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• Noel Rodríguez

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EJERCICIO 1

DATOS 𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓𝑦 = 2800 ⁄ 2 𝑐𝑚 𝜙𝑣𝑎𝑟 2.22 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − = 55 − 4 − 0.95 − = 48.94 𝑐𝑚 2 2 𝑓´𝑐 = 280

𝐴𝑠 = 2#7 = (2)(3.88) = 7.76 𝑐𝑚2

𝛽1 = 0.85 para un 𝑓´𝑐 = 280

𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2

Equilibrio de Fuerzas 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑎=

𝑓𝑦 𝐴𝑠 2800 × 7.76 = = 3.65 𝑐𝑚 0.85𝑓´𝑐 𝑏 0.85 × 280 × 25 𝑐=

𝑎 3.65 = = 4.30 𝑐𝑚 𝛽1 0.85

Deformación del acero 𝜀𝑠 =

(𝑑 − 𝑐)𝜀𝑐𝑢 0.003(48.94 − 4.30) = = 0.03114 𝑐 4.30 𝜀𝑠 > 0.005 𝑶𝑲

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 ∅ = 0.9

Haciendo momento en el acero a tensión 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 (𝑑 − 𝑎⁄2) 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏(𝑑 − 𝑎⁄2) 𝑀𝑛 = 0.85(280)(3.65)(25)(48.94 − 3.65⁄2) 𝑀𝑛 = 1023220.013 𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 10.23 𝑇𝑜𝑛. 𝑚

Calculando momento ultimo 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 𝑀𝑢 = 0.9(10.13) 𝑴𝒖 = 𝟗. 𝟐𝟏 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 2

DATOS 𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓𝑦 = 2800 ⁄ 2 𝑐𝑚 𝑓´𝑐 = 210

𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − 𝜙𝑣𝑎𝑟 = 55 − 4 − 0.95 − 2.87 = 47.18 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 6𝑁°9 = (6)(6.45) = 38.70 𝑐𝑚2 Porcentaje de refuerzo: 𝜌𝑏 = 0.0371 𝜌=

𝐴𝑠 38.70 = = 0.03281 → 𝜌 < 𝜌𝑏 𝐹𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑏𝑑 25𝑥47.18

Entonces: 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 𝑦 𝜀𝑠 =

(𝑑 − 𝑐)𝜀𝑐𝑢 2,800 ; 𝜀𝑦 = = 0.0013 𝑐 2.03𝑥106

Equilibrio: 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠

𝑎=

𝑎=

𝑓𝑦 𝐴𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑏

2800 × 38.70 = 24.28 𝑐𝑚 0.85 × 210 × 25

𝑐=

𝑎 24.28 = = 28.56 𝑐𝑚 𝛽1 0.85

Entonces: 𝜀𝑠 =

0.003(47.18 − 28.56) = 0.00196 → 𝜀𝑦 < 𝜀𝑠 < 𝜀𝑠 = 0.005 28.56

𝑍𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 → 𝜑 = 0.65 + (𝜀𝑠 − 𝜀𝑦 ) (

𝜑 = 0.65 + (0.00196 − 0.00138) (

0.25 ) 0.005 − 𝜀𝑦

0.25 ) = 0.69 0.005 − 0.00138

Momento nominal, haciendo sumatoria de momentos en acero a tensión: 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 (𝑑 − 𝑎⁄2) = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏(𝑑 − 𝑎⁄2) 𝑀𝑛 = 0.85(210)(24.28)(25)(47.18 − 24.18⁄2 ) 𝑀𝑛 = 37.97 𝑇𝑜𝑛. 𝑚 Momento ultimo: 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0.69(37.97) 𝑴𝒖 = 𝟐𝟔. 𝟐𝟎 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 3

DATOS: 𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓𝑦 = 3500 ⁄ 2 𝑐𝑚 𝜙𝑣𝑎𝑟 2.22 𝑑 = ℎ − 𝑟𝑒𝑐 − 𝜙𝑒𝑠𝑡 − = 55 − 4 − 0.95 − = 48.49 𝑐𝑚 2 2 𝜙𝑣𝑎𝑟 1.90 𝑑´ = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙𝑒𝑠𝑡 + = 4 + 0.95 + = 5.90 𝑐𝑚 2 2 𝑓´𝑐 = 420

𝐴𝑠 = 3#7 = (3)(3.88) = 11.64 𝑐𝑚2 𝐴´𝑠 = 2#6 = (2)(2.85) = 5.70 𝑐𝑚2 𝛽1 = 0.75 para un 𝑓´𝑐 = 420

𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2

Relaciones geométricas 𝜀𝑐𝑢 𝜀´𝑠 𝜀𝑠 = = 𝑐 𝑐 − 𝑑′ 𝑑 − 𝑐 𝜀𝑠 =

𝜀𝑐𝑢 (𝑑−𝑐) 𝑐

𝜀´𝑠 =

𝜀𝑐𝑢 (𝑐−𝑑´) 𝑐

Equilibrio de Fuerzas 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 = 𝑓𝑦 𝐴𝑠 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏 +

𝐴´𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑐𝑢 (𝑐 − 𝑑´) = 𝑓𝑦 𝐴𝑠 𝑐

(5.70)(2.03𝑥106 )(0.003)(𝑐 − 5.90) = 11.64(3500) 𝑐

0.85(420)(0.75)(25)𝑐 +

6693.75𝑐 +

34713(𝑐 − 5.90) = 40740 𝑐

34713𝑐 − 204806.7 = 40740𝑐 − 6693.75𝑐 2 6693.75𝑐 2 − 6027𝑐 − 204806.7 = 0 Resolviendo ecuación cuadrática se obtiene 𝑐1 = 5.99 𝑐𝑚 𝑐2 = −5.01 𝑐𝑚

𝑎 = 𝛽1 𝑐 = 0.75(5.99) = 4.49 𝑐𝑚

Comprobando deformaciones 𝜀𝑦 =

𝜀´𝑠 =

𝜀𝑐𝑢 (𝑐−𝑑´) 𝑐

𝜀𝑠 =

=

𝜀𝑐𝑢 (𝑑−𝑐) 𝑐

3500 = 0.001724 2.03𝑥106

0.003(5.99−5.90) 5.99

=

= 0.0000451

0.003(48.94−5.99) 5.99

𝜀𝑠 > 0.005

= 0.021511

𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 ∅ = 0.9

𝜀´𝑠 < 𝜀𝑦 𝑂𝐾 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦

Calculando esfuerzo del acero 𝑓´𝑠 = 𝜀´𝑠 𝐸𝑠 = (0.0000451)(2.03𝑥106 ) = 91.50

𝑘𝑔 𝑐𝑚2

Haciendo momento en el acero a tensión

𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 (𝑑 − 𝑎⁄2) + 𝐶𝑠 (𝑑 − 𝑑´) 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏(𝑑 − 𝑎⁄2) + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´) 𝑀𝑛 = 0.85(420)(4.49)(25)(48.94 − 4.49⁄2) + (5.70)(91.50) (48.94 − 5.90) 𝑀𝑛 = 18.98 𝑇𝑜𝑛. 𝑚

Calculando momento ultimo 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 𝑀𝑢 = 0.9(18.75) 𝑴𝒖 = 𝟏𝟕. 𝟎𝟖 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 4

DATOS 𝑓 ′ 𝑐 = 350 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 2800 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠3 = 𝐴𝑠4 = 2(1.98) = 3.96𝑐𝑚2 𝜀𝑦 =

𝑓𝑦 2800 = = 0.001379 𝐸 2.03𝑥106 𝑎 = 𝛽1 𝑐

Como f'c = 350 kg/cm2;

β= 0.8

Calculando distancias entre hasta las varillas 𝑑1 = 𝑑1 =

∅𝑁º8 + ∅𝑒𝑠𝑡 + 𝑅𝑒𝑐 2

1.59 + 0.95 + 4.0 = 5.75 𝑐𝑚 2

𝑑4 = ℎ − 𝑑4 = 55 −

∅𝑁º8 − ∅𝑒𝑠𝑡 − 𝑅𝑒𝑐 2

1.59 − 0.95 − 4.0 = 49.26 𝑐𝑚 2

Para d2 y d3 se calcula la separación vertical S 𝑆=

𝑑4 − 𝑑1 49.26 − 5.75 = = 14.5 𝑐𝑚 3 3

Calculando 𝑑2 = 𝑑1 + 𝑆 = 5.75 + 14.5 = 20.25 𝑐𝑚 𝑑3 = 𝑑2 + 𝑆 = 20.25 + 14.5 = 34.75 𝑐𝑚

Relaciones Geométricas (Se asume que todas las secciones de acero están a tensión y que las secciones 2, 3 y 4 ya han entrado a fluencia. 𝜀𝑐𝑢 0.003 𝜀𝑠1 𝜀𝑠2 𝜀𝑠3 𝜀𝑠4 = = = = = 𝑐 𝑐 𝑑1 − 𝑐 𝑑2 − 𝑐 𝑑3 − 𝑐 𝑑4 − 𝑐

𝜀𝑠1 =

0.003(𝑑1 − 𝑐) < 𝜀𝑦 𝑐

𝜀𝑠2 =

0.003(𝑑2 − 𝑐) > 𝜀𝑦 𝑐

𝜀𝑠3 =

0.003(𝑑3 − 𝑐) > 𝜀𝑦 𝑐

𝜀𝑠4 =

0.003(𝑑4 − 𝑐) > 𝜀𝑦 𝑐

Equilibrio Se tiene que 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑠4 = 𝑓𝑦 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠3 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠4 𝑓𝑦

0.85 (350)(0.8)(25)𝑐 = 3.96 (

0.003(5.75 − 𝑐) ) (2.03𝑥106 ) + 3(3.96)(2800) 𝑐

Simplificando la ecuación se obtiene: 5950 𝑐 2 − 9147.6 𝑐 − 139071.24 = 0 Factorizando se llega a que: 𝐶 = 5.66 𝑐𝑚 Comprobando con las deformaciones: 𝜀𝑠1 =

0.003(5.75 − 5.66) = 0.000048 < 𝜀𝑦 5.66

𝑂𝑘!

𝜀𝑠2 =

0.003(20.25 − 5.66) = 0.007733 > 𝜀𝑦 5.66

𝑂𝑘!

𝜀𝑠3 =

0.003(34.75 − 5.66) = 0.015419 > 𝜀𝑦 5.66

𝑂𝑘!

𝜀𝑠4 =

0.003(49.26 − 5.66) = 0.023109 > 𝜀𝑦 5.66

𝑂𝑘!

También: 𝑎 = 𝛽1 𝑐 𝑎 = (0.8)(5.66) = 4.53 𝑐𝑚

Calculando ∑M en el eje que pasa por d1 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 (𝑑1 − ) + 𝑇𝑠((𝑑2 − 𝑑1 ) + (𝑑3 − 𝑑1 ) + (𝑑4 − 𝑑1 )) 2 𝑀𝑛 = 33677 (5.75 −

4.53 ) + 11088((20.25 − 5.75) + (34.75 − 5.75) + (49.26 − 5.75)) 2 𝑀𝑛 = 1083131.225 𝐾𝑔. 𝑐𝑚 𝑀𝑛 = 10.82 𝑇𝑜𝑛. 𝑚

Calculando Momento Último. Como 𝜀𝑠4 =

0.003(49.26 − 5.66) = 0.023109 > 𝜀𝑠 = 0.005 5.66

Entonces ∅ = 0.9 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 𝑀𝑢 = (0.9)(10.82) 𝑴𝒖 = 𝟗. 𝟕𝟒 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 5

DATOS 𝑓 ′ 𝑐 = 280

𝐾𝑔 ⁄ 2 𝑐𝑚

𝑓𝑦 = 2800

𝐾𝑔⁄ 𝑐𝑚2

𝑑 = 50 − 4 = 44 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 2𝑁5 = (2)(1.98) = 3.96 𝑐𝑚2 Área a compresión: 𝐴𝑐 =

𝑎𝑏 ′ 2

De relaciones geométricas: 50 𝑎 = 25 𝑏 ′ 𝑏′ =

25 𝑎 50

𝑏′ =

𝑎 ; 2

Entonces: 𝐴𝑐 =

𝑎 𝑎 𝑎2 ( ) → 𝐴𝑐 = 2 2 4

Equilibrio: (fs=fy) 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝐴𝑐 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (0.85)(𝑓 ′ 𝑐) (

𝑎2 ) = 𝐴𝑠𝑓𝑦 4

4(𝐴𝑠𝑓𝑦) 𝑎=√ 0.85𝑓 ′ 𝑐 (4)(2800)(3.96) 𝑎=√ (0.85)(280) 𝑎 = 13.65 𝑐𝑚 También: 𝑐=

𝑎 13.65 = 0.85 0.85

𝑐 = 16.06 𝑐𝑚

Comprobando con deformaciones: 𝜀𝑦 =

𝑓𝑦 2800 = → 𝜀𝑦 = 0.001379 𝐸𝑠 2.03 𝑥 106

De Relaciones Geométricas 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 = 𝑐 𝑑−𝑐 𝜀𝑠 =

(𝑑 − 𝑐)𝜀𝑐𝑢 (44 − 16.06)(0.003) = 𝑐 16.06 𝜀𝑠 = 0.00522

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦 𝑦 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜀𝑠 > 0.005,

𝜙 = 0.9

Haciendo Momento en el acero 𝑀 = 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝐴𝑐 (𝑑 −

𝑀 = 0.85𝑓 ′ 𝑐

𝑀 = (0.85)(280) (

2𝑎 ); 3

𝐴𝑐 =

𝑎2 4

𝑎2 2𝑎 (𝑑 − ) 4 3

13.652 2 ∗ 13.65 ) ) (44 − 4 3

𝑀𝑛 = 386907.99 𝑘𝑔. 𝑐𝑚 Momento último: 𝑀𝑢 = 𝜙𝑀𝑛 = (0.9)(38907.99) = 348217.19𝑘𝑔. 𝑐𝑚 → 𝑴𝒖 = 𝟑. 𝟒𝟖 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 6

DATOS 𝑓 ′ 𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑦 = 3500 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = 2(3.88) = 7.76𝑐𝑚2 𝜀𝑦 =

𝑓𝑦 3500 = = 0.001724 𝐸 2.03𝑥106

𝑎 = 𝛽1 𝑐

β = 0.85

𝑑 = 50 − 7.5 = 42.5 𝑐𝑚 Relaciones Geométricas 50 50 − 𝑎 = 25 𝑏′ 𝑏′ =

50 − 𝑎 2

También: 𝜀𝑠 =

𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) > 𝜀𝑦 𝑐

Equilibrio: 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85 𝑓 ′ 𝑐 (

0.85 𝑓 ′ 𝑐 (

0.85 (210) (

625 − (

ℎ𝑏 (ℎ − 𝑎)𝑏 ′ − ) = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2 2

ℎ𝑏 (ℎ − 𝑎) (50 − 𝑎) − ) = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2 2 2

(50)(25) (50 − 𝑎)2 − ) = 7.76(3500) 2 2

502 − 100𝑎 + 𝑎2 7.76(3500) )= 4 0.85 (210)

Simplificando: 𝑎2 − 100𝑎 + 608.64 = 0 Factorizando se obtiene: 𝑎 = 6.51 𝑐𝑚 Entonces: 𝑐=

𝑎 6.51 = = 7.66 𝑐𝑚 𝛽 0.85

Comprobando con Relaciones geométricas: 𝜀𝑠 =

0.003(42.5 − 7.66) = 0.013645 > 𝜀𝑦 7.66

Por lo que: 𝑏′ =

50 − 6.51 = 21.75 𝑐𝑚 2

Cálculo de Momento: 𝑎 𝑎 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐1 (𝑑 − ) + 𝐶𝑐2 (𝑑 − ) 2 3

𝑂𝑘!

(25 − 𝑏 ′ )𝑎 𝑎 𝑎 𝑀𝑛 = 0.85 𝑓 ′ 𝑐 𝑏 ′ 𝑎 (𝑑 − ) + 0.85 𝑓 ′ 𝑐 ( ) (𝑑 − ) 2 2 3 𝑀𝑛 = 0.85(210)(21.75)(6.51) (42.5 − + 0.85(210) (

6.51 ) 2

(25 − 21.75)(6.51) 6.51 ) ) (42.5 − 2 3

𝑀𝑛 = 1068043.799 𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 10.68 𝑇𝑜𝑛. 𝑚

Debido a que 𝜀𝑠 =

0.003(42.5 − 7.66) = 0.013645 > 𝜀𝑠 = 0.005 7.66

Momento último: 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 𝑀𝑢 = (0.9)10.68 𝑴𝒖 = 𝟗. 𝟔𝟏 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

∅ = 0.9

EJERCICIO 7

DATOS 𝑓 ′ 𝑐 = 210

𝐾𝑔⁄ 𝑐𝑚2

𝑓𝑦 = 3500

𝐾𝑔 ⁄ 2 𝑐𝑚

𝑑 = 50 − 4 = 44 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 2𝑁6 = (2)(2.85) = 5.70 𝑐𝑚2

Equilibrio: Asumiendo a=7.5 cm, y acero en fluencia (fs=fy) 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (0.85)(210)(7.5)(25) = (5.7)(3500) 33468.75 = 19950

El esfuerzo del concreto cuando a = 7.5 cm mayor al del acero, “a” debe ser menor, entonces se considera una sección rectangular de ancho 25 cm. Equilibrio suponiendo fluencia en el acero: 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 (0.85)(210)(𝑎)(25) = (5.7)(3500) 𝑎 = 4.47𝑐𝑚 < 7.5𝑐𝑚 Solo una parte del patín está trabajando. Entonces: 𝑐=

𝑎 4.47 = = 5.26𝑐𝑚 0.85 0.85

Comprobando fluencia en el acero: 𝜀𝑦 =

𝑓𝑦 3500 = → 𝜀𝑦 = 0.00152 𝐸𝑠 2.03 𝑥 106

De relaciones geométricas: 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 (𝑑 − 𝑐)𝜀𝑐𝑢 (44 − 5.26)(0.003) = → 𝜀𝑠 = → → 𝜀𝑠 = 0.02209 𝑐 𝑑−𝑐 𝑐 5.26 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦 𝑦 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜀𝑠 > 0.005,

𝜙 = 0.9

Momento en el acero: 𝑎 𝑀 = (0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏) (𝑑 − ) 2 𝑀 = (0.85)(210)(4.47)(25) (44 −

4.47 ) 2

𝑀𝑛 = 833102.12 𝑘𝑔. 𝑐𝑚 Momento último: 𝑀𝑢 = 𝜙𝑀𝑛 = (0.9)(833102.12) = 749791.91𝑘𝑔. 𝑐𝑚 → 𝑴𝒖 = 𝟕. 𝟓𝟎 𝒕𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 8

DATOS 𝑘𝑔⁄ 𝑐𝑚2 𝑘𝑔 𝑓𝑦 = 2800 ⁄ 2 𝑐𝑚 𝑓´𝑐 = 210

𝑑 = 50 − 3.75 = 46.25 𝑐𝑚 𝐴𝑠 = 2𝑁°6 = (2)(2.85) = 5.70 𝑐𝑚2 𝜀𝑦 = 0.00138 Asumiendo a 𝜀𝑠 = 0.005 𝐹𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑦 ∅ = 0.90

Momento nominal, haciendo sumatoria de momentos en acero a tensión: 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 (𝑑 − 𝑎⁄2) = 0.85𝑓´𝑐 𝑎𝑏(𝑑 − 𝑎⁄2) 𝑀𝑛 = 0.85(210)(8.94)(10)(46.25 − 8.94⁄2 ) 𝑀𝑛 = 6.67 𝑇𝑜𝑛. 𝑚 Momento ultimo: 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0.90(6.67) 𝑴𝒖 = 𝟔. 𝟎𝟎 𝑻𝒐𝒏. 𝒎

EJERCICIO 9:

DATOS 𝑓𝑐′ = 210

𝑘𝑔 𝑘𝑔 , 𝑓𝑦 = 4200 2 𝑐𝑚 𝑐𝑚2

𝜙𝑁 ° 7 = 2.22 𝑐𝑚, 𝐴𝑁°7 = 3.88 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = 4(3.88) = 15.52 𝑐𝑚2 𝑑 = 45 − 7.5 = 37.5 𝑐𝑚 Relaciones geométricas: 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) = ; 𝜀𝑠 = 𝑐 ( 𝑑 − 𝑐) 𝑐 Porcentaje de acero balanceado: 𝜌𝑏 = 𝜌𝑤𝑏 + 𝜌𝑓 𝜌𝑤𝑏 = 0.0214 ( 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝐴. 7 ) 𝜌𝑓 =

𝐴𝑠𝑓 0.85 𝑓𝑐′ ℎ𝑓 (𝑏 − 𝑏𝑤 ) 0.85(210)(5)(25 − 10) ; 𝐴𝑠𝑓 = = = 3.19 𝑐𝑚2 𝑏𝑤 𝑑 𝑓𝑦 4200 𝜌𝑓 =

𝐴𝑠𝑓 3.19 = = 0.0085 𝑏𝑤 𝑑 (10)(37.5)

𝜌𝑏 = 0.0214 + 0.0085 = 0.0299

Porcentaje de acero a tensión:

𝜌=

𝐴𝑠 15.52 = = 0.0414 ; 𝜌 > 𝜌𝑏 𝑏𝑤 𝑑 10(37.5)

𝒇𝒂𝒍𝒍𝒂 𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏

𝜀𝑠 < 𝜀𝑦 → 𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 𝐸𝑠 Equilibrio: 𝐶𝑤𝑏 + 𝐶𝑓 = 𝑇𝑠 0.85𝑓′𝑐 𝑎 𝑏𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) 𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) 0.85𝑓′𝑐 𝑎 𝑏𝑤 + 𝐴𝑠𝑓 ( ) 𝐸𝑠 = 𝐴𝑠 ( ) 𝐸𝑠 𝑐 𝑐 𝑐=

𝑎 𝑘𝑔 ; 𝑓′𝑐 = 210 < 280 → 𝛽1 = 0.85 𝛽1 𝑐𝑚2

𝑎 0.003 (37.5 − ) 0.85 0.85(210)(10)𝑎 + 3.19 ( ) (2.03 × 106 ) 𝑎 0.85 𝑎 0.003 (37.5 − ) 0.85 = 15.52 ( ) (2.03 × 106 ) 𝑎 0.85 Despejando a: 𝑎 = 21.20 𝑐𝑚 ;

𝑎 > ℎ𝑓 = 5 𝑐𝑚 𝑶𝑲

Entonces:

𝑐=

𝑎 21.20 = = 24.94 𝑐𝑚 𝛽1 0.85

Comprobando deformación del acero: 𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) 0.003(37.5 − 24.94) = = 0.00151083 𝑐 24.94 𝑓𝑦 4200 𝜀𝑦 = = = 0.00206897 ; 𝜺𝒔 < 𝜺𝒚 𝑶𝑲 𝐸𝑠 2.03 × 106 𝜀𝑠 =

𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 𝐸𝑠 = 0.00151083(2.03 × 106 ) = 3066.98

𝑘𝑔 < 𝑓𝑦 𝑐𝑚2

Momento en el acero a Tensión: 𝑀𝑛 = 𝐶𝑤𝑏 (𝑑 −

ℎ𝑓 𝑎 ) + 𝐶𝑓 (𝑑 − ) 2 2

𝑀𝑛 = 0.85𝑓′𝑐 𝑎 𝑏𝑤 (𝑑 − 𝑀𝑛 = 0.85(210)(21.20)(10) (37.5 −

ℎ𝑓 𝑎 ) + 𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑠 (𝑑 − ) 2 2

21.20 5 ) + 3.19(3066.98) (37.5 − ) 2 2

𝑀𝑛 = 13.60 𝑇. 𝑚

𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛

𝜀𝑠 < 𝜀𝑦 → ∅ = 0.65

𝑀𝑢 = 0.65(13.60) 𝑴𝒖 = 𝟖. 𝟖𝟒 𝑻. 𝒎

EJERCICIO 10:

DATOS 𝑓𝑐′ = 280

𝑘𝑔 𝑘𝑔 , 𝑓𝑦 = 4200 , 𝑅 = 22.5 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚 𝑐𝑚2

𝜙𝑁 ° 7 = 2.22 𝑐𝑚, 𝐴𝑁°7 = 3.88 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = 2(3.88) = 7.76 𝑐𝑚2 𝑑 = 45 − 7.5 = 37.5 𝑐𝑚 Relaciones geométricas: 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 𝜀𝑐𝑢 + 𝜀𝑠 𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) = = ; 𝜀𝑠 = 𝑐 ( 𝑑 − 𝑐) 𝑑 𝑐 𝜃 2

𝑎 = 𝑅 (1 − cos ) 𝑙 = 𝑅√2 − 2 cos 𝜃 Área de segmento circular 𝐴𝑐𝑐 = 𝑅 2 ( 𝐴𝑐𝑐 𝜃 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 1

Área del sector triangular:

𝐴1 = 2 𝑏ℎ

Área del sector circular:

𝐴 𝑇 = 𝐴1 + 𝐴𝑐𝑐

𝜃 𝜃 𝜃 − sin cos ) 2 2 2

𝑅2 ( 𝜃 − sin 𝜃) = 2

Equilibrio: 𝐶𝑐 = 𝑇𝑠 0.85𝑓𝑐′ 𝐴𝑐𝑐 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 0.85(280)𝐴𝑐𝑐 = 7.76(4200) 𝐴𝑐𝑐 = 136.94 𝑐𝑚2 (área del segmento circular)

𝐴𝑐𝑐 =

𝑅2 ( 𝜃 − sin 𝜃) 2

136.94 =

136.94 =

𝑅2 ( 𝜃 − sin 𝜃) 2

22.52 ( 𝜃 − sin 𝜃) 2

0.54099753 = 𝜃 − sin 𝜃

Resolviendo para θ: 𝜃 = 1.540539837 Entonces: 𝜃 1.540539837 𝑎 = 𝑅 (1 − cos ) = 22.5 (1 − cos ) = 6.35 𝑐𝑚 2 2

𝑐=

𝑎 𝑘𝑔 ; 𝑓′𝑐 = 280 → 𝛽1 = 0.85 𝛽1 𝑐𝑚2 𝑐=

6.35 = 7.47 𝑐𝑚 0.85

Evaluando deformación del acero a tensión: 𝜀𝑠 =

𝜀𝑐𝑢 (𝑑 − 𝑐) 0.003(37.5 − 7.47) = = 0.01206024 𝑐 7.47

𝜀𝑠 > 0.005

∅ = 0.9 𝒇𝒂𝒍𝒍𝒂 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏

Área del sector triangular: 𝑙 = 𝑅√2 − 2 cos 𝜃 = 22.5√2 − 2 cos 1.540539837 = 31.33 𝑐𝑚 1 1 𝐴1 = 𝑏ℎ = (31.33)(22.5 − 6.35) = 252.99 𝑐𝑚2 2 2 2 2 𝑦1 = ℎ = (22.5 − 6.35) = 10.77 𝑐𝑚 (𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜) ̅̅̅ 3 3 Área del sector circular: 𝐴 𝑇 = 𝐴1 + 𝐴𝑐𝑐 = 252.99 + 136.94 = 389.93 𝑐𝑚2

𝑌̅ =

𝜃 1.540539837 2𝑅 sin 2 2(22.5) sin 2 = = 13.56 𝑐𝑚 (𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜) 𝜃 1.540539837 3( ) 3 ( ) 2 2

Recordando Estática: ∑ 𝐴 𝑌̅ = ∑ 𝐴𝑖 𝑦̅𝑖 𝐴 𝑇 𝑌̅ = 𝐴1 ̅̅̅ 𝑦1 + 𝐴𝑐𝑐 ̅̅̅̅̅ 𝑦𝐴𝑐𝑐 389.93(13.56) = 252.99(10.77) + 136.94 ̅̅̅̅̅ 𝑦𝐴𝑐𝑐 ̅̅̅̅̅ 𝑦𝐴𝑐𝑐 = 18.71 𝑐𝑚 (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜)

Momento en el acero a tensión: 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐 𝑏 = 0.85𝑓𝑐′ 𝐴𝑐𝑐 (𝑑 − (𝑅 − ̅̅̅̅̅)) 𝑦𝐴𝑐𝑐 𝑀𝑛 = 0.85(280)(136.94)(37.5 − (22.5 − 18.71)) 𝑀𝑛 = 10.987 𝑇. 𝑚 𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛

𝜀𝑠 > 0.005 → ∅ = 0.90

𝑀𝑢 = 0.90(10.987) 𝑴𝒖 = 𝟗. 𝟖𝟖𝟖𝟑 𝑻. 𝒎