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Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas Programa de Maestría en Matemática Educativa

Diplomado "La Enseñanza de las Matemáticas en la Educación Secundaria" Material Didáctico sobre Concepciones del Álgebra Escolar Responsable: Del Castillo Bojórquez Ana Guadalupe Colaboradores: Maricela Armenta Castro Villalba Gutiérrez Martha Cristina

Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar

Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006

Contenido: Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Actividad 1

La Torre de Números

Actividad 2

Camino a la escuela

Actividad 3

Llenando botellas

Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de problemas Actividad 4

Igualdad y Equivalencia

Actividad 5 Ecuaciones y Estrategias Actividad 6 Ir y Regresar Actividad 7 Ir y Regresar en la resolución de ecuaciones

Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras Actividad 8 Estructuras Algebraicas, parte I Actividad 9 Estructuras Algebraicas, parte II

Lectura: Usiskin, Z. (1988),

Concepciones del álgebra escolar, 1988 NCTM Yearbook. Versión en inglés disponible en

http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/

Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar

Presentación Estas actividades tienen como propósito promover la reflexión sobre las distintas concepciones del álgebra escolar, como aritmética generalizada, como lenguaje, como el estudio de métodos para la resolución de problemas, como el estudio de relaciones entre cantidades y como el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos usos de la variable. Se pretende concretar mediante retos, juegos, problemas y situaciones similares sobre búsquedas de patrones, interpretaciones gráficas, modelos simbólicos, esquemas analógicos, etc., aquellos elementos que en la actualidad se consideran como manifestaciones del pensamiento algebraico, aquél que incorpora como hábitos analíticos de la mente, entre otros, habilidades para resolver problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar. En “Los Programas de Estudio de la Educación Secundaria” (p.27) se plantea que: “La idea central de este eje en el nivel secundario es que los alumnos desarrollen una forma de pensamiento que les permita construir modelos matemáticos para resolver situaciones problemáticas en diversos contextos, operar con dichos modelos e interpretar los resultados obtenidos para contestar las preguntas que se hayan planteado inicialmente.” ( el énfasis en negrita es nuestro). Por tanto, hemos considerado la necesidad de promover experiencias entre los profesores –a manera de un primer acercamiento- con aquello que podría perfilar al álgebra en este nivel. Es decir, estas actividades, buscan la promoción del pensamiento algebraico mediante estrategias específicas, que permitan a su vez, una producción y comunicación libre entre los participantes a fin de reflexionar -entre ellos y con el asesorsobre las posibilidades de implementar estrategias análogas en su salón de clase, y sobre todo, valorar las actuales visiones didácticas de las matemáticas que buscan, como lo hemos citado en el párrafo anterior, habilitar a los estudiantes con herramientas de pensamiento e ideas propias útiles a largo plazo y en diversos contextos, más que con definiciones y algoritmos cuya utilidad y duración se restringe al salón de clase y hasta que pasan los exámenes.

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Álgebra: Concepciones del Álgebra Escolar

Objetivos Objetivo general de los materiales Promover la reflexión sobre las distintas concepciones del álgebra: como aritmética generalizada, como lenguaje, como el estudio de métodos para la resolución de problemas, como el estudio de relaciones entre cantidades y como el estudio de estructuras, asociando estas concepciones a los distintos usos de la variable y a los elementos que en la actualidad se consideran manifestaciones del pensamiento algebraico: habilidades para resolver problemas, habilidades para abstraer, representar, procesar, comunicar y habilidades para razonar. Objetivos específicos 1. Desarrollar estrategias que permitan descubrir patrones y formas de expresarlos. 2. Expresar argumentos que justifiquen el ámbito y la validez de las expresiones construidas 3. Promover la reflexión sobre las habilidades puestas en juego en el desarrollo de las actividades, que son propias del pensamiento algebraico. 4. Explorar y reflexionar acerca del uso de la hoja electrónica como apoyo para el desarrollo de habilidades propias del pensamiento algebraico.

Metodología Se ha pensado en una organización del grupo en equipos de tres o cuatro personas en donde la función del asesor se enfoque a guiar las actividades de estudio que los participantes deberán realizar, así como intervenir eventualmente para darle forma a la socialización de los resultados que tal estudio por equipos logre producir. En este sentido es importante señalar el énfasis que deberá ponerse a la reflexión sobre el papel primordial que en esas producciones tuvieron “las formas de pensar” (cómo interpretaron, de qué se valieron, qué papel jugaron las representaciones que utilizaron, cómo validaron...)

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La sesión está estructurada en nueve actividades y una lectura. Con las actividades se espera que los profesores recorran el camino donde los distintos componentes del pensamiento algebraico cobren sentido. Las actividades se abordan a través de observaciones, diagramas, utilización de objetos manipulables, uso de software y calculadora. Se sugiere además en cada sesión hacer la referencia apropiada en los libros y materiales utilizados por los profesores en la escuela secundaria. Las primeras tres actividades tienen como propósito concebir el álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades, a la vez que se reflexiona sobre el álgebra vista como aritmética generalizada y como lenguaje, utilizando para ello el reconocimiento de patrones y distintas representaciones (tabulares, gráficas y simbólicas). Las siguientes cuatro actividades, se ocupan de la resolución de ecuaciones como un método para resolver problemas, en las que la variable se concibe como una incógnita. Las actividades 9 y 10 están orientadas al estudio del álgebra como estructura, donde las propiedades aritméticas conocidas, vistas como transparentes, cobran una nueva dimensión al ser cuestionadas en un sistema algebraico diferente. La lectura sirve para reforzar la reflexión y análisis de las concepciones del álgebra escolar y el uso de variables puestos en juego a lo largo del desarrollo de las actividades. Se recomienda que la lectura se haga en casa como tarea, para llevar a cabo la discusión y reflexión conjunta durante el desarrollo de la sesión.

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Secuencia de Actividades

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Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Actividad 1 La Torre de Números

1 2

1

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 2

1

1. Hay siete filas en la torre representada arriba. ¿Cuántos bloques hay en la séptima fila?

2. Suponga que desea construir una torre con 25 filas usando el mismo diseño. Describa cómo podría calcular cuántos bloques se necesitarían para la vigésima quinta fila (más larga). Puede auxiliarse con la siguiente tabla. Número filas

de Número de bloques en la fila más larga (Contando)

Número de bloques en la fila más larga (Haciendo operaciones)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 25

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3. Una torre muy grande fue construida usando el mismo diseño. La fila más larga tenía 299 ladrillos en ella. ¿Cuántas filas de ladrillos tiene la torre?

4. ¿Si alguien le dijo cuántas filas de ladrillos estaban en una torre, cómo podría con su figura obtener el número de ladrillos en la fila más larga?

5. ¿Si alguien le dijo cuántos ladrillos estaban en la fila más larga de una torre, cómo podría obtener cuántas filas habrían?

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Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Actividad 2 Camino a la escuela 1. Esther, Daniel, María, Pablo, y Pedro recorren el mismo camino a la escuela cada mañana. Pedro va en el carro con su papá, Esther va en bicicleta, y María camina. Daniel y Pablo, a veces van el carro, otros días van en bicicleta, y a veces, caminan. El siguiente mapa muestra dónde vive cada persona.

2. La gráfica siguiente describe el viaje a la escuela del lunes pasado, de cada uno de ellos.

a. Etiquete cada punto en la gráfica con el nombre de la persona que representa.

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b. ¿Cómo viajaron Pablo y Daniel a la escuela el lunes?

c. Describa cómo obtuvo su respuesta para (b).

d. En la gráfica, los puntos que corresponden a Esther, Pablo, y Daniel están casi sobre una línea recta. ¿Qué le sugiere esto sobre su modo de transporte?

3. El papá de Pedro puede conducir a 30 kph en la sección recta del camino, pero tiene que disminuir su velocidad en las esquinas. Bosqueje una gráfica en la figura de abajo que muestre cómo varía la velocidad del carro a lo largo de la ruta.

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Lección 1: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Actividad 3 Llenando botellas 1. ¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas, al llegar casi al tope, súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede esto?

2. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.

3. Para las tres gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la botella que se llena.

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4. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas

5. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica.

6. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas.

Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de problemas

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Actividad 4 Igualdad y Equivalencia 1. Observe las siguientes expresiones. Cada una de ellas tiene un enunciado que involucra cantidades. En cada caso, diga si el enunciado es siempre verdadero; es verdadero sólo en algunos casos, o nunca verdadero? Justifique su respuesta

a. 5+3=8 b. 2+14=12 c. 3+y =5 d. x+3=y e. 3x=2x+x f. 3x=3x+1 2. ¿Cuáles de las expresiones del punto anterior son ecuaciones?

3. Encuentre la solución de las ecuaciones del punto anterior.

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4. Una balanza es un buen modelo visual para representar la equivalencia de cantidades. La siguiente figura muestra una balanza de dos bandejas con dos pesas a la izquierda y una a la derecha, así si los pesos de la izquierda son 10 y 21 y el de la derecha es 31, la balanza estará equilibrada.

5. Tomando como base las dos primeras balanzas de la figura siguiente, dibuje la figura que equilibrará la tercera balanza, partiendo de que en las tres balanzas, figuras iguales tienen el mismo peso.

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6. ¿Cuál será figura para la balanza D, si se supone que formas iguales tienen igual peso?

7. ¿Cuál podría ser una solución para la balanza D, suponiendo que formas iguales tienen igual peso? Nota: Las formas en este problema no necesariamente tienen el mismo peso que las formas del problema anterior.

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8. Para cada expresión del problema uno, dibuje una balanza que la represente. ¿Cómo podría usar la balanza para decidir cuando una expresión es verdadera o falsa? a. 5+3=8 b. 2+14=12 c. 3+y =5 d. x+3=y e. 3x=2x+x f. 3x=3x+1

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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de problemas

Actividad 5 Ecuaciones y estrategias de resolución 1. Resuelva los siguientes problemas, utilizando más de una estrategia: a. Un número y su cuarta parte suman 15, ¿cuál es el número?

b. Un número y su séptima parte suman 32, ¿cuál es el número?

c. 4[ 3( 2n − 4 ) / 6] = 8

d. 5( b / 2 − 3) = 20

e. 7( n +1) / 2 = 14

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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de problemas

Actividad 6 Ir y Regresar 1. Realicen por parejas el siguiente algoritmo: Elijan un número (Entrada) Duplíquenlo Sumen dos al resultado Dividan el resultado por dos Resten 7 del resultado obtenido Multipliquen el resultado por 4 (Salida) 2. En relación con el algoritmo anterior cuestionamientos: a. Si la entrada es 9, ¿Cuál es la salida?

responda

a

b. Si la entrada es 10, ¿Cuál es la salida?

c. Si la entrada es n, ¿Cuál es la salida?

d. Si la salida es 28, ¿Cuál fue la entrada?

e. Si la salida es 32, ¿Cuál fue la entrada?

f. ¿Qué entrada produce una salida de 36?

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los

siguientes

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3. ¿Qué estrategias usaron para resolver las preguntas planteadas del inciso d al f?

4. Describa cómo funciona el algoritmo inverso al algoritmo anterior, es decir, el algoritmo que a partir de un resultado, regresa al dato inicial.

5. Mediante la aplicación sucesiva del primer algoritmo y su inverso se llega hacia algo y luego se regresa. Esto es, si se aplica a un número el algoritmo original y luego al resultado se le aplica el algoritmo inverso, ¿se regresa al número original? Verifíquelo

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Lección 2: El álgebra como el estudio de métodos para la resolución de problemas

Actividad 7 “Ir” y “regresar” en la resolución de ecuaciones 1.

Complete el “camino de ida” de la ecuación 4[ 3( 2n − 4 ) / 6] = 8 , en el siguiente diagrama:

n

Por 2

Menos 4

Por 3 Entre 6

Por 4

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2.

¿Cómo será el “camino de regreso”? ecuación:

Complete el diagrama y resuelva la

Por 2

Menos 4

Por 3

Entre 6

Por 4

8

3.

Resuelva los siguientes problemas usando el camino “de regreso”. a. 5( b / 2 − 3) = 20

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b. 7( n +1) / 2 = 14

c. Después de restar tres a un número, multiplicarlo por 8 y dividirlo entre tres se obtiene como resultado 16. ¿Cuál es el número?

4. ¿Puede dar una ecuación que no pueda ser resuelta con esta estrategia?

5. Observe el patrón que se muestra enseguida. Uno de los pasos en ese patrón requiere 112 “palillos”. ¿De cuál etapa se trata? Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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Actividad 8 Estructuras Algebraicas, parte I Estudiemos ahora una aritmética donde los objetos son los dígitos de 0 a 9 y las operaciones se realizan bajo la siguiente regla: “Se suma tomando como resultado el dígito de las unidades” y “se multiplica tomando como resultado el dígito de las unidades”. El sistema se puede sintetizar en las dos tablas siguientes, donde se han ocultado algunos de los resultados con la finalidad de que los agregue.

1. ¿Qué puede decir al observar la "forma" de las tablas?

2. ¿El sistema es conmutativo?

¿Por qué?

3. ¿Existe neutro aditivo? ¿Cuál es?

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4. ¿Para cada elemento del sistema, existen opuestos? En caso afirmativo, encuentre una regla para encontrarlos

5. ¿Es verdad que al multiplicar por 1, no cambia el resultado?

6. ¿Qué números tienen recíprocos en este sistema?

7. En la aritmética ordinaria, si el producto de dos números es cero, entonces al menos uno de los números es cero. ¿Se cumple esto aquí? ¿Qué se cumple en la aritmética ordinaria, que no se cumple en este nuevo sistema?

8. Encuentre, describa y explique al menos dos propiedades en cada tabla que no haya utilizado aún.

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Lección 3: El álgebra como el estudio de estructuras Actividad 9 Estructuras Algebraicas, parte II 1. Imagine un sistema donde las “tablas de sumar y de multiplicar” se realizan de acuerdo a las siguientes reglas:

2. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones en este nuevo sistema? Por ejemplo, como resolvería: a. 3 x = 8

b. x + 4 = 2

3.

Resuelva las siguientes ecuaciones en este sistema y argumente su respuesta: a. 7 x + 5 = 9 Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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b. 3 x + 7 = 4

c. 4 x + 1 = 9

d. 4 x + 1 = 8

4. Dé ejemplos de ecuaciones del tipo a. No tengan solución.

ax = b de modo que:

b. Tengan solución única.

c. Tengan más de una solución.

5.

Describa las condiciones para que la ecuación ax = b no tenga solución, tenga solución única, tenga más de una solución. ¿Qué tan diferente es

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esta tarea comparada con resolver ecuaciones en el sistema de números reales?

Lectura1 Concepciones del álgebra escolar y uso de variables 2 ¿Qué es el álgebra escolar? El álgebra no se define fácilmente. El álgebra que se enseña en la escuela tiene una casta bastante diferente del álgebra que se enseña a los matemáticos. Dos matemáticos cuyos escritos han influenciado grandemente la enseñanza del álgebra a nivel universitario, Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff(1967), empiezan su Álgebra con un intento de establecer un puente entre el álgebra escolar y el álgebra universitaria: El álgebra empieza como el arte de manipular sumas, productos, y potencias de números. Las reglas para estas manipulaciones son válidas para todos los números, así que las manipulaciones pueden llevarse a cabo con letras que representan a los números. Entonces aparece que las mismas reglas son válidas para diferentes tipos de números…y que las reglas aplican a cosas….que no son números en absoluto. Un sistema algebraico, tal como lo estudiaremos, es entonces un conjunto de elementos de alguna clase en el cual las funciones como adición y multiplicación operan, dado que esas operaciones satisfacen ciertas reglas básicas. (P.1)

Si la primera oración de la cita anterior es pensada como aritmética, entonces la segunda oración es álgebra escolar. Para los propósitos de este artículo, entonces, el álgebra escolar tiene que ver con el entendimiento de “letras” (las cuales hoy usualmente llamamos variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes estudian álgebra cuando ellos encuentran primero variables. Sin embargo, puesto que el concepto de variable es en si mismo multifacético, reducir el álgebra al estudio de variables no responde la pregunta “¿Qué es el álgebra escolar?”. Considere estas ecuaciones, las cuales tienen la misma forma, el producto de dos números es igual a un tercero: 1. A = LW 2. 40 = 5 x 3. senx = cos x ⋅ tan x 1

Traducido y editado por: Martha Cristina Villalba, Ana Guadalupe Del Castillo y Maricela Armenta Castro.

Usiskin, Zalman, en 1988 NCTM Yearbook. Visitado en 2006 en http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/ 2

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1 4. 1 = n  n y = kx 5. Cada uno de ellas da una sensación diferente. Usualmente llamamos a (1) una fórmula, (2) una ecuación (u oración abierta) a resolver, (3) una identidad, (4) una propiedad y (5) una ecuación de una función de variación directa (no para resolverse). Estos nombres diferentes reflejan diferentes usos para los cuales se aplica la idea de variable. En (1), A, L, y W representan las cantidades área, longitud y ancho, y dan la sensación de ser conocidas. En (2) tendemos a pensar en x como incógnita. En (3) x es el argumento de una función. La ecuación (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético, y n se identifica con un ejemplo del patrón. En (5), x es de nuevo el argumento de una función, y es el valor, y k es una constante (o parámetro, depende cómo se use). Sólo en (5) hay una sensación de “variabilidad” para la cual emerge el término variable. Aún así, esa sensación no se presenta si pensamos que la ecuación representa la recta de pendiente k que pasa por el origen. Las concepciones de variable cambian con el tiempo. En un texto de los 1950’s (Hart, 1951a), la palabra variable no se menciona sino hasta la discusión de sistemas (p. 168), y entonces se describe como “un número cambiante”. La introducción de lo que hoy llamamos variables viene mucho antes (p. 11), a través de fórmulas, con estas crípticas oraciones: “En cada fórmula, las letras representan números. El uso de letras para representar números es una característica principal del álgebra” (las cursivas son de Hart). En el segundo libro de la serie (Hart 1951b), hay una definición más formal de variable (p. 91): “Una variable es un número literal que puede tener dos o más valores durante una discusión particular.” Textos modernos en la última parte de esa década tenían una concepción diferente, representada por esta cita de May y Van Ungen (1959) como parte de un cuidadoso análisis de este término: Burdamente hablando, una variable es un símbolo para el cual uno sustituye nombres para algunos objetos, usualmente un número en álgebra. Una variable está siempre asociada con un conjunto de objetos cuyos nombres pueden ser sustituidos por ella. Estos objetos son llamados valores de la variable. (P. 70)

Hoy la tendencia es evitar la distinción “nombre-objeto” y pensar la variable simplemente como un símbolo por el cual algunas cosas (más precisamente, cosas de un conjunto particular de reemplazo) pueden ser sustituidas. La concepción de variable como “símbolo para un elemento de un conjunto de reemplazo” parece tan natural hoy que rara vez es cuestionado. Sin embargo, no es la única visión posible de las variables. En los inicios de este siglo, la escuela formalista de matemáticas consideró las variables y todos los otros símbolos matemáticos como meras marcas en papel relacionadas unas con otras por Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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propiedades asumidas o derivadas que también son marcas sobre papel (Kramer 1981). Aunque podemos considerar tal visión apropiada para filósofos pero impráctica para los usuarios de las matemáticas, las álgebras computarizadas de hoy en día tales como MACSYMA y muMath (ver Pavelle, Rothstein y Fitch [1981]) trabajan con letras sin necesidad de referirse a valores numéricos. Es decir, las computadoras de hoy en día pueden operar como los usuarios de álgebra experimentados o no experimentados, manipulando variables ciegamente sin ninguna preocupación o conocimiento de lo que ellas representan. Muchos estudiantes piensan que todas las variables son letras que representan números. Aún cuando los valores que una variable toma no son siempre números, aún en las matemáticas del bachillerato. En geometría, las variables a menudo representan puntos, como se ve en el uso de las variables A, B y C, cuando escribimos “Si AB=BC, entonces el ∆ABC es isósceles”. En lógica, las variables p y q a menudo representan proposiciones; en análisis, la variable f a menudo representa una función; en álgebra lineal, la variable A puede representar una matriz, o la variable v un vector, y en álgebra superior, la variable * puede representar una operación. El último de los ejemplos muestra que las variables no necesitan ser representadas por letras. Los estudiantes también tienden a creer que una variable es siempre una letra. Esta visión es apoyada por muchos educadores, pues 3+ x = 7 3+ ∆ = 7 y son usualmente consideradas como álgebra, mientras que 3 + ___ = 7 3+? = 7 y no lo son, aún cuando el blanco y el símbolo de interrogación están, en este contexto, pidiendo una solución de una ecuación, lógicamente equivalente a la x y a ∆. Resumiendo, las variables tienen muchas posibles definiciones, referentes y símbolos. Tratar de ajustar la idea de variable en una concepción singular sobresimplifica la idea y a la vez distorsiona los propósitos del álgebra. Dos asuntos fundamentales en la enseñanza del álgebra Tal vez el principal asunto alrededor de la enseñanza del álgebra en las escuelas hoy en día tiene que ver con el grado de habilidad que debe requerirse a los estudiantes para llevar a cabo manipulaciones a mano. (Todos parecen reconocer la importancia de que los estudiantes tengan algunas de estas habilidades). Un reporte de 1977 de la NCTM-MAA, detallando lo que los estudiantes necesitan aprender en las matemáticas del bachillerato, enfatiza la importancia de aprender y practicar estas habilidades. Aún cuando reportes más recientes conllevan un tono diferente: El impulso básico en Álgebra I y II ha sido dar a los estudiantes una facilidad técnica moderada…. En el futuro, los estudiantes (y adultos) pueden no tener que hacer muchas manipulaciones algebraicas… Algunos bloques de mecanizaciones tradicionales pueden ser acortados. (CBMS 1983, p. 4) Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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Un segundo asunto relacionado con el currículo del álgebra es la pregunta sobre el papel de las funciones y el tiempo de su introducción. Actualmente, las funciones son tratadas en la mayoría de los libros de álgebra de primer año como un tópico relativamente significativo y por primera vez llega a ser un tópico principal en un curso avanzado de álgebra de segundo año. Aún más, en algunos currículos del nivel básico (e.g., CSMP 1975) las ideas sobre funciones han sido presentadas en primer grado, y otros han discutido que las funciones deberían ser usadas como el vehículo principal a través del cual se introducen las variables y el álgebra. Es claro que estos dos asuntos se relacionan con los meros propósitos de la enseñanza y aprendizaje del álgebra, a los objetivos de la instrucción del álgebra, a las concepciones que tenemos de este cuerpo de conocimientos. Lo que no es obvio es que ellos se relacionan con las maneras en que las variables son usadas. En este artículo, trato de presentar un marco para considerar estos y otros asuntos relacionados con la enseñanza del álgebra. Mi tesis es que los propósitos que tenemos para la enseñanza del álgebra, las concepciones que tenemos de la materia, y los usos de las variables están inextricablemente relacionados. Los propósitos para el álgebra están determinados por, o están relacionados con, las diferentes concepciones del álgebra, lo cual se correlaciona con las diferentes importancias relativas dadas a los varios usos de las variables. Concepción 1: Álgebra como aritmética generalizada En esta concepción es natural pensar en las variables como generalizadoras de patrones. Por ejemplo, 3 + 5.7 = 5.7 + 3 se generaliza como a + b = b + a . El patrón 3 ⋅ 5 = 15 2 ⋅ 5 = 10 1⋅ 5 = 5 0⋅5 = 0 se extiende para dar multiplicaciones por números negativos (que, en esta concepción, es a menudo considerado álgebra, no aritmética): − 1 ⋅ 5 = −5 − 2 ⋅ 5 = −10 Esta idea es generalizada para dar propiedades como − x ⋅ y = − xy A un nivel más avanzado, la noción de variable como generalizadoras de patrones es fundamental en la modelación matemática. Seguido encontramos relaciones entre números que deseamos describir matemáticamente, y las variables son herramientas excesivamente útiles en esa descripción. Por ejemplo, el record mundial T (en segundos) para la carrera de una milla en el año Y desde 1900 es cercanamente descrito por la ecuación T = −0.4Y + 1020 La ecuación simplemente generaliza los valores aritméticos encontrados en muchos calendarios. En 1974, cuando el récord fue 3 minutos 51.1 segundos y no Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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había cambiado en siete años. Yo usé esta ecuación para predecir que en 1985 el récord sería 3 minutos 46 segundos (Para graficas, ver Usiskin [1976] o Bushaw et al [1980]). El récord real fue 3 minutos 46.31 segundos. Las instrucciones clave en esta concepción del álgebra son traducir y generalizar. Estas son habilidades importantes no solo para el álgebra sino también para la aritmética. En un compendio de aplicaciones de la aritmética (Usiskin y Bell 1984), Max Bell y yo concluye que es imposible estudiar la aritmética adecuadamente sin tratar implícita o explícitamente con variables. Lo que es más fácil “el producto de cualquier número y cero es cero” o “para toda n, n ⋅ 0 = 0 . La superioridad de las descripciones de relaciones entre números en el lenguaje algebraico sobre el lenguaje natural se debe a la similitud de las dos sintaxis, las descripciones algebraicas, se parecen a las descripciones numéricas, las del lenguaje natural no. Un lector que tenga duda del papel de las variables podría intentar describir la regla para multiplicar fracciones primero en lenguaje natural y después en álgebra. Históricamente, la invención de la notación algebraica en 1564 por Francois Viéte (1969) tuvo efectos inmediatos. Dentro de los siguientes 50 años la geometría analitica fue inventado y llevada a una forma avanzada. Dentro de los siguientes cien años después lo fue el Cálculo. Esto es lo poderoso del álgebra como aritmética generalizada. Concepción 2. Álgebra como el estudio de medios para resolver cierta clase de problemas Considere el siguiente problema: Cuando se suma tres a cinco veces cierto número el resultado es 40. ¿Cuál es el número?. Este problema es fácilmente traducido en el lenguaje del álgebra como: 5x+3=40 Bajo la concepción del álgebra como generalizador de patrones, no hay incógnitas. Generalizamos relaciones conocidas entre números y no tenemos, incluso, la sensación de desconocerlos. Bajo esta concepción, el problema anterior, está concluido, hemos encontrado el patrón general. Sin embargo, bajo la concepción del álgebra como el estudio de los medios para resolver problemas, apenas sólo hemos empezado. Resolvemos con algún procedimiento, quizá sumar -3 a cada lado de la igualdad, 5x+3+ -3=40+-3 Después simplificamos, (el número de pasos que se requieren depende del nivel del estudiante y de la preferencia del profesor): 5x=37 Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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Ahora resolvemos esta ecuación en alguna forma, llegando a que x=7.4. El “cierto número” en el problema es 7.4, y el resultado puede verificarse fácilmente. Al resolver esa clase de problemas, muchos estudiantes tienen dificultad para pasar de la aritmética al álgebra. Mientras que la solución aritmética (“en tu mente”) implica substraer 3 y dividir por 5, la forma algebraica 5x+3=40, implica multiplicación por 5 y adición de 3. Esto es, al plantear la ecuación, se debe pensar precisamente lo contrario a la forma en que se resolvería usando aritmética. En esta concepción del álgebra, las variables son incógnitas o constantes. Mientras que las instrucciones clave en el uso de una variable como generalizador de patrones son traducir y generalizar, las instrucciones clave en este uso son simplificar y resolver. De hecho, “simplificar” y “resolver” son algunas veces dos nombres diferentes para la misma idea: Por ejemplo, les pedimos a nuestros estudiantes resolver x − 2 = 5 para obtener la respuesta x=7 o x=-3. No obstante, podríamos preguntar a los estudiantes, “Reescriba x − 2 = 5 sin el valor absoluto”. Podríamos entonces obtener la respuesta equivalente.

( x − 2) 2 = 25 ,

que es un enunciado

Polya (1957) escribió, “si usted no puede resolver el problema propuesto intente resolver primero algún problema relacionado” (p. 31). Seguimos esta estrategia literalmente al resolver muchos problemas, encontrando problemas equivalentes con la misma solución. También simplificamos expresiones para que se puedan ser entendidas y utilizadas más fácilmente. Insistiendo: simplificar y resolver son más parecidos de lo que generalmente se hacen ver. Concepción 3: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades Cuando escribimos A=LW, la fórmula del área de un rectángulo, estamos describiendo una relación entre tres cantidades. Aquí no hay la sensación de algo desconocido, ya que no se está resolviendo nada. La sensación de una fórmula como A=LW es diferente de la sensación de generalizaciones como 1 = n ⋅ (1 / n) , aún cuando podemos pensar en la fórmula como un tipo especial de generalización. Mientras que la concepción del álgebra como el estudio de las relaciones puede iniciar con fórmulas, la distinción crucial entre esta y la concepción previa, es que, aquí, las variables varían. Hay aquí una diferencia fundamental entre las concepciones que se evidencia por la respuesta usual de los estudiantes a la siguiente pregunta:

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¿Qué le sucede al valor 1 / x cuando x se hace cada vez más grande? Esta cuestión parece simple, pero es suficiente para retar a la mayoría de los estudiantes. No nos hemos preguntado por algún valor de x, así que x no es una incógnita. Tampoco les hemos pedido a los estudiantes traducir. Hay patrón para generalizar, pero no es un patrón como en aritmética. (Esto es, no es apropiado preguntar que sucede al valor 1 / 2 cuando el 2 se hace cada vez más grande!). Es fundamentalmente un patrón algebraico. Quizá debido a su naturaleza algebraica intrínseca, algunos Educadores Matemáticos, creen que el álgebra debería ser inicialmente introducida a través del uso de la variable. Por ejemplo: Fey and Good (1985) observaron lo siguiente como preguntas clave sobre las cuales basar el estudio del álgebra: Para una función dada f(x), encuentre 1. f(x) para x=a; 2. x tal que f(x)=a; 3. el valor de x donde ocurren los valores máximos o mínimos de f(x); 4. la razón de cambio en f cerca de x=a; 5. el valor promedio de f en el intervalo (a,b). (p.48) Bajo esta concepción, una variable es un argumento (es decir, un valor del dominio de una función) o un parámetro (es decir, representa un valor del cual dependen otros valores). Solo en esta concepción toman sentido las nociones de variable independiente y variable dependiente. Las funciones inmediatamente empiezan a emerger por la necesidad de nombrar a los valores que dependen del argumento o del parámetro x. La notación de función ( como en f(x)=3x+5 ), es una idea nueva cuando los estudiantes la ven por primera vez: f(x)=3x+5 y lo perciben distinto a y=3x+5. A este respecto, una razón por la que y=f(x) puede confundir a los estudiantes es porque la función f en lugar del argumento x viene a ser el parámetro, efectivamente el uso de f(x) para denotar a una función como lo hacen Fey y Good en la cita anterior es visto por algunos educadores como una contribución a esta confusión. El que las variables como argumento difieran de las variables como incógnitas se puede evidenciar por el siguiente problema: Encuentra una ecuación para la recta que pasa por (6,2) y tiene pendiente 11. La solución usual combina todos los usos de las variables discutidas hasta ahora, quizá explicando porque algunos estudiantes tienen dificultades con ella. Vamos a analizar la solución usual. Iniciamos destacando que los puntos de una recta están relacionados por una ecuación de la forma y=mx+b. Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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Esta es tanto un patrón entre variables como una fórmula. En nuestra mente esta es una función con x como variable de dominio y y como variable del rango, pero los estudiantes no tienen claro cual es el argumento m, x , o b. Como patrón es fácil entenderlo, pero en el contexto de este problema algunas cosas son desconocidas. Todas las literales parecen ser incógnitas (particularmente x y y, literales tradicionalmente utilizadas para esos propósitos). Veamos ahora la solución. Ya que conocemos m, la sustituimos: Y=11x+b Así m es aquí una constante, no un parámetro. Ahora necesitamos encontrar b. Entonces b ha pasado de ser parámetro a ser incógnita. Pero ¿cómo encontrar b? Usamos una pareja de valores de las muchas parejas de valores en la relación entre x y y. Esto es, escogemos un valor para el argumento x, para el cual conocemos y. La sustitución de x y y puede hacerse debido a que y=mx+b describe un patrón general entre números. Sustituyendo: 2 = 11 ⋅ 6 + b Así que b=-64. Sin embargo, no hemos encontrado x y y, aunque tengamos valores para ellos, debido a que no son incógnitas. Sólo hemos encontrado la incógnita b y la sustituimos en la ecuación apropiada para obtener la respuesta y = 11x − 64 Otra forma de hacer la distinción entre los diferentes usos de las variables en este problema es usar cuantificadores. Pensamos: para toda x y y, existen m y b con y=mx+b , se nos da el valor que existe para m y luego encontramos el valor que exista para b, utilizando una de las tantas parejas del “para toda x y y” y así sucesivamente. O usamos el lenguaje conjuntista equivalente: Sabemos que la recta es {(x,y): y=mx+b} y conocemos m, y tratamos de encontrar b. En el lenguaje de conjuntos o cuantificadores, x y y son conocidas como variables mudas debido a que cualquier símbolo podría ser utilizado en su lugar. Es muy difícil convencer a los estudiantes y aún a profesores que {x:3x=6}={y:3y=6}, aunque cada conjunto sea {2}. Muchas personas piensan que la función f con f(x)=x+1 no es la misma que la función g con el mismo dominio que f y con g(y)=y+1. Sólo cuando las variables son utilizadas como argumentos pueden ser consideradas como variables mudas; este uso especial tiende a no ser bien entendido por los estudiantes.

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Concepción 4: El álgebra como el estudio de las estructuras El estudio del álgebra en el nivel superior incluye estructuras como grupos, anillos, dominio entero, campos y espacios vectoriales. Parece tener poca semejanza al estudio del álgebra en el bachillerato, aunque el campo de los números reales y de los números complejos y los distintos anillos de los polinomios subyace la teoría del álgebra, y las propiedades de dominios enteros y grupos explican por qué ciertas ecuaciones pueden resolverse y otras no. Reconocemos el estudio del álgebra como el estudio de las estructuras por las propiedades atribuidas a las operaciones sobre los números reales y polinomios. Considere el siguiente problema: Factorizar 3 x 2 + 4ax − 132a 2 La concepción de variable representada aquí no es la misma que en cualquiera de las concepciones previamente discutidas. No hay función o relación; la variable no es un argumento. Aquí no hay una ecuación que resolver, así que la variable no está actuando como una incógnita. Tampoco hay un patrón aritmético a generalizar. La respuesta al problema de factorizar es ( 3x + 22a )( x − 6a ) . La respuesta podría verificarse sustituyendo valores para x y a en el polinomio dado y en el factorizado, pero esto casi nunca se hace. Si la factorización fuera verificada en esa forma, podríamos argumentar que estamos generalizando aritmética. Pero de hecho, al estudiante generalmente se le pide que lo verifique multiplicando los binomios, es decir, usando exactamente el mismo procedimiento extenso que se empleó inicialmente para obtener la respuesta. Es absurdo verificarlo de esta manera en cada ocasión, pero en este tipo de problema, los estudiantes tienden a tratar las variables como símbolos sin algún número como referente. En la concepción del álgebra como el estudio de las estructuras, la variable es algo más que un símbolo arbitrario. Aquí hay un dilema sutil. Queremos que los estudiantes tengan en mente los referentes (generalmente números reales) de las variables mientras las usan. Pero también queremos que los estudiantes sean capaces de operar sobre las variables sin tener siempre que acudir al nivel del referente. Por ejemplo, cuando les pedimos a los estudiantes demuestren una identidad trigonométrica como 2 sen 2 x − 1 = sen 4 x − cos 4 x , no queremos que el estudiante piense en el seno o coseno de un número específico, tampoco que las piense como funciones, ni tampoco nos interesan como razones en triángulos. Queremos simplemente manipular senx y cos x en una forma diferente utilizando propiedades que son tan abstractas como la identidad que deseamos demostrar.

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En este tipo de problemas, la fe se deposita en las propiedades de las variables, en las relaciones entre x’s y y’s y n’s según sean sumandos, factores, bases o exponentes. La variable se ha vuelto un objeto arbitrario en una estructura y se relaciona con la certeza que le brindan las propiedades de esa estructura. Es la visión de variable que se encuentra en el álgebra abstracta. Se ha levantado mucha crítica en contra de la práctica en la que el “símbolo impulsor” domina las primeras experiencias algebraicas. Le llamamos manipulación “ciega” cuando la criticamos; habilidades “automáticas” cuando la ensalzamos. Finalmente todos deseamos que los estudiantes tengan suficiente facilidad para manejar los símbolos algebraicos de manera abstracta mediante las habilidades apropiadas. La pregunta clave es, ¿qué constituye “suficiente facilidad”? Es irónico que las dos manifestaciones de este uso de variable –teoría y manipulación–, frecuentemente ven como campos opuestos al establecer las políticas para el currículo de álgebra, aquellos que están a favor de la manipulación por un lado, y los que están a favor de la teoría por el otro. Ambos emergen de la misma visión de variable. Variables en ciencias computacionales En ciencias computacionales, el álgebra toma una apariencia ligeramente distinta de la que tiene en matemáticas. Hay a menudo una sintaxis diferente. Mientras que en el álgebra ordinaria, x = x + 2 sugiere una ecuación sin solución, en BASIC la misma expresión comunica el reemplazo de un lugar particular de almacenamiento en una computadora, aumentado mediante el número 2.Este uso de la variable, ha sido identificada por Davis, Jockuch y McKnight (1978, p.33): Las computadoras nos dan otra visión del concepto matemático básico de variable, Desde el punto de vista de la computadora, el nombre de variable puede pensarse como la dirección de algún registro de memoria específico, y el valor de la variable puede considerarse como los contenidos de este registro de memoria. En ciencia computacional las variables a menudo se identifican como cadenas de letras y números. Esto transmite una sensación diferente y es el resultado natural de un escenario diferente para la variable. Las aplicaciones computacionales tienden a involucran grandes números de variables que pueden representar muchas clases diferentes de objetos. También las computadoras están programadas para manipular las variables, así que no tenemos que abreviarlas con el fin de facilitar la tarea de una manipulación ciega. En ciencia computacional los usos de variables cubren todos los usos que hemos descrito para ellas. Queda todavía la generalización de la aritmética. El estudio de los algoritmos es un estudio de procedimientos. De hecho, existen cuestiones típicas en álgebra que se prestan, por sí mismas, a un pensamiento algorítmico: Elaboración de los Materiales: Responsable: Ana Guadalupe del Castillo Colaboradores: Maricela Armenta Castro y Martha Cristina Villalba

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Empiece con un número. Añádale 3. Multiplíquelo por 2. Reste 11 del resultado... En programación uno aprende a considerar la variable como un argumento mucho más rápido que como se acostumbra en álgebra. Por ejemplo, con el fin de establecer arreglos, se requiere algún tipo de notación funcional. Y finalmente, dado que las computadoras han sido programadas para ejecutar manipulaciones con símbolos sin ningún referente para ellas, la ciencia computacional se ha vuelto un vehículo a través del cual los estudiantes aprenden sobre las variables (Papert 1980). Con el tiempo, a raiz de esta influencia, es probable que los estudiantes aprenderán muchos usos de variables mucho más pronto que como lo hacen en la actualidad. Resumen Las diferentes concepciones del álgebra están relacionadas con los diferentes usos de las variables. He aquí un resumen sobre-simplificado de tales relaciones: Concepciones de Álgebra • Aritmética generalizada •

Medio para resolver ciertos problemas

•

Estudio de relaciones

•

Estructura

Uso de Variables Generalizadoras de • patrones (traduce, generaliza) • • Incógnitas, constantes (resuelve, simplifica) • Argumentos, parámetros (relaciona, grafica) • Caracteres arbitrarios escritos (manipula, justifica)

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Al principio de este artículo se mencionaron dos asuntos concernientes a la instrucción algebraica. Dada la discusión anterior, ahora es posible interpretar estos asuntos como una cuestión de relativa importancia para ser tratada a varios niveles de estudio para diversas concepciones. Por ejemplo, considere el asunto de las habilidades manipulativas con lápiz y papel. En el pasado, se debían tener esas habilidades a fin de resolver problemas y para estudiar funciones y otras relaciones. Hoy en día, con computadoras capaces de simplificar expresiones, resolver enunciados y graficar funciones, lo que hay que hacer con las habilidades manipulativas se torna importante para el álgebra cuando ésta se ve como estructura, o como el estudio de caracteres arbitrarios en papel, o como el estudio de relaciones arbitrarias entre símbolos. Hoy en día la visión que prevalece parece ser que éste no debiera ser el criterio principal (y ciertamente no el único) por el cual se determina el contenido del álgebra. Considere el asunto del papel de las ideas de función en el estudio del álgebra. Es otra vez un asunto de relativa importancia en la visión del álgebra como el estudio de las relaciones entre cantidades, en la cual la manifestación predominante de la variable es como argumento, comparada con otros papeles del álgebra; como aritmética generalizada o como una proveedora de recursos para resolver problemas. Por lo tanto, algunos de los asuntos importantes en la enseñanza y el aprendizaje del álgebra pueden cristalizarse colocándolos en el marco de concepciones y uso de variables, concepciones que han cambiado a raíz de la explosión en los usos de las matemáticas y la omnipresencia de computadoras. Ya no vale la pena categorizar el álgebra solamente como aritmética generalizada, porque es mucho más que eso. El álgebra permanece como un vehículo para resolver ciertos problemas pero ciertamente es más que eso. Provee los mecanismos por medio de los cuales se pueden describir y analizar relaciones. Y es la clave para la caracterización y entendimiento de las estructuras matemáticas. Dados estos recursos y el incremento en la matematización de la sociedad, no hay sorpresa en que el álgebra es hoy el área principal de estudio en las matemáticas de la escuela secundaria y esta preminencia es probable que se quede por mucho tiempo. Referencias:

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