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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR CURSO DE NIVELACIÓN DE CARRERA MATEMÁTICA Estudiante: Edwin X. Casa Y. Docente: Lic. Jorge Bracero

Semestre: Primero Paralelo:V02 Fecha: 2018-05-28

Conjuntos. Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones. Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo: C = {a, b, c, d, e, f, g, h} En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:

Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 (incluidos ambos). Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos Los conjuntos se determinan o denotan de 2 formas: Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {-2,1,3,4} Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que Deben tener sus elementos. Ejemplo: B = {x/x es número racional} C = {x/x = 2n-1 + 1, nN} Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza los signos  y  respectivamente. Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable. Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo  ó { } y se representa por  A  x x  A  x  A Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento. Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se están tratando, (también se le conoce como Referencial). Símbolo: U y se representa por U = {x/x A  x A; siendo A cualquier conjunto}

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Semestre: Primero Paralelo:V02 Fecha: 2018-05-28

Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B. Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, (A  B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.  : símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión. Simbólicamente: A  B  xx  A  x  B A  B se lee A es un subconjunto de B o B A B es un superconjunto de A A  B se lee A no es un subconjunto de B o B no es un superconjunto de A Propiedades de la inclusión: i) El conjunto vacío, , se considera subconjunto de todo conjunto. ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, A  B ; entonces hay por lo menos un elemento de A que no es elemento de B. iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A  A  Demostrar las propiedades anteriores.  Teorema: si A  B y B  C implica que A  C (Demostrarlo). Notas:

1) Con la definición de subconjunto se puede dar de otra forma la definición de la igualdad de conjuntos; así: Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si A  B y B  A . Simbólicamente: A  B  A  B  B  A 2) La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia. (¿Por qué?)

Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de sí mismo, se dice que B es un subconjunto propio de A, si: i) B es un subconjunto de A, y ii) B no es igual a A Es decir, B es subconjunto propio de A si: B A y B A En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por B  A , y “B es subconjunto propio de A”, se denota por B  A Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si A  B o B  A , es decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

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Simbólicamente: A y B son comparables  A  B  B  A Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si A  B  B  A Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos. Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas: A, B, C, D, E, .... Ya que las mayúsculas denotan sus elementos. Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P(A). Con: n(A): número de elementos de A. n[P (A)]: números de elementos de P (A). Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si no tienen elementos comunes

2. Tipos de conjuntos 1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplos: { 1, 3, 7, 10} {xx2 -3x –2= 0} { Inglaterra, Francia, Dinamarca} 2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B. Notación: AB  x A xB Ejemplo: El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D. 3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal. Notación: U Ejemplo: A = {1,3,5} B = {2,4,6,8} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 4.- Conjunto Potencia: se denomina conjunto potencia de A, P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. Sí el conjunto A tiene n elementos, el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos.

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Notación: Ejemplo: A = {3,4,5} P(A)= 23 = 8, lo que significa que pueden formarse 8 subconjunto de A. P(A)= { {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5},  }. 5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto. Notación:  = { x / x  x } Ejemplo: B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío. } 6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal. Ejemplo: AB

U

B

A

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar. Ejemplo: M= {a,e,i,o,u}, M es finito. N={1,3,5,7...}, N es infinito. 8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes. Gráficamente:

U A

B

Ejemplo: A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

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4.Operaciones entre conjuntos 1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B. Notación: AB= {x/xA xB} Gráficamente:

U

A

U A

b

U

B

B A

Ejemplo A={3,4,5,8,9}

B={5,7,8,9,10}

AB= {3,4,5,7,8,9,10} 2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es unos conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B. Notación: A  B= {x / x  A  x  B} Gráficamente:

A U

A

U

A)AB A)A )

A

B

U

B A

Ejemplo: A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14} A  B={9, 11} 3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A y que están en el universo. Notación: Ac = {x / x U  x A} Ac = U - A Gráficamente: Ac U

A

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Ejemplo: U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7} Ac= {1,2,5,8,9,10} 4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B. Notación: A - B ={x / x A  x  B} Gráficamente:

U A

U

B

U A

B

A B

Ejemplo: C = {u, v, x, y, z}

D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u} 5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A. Notación: A  B= {x / x  A  x  }  {x / x   x } A  B= ( A - B )  ( B -A ) Gráficamente:

A U

B A A

U A

) ) )

Ejemplo: A= {1,3,4,5,6,7,20,30}

B={2,6,20,40,50}

B

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AB= {1,3,4,5,7,30} {2,40,50} A= {1,2,3,4,5,7,30,40,50} 6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como segundo componente un elemento de B. Notación: A x B = {(a, b ) / a   b  } Ejemplo: A= {1,2}

B={3,4,5}

A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)} Observaciones: 1.- n() = n  n() s n(A x B) = n • s 2.-Si A =  x B =  3.- A x B x A

siempre que se cumpla que A  

5. LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO

1.-

Asociatividad: C C) (AC = AC)

2.- Conmutatividad:  AB = BA 3.- Distributividad: ACC) AC) = (C) 4.- Absorción: A AA 5.- Idempotencia: A B 6.- Identidad: 

U  A

AUU

A = 

7.-Complemento: AcU

Ac = 

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(Ac)c = A

U’= , ’ = U

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8.- Ley de Morgan: (AB)c = Acc

(Ac = Acc

A – B = Ac 9.- Ley Diferencia Simétrica:

A  B= ( A - B )  ( B -A )

6. Demostración y Simplificación Demuestre la siguiente expresión. • (A ∪ B ) U (A ∩ B´ ) = A∪B • [( A ∪ B ) ∪ A] ∩[( A ∪ B)∪ B´] = A∪B • [( A ∪ A ) ∪ B] ∩[( B´ ∪ B)∪ A]= A∪B [( A ∪ A ) ∪ B] ∩ [ U ∪ A]= A∪B • [A ∪ B] ∩[ U ∪ A]= A∪B • [A ∪ B] ∩[ U ] = AUB • [A ∪ B] = A∪B //

DISTRIBUTIVA ASOCIATIVA COMPLEMENTO IDEPOTENCIA IDENTIDAD IDENTIDAD

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7. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Ejemplo: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:        

Estudian trigonometría: Estudian álgebra: Estudian geometría: Estudian trigonometría y álgebra: Estudian trigonometría y geometría: Estudian álgebra y geometría: Estudian las tres materias: No van a la biblioteca:

40 55 55 15 20 30 10 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo: Sean T = {x/x estudia trigonometría} A = {x/x estudia álgebra} G = {x/x estudia geometría} Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza. C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias. Gráficamente: U T

A 15

5 20 10 10

20 15

G

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Analíticamente: n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG) n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95 95 Estudiantes que asisten a la biblioteca. 100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada. EJERCICIOS RESUELTOS 1) Representar gráficamente: [(A’B)U(C-B)] B’ U

U A

B

A

B

C

C

A’

(A’B)

U

U A

B

A

B

C

C

(A’B)U(C-B)

(C-B)

U

U A

B

A

B

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C

C [(A’B)U(C-B)] B’

B’ 2) Expresarlo simbólicamente a) U

b) U

A

B

P

D

C

(AUBUC)’U[(BC)-A]

F

(D-F)U[F-(PUD)]

Bibliografía: https://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjunt os/entender_los_conjuntos/1.do https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursosdidacticos/conjuntos-subconjuntos/ http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/conjuntos.htm