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• DiegoArcturusII

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CONTRASTES ORTOGONALES. Los contrastes ortogonales se utilizan cuando se tienen un conjunto de tratamientos cualitativos con estructura, de tal forma que es conveniente comparar un tratamiento contra el promedio de otros tratamientos o un conjunto de tratamientos contra otro conjunto de tratamientos. Es decir, se prueban hipótesis de la forma: HO: 3T1 – T2 – T3 – T4 = 0 vs Hl : 3T1 – T2 – T3 – T4 ≠ 0 Esta hipótesis compara el efecto del tratamiento 1 contra el promedio de los efectos de los tratamientos 2, 3, 4. HO: T1 + T2 – T3 – T4 = 0 vs Hl : T1 + T2 – T3 – T4 ≠ 0 Esta hipótesis compara el efecto conjunto del tratamiento 1 y 2 contra el efecto conjunto de los tratamientos 3 y 4. En general se prueban hipótesis de la forma: t

t

t

i 1

i 1

i 1

H 0 :   i ti 0 vs H l :   i ti  0 ;con

t

A la combinación lineal de tratamientos coeficientes del contraste.

 i

  i ti

i 1

0

se le llama contraste, en donde los  i son los

t  i1 i 2  0 Dos contrastes (C1 y C2) son ortogonales si i 1 Por ejemplo si los contrastes son: C1 = T1 + T2 – T3 – T4 C2 = T1 – T2 C3 = T3 – T4 Entonces la tabla de coeficientes de los contrastes es: T1 T2 T3 C1 1 1 -1 C2 1 -1 0 C3 0 0 -1



T4 -1 0 1

Los contrastes C1 y C2 son ortogonales porque: t

  i1 i2  1112   21 22   31 32   41 42 i 1 = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(0) + (-1)(0) = 0 Dagoberto Salgado Horta

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Los contrastes C1 y C3 son ortogonales porque:

Dagoberto Salgado Horta

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t

  i2  i3  1213   22 23   32  33   42 43

i 1 = (1)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) + (0)(1) = 0 En un conjunto de tratamientos se pueden obtener conjunto de t-1 contrastes ortogonales. EJEMPLO: Consideremos un experimento donde se compararon 4 variedades de maíz con un diseño de bloques al azar. Variedad 1. Precoz resistente. Variedad 2. Precoz susceptible. Variedad 3. Tardía resistente. Variedad 4. Tardía susceptible. Los datos del rendimiento son: Tratamientos Réplica T1 T2 T3 T4 Total I 6 5 7 8 26 II 7 6 7 9 29 III 7 7 8 8 30 IV 8 8 9 10 35 V 7 8 9 9 33 Total 35 34 40 44 153 El análisis de varianza se calcula de acuerdo al análisis del diseño de bloques al azar: Fuentes de variación Réplicas Tratamientos Error Total

Gl

SDC

4 3 12 19

12.30 12.95 3.3 28.55

CM 3.075 4.3166 0.2750

Fcal 11.18 15.70

Ftab 5% 1% 3.26 5.41 3.49 5.95

Las hipótesis que se desean probar son: H0: T1 + T2 – T3 – T4 = 0 vs Hl : T1 + T2 – T3 – T4 ≠ 0 H0: T1 - T2 = 0 vs Hl : T1 - T2 ≠ 0 H0: T3 – T4 = 0 vs Hl : T3 – T4 ≠ 0 La primera hipótesis compara las variedades precoces contra tardías la segunda hipótesis compara las dos variedades precoces y la tercera hipótesis compara las dos variedades tardías. Estas hipótesis se prueban en un análisis de varianza. La suma de cuadrados de tratamientos se particiona en tres partes, una para cada contraste. La tabla de los contraste es la que vimos anteriormente. La suma de cuadrados para contraste es:

SC contrastej   2 Donde:

C2j t

r  Cij i 1

t

C j   Cij Ti i 1

Cij = coeficiente del tratamiento i en el contraste j Ti = Total del tratamiento i.

La suma de los cuadrados son:

La tabla de análisis de varianza es: Fuentes de Variación

Gl

Bloques Tratamientos C1 C2 C3 Error Total

4 3 1 1 1 12 19

SC 12.30 12.95 11.25 0.10 1.60 3.30 28.55

CM 3.0750 4.3166 11.2500 0.1000 1.6000 0.2750

Fcal 11.18 15.70 40.90 0.36 5.82

Ftab 3.26 3.49 4.75 4.75 4.75

5.41 5.95 9.33 9.33 9.33

El análisis de varianza muestra que el efecto conjunto de los tratamientos 1 y 2 es diferente al efecto conjunto de los tratamientos 3 y 4. Los tratamientos 1 y 2 no son diferentes. Los tratamientos 3 y 4 difieren significativamente.