Norte

Calculamos la Longitud. • Longitud Oeste 122°40′34″ Oeste

Solución Φ = 90°- Latitud geográfica Norte Φ = 90° - 45°31′24″ Φ = 44° 28′ 36″ Θ = 360° - Longitud geográfica Oeste Θ = 360° - 122°40′34″ Θ = 237° 19′ 26″ ρ = 6400 Km

Respuesta Φ = 44° 28′ 24″ Θ = 237° 19′ 26″ ρ = 6400 Km

Conversión de Coordenadas Esféricas a Coordenadas Rectangulares Para transformar coordenadas esféricas (ρ,φ,θ) a coordenadas rectangulares (x,y,z). Observamos en la grafica que: 𝑥 = 𝑂𝑄 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; y = 𝑂𝑄 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; z = 𝑂𝑃 ∗ 𝑐𝑜𝑠φ Puesto que: 𝑂𝑄 = 𝜌 ∗ 𝑠𝑒𝑛φ y 𝑂𝑃 = 𝜌 Entonces tenemos:

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤φ≤𝜋

𝒙 = 𝝆 ∗ 𝒔𝒆𝒏φ ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐲 = 𝝆 ∗ 𝒔𝒆𝒏φ ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐳 = 𝝆 ∗ 𝒄𝒐𝒔φ

(ρ,φ,θ) o (x,y,z) P O

Q

EJ. 5 Convertir coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares de SUCRE-BOLIVIA Datos Φ = 109° 2′ 34″ Θ = 294° 44′ 41″ ρ = 6400 Km Solución 𝒙= 𝝆∗𝒔𝒆𝒏φ∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒙= 6400 ∗𝒔𝒆𝒏(109° 2′ 34″)∗𝒄𝒐𝒔(294° 44′ 41″) 𝒙= 2532,285 (km) 𝐲=𝝆∗𝒔𝒆𝒏φ∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐲 = 6400 ∗𝒔𝒆𝒏(109° 2′ 34″)∗𝒔𝒆𝒏 (294° 44′ 41″) 𝐲 = -5494,283 (km) 𝐳= 𝝆∗𝒄𝒐𝒔φ 𝐳= 6400 ∗𝒄𝒐𝒔 (109° 2′ 34″) 𝐳= -2088,155 (km)

Respuesta 𝒙= 2532,285 (km)

𝐲 = -5494,283 (km) 𝐳= -2088,155 (km)

EJ. 6 Convertir coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares de PORTLAND-OR-USA Datos Φ = 44° 28′ 24″ Θ = 237° 19′ 26″ ρ = 6400 Km Solución 𝒙= 𝝆∗𝒔𝒆𝒏φ∗𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒙= 6400 ∗𝒔𝒆𝒏(44° 28′ 24″) ∗𝒄𝒐𝒔(237° 19′ 26″) 𝒙= -2420,699 (km) 𝐲=𝝆∗𝒔𝒆𝒏φ∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐲 = 6400 ∗𝒔𝒆𝒏(44° 28′ 24″) ∗𝒔𝒆𝒏 (237° 19′ 26″) 𝐲 = -3774,087 (km) 𝐳= 𝝆∗𝒄𝒐𝒔φ 𝐳= 6400 ∗𝒄𝒐𝒔 (44° 28′ 24″ ) 𝐳= 4566,890 (km)

Respuesta 𝒙= -2420,699 (km)

𝐲 = -3774,087 (km) 𝐳= 4566,890 (km)

Calculo de distancia entre dos puntos, basados en la conversión de coordenadas visto anteriormente.

CALCULO DE DISTANCIAS

MEDOO 1 (recomendado a CIV 3308)

CALCULO DE DISTANCIAS

DISTANCIA EUCLIDIANA

Sucre-Bol. C1

Portland-Or- Usa X Y Z

DH.

C2

X Y Z

𝐷𝐻 2 = (𝑋 − 𝑋𝑜 )2 +(𝑌 − 𝑌𝑜 )2 +(𝑍 − 𝑍𝑜 )2 Despejando DH

𝑫𝑯 =

(𝑿 − 𝑿𝒐 )𝟐 +(𝒀 − 𝒀𝒐 )𝟐 +(𝒁 − 𝒁𝒐 )𝟐

EJ. 7 Calcular la distancia entre SUCRE-BOLIVIA y PORTLAND-OR-US Datos 𝒙 = 2532,285 (km) 𝐲 = -5494,283 (km) 𝐳= -2088,155 (km)

SucreBol.

𝒙= -2420,699 (km) 𝐲 = -3774,087 (km) 𝐳= 4566,890 (km)

Portland Or-USA

Solución 𝑫𝑯 = 𝑫𝑯 =

(𝑿 − 𝑿𝒐 )𝟐 +(𝒀 − 𝒀𝒐 )𝟐 +(𝒁 − 𝒁𝒐 )𝟐

(2532,285 − (−2420,699))𝟐 +(−5494,283 − (−3774,087))𝟐 +(−2088,155 − 4566,89)𝟐

Respuesta DH= 8472,351 (km)

La ecuación Haversine es una de las ecuaciones básicas para la navegación del océano relaciona los lados y ángulos de los triángulos esféricos; es utilizada para generar la distancia entre dos puntos de una esfera si conoces la latitud y longitud de ambos puntos y el diámetro de la esfera. Ha sido automatizada en gran parte por las unidades GPS.

Fórmula de Haversine

MEDOO 2 - ( R e c o m e n d a d o a C I V 3 3 2 7 )

CALCULO DE DISTANCIAS

Sucre-Bol. C1

Portland-Or- Usa

Distancia C2

Latitud Longitud

𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝟐 ∗ 𝑹 ∗ 𝐬𝐢𝐧

−𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐

Latitud Longitud

∆𝒍𝒂𝒕 ∆𝒍𝒐𝒏 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝒍𝒂𝒕𝟏 ) ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒍𝒂𝒕𝟐 ∗ 𝒔𝒊𝒏 ( ) 𝟐 𝟐

Donde: (Lat1 , Lon1)= Latitud y longitud en el punto 1 (Lat2 , Lon2)= Latitud y longitud en el punto 1 Δlat = Lat2-Lat1 Δlon= Lon2-Lon1 R = 6400 Km (Radio aproximado de la Tierra)

MEDOO 2 - F ó r m u l a d e H ave r s i n e

CALCULO DE DISTANCIAS

EJ. 8 Calcular la distancia entre SUCRE-BOLIVIA y PORTLAND-OR-US Datos: Sucre-Bol. Calculamos la Latitud. •

Latitud Sur 19° 2′ 34″ Sur

Calculamos la Longitud. • Longitud Oeste 65° 15′ 19″ Oeste

Datos: Portland-Or-U.S.A. Calculamos la Latitud. •

Latitud Norte 45°31′24″Norte

Calculamos la Longitud. • Longitud Oeste 122°40′34″ Oeste

Solución:

NOTA:

Se debe realizar (Lat1 , Lon1)= (-19,04278 ; -65,25527) todo el (Lat2 , Lon2)= (45,52333 ; -122.67611) procedimiento en Radianes Convertimos a Radianes 𝜋 𝜋 (Lat1 , Lon1)= (-19,04278* ; -65,25527* ) = (-0,33236 ; -1,13892)

180 180 𝜋 𝜋 (Lat2 , Lon2)= (45,52333* ; -122.67611* ) 180 180

= (0,79453 ; -2,14110)

NOTA:

Solución:

Convertimos (Lat1 , Lon1)= (-0,33236 ; -1,13892) (Lat2 , Lon2)= (0,79453 ; -2,14110) Δlat = (0,79453- (-0,33236)) = 1,12699 Δlon= (-2,14110- (-1,13892)) = -1,00218 R = 6400 Km (Radio aproximado de la Tierra) 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝟐 ∗ 𝑹

∗ 𝐬𝐢𝐧−𝟏

−1

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 2 ∗ 6400 ∗ sin (

𝒔𝒊𝒏𝟐

𝑠𝑖𝑛2

Se debe realizar todo el procedimiento en Radianes

∆𝒍𝒂𝒕 ∆𝒍𝒐𝒏 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬(𝒍𝒂𝒕𝟏 ) ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒍𝒂𝒕𝟐 ∗ 𝒔𝒊𝒏 ( ) 𝟐 𝟐

1,12699 −1,00218 2 + cos −0,33239 ∗ cos 0,79453 ∗ 𝑠𝑖𝑛 ) 2 2

Respuesta Distancia = 9258,496 Km

PRACTICA  CIV 3308 -A Con las ciudades ya asignadas en clase calcular la distancia entre ambas , usando Método 1.

• CIV 3327-A Con las ciudades ya asignadas en clase calcular la distancia entre ambas , usando Método 2.

Formato y fecha de entrega La presente practica deberá realizarse de manera manuscrita. La cual deberá ser posteriormente digitalizada (fotografía , scanner u otro) y enviada en formato .pdf a la dirección de correo electrónico : [email protected] En Asunto deberá especificarse el nombre completo del estudiante y la asignatura.

Entrega : 27 de mayo del 2020