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• Roger Cubas

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APLICACIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE LA CONMINUCION Peter Tauro Lama, John Diez Marco, José Parlare Folque, María Estelha Polez Asignatura: Concentración de Minerales III _____________________________________________________________________________________

Resumen En el presente proyecto se analizará la aplicación de la ecuación diferencial de la conminución, planteada por Walker en 1937, la cual tiene como soluciones particulares a la ecuación de Rittinger (1867), Kick (1885), y la más representativa, la ecuación de Bond (1951). Mediante el uso de las ecuaciones diferenciales se integrará la ecuación general, para un análisis matemático de la misma, y comparar lo hallado con las ecuaciones mencionadas; por otro lado con el análisis previo, se sustentará desde un punto de vista metalúrgico, Así como también se hará el uso de un programa que permita graficar los resultados obtenidos en el análisis matemático, el cual ayudará en la interpretación y el resultado del proyecto. Palabras Clave: Ecuación diferencial, conminución, Rittinger, Kick, Bond, Walker.

INTRODUCCIÓN La ecuación de Charles-Walker es una ecuación empírica la cual carece de sustento teórico, por lo cual esta se valida con las soluciones particulares de Rittinger, Kick y Bond. La relación entre la energía necesaria para la fractura y el tamaño de partícula ha sido estudiada desde el siglo pasado. La ecuación genérica propuesta por Walter et al es la siguiente: 𝑑𝐸 = −𝐶

𝑑𝑥 𝑥𝑛

Donde E es la energía específica neta; X es el tamaño de partícula característico; n es un exponente y C es una constante relacionada a las propiedades del material. La ecuación anterior establece que la energía requerida para reducir de tamaño un material es proporcional al cambio de tamaño e inversamente proporcional al tamaño amplificado por n veces [1] La importancia del análisis de la ecuación de la conminución radica en su relación con la energía para la reducción de partículas, la cual representa más del 60% de los costos operativos de las plantas concentradoras, por lo que su conocimiento ayuda a optimizar los gastos de energía y así optimizar estos procesos.[2]

El objetivo general del presente proyecto es demostrar matemáticamente la solución singular y las soluciones particulares de la ecuación diferencial de loa conminución de Walker, y explicar esta teoría mediante la superficie y volumen de las partículas a reducir.

METODOLOGIA La conminución y las operaciones relacionadas a ella, poseen una gran importancia en el procesamiento de minerales, un mineral para liberar el valioso tiene que ser reducido de tamaño, de modo que pueda ser separado por algún método de concentración. Para lograr esta, se necesita entregar energía al proceso, por lo tanto esta se convierte en un parámetro controlante de la reducción de tamaño y granulometría final del producto en cada etapa de conminución.

partícula grande

+ energía

=

partículas más pequeñas +sonido+ calor

   

dE: Cambio infinitesimal de entregada para la conminucion. X: tamaño de partícula C: constante n: constante

energía

Algo que debemos recordar para intentar demostrar la ecuación diferencial, es que el análisis que se realiza se basa en una esfera como partícula y mediante la mecánica de fracturas sabemos que la deformación es proporcional a la carga, inversamente proporcional al cuadrado del diámetro y también proporcional a la distancia desde el centro a lo largo del eje z. La energía que actúa sobre la partícula es el producto de la carga de compresión F y la deformación medida desde el punto de carga (δ𝑧 ): 𝐸𝑝 = 𝐹𝑐𝑜𝑚𝑝. ∗ δ𝑧 δ𝑧 =

𝐹𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝐾 𝑑∗𝑌 𝑣

Donde:     Figura 1. Forma general de la relación Energía-Reducción de tamaño de partícula.

El análisis de la ecuación de la conminución, se desarrolla con el uso de las ecuaciones diferenciales, a través de sus soluciones particulares, las cuales son las ecuaciones de Rittinger, Kick y Bond. Primero integraremos la ecuación general, para hallar las demás soluciones, graficaremos para interpretar las ecuaciones halladas y las aplicaremos en la conminución.

δ𝑧 : la deformación en el eje z. 𝑑: diámetro de la partícula 𝑌: módulo de Young 𝐾𝑣 : relación de Poison.

Asi mismo tenemos que mediante el empleo de la teoría de elasticidad (de Oka y Majima) el esfuerzo de tensión en el momento de la fractura (𝔖𝑓 ) que se genera en una partícula puede obtenerse en forma aproximada mediante la ecuación: 𝔖𝑓 = 0.9

Entonces si despejamos la fuerza y reemplazamos en la ecuación de la energía: 𝐸𝑝 = 1.23𝐾𝑣

RESULTADOS Demostración de la ecuación diferencial de la conminucion: Como sabemos en 1937 Walker planteo una ecuación diferencial que tiene como soluciones particulares las relaciones de Kick, Rittinger y Bond. Esta ecuación es: 𝑑𝑥 𝑑𝐸 = −𝑐 𝑛 𝑥 Donde:

𝐹0 𝑑2 la

𝔖𝑓 2 𝑑 3 𝑌

Entonces por medio de Oka y Majima que demostraron que la resistencia de las grietas de una partícula puede representarse mediante una función de densidad de probabilidad y que suponiendo un número constante de grietas por unidad de volumen, la relación entre la resistencia de grietas y por tanto la resistencia de la partícula y su volumen se expresa por: 1

𝔖𝑓 ∞ 𝑉 − 𝑠

Pero también, en el caso de las partículas el volumen es proporcional al área de la superficie.

1

1

la ecuación de Kick (n=1); sin embargo, según el siguiente grafico desarrollado por R. T. Hukki:

𝔖𝑓 ∞ 𝑉 −𝑠 ∞ 𝐴−𝑠 Donde:   

V: volumen de la partícula A: área de la superficie de una partícula S: Coeficiente de uniformidad de la roca

Entonces en función del tamaño de la partícula podemos escribir que 2

𝑥

𝔖𝑓 = 𝔖𝑓𝑟 ( )− 𝑠 ; (𝔖𝑓𝑟 : Resistencia de la partícula de 𝑥𝑟

referencia) Ahora, si sustituimos esta relación en la ecuación de la energía resulta: 𝐸𝑝 = 𝟏. 𝟐𝟑𝑲𝒗

𝕾𝒇𝒓 𝟐 𝟒 𝒙𝒓 − 𝒔 𝒀

4

∗ 𝑥 (3− 𝑠 )

Pero podemos representar lo resaltado como una única constante, quedando así: 4

𝐸𝑝 = 𝐾1 ∗ 𝑥 (3− 𝑠 ) Ahora relacionaremos esta ecuación de la energía que hay en la fractura con la ecuación diferencial de la conminución, esto debido a que la conminucion es el cambio infinitesimal de energía que se libera en la fractura. Esto será posible con la siguiente relación: 𝑆=

𝐷60 4 = ; 𝐷10 𝑛+2

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑖𝑛𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛.

La energía consumida para el n = 1 (ecuación de Kick) es constante con respecto al tamaño de la párticula, lo que significa que no existe un cambio infinitesimal. Por lo tanto mediante la relación entre s y n (constantes que dependen de las propiedades de la roca) se podría demostrar la E.D. de la conminucion.

Entonces para hallar el cambio infinitesimal de energía derivamos la ecuación de la energía respecto al tamaño de la partícula: 2 𝑑𝐸𝑝 4 4 = 𝐾1 (3 − ) ∗ 𝑥 2(1− 𝑠 ) ; 𝑠 < 𝑑𝑥 𝑠 3

Como S es menor a 4/3, esto arrojara un valor negativo para (3 - 4/s) lo que convertirá a la constante 𝐾1 en -𝐾1, , lo cual es correcto ya que en la E.D. de la conminucion aparecerá un signo negativo debido a la resistencia que ofrece la partícula a ser fracturada.

CONCLUSIONES

AGRADECIMIENTOS REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS

Finalmente reemplazamos la relación entre S y n en la ecuación anterior:

[1] C. Delgado. Evaluación de un cambio tecnológico para el procesamiento de minerales de alta dureza, Universidad de Chile, agosto 2013.

𝑑𝐸𝑝 −𝐾1, = −𝐾1, ∗ 𝑥 −𝑛 = 𝑛 𝑑𝑥 𝑥

[2] Postulados Empíricos sobre conminución. Cap. 3

Además tendríamos que de la misma relación entre S y n, el n > 1; esto hace que ese intervalo no acepte