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CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDAD. Resumen CONCEPTOS: Experimento aleatorio: Cualquier operación / acción / observación cuyos efectos no son predecibles con exactitud. Resultado: cada uno de los efectos simples a los que puede dar lugar un experimento. Espacio de resultados: El conjunto formado por todos los resultados. Álgebra de sucesos: El conjunto de las partes del espacio de resultados. Suceso: Cualquier elemento del álgebra de sucesos. Cualquier conjunto formado por la unión de resultados (simples), además del conjunto vacío y de los propios resultados. Población: conjunto perfectamente definido de elementos que comúnmente se denominan individuos, observaciones o unidades estadísticas. De una población nos interesará la forma en la que se clasifiquen sus individuos de acuerdo con uno o varios caracteres Espacio muestral E de un experimento aleatorio al conjunto de todos los sucesos elementales del mismo. Puede ser continuo, discreto, finito, infinito numerable o infinito no numerable. 

Una vez definidos los conceptos básicos comenzamos a introducirnos en la estadística incorporando la aleatoriedad y los experimentos. Por tanto, un experimento aleatorio es aquél que cumple las siguientes condiciones:

Todos los distintos resultados que de él pueden obtenerse se conocen a priori. Puede ser repetido en idénticas condiciones un número indefinido de veces. El resultado de cada repetición se desconoce a priori. Cualquier modificación en las condiciones iniciales puede alterar el resultado por completo. 

Los resultados de este experimento aleatorio los denominados sucesos, un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos se clasifican en cuatro tipos en función del número de elementos que formen parte del mismo:

Suceso elemental, resultado básico o punto muestral. Suceso compuesto. Suceso seguro, cierto o universal. Suceso imposible. 

Para definir el argumento matemático operamos con los sucesos en base a una serie de preceptos teóricos:

Suceso contenido en otro Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremos que A está incluido en B si cada suceso elemental de A pertenece también a B. Igualdad de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremos que A y B son iguales si siempre que ocurre el suceso A también ocurre B y al revés. Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, la unión de ambos sucesos A y B es otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes a A, a B, o a los dos a la vez (intersección). Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio. La intersección de ambos sucesos A y B es otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a A y a B, simultáneamente. Sucesos disjuntos, incompatibles o excluyentes: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, diremos que estos sucesos A y B son disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún suceso elemental en común o dicho de otra forma, si al verificarse A no se verifica B, ni al revés. Sistema exhaustivo de sucesos: Dados n sucesos A1, A2, A3,..., An de un experimento aleatorio, diremos que estos forman una colección o sistema exhaustivo de sucesos si la unión de todos ellos es igual al espacio muestral E. Suceso complementario o contrario: Dado un suceso A de un experimento aleatorio, se define como suceso complementario o contrario de A, a otro suceso que ocurre cuando no ocurre el suceso A, o bien, es el suceso constituido por todos los sucesos elementales del espacio muestral E que no pertenecen a A. Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define como la diferencia de ambos sucesos A y B a otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B.

Diferencia simétrica de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define como diferencia simétrica de ambos sucesos A y B a otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, o a B, pero que no simultáneamente a ambos. 

Una vez conocidos los sucesos comenzamos a interesarnos por la probabilidad de acaecimiento de los mismos. Para ello introducimos y definimos el concepto de probabilidad según cada una de las visiones del mismo:

Definición clásica: basada en la Regla de Laplace, que afirma que la probabilidad se define en función de los favorables y los totales posibles según la siguiente relación la condición de equiprobabilidad:

Definición frecuentista de probabilidad: La definición frecuentista de la probabilidad recurre a los límites matemáticos para definir la probabilidad. De esta manera, la probabilidad se define como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso.

Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse. Definición axiomática de la probabilidad: planteada por A. N. Kolmogorov se basa en definir la probabilidad como la función F(E) que satisface los siguientes axiomas:

P(E) = 1 Si A1, A2, ..., An, ...es una sucesión de sucesos incompatibles que pertenecen todos ellos a F(E), entonces:



A partir de la definición de probabilidad definimos igualmente una serie de teoremas que nos sirven de guía con la que operar con las probabilidades:

Teorema I: La probabilidad del suceso imposible es nula P(Ф)=0: Si para cualquier suceso A se verifica que p(A)=0 diremos que A es el suceso nulo, aunque ello no implique que A=Ф. Si para cualquier suceso A, p(A)=1, diremos que A es el suceso casi seguro, aunque ello no implique que A=E. Teorema II: Para cualquier suceso se verifica que la probabilidad de su suceso complementario es la siguiente:

Teorema III: La probabilidad es una función monótona no decreciente, es decir, con

y además .

Teorema IV: Para cualquier suceso

se verifica que

Teorema V: Para dos sucesos cualesquiera

se verifica que , siendo esta probabilidad

generalizable para n sucesos:

Teorema VI: Para dos sucesos cualesquiera

se verifica que

, siendo esta probabilidad generalizable para n sucesos:

Teorema VII: Dada una sucesión creciente de sucesos A1, A2, ..., An, ... (representada de forma abreviada como {An↑} ), se verifica lo siguiente:

Teorema VIII: Dada una sucesión decreciente de sucesos A1, A2, ..., An, ... (representada de forma abreviada como {An↓}), se verifica lo siguiente: