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Pauta Control 3 Matemáticas Instituto IACC

Ejercicio 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. Use el método de sustitución:

Respuesta: 1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. 7𝑥 − 4𝑦 = 5 7𝑥 = 4𝑦 + 5 𝑥=

(4𝑦 + 5) 7

2. Sustituimos el valor obtenido de x en la otra ecuación. 9𝑥 − 8𝑦 = 13 4𝑦+5

9∗(

7

) − 8𝑦 = 13

amplifico por 7

9 ∗ (4𝑦 + 5) − 56𝑦 = 91 36𝑦 + 45 − 56𝑦 = 91 −20𝑦 = 46 𝑦=−

46 23 =− 20 10

3. Ahora sustituimos el valor de y en la primera ecuación para obtener el valor de x 𝑥=

(4𝑦 + 5) 7 ((4

𝑥= 𝑥= Por lo tanto,

−23 10

) + 5)

7 (−92 + 50) −42 3 = =− 70 70 5

𝑥=−

3 5

𝑦=−

23 10

Ejercicio 2. Resolver el sistema, aplicando el método de reducción:

Respuesta: Preparamos las ecuaciones para que al sumarlas eliminemos una de las incógnitas, en este caso amplificaremos la primera ecuación por 5 para poder eliminar las y 4𝑥 + 𝑦 = 3 /∗ 5 20𝑥 + 5𝑦 = 15 Nuestro sistema queda de la siguiente forma 20𝑥 + 5𝑦 = 15 2𝑥 − 5𝑦 = 6 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda así 22𝑥 = 21 𝑥=

21 22

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación inicial 2𝑥 − 5𝑦 = 6 2∗(

21 ) − 5𝑦 = 6 22

42 − 5𝑦 = 6 22

42 − 110𝑦 = 132 −110𝑦 = 90 𝑦=−

90 9 =− 110 11

Ejercicio 3. Resolver el sistema aplicando método de igualación:

Respuesta: Despejamos x en ambas ecuaciones 4𝑥 + 𝑦 = 3 4𝑥 = 3 − 𝑦 𝒙=

𝟑−𝒚 𝟒

3𝑥 − 5𝑦 = 4 3𝑥 = 5𝑦 + 4 𝒙=

𝟓𝒚 + 𝟒 𝟑

Igualamos ambos resultados 3 − 𝑦 5𝑦 + 4 = 4 3 3 ∗ (3 − 𝑦) = 4 ∗ (5𝑦 + 4) 9 − 3𝑦 = 20𝑦 + 16 −23𝑦 = 7 𝑦=−

7 23

Sustituimos el valor de y en alguna de las dos ecuaciones iniciales 4𝑥 + 𝑦 = 3 4𝑥 −

7 =3 23

23 ∗ 4𝑥 − 7 = 3 ∗ 23 92𝑥 − 7 = 69 92𝑥 = 76 𝑥=

76 38 19 = = 92 46 23

Ejercicio 4. Juan tiene 9 años más que su hermano y hace 6 años tenía el doble. ¿Qué edad tiene cada hermano? Respuesta: Sean, X= edad de Juan Y= edad del hermano Entonces: 𝑥−9=𝑦 la edad de Juan y su hermano hace 6 años es 𝑥−6 𝑦−6 Por lo tanto, la segunda ecuación sería 𝑥−6 =𝑦−6 2

𝑦=

𝑥−6 +6 2

𝑥−9=

𝑥−6 +6 2

Igualamos ambas ecuaciones

2𝑥 − 18 = 𝑥 − 6 + 12 𝑥 = 24 Reemplazamos el valor de x en la primera ecuación 𝑥−9=𝑦 𝑦 = 24 − 9 𝑦 = 15 Entonces Juan tiene 24 y su hermano 15

Ejercicio 5. Al comenzar los estudios de ingeniería, se aplica una prueba a los estudiantes de una cierta institución con 30 preguntas en el área de las matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se asignan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le descuentan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. a)

Plantear el sistema que modela la situación.

b)

Resolver el sistema aplicando el método de igualación y determinar ¿cuántas preguntas

respondió el alumno incorrectamente? c)

Graficar las ecuaciones involucradas en el sistema y mostrar gráficamente la solución.

Respuesta: Total de preguntas:

30

Preguntas correctas:

x

Preguntas incorrectas o no contestada:

y

a) Entonces el sistema que modela la situación, 𝑥 + 𝑦 = 30 5𝑥 − 2𝑦 = 94

b) Resolviendo por igualación 𝑥 = 30 − 𝑦 5𝑥 = 2𝑦 + 94 𝑥=

2𝑦 + 94 5

Igualando las x 30 − 𝑦 =

2𝑦 + 94 5

150 − 5𝑦 = 2𝑦 + 94 56 = 7𝑦 𝑦=8 El alumno respondió 8 preguntas incorrectas

c) Gráfico y solución

El punto de intersección es (22,8), es decir 22 respuestas correctas y 8 incorrectas o no contestadas