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• Luis Vargas Castillo

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PRÁCTICA DE CONJUNTOS 1.

2.

Si: A = {5, {2}, 9}; señale la expresión falsa a. {a}  A b. {12}  A c. 9  A d. {5 ,9}  A e. {5, {2}}  A Determine por extensión el siguiente conjunto:

P={ 3.

De las siguientes. notaciones determinar cuál de ellas es falsa: 1. {2, 5, 3} = {3, 5, 2} 2. {4}  {{14}, 5} 3. {3}  {2, 3, 4} 3.   {3, {4} 2} 4.   {3. {4}, 2} Si U ={x/x  z  0  x < 10} (A ∪ B)' = {0, 6, 9} ; A ∩ B = {1, 2, 7} A – B = {3, 5} ¿Cuál es la suma de los elementos de B – A? Rpta. 12

5.

Dado A = {; {}} . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? 1.   A 2.   A 3. {}  A 4. {{}}  A 5. {{}}  A

6.

Si el conjunto e es unitario hallar “a.b” e = {a + 2b; 3b – a + 2; 11} Rpta. 12

7.

Dado: A  {m, n, {p}, {q, r}} y las proposiciones, referidas a A: ① El conjunto A, tiene 5 elementos. ② El conjunto A, tienen 4 elementos. ③ El conjunto P(A), tiene 16 elementos. ④ El conjunto A, tiene 16 subconjuntos. Indica la alternativa correcta: a) Son verdaderas sólo ② y ④ b) Son falsas sólo ① y ③ c) Sólo ① es falsa d) Sólo ③ es falsa e) Todas son falsas

9.

d) 10

e) 11

10. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8, 9} y C = {4, 5} Determinar el conjunto cuya representación gráfica es la región sombreada de la fig.:

1 / x ∈N , 2 ≤ x ≤ 8} 2x + 5

4.

8.

Calcular: "abc". a) 7 b) 8 c) 9

¿Cuántos subconjuntos tienen A?, Sí n (A) = 5 A) 16 B) 32 C) 18 D) 64 E) 25 Los siguientes conjuntos son iguales:

A  {a1; a2} C  {4; b2}

B  {8a; 7a} D  {c1; b1}

11. Dado el conjunto:

A  {0; 1; 2; {1}; {1; 2}; {3}; {0;3}} y sean las proposiciones: ①2A ② {1}  A ③ {0}  A ④ {2}  A ⑤ {0:3}  A ⑥A ⑦ {{3}}  A ⑧   A La cantidad de proposiciones verdaderas es: a) 6 b) 5 c) 4 d) 2 e) 7

12. ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor de la región achurada?

1. (A ∪ B)  C 3. A  (B ∪ C) 4. N.A.

2. (A  B) ∪ C 4. (A  B) – (A ∩ B ∩ C)

13. Si: A  { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } B  { 5; 6; 7; 8; 9 } C  {4; 5}. Indique qué elementos deben estar en la región sombreada del diagrama adjunto: a) 4, 5, 6 A B b) 4, 5, 6, 7 C c) 4, 6, 7 d) 1, 2, 3 e) 6, 7 14. Dado el conjunto: {x/x  N, 3
16 RPTA.: ............... 6)

DE 50 ALUMNOS QUE LLENAN LOS 30 LLEVAN ARITMÉTICA Y 13 LLEVAN ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA. ¿CUÁNTOS LLEVAN SOLO ÁLGEBRA?. RPTA.: ............... CURSOS DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA, SE SABE QUE

7)

EN UN MERCADO FUERON 80 SEÑORES SOBRE EL CONSUMO DE POLLO, PESCADO Y CARNE DE RES; CON EL SIGUIENTE RESULTADO; 40 CONSUMEN POLLO; 26 CONSUMEN PESCADO Y 45 CONSUMEN CARNE DE RES; ADEMÁS 8 SEÑORES AFIRMAN QUE CONSUMEN LOS 3 TIPOS DE CARNE. ¿CUÁNTOS SEÑORES CONSUMEN SOLO 2 TIPOS DE CARNE?. RPTA.: ...............

CON MERMELADA.

8)

DADOS LOS CONJUNTOS: A = {X  N / 0 < 0 X  4  X ES Nº PAR} B = { X  Z / 0 < 3  X > 7} C = {X  N / X  2  0 < X  8} DETERMINE M = [(A  C)  B] RPTA.: ...............

9)

RPTA.: ............... 13)

14)

EN UN COLEGIO, 100 ALUMNOS 39 APROBARON EL SEGUNDO

EXAMEN Y 48 EL TERCER EXAMEN.

DE

UN

GRUPO

DE

100

ESTUDIANTES SE OBTUVO LA SIGUIENTE INFORMACIÓN;

28 ESTUDIAN INGLÉS; 30 ESTUDIAN ALEMÁN, 42 ESTUDIAN FRANCÉS, 8 INGLÉS Y ALEMÁN Y 10 INGLÉS Y FRANCÉS; 5 ALEMÁN Y FRANCÉS Y 3 LOS IDIOMAS INGLÉS, FRANCÉS Y ALEMÁN. ¿CUÁNTOS ESTUDIANTES NO ESTUDIAN NINGÚN IDIOMA?. RPTA.: ...............

HAN RENDIDO 3 EXÁMENES. DE ELLOS 40 APROBARON EL PRIMER EXAMEN,

¿CUÁNTOS DÍAS COMIÓ PAN CON

MERMELADA Y MANTEQUILLA?.

ENCUESTADOS

15)

DE 76 ALUMNOS; 46 NO 44 NO ESTUDIAN HISTORIA Y 28 NO ESTUDIAN NI LENGUAJE NI HISTORIA. ¿CUÁNTOS ALUMNOS ESTUDIAN LENGUAJE E HISTORIA?. RPTA.: ............... ESTUDIAN LENGUAJE;

EN UNA CLASE (15 + N) (40 + N) APROBARON MATEMÁTICAS. ¿CUÁNTOS APROBARON SOLAMENTE HISTORIA?. SI EN TOTAL HABÍAN (70 + N) ALUMNOS; DE LOS CUALES SOLO APROBARON 5?. RPTA.: ............... APROBARON MATEMÁTICAS E HISTORIA Y

APROBARON LOS 3 EXÁMENES 10 ALUMNOS; 21 NO APROBARON EXAMEN ALGUNO; 9 NO APROBARON LOS DOS ÚLTIMOS PERO SI EL PRIMERO; 19 NO APROBARON LOS 2 PRIMEROS; PERO SÍ EL TERCERO. ENTONCES, EL # DE ALUMNOS QUE APROBARON SOLO UNO DE LOS EXÁMENES ES: RPTA.: ............... 10)

11)

U = {X  N / 0 < X < 11} Y A = ‘1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 8} A  C = {1; 3} A  C = {1; 2; 3; 5; 7; 9}  R(B  C) + N(A  C); VALE: RPTA.: ............... EN UNA COMPETENCIA ATLÉTICA 12 PRUEBAS PARTICIPARON 42 ATLETAS, SIENDO LOS RESULTADOS; 4 CONQUISTARON MEDALLA DE ORO; PLATA Y BRONCE; 6 DE ORO Y PLATA; 8 DE PLATA Y BRONCE; 7 DE ORO Y BRONCE. ¿CUÁNTOS ATLETAS NO CONQUISTARON MEDALLAS?. RPTA.: ...............

16)

17)

UNA PERSONA COMO PAN CON MANTEQUILLA

O

MERMELADA

DURANTE EL MES DE FEBRERO; SI

CADA

MAÑANA

22 DÍAS COMIÓ PAN

UNITARIOS.

DADOS

LOS

CONJUNTOS

P = {X + Y, 8}; Q = {Y + Z, 10} Y S = {X + Z, 12}. CALCULAR: (X + 4Y – Z) RPTA.: ...............

CON

12)

EN UN CENTRO DE INVESTIGACIÓN 67 PERSONAS. DE ESTAS SABEN INGLÉS 47, 35 EL ALEMÁN Y 23 AMBOS IDIOMAS. ¿CUÁNTAS PERSONAS NO CONOCEN NI EL INGLÉS NI EL ALEMÁN? RPTA.: ............... TRABAJAN

18)

DE UN GRUPO DE 100 PERSONAS: 40 SON MUJERES; 73 ESTUDIAN HISTORIA, 12 MUJERES NO ESTUDIAN HISTORIA. ¿CUÁNTOS HOMBRES NO ESTUDIAN HISTORIA?. RPTA.: ...............

19)

DADOS LOS CONJUNTOS: A = {X / (8X + 1)  Z; 0  X < 1} B = {2X + 1 / X  N; 1 < X  5}

C = {3X + 1 / 2  X < 3} INDIQUE LA VERDAD O FALSEDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: I) N(A) = 3 II) N(A) + N(B) = 16 III) C = [7, 10> IV) C = {7} V) N(A  B) = 0 RPTA.: ............... PROBLEMAS PARA LA CASA 1)

2)

3)

SEAN A, B Y C CONJUNTOS; TALES QUE: N(A  B) = 20 N(A) = 14 Y N(B) = 10 ENTONCES HALLAR: N(A  B  C); SI SE SABE QUE: A  B Y C SON DISJUNTOS. A) NO SE PUEDE DETERMINAR B) 6 C) 4 D) 10 E) 3 SE TIENE 50 CHOFERES DE LOS CUALES 35 TIENEN CARNET DEL SEGURO SOCIAL, 16 LIBRETAS TRIBUTARIAS Y 15 SOLAMENTE BREVETES O LOS CHOFERES QUE POSEEN AL MENOS 2 DOCUMENTOS SON:

E) 20

C) 18

EN UNA AULA DE 50 ALUMNOS 30 DE ELLOS; FÍSICA – 30; CASTELLANO 35; MATEMÁTICA Y FÍSICA 18; FÍSICA Y CASTELLANO 19; MATEMÁTICA Y CASTELLANO 20; Y 10 ALUMNOS APRUEBAN LOS 3 CURSOS; SE DEDUCE QUE: A) 2 ALUMNOS NO APRUEBAN NINGUNO DE LOS 3 CURSOS. APRUEBAN MATEMÁTICAS

B)

8

APRUEBAN

2

APRUEBAN

MATEMÁTICA Y CASTELLANO PERO NO FÍSICA.

C)

MATEMÁTICA PERO NO APRUEBAN FÍSICA NI CASTELLANO. D)

6

APRUEBAN

MATEMÁTICA Y FÍSICA PERO NO APRUEBAN CASTELLANO.

SI A = {A, B, C} Y B = {A; B}; Y SE

HALLAR LA VERACIDAD O FALSEDAD DE LAS PROPOSICIONES: A) FVVVV B) FFFVV C) FFFFF D) FFVFV E) FVFFV

5)

6)

DADOS LOS CONJUNTOS: A = ; B = {} Y C = {0}. ¿CUÁL ES CORRECTO?. A) A = B B) A = C C) A  B D) A  B E) B  A DICE QUE:

B) 32

D) 17

DADO EL CONJUNTO U = {X/3  X < 6; X  N} HALLAR EL PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE M. A) 65 B) 60 C) 12 D) 20 E) 80

I) (A  B) TIENE UN SOLO ELEMENTO. II)   (A  B) III) A   = A IV) (A – B)º ES UN CONJUNTO UNITARIOS . V)   (A  B)

4)

A) 30

E)

7)

ANTERIORES.

NINGUNA DE LAS

EN UNA ESCUELA DE 135 90 PRACTICAN FÚTBOL; 55 BASKET Y 75 NATACIÓN. SI 20 ALUMNOS PRACTICAN LOS 3 DEPORTES Y 10 NO PRACTICAN NINGUNO. ¿CUÁNTOS ALUMNOS PRACTICAN UN SOLO DEPORTE?. A) 50 B) 53 C) 60 D) 70 E) 65 ALUMNOS,

8)

EN UNA CLASE DE 27 ALUMNOS CADA UNO DE ESTOS ESTÁ INSCRITO EN UNO POR LO MENOS, DE LOS

2 CLUBES SIGUIENTES: “CLUB DE “CINE CLUB”, EL NÚMERO DE ALUMNOS INSCRITOS EN LOS 2 CLUBES ES 7 Y EL “CINE CLUB” TIENE REGISTRADOS LOS 2/3 DEL TOTAL DE ALUMNOS. ¿CUÁNTOS MIEMBROS TIENE EL “CLUB DE NATACIÓN?. A) 20 B) 16 C) 11 D) 9 E) N.A. EL CONJUNTO A TIENE 3 ELEMENTOS MENOS QUE EL CONJUNTO B; QUE POR CIERTO POSEE 7168 SUBCONJUNTOS MAS QUE A. EL MÁXIMO NÚMERO DE ELEMENTOS DE (A  B) SERÁ: A) 30 B) 11 C) 13 D) 23 E) 16 NATACIÓN”,

9)

10)

EN UN SALÓN DE POSTULANTES 58 ALUMNOS; 36 PIENSAN SEGUIR INGENIERÍA; 24 PIENSAN SEGUIR CIENCIAS Y SOLO 13 PIENSAN ESTUDIAR LETRAS; EL NÚMERO QUE PIENSA SER INGENIERO Y CIENTÍFICO. A) 13 B) 15 C) 17 D) 8 E) 19 HAY

11)

DE 180 ALUMNOS DE LA U.N.F.V.; EL # DE LOS QUE ESTUDIAN MATEMÁTICA ES EL DOBLE DE LOS QUE ESTUDIAN LENGUAJE. EL NÚMERO DE ALUMNOS QUE ESTUDIAN AMBOS CURSOS A LA VEZ; ES EL DOBLE DE LOS QUE ESTUDIAN SOLO LENGUAJE E IGUAL A LOS QUE NO ESTUDIAN ALGUNO DE ESOS CURSOS.

¿CUÁNTOS ALUMNOS ESTUDIAN

SOLO MATEMÁTICAS?. A) 20

B) 40

C) 80

DE 70 ALUMNOS; 46 NO (L); 44 NO ESTUDIAN HISTORIA (H) Y 28 NO ESTUDIAN NI LENGUAJE NI HISTORIA. ENTONCES ¿CUÁNTOS ALUMNOS ESTUDIAN LENGUAJE E HISTORIA?. A) 18 B) 16 C) 14 d) 20 e) 12 ESTUDIAN LENGUAJE

D) 120

E) 140

12)

14)

SI EL 5% DE LOS POBLADORES DE UNA CIUDAD CONSUMEN 3 TIPOS DE PESCADO; A, B Y C, EL 15% CONSUMEN LOS TIPOS DE PESCADO A Y B; EL B%. CONSUMEN B Y C; EL 14 % CONSUMEN A Y C. ¿CUÁL ES EL PORCENTAJE DE PERSONAS QUE CONSUME SOLAMENTE 2 TIPOS DE PESCADO?. A) 15% B) 37% C) 22% D) 23% E) 25%

Dado el conjunto A={2, 6, 7} determinar V ó F según convenga. I) ii) iii) iv)

Rpta.: 02.

13)

SEAN LOS CONJUNTOS: A = {X  Z / X = (-1)N; N  Z} B = {Y  Z / Y2 = (9-3)2 – 3} C ={Z  Z / 3

z 2

+ 3 = 2Z +

ENTONCES ES CIERTO: A) B = C B) A = B  C C) A = B  C D) A = C E) B  A = A  C

7 2

2 A 7A {6}  A {2, 7}  A

Dado el conjunto B={m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones. I) {m}  B ii) r  B iii) [t}  B iv) {m, a, r}  B

} 03. Dado el conjunto siguiente: A={4, {3}, [2}, 5} Indicar verdadero o falso según corresponda. I) {3}  A ii) {4}  A iii) {4, {2}}  A iv) {{2}}  A v) n (A) = 4

04.

Indicar por extensión los siguientes conjuntos: A ={ x/x N, 5 < x< 12} B ={x/x Z, 10 < x < 18} C ={x/x N, x < 6} D ={x/x  N, x > 10}

P ={x/x  Z, x < 1} Q ={x/x  N, -2 x < 0} R ={x/x  Q, 5 < x < 7} 10. Dados los conjuntos: A= B= C= D=

Rpta.: 05. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:

Indicar verdadero (V) o falso(F):

A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7} C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4} D ={(x4 + 2) / x  Z, 2 < x < 5} E ={ 4x² - 3/x  Z, -5 , x < -1}

i) ii) iii) iv)

Rpta.: 06.

11.

Dado el conjunto A={1, {1,2}, 3} Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda. i) {1, 2} ii) 1  A iii) 2  A iv) {2}  A Rpta.:

07. Dado el conjunto: A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Hallar el cardinal de AB y C. Rpta.: 12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? Si A ={0, {1}, 1}

13.

M ={x/x  N, x < 1}

Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7} B ={a +b , 10} Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8}

¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío? A ={x/x  N, 5 < x < 6} B ={x/x  Q, 3 < x < 4} C ={x/x  Z, -6 < x < -4} D ={x/x  N, -6 < x < -4} ¿Cuál de los siguientes conjuntos unitario?

Dados los conjuntos: U ={x/x N, 1 < x < 10} A ={x²/x  N, x < 5} B ={x+5/x  N, 3 < x < 7} C ={x² + 1/x  N, x < 4} Además U: universo

Rpta.:

09.

A es un conjunto unitario B es un conjunto vacío B es un subconjunto de C C y D son conjuntos iguales

Rpta.:

i) {5}  A ii) {5, 7}  A iii) {5, 1}  A iv) {7}  A

08.

{x/x es una vocal la palabra ‘mátala’} {x/x es una vocal de la palabra ‘beber’] {x/x es una vocal de la palabra ‘elementos’} {e, o}

Si A es primo Hallar A × B Rpta.:

es 14.

El conjunto: A ={x/x = 2x3/(21 - x), x N}

Hallar la suma de elementos de A. Rpta.: 15.

PROBLEMAS PARA LA CASA

Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: A ={a + b, a + 2b - 3, 12} calcular a² + b²

01. Dados los conjuntos U ={1, 2, 3, .............., 15} A ={x/x  Z, x < 6}

Rpta.: 16.

¿Cuántos subconjuntos conjunto A? Si:

propios

tienen

B ={x/x  N,

3 10}

el

Hallar: n(A) × n(B) × n(C)

A ={x/x  N, -5 < 3x - 2 < 10} Rpta.: 17. Dados los conjuntos: A ={ x -2 /x es impar, 3 < x < 11} B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3} calcular n(A) - n(B)

A) 72 B) 25 C) 75 D) 81 E) 100 02.

A) 20 D) 15 03.

A ={b + 1, 12} y B ={b + 3, a}

Rpta.:

Hallar el número de subconjuntos propios de A:

C) 18

Dados los conjuntos iguales A, B y C hallar m + t + s (m, t, s  N)

A)12 D) 20

B) 15 E) 21

C) 18

04. 05.

Rpta.: 20.

B) 12 E) 10

A ={15, 12, 9} B ={2m, m + 3, 15} C ={s + 2, 12, 10 + t}

Son iguales, Halle: a + b

19. Sea el conjunto A: A ={1, 2, 1, 2, ............, {3}, 1}

Si los conjuntos A y B son iguales, hallar: m + p A ={7, m + 3} b ={12, p - 4}

Rpta.: 18. Si los conjuntos:

26 }

Si n[P(A)] representa el número de conjuntos del elemento potencia de A. Hallar n(A) × n(B); sí n[p(A)] = 128 n[p(B)] = 512

Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n:

A) 56 D) 70

Rpta.: 06.

B) 72 E) 46

C) 63

07.

Dado el conjunto: A ={2, 5, 6, 10} indicar verdadero (V) o falso (F)

13. Si: A ={x/x  N, x < } ¿Qué expresión es verdadera? A) -3  A B) 15  A C) 5  A D) A  7 E) 4  A

i) {2}  P(A) ii) 6  P(A) iii) n [P(A)] = 16 iv) {5, 6, 10}  P(A) v) Ø  P(A)

14.

¿Cuál es el cardinal de:?

08.

A ={x2/x  Z  -19 < 7x + 2 < 37}

09. Dado el conjunto

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A ={m, p, q, r, s, t} ¿Cuántos subconjuntos tienen a lo más 4 elementos? A) 64 D) 58

B) 62 E)57

15.

¿Cuál es la suma de elementos de: A ={2x/(3x + 1)  N  4 < x < 8}

C) 63

A) 36 D) 165

B) 116 E)160

C) 132

10. Dado el conjunto; A ={ x+2/ x Z, x² < 9} Calcule la suma de los elementos de A.

RELACIONES CON CARDINALES 1.

A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10 11.



¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto?



a ={2, 1, {1}, 1, {1, 2}, {2}} A) 4 D) 32

B) 8 E) 64

Para dos

conjuntos cualesquiera A y B



C) 16

n( A ∪B) = n( A) + n(B) n( A ∩ B) n( A ∩ B) = n( A) + n(B) n( A ∪B) n( A - B) = n(A) - n( A ∩ B)

2.

Para tres conjuntos cualesquiera A, B y C

12.

Calcular la suma de elementos del conjunto: A ={x² + x/x Z, -4 < x < 2} A) 4 D) 10

B) 6 E) 12

C) 8

INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS 1. “Solo A”, “Exclusivamente A”, “únicamente A”, “A – B”

7. “Ocurre al menos dos de ellos”, “Ocurre por lo menos dos de ellos”

2. “Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos”

8. “Ocurre a lo más dos de ellos” 3. “A ∩ B”, “Ocurre A y B”, “Ocurre ambos sucesos a la vez”

4. “Ocurre sólo uno de ellos”, “Únicamente uno de ellos, “Exactamente uno de ellos”

5. “Ocurre exactamente dos de ellos”, “Sucede únicamente dos de ellos”

6. (B ∪ C) – A “Ocurre B o C pero no A”

APLICACIÓN Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.



¿Cuántas personas leen sólo un periódico?



¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente?



¿Cuántas personas leen los tres periodos?



¿Cuántas personas leen el periódico A?



¿Cuántas personas leen sólo A?



¿Cuántas personas leen A y B pero no C?



¿Cuántas personas leen A o B pero no C?



¿Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos?



¿Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos?



¿Cuántas personas leen como máximo dos periódicos?



¿Cuántas personas leen B pero no A ó C?